Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Desempenho de Sistemas de Computação. Arranjos: Amostras Ordenadas. Exemplo

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1 Depatameto de Ifomática Disciplia: Modelagem Aalítica do Desempeho de Sistemas de Computação Elemetos de Aálise Combiatóia Pof. Ségio Colche Teoema: Elemetos de Aálise Combiatóia Modelagem Aalítica O expeimeto de ealiza decisões seleções) sucessivas, as quais, paa a -ésima seleção tem-se opções possíveis, poduz o total de... possíveis esultados difeetes : Colocação de bolas em células: c Ao coloca bolas em casas ou células), c faz-se uma seqüêcia de decisões com opções em cada decisão. Logo, as bolas podem se colocadas as células c de maeias difeetes Copyight by TeleMídia Lab. Modelagem Aalítica Cosideado as faces de um dado como as células : joga um dado vezes sucessivas poduz 6 difeetes esultados 5 esultados ão cotém m a face Admitido que os 6 esultados tem a mesma pobabilidade, o eveto a a face ão apaece tem pobabilidade igual a 5/6). A pobabilidade do eveto a a face apaece é igual a - 5/6) se 6, essa pobabilidade é meo do que / Apesa do seso comum acha que, em seis tetativas, a face dois deve apaece com ceteza i.e., com pobabilidade muito alta)... Aajos: Amostas Odeadas Modelagem Aalítica Cosidee uma população de elemetos a, a,..., a. Qualque seqüêcia de símbolos tomadas dessa população é deomiada uma amosta odeada ou aajo. Aajos podem se com epetição possíveis amostas sem epetição ) ))...+ +) ) possíveis amostas 4

2 Paa : ) Defiição )... + ) Modelagem Aalítica ) Obs. : ) Escolhas Aleatóias Sucessivas Modelagem Aalítica Expeimeto que cosiste a escolha sucessiva de elemetos, um po vez, tomados de uma população de elemetos, a qual cada esultado um aajo) possível tem a mesma pobabilidade dos demais Pobabilidade paa escolhas com epetição Pobabilidade /) paa escolhas sem epetição s Com epetição joga um dado váias v vezes, laça a uma moeda váias v vezes,... Sem epetição etia sucessivamete catas de um baalho 5 6 Em um expeimeto de escolhas aleatóias sucessivas sem epetição Modelagem Aalítica Qual é a pobabilidade de um elemeto específico da população apaece a amosta odeada que coespode a um esultado do expeimeto? Em um expeimeto de escolhas aleatóias sucessivas sem epetição Modelagem Aalítica Qual é a pobabilidade de um elemeto específico da população apaece a amosta odeada que coespode a um esultado do expeimeto? Númeo de amostas que ão cotém m um detemiado elemeto: ). 7 8

3 Em um expeimeto de escolhas aleatóias sucessivas sem epetição 9 Modelagem Aalítica Qual é a pobabilidade de um elemeto específico da população apaece a amosta odeada que coespode a um esultado do expeimeto? Númeo de amostas que ão cotém m um detemiado elemeto: ). ) Pobabilidade: p ) Em um expeimeto de escolhas aleatóias sucessivas sem epetição Qual é a pobabilidade de um elemeto específico da população apaece a amosta odeada que coespode a um esultado do expeimeto? Númeo de amostas que ão cotém m um detemiado elemeto: ). ) Pobabilidade: p ) A pobabilidade pocuada é p ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Modelagem Aalítica Execício cio Em um expeimeto de escolhas aleatóias sucessivas com epetição Modelagem Aalítica Qual é a pobabilidade de um elemeto específico da população apaece a amosta odeada que coespode a um esultado do expeimeto? Resposta: /) Classe de Poblemas Modelagem Aalítica Cosidee amostas odeadas de tamaho com epetição, com escolhas aleatóias tomadas de uma população de tamaho. Calcula a pobabilidade do eveto: ehum elemeto apaece mais de uma vez a mesma amosta úmeo de amostas sem epetição p úmeo de amostas total úmeo de amostas sem epetição úmeo de amostas com epetição ) p

4 s Modelagem Aalítica Bolas e CélulasC Se bolas são aleatoiamete colocadas em células, c qual é a pobabilidade p de que todas as células c sejam ocupadas bola em cada)? p / Este valo é supeedetemete pequeo paa 7,, p 0,006 Se, em uma cidade, a média m de acidetes semaais é igual a sete, etão paticamete todas as semaas teão dias sem acidetes e dias d com mais de um acidete. Apeas em uma a cada apoximadamete 65 semaas teemos uma semaa com um acidete po dia. Elevado Um elevado de um pédio com 0 adaes deixa o téeo t com 7 pessoas. Qual é a pobabilidade p de que ão haja a saída de mais de uma pessoa em um mesmo ada? 0) p 7 0, s 4 Modelagem Aalítica Aivesáios ios As datas de aivesáio io de pessoas fomam uma amosta de tamaho com cada elemeto tomado do espaço o de 65 dias do ao. Qual é a pobabilidade de que aivesáios ios caiam em datas difeetes? 65) p 65 Paa, p < 0,5 Em um gupo de pessoas, a pobabilidade de ecota duas que teham a mesma data de aivesáio io é supeio a 50 % Combiações: Subpopulações Modelagem Aalítica Dada uma população de tamaho,, quatas difeetes de tamaho existem deto dela? populações e são cojutos ão impota a odeação são também m chamadas combiações de elemetos da população Combiações: Subpopulações Modelagem Aalítica Dada uma população de tamaho,, quatas difeetes de tamaho existem deto dela? Deto de uma população de elemetos, tem-se ) aajos de tamaho Váios desses aajos coespodem a uma mesma combiação pois são os mesmos elemetos odeados de foma difeete Sabemos que, dado um cojuto de elemetos temos aajos possíveis desses elemetos Todos esses aajos coespodem a um mesmo elemeto da subpopulação ) Etão o úmeo N pocuado é N ) 5 6

5 Coeficiete Biomial ) Defiição ) Obs.: Modelagem Aalítica Teoema Uma população de elemetos possui Modelagem Aalítica difeetes de tamaho Paa se válido paa qualque 0, defie-se 0 0 ) : Poblema de Ocupação 9 Modelagem Aalítica Cosidee a distibuição aleatóia de bolas em células aajos com pobabildade - cada Acha a pobabilidade p de que uma célula c específica coteha exatamete bolas ) bolas podem se escolhidas de maeias difeetes as bolas estates podem se colocadas as células estates de ) fomas difeetes p ) Teoema Sejam,..., iteios tais que Modelagem Aalítica O úmeo de maeias pelas quais uma população de elemetos pode se paticioada em de tamahos,..., espectivamete é igual a

6 Modelagem Aal Modelagem Aalítica tica Demosta Demostação ão ) ) ) ) ) ) )...