Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. Segundo Ano do Ensino Médio

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. Segundo Ano do Ensino Médio"

Transcrição

1 Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Desevolvimeto Multiomial Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

2 1 Desevolvimeto Multiomial Nosso objetivo este material é geeralizar a fórmula da expasão do biômio de Newto x + y Mais especificamete, queremos substituir o biômio x + y pelo triômio x + y + z ou, de forma mais geral, por uma soma de moômios quaisquer Em resumo, queremos calcular os coeficietes de cada um dos moômios obtidos a expasão de uma expressão do tipo x 1 + x x, ode e são iteiros positivos Lembre-se de que, coforme demostramos o material sobre o biômio de Newto, temos: Biˆomio de Newto: x + y x + x 1 y x j y j + + y j O argumeto que utilizaremos aqui é basicamete idêtico ao que havíamos usado para demostrar o fato acima, e será ilustrado ovamete através de um exemplo Exemplo 1 Ecotre o coeficiete de xy 2 z o desevolvimeto de x + y + z 4 Solução Observe que desevolver x+y+z 4 é o mesmo que calcular o produto x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z icialmete utilizado a propriedade distributiva da multiplicação e, em seguida, simplificado o resultado pelo agrupameto dos termos semelhates ie, repetidos Ates de agruparmos os termos repetidos, o resultado é uma soma de parcelas, cada uma das quais sedo obtida escolhedo uma variável ou seja, x, y ou z em cada um dos quatro fatores acima e, em seguida, multiplicado as quatro variáveis escolhidas Por exemplo, a parcela x x x x x 4 é obtida escolhedo x em cada um dos quatro fatores, como segue: x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z Por outro lado, a parcela x y z y xy 2 z correspode à seguite escolha: x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z Pelo pricípio fudametal da cotagem temos maeiras de escolher uma variável de cada fator Portato, ates de agruparmos os termos repetidos, teríamos uma soma de 81 parcelas, de modo que seria iviável calcular cada uma delas Por outro lado, várias dessas parcelas são iguais Por exemplo, xy 2 z pode ser obtida como acima como o produto xyzy, essa ordem, como xyyz, como yzxy e de várias outras maeiras Na forma simplificada do desevolvimeto de x + y + z 4, o coeficiete de um determiado termo represeta justamete o úmero de parcelas iguais a ele, detre as 81 parcelas possíveis Em particular, o coeficiete de xy 2 z é igual ao úmero de parcelas as quais escolhemos uma vez a variável x, duas vezes a variável y e uma vez a variável z Isso é precisamete o úmero de aagramas de xyyz e, portato, pode ser obtido através da fórmula para o úmero de permutações com elemetos repetidos: P 1,2,1 4 4! 1! 2! 1! Logo o coeficiete de xy 2 z a expasão x + y + z 4 de é igual a 12 De forma um pouco mais geral que o exemplo aterior, para todo atural, todos os termos do desevolvimeto de x + y + z são da forma x a y b z c, ode a, b e c são iteiros ão egativos tais que a + b + c ressaltamos que é permitido que a, b ou c sejam ulos De forma mais geral aida, dados aturais e, com 2, e variáveis x 1, x 2,, x, temos que todos os termos do desevolvimeto de x 1 + x x são da forma x 1 1 x 2 2 x ode e 1,, são iteiros ão egativos De fato, temos x x x x x x }{{} vezes 1 e, ao executarmos as multiplicações do segudo membro distributivamete, os iteiros ão egativos 1, 2,, represetam exatamete os úmeros de vezes que escolhemos x 1, x 2,, x, respectivamete, os fatores acima A discussão acima sugere a seguite defiição: Coeficietes multiomiais: em aalogia aos coeficietes biomiais, dado um iteiro 2 e iteiros ão egativos e 1, 2,, tais que , defiimos o úmero multiomial, 1, 2,,, como o coeficiete de x 1 1 x2 2 x a expasão de x 1 + x x Por outro lado, utilizado a otação de somatórios, obtemos a fórmula do: Desevolvimeto Multiomial: x x x 1 1 1,, x 1+ + Resta, etão, determiarmos como calcular o valor dos coeficietes multiomiais de forma direta Observe que, quado 2, temos e, pelo biômio de 1 matematica@obmeporgbr

3 Newto, o coeficiete de x 1 1 x2 2 ou seja, de x 1 1 x 1 2 o desevolvimeto de x 1 + x 2 é igual a! 1, 2 1! 1!! 1! 2! 1 Para o caso geral vale o seguite teorema Teorema 2 Teorema Multiomial Dados iteiros ão egativos 1, 2,, tais que , o coeficiete de x 1 1 x 2 2 x o desevolvimeto de x 1 + x x é igual a:! 1, 2,, 1! 2!! 1, 2,, Prova Coforme ossa discussão aterior, represeta o coeficiete de x 1 1 x2 2 x a expasão de x 1 + x x Usado a mesma argumetação do Exemplo 1, temos um produto de cópias de x 1 + x x e devemos escolher uma variável de cada uma dessas cópias, de forma que a variável x i seja escolhida exatamete i vezes para cada i de 1 até O coeficiete desejado é o úmero de maeiras em que isso pode ser feito Veja que o problema combiatório do parágrafo aterior coicide com aquele de calcular o úmero de aagramas de uma palavra com letras, formada utilizado-se as letras x 1, x 2,, x de modo que, para cada i de 1 a, a letra x i apareça exatamete i vezes Isso porque cada um desses aagramas defie a ordem em que os x i s serão escolhidos os fatores x 1 + x x Como vimos o material sobre permutações com repetições, a quatidade de tais aagramas é precisamete P 1,2,,! 1! 2!! Sedo assim,! 1, 2,, 1! 2!! Exemplo 3 Qual o coeficiete de x 3 y 4 z 2 w o desevolvimeto de x + y + z + w 10? E o coeficiete de x 6 y 4 o mesmo desevolvimeto? Solução Basta aplicar o Teorema Multiomial diretamete: o coeficiete de x 3 y 4 z 2 w é igual a 10 10! 3, 4, 2, 1 3! 4! 2! 1! ! ! 4! 2 Observe que x 6 y 4 pode ser visto como x 6 y 4 z 0 w 0 Como e 0! 1, temos ovamete pelo Teorema Multiomial que o coeficiete de x 6 y 4 é igual a ! ! 0 6, 4, 0, 0 6, 4 6! 4! 4! 6! Exemplo 4 Qual o coeficiete de x 4 y 4 o desevolvimeto de 1 + x + y 10? Solução Aqui temos que tomar cuidado, pois, como , ão faz setido falarmos do úmero multiomial 10 4,4 Por outro lado, resolvemos esse problema otado que basta aplicarmos o Teorema Multiomial para a expasão de x 1 + x 2 + x 3 10 com x 1 1, x 2 x e x 3 y Assim o coeficiete de x 4 y 4 a expressão iicial é igual ao coeficiete de x 2 1 x4 2 x4 3 a expasão x 1 + x 2 + x 3 10 Este último coeficiete é igual a 10 10! 2, 4, 4 2! 4! 4! 3150 Uma relação importate etre úmero biomiais e multiomiais é dada o próximo exemplo Exemplo 5 Mostre que o úmero multiomial , 2,, é igual ao produto de úmeros biomiais Solução 1 Podemos simplesmete escrever o valor de cada úmero biomial e cacelar os fatores repetidos Mais precisamete, fazedo s i i + i+1 + +, temos que o produto em questão é igual a s1 s2 s 1 s, 1 2 que por sua vez é igual a 1 s 1! 1! s 1 1! s2! 2! s 2 2! s 1! 1! s 1 1! s!! Os termos se cacelam, um vez que s i i s i+1, para 1 i 1 Portato, o resultado do produto é: s 1 1! 2!! , 2,, Solução 2 Podemos provar essa igualdade usado um simples argumeto de cotagem Para tato, seja s i defiido como a solução aterior, e lembre-se de que, por um lado, o úmero multiomial , 2,, 2 matematica@obmeporgbr

4 também represeta o úmero de aagramas de uma palavra com s 1 letras, sedo i delas iguais a x i, para cada iteiro i de 1 a Por outro lado, podemos cotar essa quatidade de aagramas escolhedo, iicialmete, quais 1 posições, detre as s 1 possíveis, serão ocupadas por letras x 1 Coforme sabemos, isso pode ser feito de s 1 1 modos Feito isso, escolhemos quais 2 posições, detre as s 1 1 s 2 que restaram, serão ocupadas por letras x 2 Isso pode ser feito de s 2 2 maeiras Sobram, etão, s2 2 s 3 posições, detre as quais devemos escolher as que serão ocupadas por letras x 3, e assim por diate Por fim, teremos s posições sobrado, as quais serão todas escolhidas para serem ocupadas pelas letras x Pelo pricípio fudametal da cotagem, o úmero de maeiras de realizar todas essas escolhas é precisamete s1 s2 1 2 s 1 s 1 Termiamos esta seção com uma cosequêcia simples, mas importate, da fórmula do desevolvimeto multiomial Teorema 6 Fixados iteiros positivos e, se somarmos os valores de 1,, sobre todas as -tuplas ordeadas 1,, de iteiros ão egativos 1,, tais que 1 + +, o resultado obtido é igual a Em símbolos, ,, Prova Fazedo x 1 x 1, obtemos e x 1 + x x 1 } {{ + 1 } x 1 1 x2 2 x A fórmula do euciado segue, agora, imediatamete a partir da fórmula do desevolvimeto multiomial 2 Mais exemplos Esta seguda seção colecioa algus exemplos iteressates, os quais ilustram as aplicações das ideias discutidas a seção aterior Exemplo 7 Qual o coeficiete de x 7 o desevolvimeto de 1 + 3x + x 2 4? Solução Sejam x 1 1, x 2 3x e x 3 x 2 Estamos cosiderado a expasão de x 1 +x 2 +x 3 4 Pelo Teorema Multiomial, tal expasão é a soma de termos da forma 4 4 x a a, b, c 1x b 2x c 3 1 a 3x b x 2 c a, b, c 4 3 b x b+2c, a, b, c ode a + b + c 4 Para calcularmos o coeficiete de x 7, devemos primeiro calcular para que valores iteiros ão egativos de a, b, c o expoete de x o termo acima será igual a 7 É claro que isso vale se e só b + 2c 7 Mas, como b + c 4, é fácil ver que a úica possibilidade é b 1 e c 3 Nesse caso, a, b, c 0, 1, 3 e, para esses valores, o coeficiete de x 7 é igual a: ! 0, 1, 3 3! 3 12 Exemplo 8 Qual o coeficiete de x 4 o desevolvimeto de 1 + 3x 2x 2 10? Solução Pela mesma argumetação do exemplo aterior, cada termo desse desevolvimeto é da forma 1 a 3x b 2x 2 c 3 b 2 c x b+2c, ode a, b e c são iteiros ão egativos tais que a + b + c 10 Como queremos o coeficiete de x 4, devemos ter ovamete b + 2c 4 Nesse caso, porém, temos três possibilidades para a, b, c, que orgaizamos a tabela a seguir; elas podem ser obtidas aalisado os possíveis valores para c, de ode se ecotra b e, em seguida, a e os demais valores da tabela: 1 3x 2x a 3x b 2x 2 c a b c a,b,c x 4 180x x x x x 4 Os três termos acima fazem parte de desevolvimeto de 1 + 3x 2x 2 10 Portato, o coeficiete de x 4 após a redução dos termos semelhates é obtido somado os três coeficietes de tais termos Assim, o coeficiete desejado é igual a O próximo exemplo é semelhate, mas os ajudará a resolver também um outro problema adiate Exemplo 9 Qual o coeficiete de x x + x 3 + x 5? a expasão de 3 matematica@obmeporgbr

5 Solução Dessa vez, o termo geral do desevolvimeto é da forma: 1 a x b x 3 c x 5 d x b+3c+5c Queremos etão que: { a + b + c + d b + 3c + 5d 6 2 Orgaizamos os possíveis valores para a tabela abaixo, ode calculamos também o valor do termo obtido a partir de cada upla : 1 x x 3 x 5 a b c d a,b,c,d x x x x 6 x b+3c+5c Logo, o coeficiete de x 6 a expasão pedida é igual a O exemplo seguite mostra uma relação etre o cálculo dos coeficietes dos termos de um desevolvimeto multiomial com um problema de cotagem Exemplo 10 Olimp Paulista de Matemática, adaptado Em Terra Brasilis ocorre um importate campeoato de futebol evolvedo 22 clubes Cada equipe efreta uma vez cada uma das demais, recebedo: 5 potos por cada goleada, ou seja, por cada vitória com difereça superior a dois gols; 3 potos por cada vitória simples, ou seja, quado esta for por difereça de um ou dois gols; 1 poto por cada empate; e 0 potos por cada derrota a Mostre que o úmero de maeiras distitas de, ao fial do campeoato, uma equipe totalizar t potos é igual ao coeficiete de x t o desevolvimeto de 1 + x + x 3 + x 5 b De quatas maeiras uma equipe pode obter 6 potos? c De quatas maeiras distitas uma equipe pode potuar em seus jogos? Observação: obter 1 poto a primeira partida e 5 a seguda e obter 5 potos a primeira partida e 1 a seguda são maeiras distitas de se potuar as duas primeiras partidas Solução a Veja que a equipe irá jogar vezes Deotado por a, b, c e d, as quatidades de jogos em que ela gahou 0, 1, 3, e 5 potos, respectivamete, e sabedo que a equipe fez t potos, temos que a, b, c e d satisfazem o seguite sistema compare-o com a Equação 2: { a + b + c + d b + 3c + 5d t 3 Fixada uma solução do sistema acima, o úmero de maeiras em que a equipe pode jogar os jogos, gahado por goleada a vezes, por vitória simples b vezes, empatado c vezes, e perdedo d vezes, é dado pelo úmero de permutações com elemetos repetidos P a,b,c,d! a! b! c! d! De fato, o resultado dos jogos pode ser represetado por uma sequêcia das letras G goleada, V vitória simples, E empate e D derrota, ode temos um total de letras e as quatidades de vezes as quais usamos as letras G, V, E e D são, respectivamete, a, b, c, e d Por fim, o total de maeiras de obter t potos é dado pela soma dos valores de a,b,c,d para cada solução do sistema 3 Por outro lado, seguido a solução do Exemplo 9, cada termo do desevolvimeto de 1 + x + x 3 + x 5 é, pelo Teorema Multiomial, 1 a x b x 3 c x 5 d x b+3c+5c Ademais, os termos em que o expoete de x é igual a t são justamete aqueles em que é uma solução do sistema 3 Portato, para obter o coeficiete de x t devemos somar os coeficietes de todos os termos desse tipo O resultado disso é exatamete a mesma soma que idica o úmero de maeiras em que a equipe pode obter t potos b Essa questão foi respodida o Exemplo 9 c Em cada um dos jogos, há 4 resultados possíveis: goleada, vitória simples, empate e derrota Sedo assim, pelo pricípio fudametal da cotagem, o úmero de maeiras em que a equipe pode potuar é igual a 4 É iteressate observar que essa quatidade também pode ser obtida somado-se o úmero de maeiras em que a equipe pode totalizar t potos, para cada valor de t Pelo item aterior, isso é igual à soma de todos os coeficietes do desevolvimeto de 1 + x + x 3 + x 5 Essa soma pode ser obtida facilmete substituido x por 1 O resultado é que a soma dos coeficietes é igual a , coicidido com a resposta que havíamos calculado ateriormete Observe que, o fial das cotas, estamos utilizado aqui o resultado do Teorema matematica@obmeporgbr

6 No caso do problema aterior, a relação etre os coeficietes e a solução do problema de cotagem, por iteressate que seja, ão chega a ser muito útil, uma vez que a dificuldade de ecotrar aqueles coeficietes é a mesma daquela de resolver o problema de cotagem diretamete Mas, casos há casos em que essa relação pode realmete facilitar o osso trabalho Vejamos um exemplo disso agora Exemplo 11 Num jogo, são usados dois dados em forma de tetraedro regular com faces umeradas 1, 2, 3 e 4 Ao se jogar cada dado, o valor obtido é aquele que está a face voltada para baixo Potos são gahos somado-se os valores obtidos os dois dados Por defeito de fabricação, o jogo veio com um dado com faces umeradas 1, 2, 2 e 3 e o outro com faces 1, 3, 3 e 5 Ao receber o jogo para substituição, o doo da fábrica, que era matemático, argumetou que o jogo ão mudaria mesmo utilizado os dados defeituosos, isto é, que o úmero de maeiras de se obter t potos, para cada 2 t 8, com os dados defeituosos e com os dados ormais era o mesmo Ele tiha razão? Explique Solução Observe que, o jogo origial ie, com dados sem defeitos, o úmero de maeiras de se obter t potos é igual ao coeficiete de x t a expasão de P x x+x 2 + x 3 + x 4 2 Por outro lado, o jogo defeituoso, tal úmero de maeiras é o coeficiete de x t em Qx x+x 2 +x 2 + x 3 x + x 3 + x 3 + x 5 Mas, veja que Qx x + 2x 2 + x 3 x + 2x 3 + x 5 x x + x x 2 + x 4 x x x 2 2 x x1 + x 2 2 x x + x 2 + x 3 2 P x Logo, todos os coeficietes de Qx são iguais aos de P x, de forma que os dois jogos são realmete equivaletes Recorde que a relação de Stifel também cohecida como regra de Pascal se escreve a 1 a a Deotado a + b, também podemos escrevê-la como a, b a 1, b a, b 1 O exemplo a seguir geeraliza a relação de Stifel a úmeros multiomiais Por simplicidade, apresetamos tal geeralização somete a úmeros multiomiais da forma a,b,c Exemplo 12 Dados iteiros positivos a, b e c, com a+b+ c, vale a seguite geeralização da relação de Stifel: a, b, c a 1, b, c a, b 1, c a, b, c 1 Solução Deixamos ao leitor a tarefa de dar uma demostração algébrica da relação do euciado, utilizado a fórmula a,b,c! a!b!c! Apresetamos, pois, uma demostração combiatória O úmero da esquerda, a,b,c, represeta o úmero de aagramas da palavra xx x yy y zz z }{{}}{{}}{{} a vezes b vezes c vezes Agora, uma vez defiida a primeira letra de um aagrama, para cotar a quatidade de aagramas que começam com tal letra basta cotarmos a quatidade de aagramas do restate da palavra, com as devidas restrições sobre os úmeros de vezes que devemos usar cada uma das letrasx, y ou z Portato, 1 a 1,b,c represeta a quatidade de tais aagramas que começam com a letra x, equato 1 a,b 1,c represeta a quatidade de aagramas que começam com a letra y e 1 a,b,c 1 a quatidade dos que começam com a letra z Mas, como todo aagrama começa com x, y ou z, a soma do segudo membro da relação do euciado também cota o total de aagramas Logo, o resultado desejado segue facilmete A equação e sua prova acima podem ser facilmete geeralizadas para úmeros multiomiais de maior ordem, ode A fórmula correspodete é a seguite: , 2,, 1, 2 1,, 1 + 1, 2, 1 1,, Dicas para o Professor Este material é o último desta série sobre coeficietes biomiais e multiomiais Como sempre, efatizamos que é muito importate a resolução de uma grade quatidade de exercícios Além da lista de exercícios propostos o próprio Portal da Matemática, o item [3] das referêcias abaixo está repleto de exemplos de somas mais avaçadas evolvedo coeficiete biomiais e multiomiais Por fim, observamos que os Exemplos 10 e 11 deste material podem servir de itrodução para o estudo da teoria de Fuções Geradoras Cotudo, o estudo mais aprofudado desse assuto requer técicas ão elemetares, como difereciação de séries ifiitas, estudo de covoluções, etc 5 matematica@obmeporgbr

7 Sugestões de Leitura Complemetar 1 A Camiha Tópicos de Matemática Elemetar, Volume 4: Combiatória, 2 a edição SBM, Rio de Jaeiro, P C P Carvalho, A C de O Morgado, P Feradez e J B Pitombeira Aálise Combiatória e Probabilidade SBM, Rio de Jaeiro, R L Graham, D E Kuth e O Patashi Matemática Cocreta: Fudametos para Ciêcia da Computação Editora LTC J P O Satos, M P Mello e I T Murari Itrodução à Aálise Combiatória Rio de Jaeiro, Ciêcia Modera, matematica@obmeporgbr

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto Itrodução

Leia mais

Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA. As Diferentes Médias. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA. As Diferentes Médias. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA As Diferetes Médias Primeiro Ao do Esio Médio Autor: Prof Atoio Camiha Muiz Neto Revisor: Prof Fracisco Bruo Holada Nesta aula, pausamos a discussão de Estatística

Leia mais

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan.

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan. Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a +

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

Desigualdades b n b ) n ( a

Desigualdades b n b ) n ( a Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Álgebra - Nível 3 Prof Atoio Camiha Aula 2 Desigualdades 2 Esta aula é devotada ao estudo de outras desigualdades elemetares importates Para saber mais sobre o material

Leia mais

ARRANJO SIMPLES PROFº: VALDÉCIO FÉLIX. Choquitomóvel

ARRANJO SIMPLES PROFº: VALDÉCIO FÉLIX. Choquitomóvel HC ARRANJO SIMPLES HENRIQUE CASTRICIANO Choquitomóvel PROFº: VALDÉCIO FÉLIX Temos o destio que merecemos. O osso destio está de acordo com os ossos méritos. Albert Eistei ED ESCOLA DOMÉSTICA AGRUPAMENTOS

Leia mais

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros 3. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomial P, a variável x, é toda expressão do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0, ode IN, a i, i = 0,,..., são úmeros reais chamados coeficietes e as parcelas

Leia mais

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética

Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética

Leia mais

Aplicações Diferentes Para Números Complexos

Aplicações Diferentes Para Números Complexos Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferetes Para Números Complexos Capítulo I Cometário Iicial O artigo que aqui apresetamos ão tem como objetivo itroduzir ao leitor o assuto

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL 0 UNIVERIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL MÁRCIO REBOUÇA DA ILVA NÚMERO BINOMIAI: UMA ABORDAGEM COMBINATÓRIA PARA

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Dessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central.

Dessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central. Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe

Leia mais

Análise Combinatória (Regras de Contagem) 2 Princípio Fundamental da Multiplicação

Análise Combinatória (Regras de Contagem) 2 Princípio Fundamental da Multiplicação Uiversidade Federal Flumiese INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Estatística Básica para Egeharia Prof. Mariaa Albi Material de Apoio Assuto: Aálise Combiatória Aálise Combiatória

Leia mais

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1 Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética

Leia mais

Exponenciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares

Exponenciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares Expoeciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Prelimiares Lembremos que, dados cojutos A, B R ão vazios, uma fução de domíio A e cotradomíio B, aotada por, f : A B,

Leia mais

Orientação de trabalho:

Orientação de trabalho: Apoio Matemática Fiita Orietação de trabalho: Cotiue o estudo do Capítulo 1 - secção 1 (pág 37 a 49 do maual Secção 1: Coeficietes biomiais Nesta secção irá apreder/relembrar os coceitos: pricípio de idução

Leia mais

Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 18/12/2012

Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 18/12/2012 Prova Parcial Aluo(a): Data: 8/2/202. (,5p) Use regras de iferêcia para provar que os argumetos são válidos. (usar os símbolos proposicioais idicados): A Rússia era uma potêcia superior, e ou a Fraça ão

Leia mais

DERIVADAS DE FUNÇÕES11

DERIVADAS DE FUNÇÕES11 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos

Leia mais

Solução Comentada Prova de Matemática

Solução Comentada Prova de Matemática 0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

Provas de Matemática Elementar - EAD. Período

Provas de Matemática Elementar - EAD. Período Provas de Matemática Elemetar - EAD Período 01. Sérgio de Albuquerque Souza 4 de setembro de 014 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO. Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação 2011

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO. Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação 2011 Campus Pato Braco Prova Parcial Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 08/04/20. (,5p) Explicar o Paradoxo de Cator. Use como base o seguite: Teorema de Cator: Para qualquer cojuto A, a

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Arranjos e Combinações Simples. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Arranjos e Combinações Simples. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo de Pricípios Básicos de Cotagem Arrajos e Combiações Simples Segudo Ao do Esio Médio Prof Fabrício Siqueira Beevides 1 Arrajos e Combiações O objetivo dessa aula é apresetar os

Leia mais

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),

Leia mais

Probabilidades num jogo aos dados

Probabilidades num jogo aos dados Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Capítulo VIII Distribuição Biomial Probabilidades um jogo aos dados Defiição de uma Distribuição Biomial Propriedades da Distribuição

Leia mais

O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON

O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON por Sadro Matias da Cuha CURITIBA Outubro - 203 O Desevolvimeto do Biômio de Newto Sadro Matias da Cuha Departameto de Matemática - UFPR 0908-980, Curitiba, PR Brasil

Leia mais

Desigualdades Clássicas

Desigualdades Clássicas Desigualdades Clássicas Márcio Nascimeto da Silva 9 de maio de 009 Resumo As desigualdades são de extrema importâcia as ciêcias. Sua utilização vai desde a estimativa de uma gradeza com um certo erro pré-defiido,

Leia mais

A B C A e B A e C B e C A, B e C

A B C A e B A e C B e C A, B e C 2 O ANO EM Matemática I RAPHAEL LIMA Lista 6. Durate o desfile de Caraval das escolas de samba do Rio de Jaeiro em 207, uma empresa especializada em pesquisa de opiião etrevistou 40 foliões sobre qual

Leia mais

Sequências, PA e PG material teórico

Sequências, PA e PG material teórico Sequêcias, PA e PG material teórico 1 SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo cojuto ode cosideramos os seus elemetos colocados, ou dispostos, uma certa ordem. Cosiderado a sequêcia (; 3; 5; 7;...), dizemos que:

Leia mais

XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento 5 Nível 3

XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento 5 Nível 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treiameto 5

Leia mais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço

Leia mais

Um estudo das permutações caóticas

Um estudo das permutações caóticas Um estudo das permutações caóticas Trabalho apresetado como atividade do PIPE a disciplia Matemática Fiita do Curso de Matemática o 1º semestre de 2009 Fabrício Alves de Oliveira Gabriel Gomes Cuha Grégory

Leia mais

O Teorema Fundamental da Aritm etica

O Teorema Fundamental da Aritm etica 8 O Teorema Fudametal da Aritm etica Vimos, o cap ³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os blocos usados para costruir, atrav es de produtos, todos os iteiros positivos maiores

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

Módulo Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. 2 ano/e.m.

Módulo Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. 2 ano/e.m. Módulo Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal Desenvolvimento Multinomial. 2 ano/e.m. Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1.

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 11

Sumário. 2 Índice Remissivo 11 i Sumário 1 Esperaça de uma Variável Aleatória 1 1.1 Variáveis aleatórias idepedetes........................... 1 1.2 Esperaça matemática................................. 1 1.3 Esperaça de uma Fução de

Leia mais

CO-SENOS EXPRESSÁVEIS COM RADICAIS REAIS

CO-SENOS EXPRESSÁVEIS COM RADICAIS REAIS CO-SENOS EXPRESSÁVEIS COM RADICAIS REAIS Rafael Afoso Barbosa Bolsista do programa PETMAT - Faculdade de Matemática - Uiversidade Federal de Uberlâdia Atoio Carlos Nogueira Professor Doutor da Faculdade

Leia mais

COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 2. Lembrando... II. K = x K = (7 2 ) x K = x

COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 2. Lembrando... II. K = x K = (7 2 ) x K = x Matemática aula COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Pelo algoritmo da divisão, temos: I. q + r II. + ( + 3) q + r + q+ r+ 3q + + 3q q 7 5. N 5. 8 x N 5. 3x Número de divisores ( + )(3x + ) 3x + 7 x um úmero

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 1

Matemática E Extensivo V. 1 Extesivo V. 0) a) r b) r c) r / d) r 7 0) A 0) B P.A. 7,,,... r a + ( ). a +. + 69 a 5 P.A. (r, r, r ) r ( r + r) 6r r r r 70 Exercícios 05) a 0 98 a a a 06) E 07) B 08) B 7 0 0; 8? P.A. ( 7, 65, 58,...)

Leia mais

Aula 3 : Somatórios & PIF

Aula 3 : Somatórios & PIF Aula 3 : Somatórios & PIF Somatório: Somatório é um operador matemático que os permite represetar facilmete somas de um grade úmero de parcelas É represetado pela letra maiúscula do alfabeto grego sigma

Leia mais

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas),

Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas), A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. Soluções. Progressões Aritméticas ) O aumeto de um triâgulo causa o aumeto de dois palitos.logo, o úmero de palitos costitui uma progressão aritmética de razão. a a +(

Leia mais

Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita

Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita Iduzido a um bom etedimeto do Pricípio da Idução Fiita Jamil Ferreira (Apresetado a VI Ecotro Capixaba de Educação Matemática e utilizado como otas de aula para disciplias itrodutórias do curso de matemática)

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA. Gabarito da Prova 2 a fase de 2008 Nível 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA. Gabarito da Prova 2 a fase de 2008 Nível 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA XI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA SANTA CATARINA - UFSC Gabarito da Prova a fase de 008 Nível 3. Seja N a a a a

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na FGV

CPV O cursinho que mais aprova na FGV O cursiho que mais aprova a FGV FGV ecoomia a Fase 0/dezembro/00 MATEMÁTICA 0. Se P é 0% de Q, Q é 0% de R e S é 0% de R, etão P S é igual a: 0 c 0. Dado um petágoo regular ABCDE, costrói-se uma circuferêcia

Leia mais

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres-

Em linguagem algébrica, podemos escrever que, se a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) é uma Progres- MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Geométrica I) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Progressão Geométrica é uma sequêcia de elemetos (a, a 2, a 3,..., a,...) tais que, a partir

Leia mais

S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números

S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S Prof. Beito Frazão Pires Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros a, a 2,..., a,... ) deomiados termos da sequêcia: a é o primeiro termo, a 2 é o segudo termo e assim

Leia mais

arxiv: v1 [math.ho] 3 Sep 2014

arxiv: v1 [math.ho] 3 Sep 2014 Álbum de figurihas da Copa do Mudo: uma abordagem via Cadeias de Markov Leadro Morgado IMECC, Uiversidade Estadual de Campias arxiv:409.260v [math.ho] 3 Sep 204 Cosiderações iiciais 6 de maio de 204 Com

Leia mais

Taxas e Índices. Ana Maria Lima de Farias Dirce Uesu Pesco

Taxas e Índices. Ana Maria Lima de Farias Dirce Uesu Pesco Taxas e Ídices Aa Maria Lima de Farias Dirce Uesu esco Itrodução Nesse texto apresetaremos coceitos básicos sobre ídices e taxas. Embora existam aplicações em diversos cotextos, essas otas utilizaremos

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a

Leia mais

Limite, Continuidade e

Limite, Continuidade e Módulo Limite, Cotiuidade e Derivação Este módulo é dedicado, essecialmete, ao estudo das oções de limite, cotiuidade e derivabilidade para fuções reais de uma variável real e de propriedades básicas a

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br O PROBLEMA DA ÁREA O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b,

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios

Leia mais

XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Algumas Técnicas com Funções Geratrizes. Davi Lopes

XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Algumas Técnicas com Funções Geratrizes. Davi Lopes XIX Semaa Olímpica de Matemática Nível U Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes O projeto da XIX Semaa Olímpica de Matemática foi patrociado por: Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes

Leia mais

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança):

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança): Estimação por Itervalo (Itervalos de Cofiaça): 1) Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal: Muitas vezes, para obter-se a verdadeira média populacioal ão compesa fazer um levatameto a 100% da população

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por

3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos

Leia mais

GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shine, Colégio Etapa

GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shine, Colégio Etapa GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shie, Colégio Etapa Nível Itermediário.. GRAFOS. O que são e para que servem grafos? Defie-se grafo como o par (V, A) ode V = {v, v,...,v } é um cojuto de vértices e

Leia mais

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição;

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição; CÁLCULO I Prof Edilso Neri Júior Prof Adré Almeida Aula o 9: A Itegral de Riema Objetivos da Aula Deir a itegral de Riema; Exibir o cálculo de algumas itegrais utilizado a deição; Apresetar fuções que

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais Tarefa º. Desta figura, do trabalho da Olívia e da Susaa, retire duas sequêcias e imagie o processo

Leia mais

Sequências Reais e Seus Limites

Sequências Reais e Seus Limites Sequêcias Reais e Seus Limites Sumário. Itrodução....................... 2.2 Sequêcias de Números Reais............ 3.3 Exercícios........................ 8.4 Limites de Sequêcias de Números Reais......

Leia mais

... Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial.

... Newton e Leibniz criaram, cada qual em seu país e quase ao mesmo tempo, as bases do cálculo diferencial. DERIVADAS INTRODUÇÃO O Cálculo Diferecial e Itegral, criado por Leibiz e Newto o século XVII, torou-se logo de iício um istrumeto precioso e imprescidível para a solução de vários problemas relativos à

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,

Leia mais

n ) uma amostra aleatória da variável aleatória X.

n ) uma amostra aleatória da variável aleatória X. - Distribuições amostrais Cosidere uma população de objetos dos quais estamos iteressados em estudar uma determiada característica. Quado dizemos que a população tem distribuição FX ( x ), queremos dizer

Leia mais

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...

( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,... Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada

Leia mais

Aula 4 - Desigualdades I

Aula 4 - Desigualdades I Murilo Vascocelos Adrade 7 de Fevereiro de 05 Itrodução A partir de agora partiremos para técicas meos gerais de resoluções de problemas. Etrado o mudo da álgebra, começamos com desigualdades. A razão

Leia mais

4 Teoria da Probabilidade

4 Teoria da Probabilidade 48 4 Teoria da Probabilidade Apresetam-se este capítulo coceitos de probabilidade e de estimação de fuções desidade de probabilidade ecessários ao desevolvimeto e compreesão do modelo proposto (capítulo

Leia mais

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 Mat-15/ Cálculo Numérico/ Departameto de Matemática/Prof. Dirceu Melo LISTA DE EXERCÍCIOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL A aproximação de fuções por poliômios é uma das ideias mais atigas da aálise umérica,

Leia mais

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição

Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas. 6 6.. Distribuição limite 63 6.3. Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um

Leia mais

Considerando que os triângulos são todos semelhantes, os perímetros formam uma PG de razão 1.

Considerando que os triângulos são todos semelhantes, os perímetros formam uma PG de razão 1. Resposta da questão : [B] Tem-se que t at = habitates e bt Resposta da questão : [D] PA a; a + r; a + r; a + 3r; a + 4r; a + 5r; a + 6r ( ) ( ) PG a; a + r; a + 6r; q = a + 6r a + r = a + r a + 4ar + 4r

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

FORMA TRIGONOMÉTRICA. Para ilustrar, calcularemos o argumento de z 1 i 3 e w 2 2i AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS

FORMA TRIGONOMÉTRICA. Para ilustrar, calcularemos o argumento de z 1 i 3 e w 2 2i AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS 145 AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS FORMA TRIGONOMÉTRICA Argumeto de um Número Complexo Seja = a + bi um úmero complexo, sedo P seu afixo o plao complexo. Medido-se o âgulo formado pelo segmeto OP (módulo

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +

Leia mais

Elementos de Matemática

Elementos de Matemática Elemetos de Matemática Números Complexos e Biomiais: Exercícios - 2007 Versão compilada o dia de Outubro de 2007. Departameto de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(auel(ptbr Matemática Essecial:

Leia mais

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima

Leia mais

Sucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.

Sucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r. Sucessões Defiição: Uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação u do cojuto dos úmeros iteiros positivos,, o cojuto dos úmeros reais,. A expressão u que associa a cada a sua imagem desiga-se por termo

Leia mais

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A. MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto

Leia mais

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da Fução Expoecial

Leia mais

UMA CONEXÃO ENTRE BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADE

UMA CONEXÃO ENTRE BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - UFBA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - IME SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - SBM MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Leia mais

MAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 2

MAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 2 MAE 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista Professor: Pedro Moretti Exercício 1 Deotado por Y a variável aleatória que represeta o comprimeto dos cilidros de aço, temos que Y N3,

Leia mais

MATEMÁTICA II. 01. Uma função f, de R em R, tal. , então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais. que. D) c =

MATEMÁTICA II. 01. Uma função f, de R em R, tal. , então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais. que. D) c = MATEMÁTCA 0. Uma fução f, de R em R, tal que f(x 5) f(x), f( x) f(x),f( ). Seja 9 a f( ), b f( ) e c f() f( 7), etão podemos afirmar que a, b e c são úmeros reais, tais que A) a b c B) b a c C) c a b ab

Leia mais

Teorema Fatoração Única. Todo inteiro pode ser representado de modo único como o produto de números primos distintos, a menos da ordem dos fatores.

Teorema Fatoração Única. Todo inteiro pode ser representado de modo único como o produto de números primos distintos, a menos da ordem dos fatores. Pricipio de Dirichlet ou da casa dos pombos. Se mais de objetos (pombos) são dispostos em classes (casas de pombo), pelo meos uma das classes (casas de pombo) possui mais de um objeto (pombo). Pricípio

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do 2 ō Teste - LEIC

Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do 2 ō Teste - LEIC Cálculo Diferecial e Itegral I Resolução do ō Teste - LEIC Departameto de Matemática Secção de Àlgebra e Aálise I.. Determie o valor dos seguites itegrais (i) e x se x dx x + (ii) x (x + ) dx (i) Visto

Leia mais

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA AULA 6 Radiciação Profe. Kátia RADICIAÇÃO Radiciação é a operação iversa da poteciação. Realizamos quado queremos descobrir qual o úmero que multiplicado por ele mesmo uma

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS FACET DIONISIO NOGUEIRA NETO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS FACET DIONISIO NOGUEIRA NETO UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS FACET DIONISIO NOGUEIRA NETO O USO DE FUNÇÕES GERADORAS NO ENSINO MÉDIO PARA ARTICULAR CONTÉUDOS VARIADOS EM ANÁLISE

Leia mais

12. Taxa de variação Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taxa de variação.

12. Taxa de variação Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taxa de variação. Egearia Mecâica. Taa de variação Muitos coceitos e feômeos físicos, ecoômicos, biológicos, etc. estão relacioados com taa de variação. Defiição : Taa de variação média. Cosidere variável idepedete e y

Leia mais

Colégio FAAT Ensino Fundamental e Médio

Colégio FAAT Ensino Fundamental e Médio Colégio FAAT Esio Fudametal e Médio Coteúdo: Recuperação do 4 Bimestre Matemática Prof. Leadro Capítulos 0 e : Probabilidade. Adição e multiplicação de probabilidades. Biômio de Newto. Número Biomial.

Leia mais

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Prof Dr José Augusto Baraauskas DFM-FFCLRP-USP A Aálise de Algoritmos é um campo da Ciêcia da Computação que tem como objetivo o etedimeto da complexidade dos

Leia mais

Prof. Rafael A. Rosales 24 de maio de Exercício 1. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto formado por n elementos?

Prof. Rafael A. Rosales 24 de maio de Exercício 1. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto formado por n elementos? USP-FFCLRP Fudametos de Matemática DCM Iformática Biomédica Prof. Rafael A. Rosales 24 de maio de 20 Combiatória Exercício. De quatas maeiras é possível ordear um cojuto formado por elemetos? Exercício

Leia mais

BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição

BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1 a Edição Rio Grade 2017 Uiversidade Federal do Rio Grade - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO

Leia mais

CUFSA - FAFIL. Análise Combinatória (Resumo Teórico)

CUFSA - FAFIL. Análise Combinatória (Resumo Teórico) A) CONCEITOS: CUFSA - FAFIL Aálise Combiatória (Resumo Teórico) Regras Simles de Cotagem: é a maeira de determiar o úmero de elemetos de um cojuto. Na maioria das vezes é mais imortate cohecer a quatidade

Leia mais