Bernstein. Medeiros, Heloisa Menezes, M. Lucia

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1 Uiversidade Estadual de Marigá - Departameto de Matemática Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 20 aos c Publicação Eletrôica do KIT Aproximação de fuções: poliômios de Berstei Medeiros, Heloisa B.(medeiros@mat.uff.br) Meezes, M. Lucia (meezes@mat.uff.br) Rua Mário Satos Braga s/ Valoguiho Niteroi Rio de Jaeiro -RJ Resumo: Esse artigo foi origialmete publicado como um artigo do Projeto Klei. Detro desse cotexto, se propõe a apresetar de forma leve e resumida os famosos Poliômios de Berstei, muito usados para aproximar fuções. O texto se isere o paorama da aálise umérica fazedo algumas cosiderações sobre os aspectos positivos e egativos dessa aproximação. Também apreseta um esboço da demostração de covergêcia desses poliômios, apresetada pelo próprio Berstei, cometado sobre a possibilidade de sua utilização em uma demostração costrutiva do Teorema de Weirstrass. Palavras-chave: Poliômios de Berstei. Aproximação de fuções. Covergêcia uiforme. Sumário 1 Itrodução 1 2 Os Poliômios de Berstei 2 3 Coclusão 6 1 Itrodução Quado usamos alguma máquia para esboçar um gráfico ou determiar um valor como e 2, ão os ocorre pergutar como são feitos os cálculos ou quão exatos são. Todavia, um sem úmero de pesquisas vem sedo desevolvido para que estas iformações sejam mais precisas e obtidas com maior rapidez.

2 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 2 O surgimeto dos processadores (em meados do século XX) colocou para a Matemática uma série de questões sobre como represetar e calcular valores e fuções. Em lihas gerais, sabemos que um processador só é capaz de fazer somas algébricas de modo que todos os cálculos, em última aálise, devem se remeter a este tipo de operação. Produtos podem ser efetuados utilizado somas e, cosequetemete, operações como elevar um valor a um úmero iteiro podem ser executadas. A possibilidade de calcular x tora o uso de poliômios uma ferrameta importatíssima em cálculos realizados por máquias. Por exemplo, para calcular 3 pode ser coveiete usar um procedimeto padrão (como método de Newto ou bisseção) para resolver x 2 3 = 0. Nem sempre se pode reduzir o problema ao cálculo da raiz de um poliômio, mas são muitos os usos dos poliômios os compiladores, máquias de calcular e softwares em geral. Um recurso utilizado em ampla escala é a aproximação de fuções por poliômios. Eleger o método específico a ser usado depede muito das circustâcias. A aproximação deve ser feita em um úico poto, ou em um itervalo? Qual o erro máximo que queremos? Qual o processador dispoível? Que valor ou fução deve ser aproximado? A aproximação deve ter sesibilidade suficiete para captar sigularidades isoladas? Detre os métodos possíveis, para fuções cotíuas, os poliômios de Berstei se destacam por oferecerem uma aproximação uiforme. Como sempre, existe um preço a ser pago: a covergêcia ão é muito rápida, quado comparada a outros métodos de aproximação poliomial. Mesmo assim, são de grade utilidade os casos em que se ecessita aproximar uma fução em todo um itervalo como, por exemplo, o esboço de um gráfico. Vale, aida, otar que os poliômios de Berstei forecem uma belíssima demostração costrutiva do Teorema de aproximação de Weierstrass. Em todo este texto, f (x) será uma fução cotíua o itervalo [0, 1]. 2 Os Poliômios de Berstei Para defiir os poliômios de Berstei, lembramos da fórmula biomial: (a + b) = ( ) a j b j (2.1) j ( ) Escolhemos agora a = x, b = 1 x e defiimos β j (x) := x j (1 x) j, j = j 0, 1,,. Dividimos o itervalo [0, 1] em subitervalos, de igual tamaho, [x j, x j+1 ], j = 0,, 1, de modo que x j = j. Avaliamos f (x j) em cada poto e, com estas

3 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 3 costates, defiimos o poliômio de Berstei de grau da fução f (x) como: B ( f ; x) := f (x j )β j (x) (2.2) Observamos que o cojuto {B j (x)}, j = 0,,, forma uma base para o espaço vetorial de poliômios de grau meor ou igual à, e o poliômio de Berstei é uma combiação liear dos elemetos desta base. Para verificar isso, ão é difícil ver que cada um dos elemetos da base caôica {1, x, x 2,, x } pode ser escrito como combiação liear dos B j (x). As curvas de Bézier, bem familiares aos que usam softwares gráficos, também são formadas como combiação liear de elemetos desta base, embora Bézier e Berstei teham chegado aos seus resultados de forma idepedete. A figura 1 ilustra algumas características da aproximação obtida pelos poliômios de Berstei. Nos dois casos, o deseho apreseta o gráfico da fução e os gráficos dos poliômios de Berstei de graus 4, 8, 12 e 16. Primeiro, observamos que, diferetemete de outras aproximações poliomiais, o poliômio de Berstei de grau, em geral, ão coicide com a fução em um úmero de potos; ademais, mesmo quado a fução é um poliômio de grau, o -ésimo poliômio de Berstei ão é a própria fução (como seria, por exemplo, o caso do poliômio de Taylor). Não é difícil verificar que f (1) = B ( f ; 1) e f (0) = B ( f ; 0), o que está ilustrado os gráficos. Todavia, a propriedade que queremos ressaltar aqui é que a velocidade de covergêcia será maior, se a variação da fução for mais suave. Em ambos os casos, a imagem da fução, como cojuto, é essecialmete a mesma e as propriedades gerais da curva também (isto é: é cotíua, assume um úico poto de máximo, possui um poto de iflexão, etc). Mas, o gráfico da esquerda, a variação a vizihaça do poto de máximo é bem mais brusca. Não é difícil ver que o erro obtido as aproximações (de mesmo grau) pelos poliômios, a vizihaça do poto de máximo, é maior o primeiro caso. Este comportameto pode ser etedido observado propriedades das duas fuções. Como a teoria está sedo desevolvida para fuções cotíuas (classe C 0 ), grau de difereciabilidade ão é uma hipótese que se queira utilizar, a pricípio, para medir suavidade de variação. Figura 1: O gráfico da fução é a curva sólida e as outras curvas são os poliômios de Berstei de grau 4, 8, 12 e 16.

4 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 4 O coceito mais importate, por ora, é o de módulo de cotiuidade de uma fução. Trata-se, grosso modo, de uma medida do quão cotíua uma fução é. Para fazer esta medida, subdividimos o itervalo [0, 1] em subitervalos de tamaho δ. Em cada um deles, medimos o maior salto de f e escolhemos o maior destes valores. Formalmete: O módulo de cotiuidade, em relação à δ, de uma fução f (x) o itervalo [0, 1], aqui deotado por w( f ; δ) é defiido como sedo: w( f ; δ) = sup f (x) f (x ) x, x [0, 1] x x δ O Teorema 2.1 a seguir forece uma estimativa da velocidade de covergêcia da aproximação obtida pelos poliômios de Berstei, quado aumeta. A demostração do Teorema é bastate técica e pode ser vista em [5]. Teorema 2.1. Se f (x) é uma fução cotíua em [0, 1], para todo x [0, 1], tem -se f (x) B ( f ; x) 9 4 w( f ; 1 ). Pelo gráfico, ão é difícil ver que, para um mesmo δ, o módulo de cotiuidade da fução é maior o gráfico da esquerda. A estimativa dada o teorema 2.1 pode ser melhorada, depededo das propriedades da fução, especialmete se houver algum grau de difereciabilidade, em que pese ão se coseguir estimativas exceletes. A partir do Teorema 2.1 podemos costruir poliômios que aproximam qualquer fução cotíua uiformemete. A existêcia de tais poliômios foi mostrada por Weierstrass o fial do século XIX, que ão os costruiu, todavia. Usado o teorema aterior e tomado suficietemete grade para termos 9 4 w( f ; 1 ) < 4ɛ δ, obtém-se uma demostração costrutiva dos resultados de Weierstrass. Como estamos falado de aproximações poliomiais que ão evolvem iterpolações, julgamos coveiete uma rápida comparação com a mais famosa delas (para fuções de classe C k ): os poliômios de Taylor. Nas figuras 2, está o gráfico da fução f (x) = se 2 (2π(x 1/2)), de seu poliômio de Taylor de grau 4 em toro de 0, 5 e de seu poliômio de Berstei de grau 4. Do lado esquerdo colocamos o detalhe da figura, restrigido os valores de x; do lado direito, aparecem os gráficos em todo o itervalo [0, 1]. Chama ateção o fato de que a aproximação do poliômio de Taylor, muito boa a vizihaça em toro do qual é calculado (0, 5), tem um erro muito maior, quado os afastamos deste poto. Em geral, pode-se esperar este comportameto, embora existam exceções.

5 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 5 Figura 2: Poliômio de Berstei (potilhado) poliômio de Taylor (tracejado). A costrução dos poliômios de Berstei pode se torar mais atural quado pesamos em teoria das probabilidades, como em [7]. Vamos imagiar que existe um experimeto cujo resultado pode ter apeas as possibilidades A ou B e que A ocorre com probabilidade x, de modo que a probabilidade da ocorrêcia de B será (1 x). Em experimetos, a probabilidade do resultado ser A, j vezes (e B, ( j) vezes), será x j (1 x) ( j). j ocorrêcias de A podem vir em ( j ) ordes diferetes e, assim, a probabilidade de termos j A s e ( j) B s, em qualquer ordem, será: ( j )xj (1 x) ( j). Uma cota permite verificar que : ( ) j + 1 x β j (x) = j 1 x β,j 1(x) (2.3) Para cada x, olhamos β j (x) como fução de j e, da equação 2.3, verificamos que : β j (x) > β.j 1 (x) sse j < ( + 1)x. Refraseado, Para x e fixos, βj(x) terá um máximo quado j = j x = [( + 1)x], ode [( + 1)x] é o maior iteiro meor ou igual a ( + 1)x, e estimamos j x x. Assim, β j (x) cresce se j < j x e decresce se j > j x. Logo, o somatório da defiição de B ( f ; x), os termos referetes aos valores de j loge de j x são muito pequeos equato a cotribuição dos outros termos é relevate. Vamos defiir J := {j tais que j está próximo de j x }. Dividimos o somatório em duas partes: ode B ( f ; x) = f (x j )β j (x) = S 1 (x) + S 2 (x) S 1 (x) = S 2 (x) = j J Desprezamos o segudo somatório porque seus termos são pequeos. Quato ao primeiro, observamos que x j = j e que, em S 1, j está próximo de j x x. Se for suficietemete grade, j próximo de j x implicará x j = j próximo de j x = x jx. Como f é cotíua, x j perto de x jx implicará f (x j ) próximo de f (x jx ). Mas, f (x jx ) = f ( j x ) f ( x ) f (x). Assim, escrevemos S 1 f (x)β j (x). Mas ((x +

6 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 6 (1 x)) = β j (x) = 1 e, como estamos desprezado os termos β j em S 2, somos tetados a cosiderar S 1 f (x)β j (x) = f (x) β j (x) f (x) e teremos, etão, lim B ( f ; x) = f (x). Torar este argumeto preciso (isto é,formalizar o argumeto para demostrar a covergêcia) exige um pouco mais de suor e cotas e pode ser visto em [7]. 3 Coclusão Aproximações uméricas de fuções são um tópico fasciate e são muitos os estudos em desevolvimeto sobre o tema. Os poliômios de Berstei, tratados aqui, são mais usados o esboço de gráficos. Foram propostos por um matemático ucraiao, Sergei Nataovich Berstei (falecido em 1968), que cotribuiu com diversos resultados importates para o desevolvimeto da matemática. Itimamete relacioadas aos poliômios de Berstei são as curvas de Bézier, defiidas ( ) por um grau t j (1 t) j P j j. e ( + 1) potos de cotrole P 0, P 1,..., P, dada por B (t) = Essas curvas foram estudadas por Paul de Casteljau (físico e matemático da Citroe) que desevolveu um algoritmo para obtê-las e por Pierre Bézier (um egeheiro e matemático da Reault) que as pateteou e as utilizou para desehar automóveis, veja [3]. Os gráficos esboçados aqui foram feitos com o software Maple. São iúmeros os trabalhos sobre poliômios de Berstei e aqui selecioamos algus dado preferêcia à facilidade de acesso. Um resumo, em português, pode ser visto em [8]. No sítio de buscas virtuais de e-books [1] é possível ecotrar diversos textos em formato pdf sobre os poliômios de Berstei. Citamos em particular [6] e [7], ode defiições e propriedades dos poliômios são bastate explorados. A demostração do Teorema 2.1 pode ser vista em [5] ode também se ecotra um tratameto clássico e muito bem feito sobre aproximação umérica de fuções. A demostração do Teorema de Weierstrass, usado os poliômios de Berstei pode ser ecotrada em [4] ou em [2]. Referêcias [1] 6 [2] Sergei Berstei. Démostratio du théorème du Weierstrass fodé sur le calcul des probabilités. Reprodução da demostração origial de Berstei (em fracês). Dispoível em 6

7 c KIT Cálculo Diferecial e Itegral: um KIT de Sobrevivêcia 7 [3] Bill Cassema. From Bézier to Berstei. Web em 11/2008. Dispoível em 6 [4] Alex Alves Detamaro e Daiela Mariz Silva Vieira. Teorema de Aproximação de Weierstrass. Web em 15/11/2010. Dispoível em 6 [5] Eugee Isaacso ad Herbert B. Keller. Aalysis Of Numerical Methods. Joh Wiley & Sos, , 6 [6] Keeth I. Joy. Berstei Polyomials. Web em 10/12/2010. Dispoível em keyword-berstei-polyomial/bersteipolyomials.html. O-Lie Geometric Modelig Notes. Visualizatio ad Graphics Research Group, Departmet of Computer Sciece. Uiversity of Califoria, Davis. 6 [7] George M. Phillips. Iterpolatio ad Approximatio by Polyomials. Spriger, 1 st editio, Capítulo sobre poliômios de Berstei. Dispoível em keyword-berstei-polyomial/bersteipolyomials.html em dez , 6 [8] Wikipedia. Poliômios de berstei. Web em 15/11/2010. Dispoível em de Berstei,. 6