Contagem. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho. Matemática Discreta. Fundamentos Inclusão/Exclusão Princípio da Casa dos Pombos Permutações Combinações

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1 Contagem Prof. Dr. Leandro Balby Marinho Matemática Discreta Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 1 / 39 UFCG CEEI

2 Motivação Contagem e combinatória são partes importantes da matemática discreta. Se resumem a contar elementos em conjuntos finitos. Problemas de contagem incluem: Quantas operações um algoritmo executa? Quantos endereços IP válidos existem? Quantas senhas de seis caracteres alfanuméricos existem em um sistema computacional? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 2 / 39 UFCG CEEI

3 Roteiro 1. Princípios Fundamentais da Contagem 2. Princípio da Inclusão/Exclusão 3. Princípio da Casa dos Pombos 4. Permutações 5. Combinação Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 3 / 39 UFCG CEEI

4 Princípio da Multiplicação Definição 1 Assuma que um procedimento pode ser dividido em uma sequência de k eventos. Se há n 1 possibilidades para o primeiro evento e para cada uma dessas possibilidades do primeiro evento, há n 2 possibilidades para o segundo evento, e assim por diante, existem n 1 n 2... n k possibilidades para a sequência de eventos. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 3 / 39 UFCG CEEI

5 Exemplos Exemplo 1: Com a reforma do DSC, teremos 10 salas novas para professores. Quantas formas existem de alocar diferentes salas para dois professores recém contratados? 10 possibilidades de alocar uma sala para o primeiro professor. 9 possibilidades para alocar uma sala para o segundo professor. Portanto, 10 9 = 90 formas de alocar 10 salas para esses dois professores. Exemplo 2: Quantas cadeias de bits de tamanho 7 existem? Solução: Há duas possibilidades para cada bit, 0 ou 1. Portanto há um total de 2 7 = 128 cadeias de bits diferentes. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 4 / 39 UFCG CEEI

6 Exercícios Exercício 1: Quantas placas de carro diferentes existem se cada placa contém uma sequência de três letras seguidas de três dígitos? Exercício 2: Quantas funções existem de um conjunto com m elementos em um conjunto com n elementos? Exercício 3: Quantas funções injetoras existem de um conjunto com m elementos em um conjunto com n elementos? Exercício 4: Use a regra do produto para mostrar que o número de diferentes subconjuntos de um conjunto finito S é 2 S. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 5 / 39 UFCG CEEI

7 Princípio da Adição Definição 2 Sejam A 1, A 2,..., A m conjuntos finitos disjuntos. O número de elementos na união desses conjuntos é dado por: A 1 A 2... A m = A 1 + A A m Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 6 / 39 UFCG CEEI

8 Exemplos Exemplo 3: Um cliente deseja comprar um veículo de uma concessionária que dispõe de 23 carros e 14 motocicletas em estoque. Quantas escolhas possíveis o cliente pode ter? Solução: O cliente deseja escolher um carro ou uma motocicleta. São eventos disjuntos com 23 possibilidade de escolha de um carro e 14 de uma motocicleta. Pelo princípio da adição, a escolha de um veículo tem = 37 possibilidades. Exercício 5: Um aluno pode escolher um projeto de uma de três listas. As três listas contém 23, 15 e 19 possíveis projetos respectivamente. Nenhum projeto está em mais de uma lista. Quantos projetos possíveis os alunos podem escolher? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 7 / 39 UFCG CEEI

9 Combinando os Princípios Fundamentais da Contagem Os princípios fundamentais da contagem podem ser combinados para a resolução de problemas mais complexos. Exemplo 4: Quantos números de 4 dígitos começam com 4 ou com 5? Solução: Podemos considerar dois conjuntos disjuntos: números que começam com 4 e números que começam com 5. Portanto, são = 1000 formas de escolher um número de 4 dígitos começando com o 4. Para a contagem do segundo conjunto se aplica o mesmo raciocínio dando o mesmo resultado: Usando agora o Princípio da Adição, podemos deduzir que existem = 2000 resultados possíveis ao todo. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 8 / 39 UFCG CEEI

10 Exercícios Exercício 6: Numa versão da linguagem de programação BASIC o nome da variável é uma cadeia de um ou dois caracteres alfanuméricos. Além disso, um nome de variável deve começar com uma letra e deve ser diferente das 5 cadeias de dois caracteres que são reservadas pela linguagem. Quantos nomes possíveis de variáveis existem nessa versão do BASIC? Exercício 7: Cada usuário de um sistema possui uma senha que compreende de 6 a 8 caracteres alfanuméricos. Cada senha deve possuir pelo menos um dígito. Quantas senhas possíveis existem nesse sistema? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 9 / 39 UFCG CEEI

12 Princípio da Inclusão/Exclusão Princípio da Inclusão/Exclusão Quando contamos o número de elementos de A B, precisamos incluir (contar) o número de elementos em A e o número de elementos em B, mas devemos excluir (subtrair) os elementos que pertencem a A B para evitar contá-los duas vezes. Portanto, A B = A + B A B Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 10 / 39 UFCG CEEI

13 Exemplos Exemplo 5: 35 pessoas compraram 2 produtos. Destes, 14 compraram o produto 1 e 26 o produto 2. Quantos compraram ambos? Solução: Seja A o conjunto das pessoas que escolheram o produto 1 e B o conjunto dos que escolheram o produto 2. A B = 35, A = 14, B = 26 Mas, A B = A + B A B = = 5 Portanto, 5 pessoas compraram ambos os produtos. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 11 / 39 UFCG CEEI

15 Definição Princípio da Casa dos Pombos Se k + 1 itens são postos em k caixas, então pelo menos uma caixa contém mais de um item. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 12 / 39 UFCG CEEI

16 Corolário sobre Funções Não-Injetoras O princípio da casa dos pombos pode ser usado para provar o seguinte corolário sobre funções. Corolário 1 Uma função f de um conjunto com k + 1 ou mais elementos em um conjunto com k elementos não é injetora. Prova: Pelo princípio da casa dos pombos, vemos que como o domínio possui pelo menos k +1 elementos e o codomínio k elementos, então vai haver pelo menos uma imagem com duas ou mais pré-imagens. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 13 / 39 UFCG CEEI

17 Exemplos Exemplo 6: Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que pelo menos duas delas tenham o primeiro nome começando com a mesma letra? Solução: 27, pois pelo princípio da casa dos pombos, existiriam 27 iniciais para se colocar em 26 caixas, de modo que pelo menos uma caixa vai conter mais de uma inicial. Exercício 8: Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes? Exercício 9: Quantas pessoas são necessárias para garantir que pelo menos duas delas tenham aniversário no mesmo dia? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 14 / 39 UFCG CEEI

18 Generalização do Princípio da Casa dos Pombos Princípio da Casa dos Pombos Se n itens são colocados em k caixas, então há pelo menos uma caixa com n/k itens. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 15 / 39 UFCG CEEI

19 Exemplos Exemplo 7: Qual o número mínimo de alunos necessário em um curso de matemática discreta de modo a garantir que pelo menos seis receberão a mesma nota, se há cinco notas possíveis, {6, 7, 8, 9, 10}? Solução: Devemos encontrar o menor inteiro n tal que n/5 = 6. Esse inteiro é n = = 26 Exercício 10: Quantas cartas devem ser selecionadas de um baralho de 52 cartas de modo a garantir que pelo menos 3 cartas do mesmo naipe serão escolhidas? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 16 / 39 UFCG CEEI

21 Introdução Uma permutação de um conjunto de elementos distintos é um arranjo ordenado desses objetos. Muitos problemas de contagem são resolvidos contando-se o número de permutações possíveis de elementos em um conjunto. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 17 / 39 UFCG CEEI

22 Exemplo 8 Em quantas formas podemos enfileirar cinco estudantes de um grupo de cinco estudantes? Em quantas formas podemos enfileirar três de cinco estudantes para uma foto? Solução: Há = 120 formas de enfileirar todos os cinco estudantes. E há = 60 formas de selecionar três estudantes de um grupo de cinco. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 18 / 39 UFCG CEEI

23 Contando Permutações Teorema 1 Se n é um inteiro positivo e r um inteiro com 0 r n, então há P(n, r) = n(n 1)(n 2)... (n r + 1) permutações de r objetos entre n objetos distintos. Prova: Pelo princípio da multiplicação, há n formas de escolher o primeiro elemento, n 1 formas de escolher o segundo elemento,... até exatamente n (r 1) = n r + 1 formas de escolher o r-ésimo elemento. Consequentemente há n(n 1)(n 2)... (n r + 1) permutações de r-elementos no conjunto. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 19 / 39 UFCG CEEI

24 Contando Permutações Corolário 2 Segue to Teorema 1 que se n e r são inteiros com 0 r n, então P(n, r) = n! (n r)! Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 20 / 39 UFCG CEEI

25 Exemplos Exemplo 9: Dez atletas competem em um evento oĺımpico. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras diferentes podem ser dadas as medalhas? Solução: P(10, 3) = 10!/7! = = 720 Exemplo 10: Um representante de vendas deve visitar seis cidades diferentes. Ele deve iniciar sua viagem em uma determinada cidade, mas pode visitar as outras cinco em qualquer ordem que desejar. Quantas rotas possíveis de visita o representante pode escolher para visitar as cidades? Solução: Como a primeira cidade já foi determinada, temos 5! = 120 rotas possíveis Exercício 11: Quantas permutações das letras ABCDEFGH contém a cadeia FGH? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 21 / 39 UFCG CEEI

26 Permutações com Repetições Em alguns problemas, os n objetos podem ser usados quantas vezes quisermos de forma que r pode ser maior que n. Teorema 2 O número de permutações de r objetos entre n objetos distintos com repetição é n r. Prova: Pelo princípio da multiplicação, há n formas de escolher um elemento do conjunto para cada uma das r posições na permutação com repetição, e sendo assim n r permutações com repetição são permitidas (ver Exemplo 3). Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 22 / 39 UFCG CEEI

27 Exemplos Exemplo 11: Quantas cadeias de tamanho r existem no alfabeto da ĺıngua Portuguesa? Solução: Pelo Teorema 3, existem 26 r cadeias de de tamanho r na ĺıngua Portuguesa Exercício 12: Quantas formas há de alocar três tarefas para cinco alunos, se cada aluno pode receber mais de uma tarefa? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 23 / 39 UFCG CEEI

29 Introdução Uma combinação de elementos de um conjunto é uma seleção não ordenada de elementos desse conjunto. O número de combinações de r objetos distintos ( ) escolhidos entre n n objetos distintos é denotado por C(n, r) ou. r Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 24 / 39 UFCG CEEI

30 Exemplo 12 Quantas combinações de dois elementos podemos obter do conjunto P = {a, b, c, d}? Solução: C(4, 2) = 6, pois há seis subconjuntos de dois elementos em P, i.e.,. {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} e {c, d} Note que P(4, 2) = C(4, 2)P(2, 2). Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 25 / 39 UFCG CEEI

31 Contando Combinações Teorema 3 O número de combinações de um conjunto com n elementos, no qual n é um inteiro não negativo e r um inteiro com 0 r n é C(n, r) = n! r!(n r)! Prova: Pelo princípio da multiplicação, P(n, r) = C(n, r) P(r, r). Consequentemente, C(n, r) = P(n, r) n!/(n r)! = P(r, r) r!/(r r)! = n! r!(n r)! Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 26 / 39 UFCG CEEI

32 Exemplo 13 Quantas mãos de poker de cinco cartas podem ser formadas de um baralho de 52 cartas? Solução: C(52, 5) = 52! 5!47! = De quantas formas podemos selecionar 47 cartas de um baralho de 52 cartas? Solução: C(52, 47) = 52! 47!5! = Note que C(52, 5) = C(52, 47) Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 27 / 39 UFCG CEEI

33 Fórmula Alternativa Corolário 3 Sejam n e r inteiros não negativos tal que r n. Então, C(n, r) = C(n, n r) Prova: C(n, n r) = n! (n r)![n (n r)]! = n! (n r)!r! Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 28 / 39 UFCG CEEI

34 Exercício 13 Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 15 alunos do curso de matemática discreta (MD) e 20 do curso de teoria dos grafos (TG). a) De quantas maneiras é possível selecionar 3 alunos de MD e 5 de TG? b) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo exatamente 1 aluno de MD? c) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo no máximo 1 aluno de MD? d) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo pelo menos 1 aluno de MD? Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 29 / 39 UFCG CEEI

35 Coeficientes Binomiais O número de r-combinações ( ) em um conjunto de n elementos n também é denotada por. r Esse número é conhecido como coeficiente binomial, pois ocorre como coeficiente na expansão de potências de expressões binomiais do tipo: (x + y) n Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 30 / 39 UFCG CEEI

36 Teorema Binomial Teorema 4 Sejam x e y variáveis e n um inteiro não negativo. Então, (x + y) n = = n ( n j j=0 ( ) n x n + 0 ) x n j y j ( ) ( ) n n x n 1 y xy n n 1 ( ) n y n n Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 31 / 39 UFCG CEEI

37 Exemplo 14 Qual a expansão de (x + y) 4? Solução: Pelo teorema binomial: (x + y) 4 = = 4 j=0 ( ) 4 x 4 j y j j ( ) 4 x 4 y ( ) 4 x 3 y + 1 ( ) 4 x 2 y ( ) 4 xy ( ) 4 x 0 y 4 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 32 / 39 UFCG CEEI

38 Combinação com Repetição Exemplo 15: Quantas formas há de escolher quatro frutas de uma cesta contendo maçãs, laranjas e pêras se a ordem na qual as frutas são escolhidas não importa, e há pelo menos quatro frutas de cada tipo na cesta? Solução: Para solucionar esse problema listamos todas as formas de escolher as frutas. 4 maçãs 4 laranjas 4 pêras 3 maçãs, 1 laranja 3 maçãs, 1 pêra 3 laranjas, 1 maçã 3 laranjas, 1 pêra 3 pêras, 1 maçã 3 pêras, 1 laranja 2 maçãs, 2 laranjas 2 maçãs, 2 pêras 2 laranjas, 2 pêras 2 maçãs, 1 laranja, 1 pêra 2 laranjas, 1 maçã, 1 pêra 2 pêras, 1 maçã, 1 laranja A solução é o número de combinações de quatro elementos com repetição de um conjunto de três elementos {maçã, laranja, pêra}. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 33 / 39 UFCG CEEI

39 Combinação com Repetição Exemplo 16: Quantas formas há de escolher cinco notas de uma caixa contendo notas de $1, $2, $5, $10, $20, $50 e $100? Assuma que a ordem em que as notas são escolhidas não importa, as notas de cada denominação são indistintas e que há no mínimo 5 notas de cada tipo. Solução: Esse problema envolve contar combinações de 5 elementos com repetição em um conjunto com 7 elementos. Suponha uma caixa com um compartimento para da uma das 7 notas. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 34 / 39 UFCG CEEI

40 Exemplo 16 cont. O problema corresponde ao número de formas de arranjar 6 barras e 5 asteriscos. Nesse caso, C(11, 5) = 11! 5!6! = 462 Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 35 / 39 UFCG CEEI

41 Combinação com Repetição Teorema 5 Há C(n + r 1, r) combinações com repetição de um conjunto com n elementos. Prova: Cada combinação com repetição de r elementos pode ser representada por uma lista de n 1 barras e r asteriscos. Então o número de tais listas é C(n + r 1, r) pois cada lista corresponde a uma escolha para as r posições para dispor r asteriscos das n + r 1 posições que contém r asteriscos e n 1 barras. Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 36 / 39 UFCG CEEI

42 Exemplo 17 Suponha que uma chocolateria tem 4 tipos diferentes de chocolate. De quantas formas diferentes 6 chocolates podem ser escolhidos? Assuma que a ordem da escolha não importa. Solução: O problema é escolher 6 chocolates com repetição de um conjunto com 4 tipos diferentes de chocolate. Pelo Teorema 4 temos C(9, 6) = = 84 Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 37 / 39 UFCG CEEI

43 Resumo Tipo Repetição Fórmula n! r-permutações Não (n r)! n! r-combinações Não r!(n r)! r-permutações Sim n r r-combinações Sim (n + r 1)! r!(n 1)! Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 38 / 39 UFCG CEEI

44 Referências Keneth H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Applications. Sexta Edição. McGRAW-HILL International Edition, Judith L. Gersting. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Quinta Edição. LTC, Prof. Dr. Leandro Balby Marinho 39 / 39 UFCG CEEI