7. ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Fernando Vargas. n 1 Cuidado

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1 7. ANÁLISE COMBINATÓRIA Professor Ferado Vargas É a área da Matemática que trata dos problemas de cotagem. Estuda problemas que evolvem o cálculo do úmero de agrupametos que podem ser feitos com os elemetos de um cojuto, submetidos a certas codições. 7.1 Fatorial Sedo um úmero iteiro maior que 1, defie-se fatorial de úmeros aturais cosecutivos de a 1. Sua represetação é ou fatorial de ). como o produto dos fatorial! (Lê-se: !., sedo N e 1 Cuidado 1! 1 0! 1 Exemplos 1) Calcule: a) 2! b) 3! c) 6! d) 7! 4! e) 12! 10! 9! f) 6!3! 4! Exercícios 1) Calcule: a) 4! b) 5! c) 9! d) 9! 7! e) 6!5! f) 4! 2! 0! 1! g) 6! 3! 2! 5! 7.2 Pricípios de Cotagem Pricípio aditivo Se um eveto pode ocorrer por m ou temos que o úmero de possibilidades é: maeiras distitas e idepedetes etre si,. m Pricípio multiplicativo Se um eveto é composto por duas ou mais etapas depedetes etre si, temos que a 1ª etapa tem m possibilidades e a 2ª etapa tem possibilidades, logo o úmero de possibilidades é:. m Exemplos 1) Uma pessoa deseja ir de Floriaópolis ao Rio de Jaeiro e está idecisa quato ao meio de trasporte. Pode ir por três vias, pela via marítima tem duas opções, pela via aérea tem três opções e pela via terrestre tem cico opções. Sedo assim, quatas possibilidades o total essa pessoa tem de chegar ao Rio de Jaeiro? 1

2 2) Uma pessoa deseja ir de Porto Alegre a Joiville, passado obrigatoriamete por Floriaópolis. Para viajar de Porto Alegre a Floriaópolis existem 3 meios de trasporte, de Floriaópolis para Joiville são 2 meios. Quatas maeiras diferetes existem para a realização desta viagem? 3) Com os algarismos 0, 2, 3, 4, 5 e 6 Calcule: a) úmeros com repetição; b) úmeros sem repetição; c) úmeros pares sem repetição; d) úmeros ímpares sem repetição., formaremos úmeros de três algarismos. Exercícios 2) Numa estação de metrô, há 3 bilheterias, 6 borboletas receptoras de bilhete e 2 escadas de acesso à plataforma de embarque. De quatos modos uma pessoa pode comprar um bilhete e torar o trem, usado uma borboleta e uma escada? 3) Um automóvel é oferecido pelo fabricate em 8 cores diferetes, 3 tipos de acabameto (superluxo, luxo e especial) e com motor de quatro, seis ou oito cilidros. Quatas são as alterativas de escolha de um comprador? 4) Laçado-se um dado de 6 faces e, em seguida, um dado de 4 faces, quatos resultados são possíveis?(cada resultado é um par ordeado ode o primeiro elemeto é o úmero obtido o primeiro dado e o segudo elemeto é o úmero obtido o segudo dado). 5) Quatos resultados são possíveis laçado-se: a) Dois dados (6 faces)? b) Três dados (4 faces)? 6) Quatos úmeros de três algarismos podem ser formados usado os algarismos 1, 3, 4, 5 e 9? 7) Quatos úmeros de três algarismos distitos podem ser formados usado os algarismos 2, 4, 6, 7, 8 e 9? E de seis algarismos distitos? 8) Um país A está ligado a um país B por vias ferroviária, rodoviária, marítima e aérea. Os países B e C estão ligados apeas por vias marítima e aérea. De quatos modos uma pessoa pode viajar, sempre passado pelo país B, a) De A para C, utilizado quaisquer das vias citadas? b) De A até C e voltar para A, de modo que, a volta, ão utilize as mesmas vias utilizadas a ida? 9) Ao cume de uma motaha coduzem 10 camihos diferetes e um teleférico (bodiho) que aqui cosideramos ser um camiho aéreo. De quatos modos uma pessoa pode subir e descer por: a) camihos quaisquer? b) camihos terrestres? c) camihos quaisquer, ão utilizado a descida o mesmo utilizado a subida? d) camihos terrestres, ão utilizado a descida o mesmo utilizado a subida? 2

3 10) Numa cidade, os úmeros de telefoe são formados de um prefixo de 3 algarismos, seguidos de outros 4 algarismos. O primeiro algarismo do prefixo é sempre um elemeto do cojuto, os demais algarismos são quaisquer. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 Nessas codições, quer-se saber: a) quatos telefoes podem ser istalados essa cidade? b) quatos úmeros de telefoe têm quatro algarismos fiais distitos? c) quatos úmeros de telefoe têm o primeiro dos quatro últimos algarismos diferete de zero? d) quatos úmeros de telefoe têm os quatro algarismos fiais distitos e o primeiro desses quatro diferete de zero? 11) Quatos úmeros há em osso sistema de umeração de: a) 4 algarismos? b) 4 algarismos distitos? 12) Quatos úmeros ímpares, de 4 algarismos distitos, há em osso sistema de umeração? 13) Num país, as placas de automóveis são costituídas de duas letras, seguidas de quatro algarismos. Sedo usado um alfabeto de 23 letras, quatas placas podem ser formadas se é permitida a repetição: a) apeas dos algarismos? b) apeas das letras? c) das letras e dos algarismos? 14) Dispõe de 7 cores para pitar uma badeira de 7 faixas. Cada faixa deve ser pitada com uma só cor e, a badeira, ão deve haver duas faixas da mesma cor. Quatos modos há de se realizar a pitura? 15) Dispõe de 6 cores para pitar uma badeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pitada com uma só cor e duas faixas cosecutivas ão podem ter a mesma cor. De quatos modos podem ser feita à pitura? 16) Num país, as placas de automóveis são costituídas de duas letras, seguidas de dois algarismos, sedo permitida a repetição de letras e de algarismos. É utilizado um alfabeto de 26 letras. Zeros podem aparecer em qualquer posição, mas placas com dois zeros são excluídas. Além disso, esse país, os veículos de aluguel têm placas de cor vermelha e os particulares, de cor amarela. Nessas codições, quatas placas podem ser formadas? 17) De quatos modos podemos pitar 7 casas efileiradas, dispodo de 4 cores, sedo que cada casa é pitada de uma só cor e duas casas vizihas ão são pitadas com a mesma cor? 18) Um salão de baile tem 6 portas. De quatos modos esse salão pode estar aberto? 19) Num quadro de cotrole eletrôico há 5 dispositivos de seguraça efileirados. Cada um deles pode estar apagado, estar emitido luz amarela ou estar emitido luz vermelha. Quatos siais diferetes podem ser emitidos pelo cojuto de dispositivos se pelo meos um deles estiver aceso? 3

4 20) Um código para leitura ótica é costituído por 6 barras, bracas ou pretas. Nehum código tem barras de uma só cor. Quatos desses códigos, distitos etre si, podem ser formados? 21) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos ode cada caracter é formado por uma matriz de 6 potos, dos quais pelo meos um se destaca em relação aos outros. Assim, qual o úmero máximo de caracteres distitos que podem ser represetados este sistema de escrita? Arrajo simples de 7.3 Arrajo Simples elemetos tomados p a p ordeados diferetes que se podem formar com elemetos dispoíveis. p p são agrupametos elemetos escolhidos dos A, p A p! p! Importate: Os elemetos diferem etre si pela ordem e pela atureza. Exemplos 1) Numa empresa, 10 de seus diretores são cadidatos aos cargos de presidete e vice-presidete. Quatos são os possíveis resultados da eleição? 2) Cosidere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim, quatos úmeros de: a) três algarismos distitos podem escrever? b) três algarismos distitos maiores que 350 podemos formar? 3) Para ter acesso a um certo arquivo de um computador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma seha composta de três algarismos distitos e, se for aceita, digitar uma seguda seha composta de duas letras distitas escolhidas do alfabeto de 26 letras. Quem ão cohece as sehas pode fazer tetativas. Qual o úmero máximo de tetativas ecessárias para ter acesso ao arquivo? Exercícios 22) (FGV) Um restaurate oferece o cardápio 2 saladas distitas, 4 tipos de pratos de care, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferetes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de care, uma bebida e uma sobremesa. De quatas maeiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12 23) (FGV) As placas de automóveis costam de duas letras e quatro algarismos. O úmero de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos O, 1, 7 e 8 é: a) 2412 b) c) 144 d) 216 e)

5 24) (FGV) Um viajate, partido da cidade A, deve chegar à cidade D, passado obrigatoriamete pelas cidades B e C. Para viajar de A para B existem 3 meios de trasporte: avião, avio e trem; de B para C, 2 meios: táxi e ôibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e bicicleta. Quatas maeiras diferetes existem para viajar de A para D? a) 8 b) 3 c) mais de 15 d) meos de 10 e) 20 25) (PUC-SP) Um dia pode ter uma de 7 classificações: MB (muito bom), B (bom), R (regular), O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e T (terrível). Os dias de uma semaa são: domigo, seguda-feira, terça-feira, quarta-feira, quita-feira, sexta-feira, sábado. Cosiderado os dias da semaa e as classificações dadas, de quatas formas distitas podemos classificar os dias da semaa de forma a ão repetir uma mesma classificação a um outro dia durate uma mesma semaa. Quatas semaas diferetes podem existir, segudo o critério acima? a) 7! b) 7 2 c) 7. 7! d) 7 7 e) 7 7! 26) (UFGO) No sistema de emplacameto de veículos que seria implatado em 1984, as placas deveriam ser iiciadas por 3 letras do osso alfabeto, Caso o sistema fosse implatado, o úmero máximo possível de prefixos, usado-se somete vogais, seria: a) 20 b) 60 c) 120 d) 125 e) ) (FCMSTACASA) Seja o úmero atural, ode P 1, P 2, P 3 e P 4 são fatores aturais primos distitos. O úmero de divisores aturais de N é: a) 4 b) 5 c) 8 d) 12 e)16 N P P P P4 28) (UFCE-9I) Um botão de um cofre tem os úmeros 00, 01, 02, 03,...,99. O segredo dele é uma seqüêcia de 4 úmeros do botão. Assim, ou ou são exemplos de segredos. O úmero total dos possíveis segredos é igual a: a) 10 4 b) 10 5 c) 10 6 d) 10 7 e) ) (UFRPE) Qual o úmero de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma cotedo apeas três letras) fazedo uso das letras A, B, C, D? a) 34 b) 72 e) 96 d) 64 e) ) (CESGRANRIO-80) Seja A um cojuto de 4 elemetos. O úmero de fuções tais que a equação ão teha solução é: f : A A f ( x) x a) 4 b) 23 c) 72 d) 81 e) ) (PUC-RS) Com os algarismos sigificativos formam-se todos os úmeros de 4 algarismos distitos, sedo que "x" deles possuem um algarismo ímpar a ordem das ceteas. O valor de "x" é: a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) ) (UFRN) A quatidade de úmeros pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a: a) 720 b) 1440 c) 2160 d) 2880 e)

6 Gabarito 1) a) 24 b) 120 c) d) 72 e) f) 21 g) 181/30 2) 36 3) 72 4) 24 5) a) 36 b) 64 6) 125 7) 120 e 720 8) a) 8 b) 24 9) a) 121 b) 100 c) 110 d) 90 10) a) b) c) d) ) a) 9000 b) ) ) a) b) c) ) ) ) ) ) ) ) 62 21) 63 22) A 23) B 24) C 25) A 26) D 27) E 28) E 29) D 30) D 31) C 32) B 6