Uma Generalização dos Coeficientes Trinomiais

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1 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., 207. Trabalo apresetado o CNMAC, Gramado - RS, 206. Proceedig Series of te Brazilia Society of Computatioal ad Applied Matematics Uma Geeralização dos Coeficietes Triomiais Kêia Cristia Pereira Silva Istituto Federal de São Paulo-IFSP, Hortolâdia/SP Ele Viviai Pereira Spreafico 2 Istituto de Matemática-INMA, UFMS, Campo Grade/MS Cecília Pereira Adrade Istituto Federal de São Paulo-IFSP, Campias/SP Resumo. Este trabalo apreseta uma iterpretação combiatória, em termos de partição, para a sequêcia dos úmeros pares e resultados relacioados a uma geeralização dos coeficietes triomiais. Palavras-cave. Iterpretações combiatórias, Coeficietes triomiais, Partições. Itrodução Em 894, L.J Rogers descobriu um par de idetidades que, mais tarde, passaram a se camar Idetidades de Rogers-Ramaua. Durate a primeira metade de Século XX vários matemáticos icluido Rogers, F.H. Jacso e W. N. Bailey descobriram idetidades que, a forma, assemelam-se às de Rogers-Ramaua. Em sua tese de doutorado, L. J. Slater alua de Bailey apresetou uma lista de 0 idetidades do tipo Rogers- Ramaua. Em 986 Adrews apresetou um algoritmo através do qual geeralizações poliomiais de Idetidades do tipo Rogers-Ramaua podem ser obtidas. Em [5] foram apresetadas ovas iterpretações combiatórias para algumas sequêcias a partir de ideias dadas por Adrews em [2], e resultados dados por Satos em []. As sequêcias iterpretadas icluem os úmeros de Fiboacci, os úmeros de Pell e os úmeros de Jacobstal em termos de partição. Esse trabalo apreseta aida coecturas para os termos gerais das sequêcias e algumas idetidades provadas bietivamete. No cálculo da fórmula para o termo geral da sequêcia ecotrada usado o Método de Adrews com f 2 q, t, um ovo istrumeto de cotagem foi ecotrado, que difere do coeficiete triomial por ão ter a variação de sial. Foi apresetada em [7], uma iterpretação em termos de camio reticulado para tal coeficiete, osso obetivo é apresetar resultados relacioados a esta geeralização dos coeficietes triomiais. keia@ifsp.edu.br, 2 ele.spreafico@ufms.br cecilia.adrade@ifsp.edu.br DOI: / SBMAC

2 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., Defiições Uma partição de um iteiro é uma sequêcia ão crescete de iteiros positivos λ, λ 2 λ k, tal que k i λ i. Notação de q-séries: a a; q 0 ode é um iteiro positivo, a e q úmeros complexos aq aq + a aq... aq, lim a; q a; q a para q <. Os poliômios Gaussiaos são defiidos como a seguir: aq, 2 0 [ m ] q q q m q m, 0 m 0, caso cotário. Estes poliômios são coecidos como q-aálogos dos úmeros biomiais, o que sigifica que o limite quado q tede a de é m! m!m!. 4 Os coeficietes de x + a expasão de + x + x 2 são camados de coeficietes triomiais e são dados por: Do mesmo modo que os poliômios Gaussiaos, a expressão seguite represeta um q-aálogo dos coeficietes triomiais: J,, q 0 q 2 [ ] q 2 [ 2 2 ] q 2. 6 Defie-se T, k como o úmero de camios reticulados de 0, 0 até, 2k, usado passos U,, D, e, em íveis pares também H 2, 0. A fução geradora para T 2, k é dada por + x + x 2. [ [7], A02674.] DOI: / SBMAC

3 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., 207. Idetidade 2 Em [6] a Idetidade 2 é dada por: 0 q 2 q 2 ; q 2 q; q2 q 2 ; q 2 q 6 ; q 6 q 4 ; q 6 q 2 ; q 6. 7 O Método de Adrews sugere a iserção de um parâmetro t o somatório, de maeira coveiete, para se obter uma equação fucioal e uma relação de recorrêcia, que é o obeto cetral das iterpretações combiatórias. Para a Idetidade 2 a fução utilizada foi f 2 q, t dada por f 2 q, t Que resulta a equação fucioal: E a relação de recorrêcia: 0 t q 2 t; q tf 2 q, t tqf 2 q, tq 2. 9 P 0 ; P q q 2 P. 0 Satos apresetou em [] uma fórmula para esta família de poliômios: P q Calculado o limite: No qual resulta de q J,, q lim P q q 0 lim J,, q q q J,, q ,. 4 Substituido q em 0, obtém-se P 2. De ode é possível cegar a uma ova fórmula para a sequêcia dos úmeros pares, em termos do ovo coeficiete DOI: / SBMAC

4 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., Iterpretação Combiatória A iterpretação combiatória para P q é feita usado f 2 q, t, dada por: 0 t q 2 t; q 2 + t + t q 2 tq 2 tq 2. 6 Observado que , tem-se o umerador todos os ímpares de até 2 aparecedo exatamete uma vez, e o deomiador os pares irrestritos, com maior parte podedo ser 2. Com essas observações e levado em cosideração o fator / t, é possível euciar o seguite teorema: Teorema.. O úmero de partições ode os ímpares de até o maior ímpar aparecem exatamete uma vez, e a maior parte pode ser o máximo um a mais do que o maior ímpar, em até N partes, é igual a 2 N. A Tabela ilustra o Teorema. para pequeos valores de N. Tabela : Ilustração do Teorema para f 2 q, t. Partições descritas o Teorema. N 2 N ; ; ; 4 + +, ; ; ; ; ; ; ; Muitas iterpretações como esta foram feitas em [5] para a sequêcia de Fiboacci, Pell, Jacobstal, outras dispoíveis em [7] e para coeficietes de séries de potêcias para algumas fuções. 4 Coeficiete No texto o ovo coeficiete foi deotado por e tem termo geral:. 7 Um triâgulo foi costruído com este coeficiete, cada lia represeta um valor fixo de e as coluas se devem a variação de. DOI: / SBMAC

5 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., Existem iterpretações para as diagoais deste triâgulo, da direita para a esquerda a primeira diagoal é formada apeas por s, a seguda diagoal é formada por múltiplos de, ou sea: ;. 8 A diagoal, cuos primeiros termos são,, 0, 58, 95, 4, é descrita em [ [7], 9 7 A05682] pelos úmeros edecagoais que são da forma. Eles são ecotrados 2 ao se escrever os úmeros 0,, 2,, 4, em uma espiral triagular. A sequêcia dada represeta os valores presetes a mesma lia, e à direita do 0. Esta diagoal pode ser descrita como: 9 7 ; A colua cetral deste triâgulo tem os primeiros termos dados por,,, 45, 95, 87, e é descrita em [ [7], A02675], com termo geral dado por: 2k a T 2,. 20 k k k0 A igualdade T 2, é estabelecida como corolário do Teorema 4.. Teorema 4.. Demostração: + x + x 2 x x+x 2 [+x 2 +x] 0 [+x 2 ] x 0 +x 2 2 x DOI: / SBMAC

6 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., [ 2 2 k0 x ] 2 2 x 2 2 k k x x k x k0 x k x k Ao substituirmos k, observado que varia de 0 até e k de 0 até 2 2, podemos cocluir que irá variar de até. Seguem dois corolários importates. Corolário 4.. Corolário 4.2. T 2, Reescrevedo a fução geradora + x + x 2 x x + + x, ecotra-se um fato que pode ser visualizado o triâgulo,. 24 Da seguite igualdade foi possível ecotrar a relação para costrução do triâgulo. x + + x x + + xx + + x. 25 Isso sigifica que o coeficiete de x a expasão de x + + x é igual a soma do coeficiete de x com o triplo do coeficiete de x e o coeficiete de x + a expasão de x + + x. Ou sea, Em [5] várias coecturas que evolvem esse coeficiete foram apresetadas, mas aida cabe buscar uma iterpretação combiatória. 5 Coclusões Este estudo buscou apresetar características de uma geeralização dos úmeros triomiais, coeficiete ecotrado durate o trabalo com iterpretações combiatórias. Foi possível iterpretá-lo como a quatidade de certos tipos de camio, mas aida é possível pesar em uma iterpretação mais próxima da feita para os úmeros biomiais e triomiais. DOI: / SBMAC

7 Proceedig Series of te Brazilia Society of Applied ad Computatioal Matematics, Vol. 5, N., Referêcias [] C. P. Adrade, J. P. O. Satos, E. V. P. Silva, K. C. P. Silva. Polyomial Geeralizatios ad Combiatorial Iterpretatios for Sequeces Icludig te Fiboacci ad Pell Numbers. Ope Joural of Discrete Matematics, 20,,25-2. [2] G. E. Adrews. Combiatorics ad Ramaua s lost otebook. Lodo Mat. Soc. Lecture Note Series, No. 0, Cambridge Uiv. Press, Lodo, 985, pp. -2. [] J. P. O. Satos. Computer Algebra ad Idetities of te Rogers-Ramaua Type. P.D. tesis, Pesylvaia State Uiversity, 99. [4] J. P. O. Satos. O te Combiatorics of Polyomial Geeralizatios of Rogers- Ramaua Type Idetities. Discrete Matematics : [5] K. C. P. Silva. Sobre questões de combiatória evolvedo os úmermos de Fiboacci, Pell e Jacobstal Tese de Doutorado, IMECC-UNICAMP, Campias, 204. [6] L. J. Slater. Furter Idetities of te Rogers-Ramaua Type. Proc. Lodo Mat. Soc : [7] N. J. A. Sloae Te O-lie Ecyclopedia of Iteger Sequeces, publised eletroically at ttps://oeis.org/. DOI: / SBMAC