Precificação de opções flexíveis com barreiras por meio de árvores binomiais

Transcrição

1 Artigo técico Precificação de opções flexíveis com barreiras por meio de árvores biomiais Rudii Meezes Sampaio Edso Costa Bigotto Neste artigo, apreseta-se metodologia de precificação para diversos tipos de opções flexíveis com barreiras, que utiliza o modelo de árvores biomiais de Cox, Ross e Rubistei e o coceito de reflexão estocástica sobre cadeias de Markov. Descreve-se também a aplicação desse método sobre opções flexíveis com limitadores cap ou floor e barreiras kock-i, kock-out e combiações. Itrodução Na Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F), existem cotratos de opções flexíveis de compra ou veda sobre Ibovespa e dólar. Com o objetivo de reduzir riscos de mercado e oferecer mais estratégias de hedge, esses cotratos permitem a escolha do tipo da opção européia ou americaa e o uso de barreiras kocki e kock-out e de limitador de preço de exercício da opção (cap ou floor). Com relação às barreiras, são admitidas combiações de, o máximo, dois tipos distitos. Ou seja, barreira dupla kock-i ou dupla kockout são proibidas. Na bibliografia especializada, costata-se a escassez de modelos eficietes para precificar a maioria das opções com combiações de barreiras. Apesar de o método de Mote Carlo ser comumete utilizado, tem sua covergêcia discutível, além de requerer muito tempo de processameto, já que são exigidas várias simulações (a ordem de 0.000) para redução do erro ierete ao processo, prejudicado a diâmica ecessária ao mercado. O método por árvores biomiais é bastate cohecido, iclusive por sua covergêcia à fórmula de Black Scholes para opções européias, mas quado aplicado às opções com barreiras, a precificação tora-se depedete do camiho, ocasioado tempo expoecial. No etato, com a aplicação do coceito de reflexão estocástica so- Reseha BM&F º 6 69

2 Artigo técico bre árvores biomiais, podem ser cotabilizados os camihos que chegam a cada folha da árvore e que tocam a kock-i e evitam a kock-out. Assim, é possível precificar de forma eficiete essas opções. Árvores biomiais de Cox Ross Rubistei O método por árvore biomial reproduz o movimeto geométrico browiao dos ativos-base por meio de discretização. Sejam T o período de vecimeto da opção; a largura da árvore; r a taxa livre de risco; σ a volatilidade do ativo-base; S o preço atual do ativo-base; e X o preço de exercício da opção ou strike. Seja t T/, o tempo etre dois íveis da árvore. Em cada ó da árvore, o preço do ativo- t base pode aumetar por fator u ou dimiuir por fator d, ode u e σ e d /u, r t e d com probabilidade p e q, respectivamete, ode p e q p. u d Cosidere a opção européia de veda com seis meses (T 0,5) para o vecimeto, com S 00; X 95; r 8% ao ao; e σ 30% ao ao. Para 5, t 0,; u,0995; d 0,9095; p 0,586; e q 0,484. Logo, o preço da opção é igual a 4,5 (Figura ) trazido ao valor presete de 4,08. Figura Árvore biomial com preços do ativo-base e da opção de veda Fórmula geral para opções européias O preço da opção européia por árvores biomiais pode ser dado pela fórmula: europé ia( ) ( + r) t p i ( p) i paths( i) payoff( i) i 0 ode: paths(i) úmero de camihos possíveis da raiz da árvore biomial até a folha i; payoff(i) prêmio dado pela opção a folha i, i 0,...,. (A) 70 Reseha BM&F º 6

3 Artigo técico A folha 0 é a mais baixa e a é a mais alta. No caso mais simples, sem barreiras, paths( i) i, ode o biômio i! i!( i)!, para i 0, e i 0, caso cotrário. Seja cp um idicador para opção de compra ou call (cp ); e para opção de veda ou put (cp ). Há diferetes tipos de prêmios, por exemplo: ormal: payoff(i) máx(0, (Su i d i X) cp); cap ou floor H: payoff(i) máx(0, mí ((Su i d i X) cp, (H X) cp)); i i K, se ( Su d X ) cp > 0 cash-or-othig com prêmio K: payoff () i 0, caso cotrá rio; biária sem strike com prêmio fixo K: payoff(i) K. A equação (A) pode ser aplicada a quaisquer opções européias, iclusive com barreiras, desde que se saiba o valor de paths(i), para cada folha da árvore biomial. Um bom resultado desse método é que este coverge para a fórmula cotíua de Black Scholes à medida que a largura da árvore aumeta. Em geral, para opções vailla, a precisão aumeta com o tamaho da árvore. Ajuste das barreiras sobre árvores biomiais Etretato, quato a opções com barreiras, a covergêcia do método por árvore biomial ão é muito uiforme. Se a barreira ão coicide com os ós da árvore, pode haver resultados imprecisos. Em 994, Boyle e Lau mostraram que é possível ajustar a largura da árvore de tal forma que a barreira coicida com os vértices. Sedo B o valor da barreira, a largura da árvore deve ser igual a: i σ T Ni () ( ( S l B )) i,,3,... (B) No caso de existêcia de mais uma barreira, por exemplo B, com B < B sem perda de geeralidade, basta tomar o valor de i de tal modo que j seja próximo de l( S B ) um úmero iteiro (i 0 já é suficiete a maioria dos casos), ode j i l( S. B ) Cadeias de Markov em árvores biomiais Em essêcia, os camihos as árvores biomiais da raiz até uma folha qualquer represetam cadeias de Markov. Na Figura, o ó O represeta a raiz da árvore, os ós f, f e f 3 são folhas da árvore e KI, KO e KO represetam barreiras. Os valores mecioados são úmeros iteiros etre 0 e, ode é a largura da árvore. A folha 0 represeta a mais baixa e a folha, a mais alta. Abaixo, descrevem-se as possíveis combiações de barreiras, cosiderado-se os camihos até as folhas com a aplicação do coceito de reflexão estocástica sobre cadeias de Markov. Em algus casos, utiliza-se reflexão dupla e até tripla. Reseha BM&F º 6 7

4 Artigo técico Figura Exemplos de cadeias de Markov e reflexão as barreiras. Sem KI, sem KO: o úmero total de camihos até f é igual ao biômio de Newto, ou seja, f! f!( f)!.. KI simples (up i/dow i): o úmero de camihos até f tocado KI é igual ao úmero de camihos até f KI f, a imagem de f em KI, ou seja, f KI f. 3. KO simples (up out/dow out): o úmero de camihos até f evitado KO é igual ao úmero total de camihos até f (caso 0) meos o úmero de camihos até f que tocam em KO (caso ). 4. KIKO do mesmo lado (up i e up out/dow i; e dow out): o úmero de camihos até f tocado KI e evitado KO é igual ao úmero de camihos até f tocado KI (caso ) meos o úmero de camihos até f tocado KO (caso ). O caso 4 é mais simples que o caso 5, pois ao tocar KO, KI já foi tocado. Em 5, todas as possibilidades devem ser cosideradas. 5. KIKO em lados opostos (up i e dow out/dow i; e up out): o úmero de camihos até f tocado KI e evitado KO é igual ao úmero de camihos até f tocado KI (caso ), meos o úmero de camihos tocado KI e depois tocado KO (reflexão dupla), meos o úmero de camihos tocado KO e depois tocado KI (reflexão dupla), mais o úmero de camihos tocado KO, depois KI e depois KO (reflexão tripla), mais o úmero de camihos tocado KI, depois KO e depois KI (reflexão tripla), já que esses camihos são subtraídos duas vezes. Em teoria, esse último caso em especial, seria ecessário subtrair as reflexões pares (duplas, quádruplas,...) e somar as ímpares (triplas, quítuplas,...). No etato, a partir da reflexão tripla, o úmero de camihos até a folha tora-se isigificate (ou até ulo) comparado ao total. 7 Reseha BM&F º 6

5 Artigo técico Número de camihos até as folhas da árvore Sejam S,, u e p como descritos ateriormete; BKI e BKO os preços das barreiras kock-i e kock-out, respectivamete; KI e KO a posição das barreiras etre as folhas da árvore biomial, isto é, com valores etre 0 e, a saber: BKI BKO l( ) KI S + l( u) e KO l( ) S + l( u) O operador deverá ser substituído por se a opção, em vez de ser do tipo dow, for up. A seguir, apresetam-se os valores de paths(i), justificados a seção aterior, que podem ser utilizados a equação (A) para precificar as opções européias com barreiras. Up i/dow i: paths( i) KI Up out/dow out: paths( i) i KO Up i e up out/dow i e dow out: paths( i) KI KO paths( i) Up i e dow out/dow i e up out: KI KI KO + i KO KI + i + 4KI KO i + 4KO KI i Observação: se houver barreira up i e i > KI ou barreira dow i e i < KI, o termo KI deve ser substituído por i, já que a própria folha atigiu a barreira kock-i. Se houver barreira up out e i > KO ou barreira dow out e i < KO, etão NPaths(i) 0, já que a própria folha atigiu a barreira kock-out. Barreiras em período limitado Em vez de serem válidas em todo o período, desde o iício do cotrato até a data de vecimeto da opção, em algus casos, é possível defiir começo e térmio de validade das barreiras kock-i ou kock-out. Ou seja, o direito de exercer a opção passa a existir, se kock-i; ou o direito cessa, se kock-out, caso a barreira seja atigida, somete durate o seu período de validade. Sejam T o período de vecimeto da opção e T e T o iício e térmio de validade das barreiras. Sejam a largura da árvore e t T/, o tempo etre dois íveis da árvore. Sejam T/ t e T / t os íveis da árvore que represetam iício e térmio de validade das barreiras. Assim, existem a árvore três períodos distitos: ates do iício das barreiras (0, ), o período de validade (, ) e depois do térmio (, ). Cotabilizado-se os camihos que chegam até uma folha k da árvore biomial e dividido-se o período os três itervalos acima, coclui-se que: Reseha BM&F º 6 73

6 Artigo técico paths( k) pathsb (, i jki, jko, j) k i j i 0 j 0 (C) ode pathsb(, x, KI, KO) é o úmero de camihos a árvore biomial com largura até a folha a altura x, com barreiras kock-i e kock-out os íveis KI e KO, respectivamete, válidas em todo o período. Por meio das seções ateriores, são calculados pathsb(, x, KI, KO) e paths(k), em tempo poliomial O( ). Geeralização para opções americaas Como mecioado, as opções flexíveis com barreiras podem ser do tipo européia (só pode ser exercida a data de vecimeto) ou americaa (pode ser exercida a qualquer mometo). Em termos de árvore biomial, as opções americaas podem ser exercidas em qualquer ível da árvore. O valor da opção americaa é o máximo etre os possíveis valores das opções européias com vecimeto em cada ível da árvore, isto é: americaa () mx á k 0 [européia (k)], para t fixo. Covergêcia As Figuras 3 e 4 ilustram a aplicação do método para o exemplo da opção put da Figura (preço do ativo-base S 00), com a iclusão de barreiras. O comportameto das curvas com barreiras é compatível com os casos de Derma (995) e Saito (998), ode se verifica a covergêcia à medida que aumeta o úmero de períodos (largura da árvore). Apesar de ão ser muito uiforme, pode-se obter, pela equação (B), covergêcia mais precisa (Figura 3). A Figura 3 mostra a opção ormal, sem barreiras, com covergêcia à fórmula de Black Scholes e o caso up out com barreira em 30, os casos ormal e refiado pela equação (B). Figura 3 Preço da put ormal sem barreiras e up out em Reseha BM&F º 6

7 Artigo técico Figura 4 Preço da put em up i; up i e up out; e up i e dow out A Figura 4 traz os casos up i (0); up i (0) e up out (30); up i (0) e dow out (80); up i (0) e dow out (90); e up i (0) e dow out (95). Coclusão Neste artigo, tratou-se da importâcia de precificar corretamete opções flexíveis com barreiras, como as egociadas a BM&F. Por meio de árvores biomiais, apresetou-se método capaz de precificar essas opções, européias ou americaas, com combiações de barreiras kock-i e kock-out, pela cotagem do úmero de camihos até as folhas da árvore, usado reflexão estocástica sobre cadeias de Markov. Além disso, demostrou-se que a covergêcia do método é compatível com os demais dispoíveis. Bibliografia BRIYS, E. Optios, Futures ad Exotic Derivatives: Theory, Applicatio ad Practice. IE-Wiley, 999. DERMAN, E. ET AL. Ehaced Numerical Methods for Optios with Barriers. Quatitative Strategies Research Notes, Goldma Sachs, 995. HAUG, E. G. The Complete Guide to Optio Pricig Formulas. McGraw-Hill, 997. HULL, J. Optios, Futures ad Other Derivatives. Pretice Hall, 997. INGERSOLL, J. Theory of Fiacial Decisio Makig. Rowma ad Littlefield, 987. MONTEIRO, V. R. ET AL. Limites de Preço para Opções Flexíveis: Cap, Floor, Kocki, Kock-out e Rebate. Reseha BM&F 5, 00. ROSS, S. Itroductio to Probability Models. Press Ic., 97. SAITO, R.; ROCHMAN, R. Aálise de Métodos Numéricos para Precificação de Opções. Relatório do NPP, EAESP/FGV, 998. Rudii Meezes Sampaio é professor do Departameto de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Lavras (Ufla). rudii@dcc.ufla.br. Edso Costa Bigotto é cosultor da Maps Risk Maagemet e mestre em Ecoomia Aplicada pela Esalq/USP. edso@maps.com.br. Os autores agradecem os cometários do professor Ricardo Sugauma, da BM&F, e de Daiel Pacífico e João Paulo Negri, da Maps Risk Maagemet. Evetuais erros cabem aos autores. Reseha BM&F º 6 75