QUESTÕES DISCURSIVAS ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 QUESTÕES DISCURSIVAS AÁLISE COMBIATÓRIA ) (PUC-SP) O novo sistema de placas de veículos utiliza um grupo de 3 letras(dentre 6 letras ) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: ABC-03). Uma placa dessas será "palíndroma" se os dois grupos que a constituem forem "palíndromos". O grupo ABA é "palíndromo" pois as leituras da esquerda para direita e da direita para a esquerda são iguais; da mesma forma, o grupo 33 é "palíndromo". Quantas placas "palindromas" distintas poderão ser construídas? T T ) (UFRJ 007) Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras: não há repetição de caracteres; começa-se sempre por uma letra; o algarismo que segue uma vogal corresponde a um número primo; o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par. Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem? RESOLUÇÃO Como o número é par e é primo, temos que considerar as senhas em que a letra A é seguida de e as senhas em que a letra A é seguida de um primo diferente de. RESPOSTA: 43 senhas. - -

2 3) (UFF-RJ 004) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? T (! ) (! ) ( 4! ) ( 3!) T T 3460 RESPOSTA: ) (FUVEST-SP 993) A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João(A), de Maria(B), a escola(c) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o orte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria? João terá que escolher um caminho tal qual: Para o percurso de (A) até (B): L L L L Para o percurso de (B) até (C): L L, 4,3 6! T (P6 ) (P )! T! 4!! 3! T 0 T 0 RESPOSTA:

3 - 3 - ) (UERJ UEF) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: - um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; - um dentre os tamanhos; pequeno e grande; - de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Calcule: A) quantos sanduíches distintos podem ser montados? B) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. B) Considerando a quantidade que atende ao enunciado: 0 3!!! () () () () sanduíches. RESPOSTA: A) 86 B) 0. A) Considerando a quantidade que atende ao enunciado: 4 3 () 3) ( (3) () (3) sanduíches. Soma de combinações ( vide tópico.3 (Resumo de Binômio de ewton).

4 6) (IME RJ) O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: a senha utilizada possui quatro dígitos; o primeiro e o último dígito encontram-se numa mesma linha; o segundo e o terceiro dígito encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa. Pelas informações do enunciado concluímos: a senha utilizada possui quatro dígitos: trata-se de um código numérico de 4 dígitos; o primeiro e o último dígito encontram-se numa mesma linha: ª ou ª ou 3ª linhas; o segundo e o terceiro dígito encontram-se na linha imediatamente superior: ª ou 3ª ou 4ª linhas º e 4º DÍGITOS º e 3º DÍGITOS º DE SEHAS ª LIHA ª LIHA ª LIHA TOTAL DE SEHAS 7 RESPOSTA: 7 senhas distintas

5 7) (UFMG-00 modificada) Para um grupo de pessoas, serão sorteadas viagens para três cidades distintas A, B e C. Cinco dessas pessoas irão para a cidade A; quatro, para a cidade B; e três, para cidade C. esse grupo, estão Adriana, Luciana e Sílvio, que são amigos e gostariam de ir para a mesma cidade. Considerando essas informações, RESPODA:. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a cidade A?. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a mesma cidade? Consideremos: A (Adiana), L (Luciana) e S (Sílvio) GRUPOS FORMADOS CÁLCULOS º DE MAEIRAS A L S A CIDADE A A => A L S B => C => (36).(3).( ) A L S A CIDADE B A => B => A L S C => (6).(4).() 04 A L S A CIDADE C A => B => C => A L S (6).() ) 60 ) RESPOSTAS: ) 60 )

6 8) (UFES 00) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas A) de modo arbitrário, sem restrições; B) de modo que cada casal fique junto; C) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres. Consideremos inicialmente a seguinte estruturação dos elementos que representam os três casais e as duas cadeiras vazias: Figura A) O número total de maneiras de permutarmos os oito elementos da figura acima é: 8! ! A P8 A A A 0. 60!! B) Considerando que cada casal fique junto (analisando a figura abaixo), teremos: Figura! 3 4 3! 3 B ( P ) P P P B (! ) B B 60 8 B 480!! C) Escolhendo-se primeiro as duas poltronas que ficarão vazias e, em seguida, posicionando-se os três homens de um dos lados (3 poltronas à esquerda) e as três mulheres no outro lado (3 poltronas à direita), ou o inverso (Figs. 3 e 4): Dois exemplos de formação tendo todos os homens de um lado e a todas as mulheres do outro lado: Figura 3 Figura 4 8 8! 8 7 6! Escolha das duas poltronas que ficarão vazias: 8 ;! 6! 6! úmero de opções para colocarmos os três homens em um dos lados: (à esquerda ou à direita); Colocados os homens em um dos lados em um dos dois lados, o número de opções para colocarmos as três mulheres é apenas um, ou seja, o lado restante. Os homens permutam entre si, ou seja: 3! 6 ; As mulheres permutam entre si, ou seja: 3! 6. P 3 P 3 C 8 ( ) ( ) ( 3! ) ( 3! ) C 8 ( 6 ) ( 6 ) C

7 9) (Unirio RJ) Uma pessoa quer comprar 6 empadas numa lanchonete. Há empadas de camarão, frango, legumes e palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de 0 a 6 empadas de cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta compra pode ser feita? Trata-se de um problema de Combinação com Repetição, onde devemos utilizar todas as soluções naturais possíveis para a equação C F K P 6. Exemplos de soluções naturais para o problema em questão: (,,, ), ( 3, 0, 0, 3 ), ( 6, 0, 0, 0 ), etc. Utilizando o tradicional esquema BOLA-TRAÇO: Assim, considerando T a quantidade total de maneiras diferentes esta compra pode ser feita: T P 3,6 9 9! T 3! 6! T 84 RESPOSTA: 84 maneiras distintas. 0) (Ufla-MG) Um problema clássico em combinatória é calcular o número de maneiras de se colocar bolas iguais em caixas diferentes. Calcule o número de maneiras de se colocar 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia. Sugestão: Cada possibilidade das duas barras na figura determina uma distribuição das bolas nas caixas. o desenho, caixa com duas bolas, caixa com três bolas e caixa 3 com duas bolas. Trata-se de um problema de Combinação Completa (vide item.6 Resumo acima), no qual cada caixa deverá conter pelo menos uma bola. Como temos 6 (seis) espaços entre as 7 (sete) bolas, basta que escolhamos (dois) deles para alocarmos os (dois) separadores, ou seja: Total 6 T 6!! 4! 6 4! 4! T RESPOSTA: maneiras distintas