Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)

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1 Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

2 Ponto Crítico Considere uma função diferenciável f. O plano tangente a superfície dada por z = f (x, y) no ponto P = (x, y, z ), com z = f (x, y ), é definido pela equação z z = f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ). Se o plano tangente é paralelo ao plano (x, y), ou seja, se então dizemos: f x (x, y ) = e f y (x, y ) =, O ponto P = (x, y, z ) é um ponto estacionário da superfície; O ponto (x, y ), no domínio de f, é um ponto estacionário ou ponto crítico de f. Dizemos também que (x, y ) é um ponto crítico de f se uma das derivadas parciais não existir.

3 Máximo, mínimo e ponto de sela Os pontos estacionários de uma superfície são geralmente classificados como: Máximo - que pode ser interpretado como o topo de uma montanha; Mínimo - que pode ser interpretado como o fundo de um vale; Ponto de Sela - que pode ser interpretado como uma passagem entre montanhas. Formalmente, temos as seguintes definições:

4 Máximo Definição (Máximo Global e Local) Uma função f : D R tem um máximo absoluto ou máximo global em a se f (x) f (a), x D. Dizemos a é um máximo relativo ou máximo local de f se f (x) f (a), x próximo de a.

5 Exemplo Considere a função f (x, y) = x y. z x y 3 Note que f (x, y) = x y = f (, ), para qualquer (x, y) R. Logo, (, ) é um máximo absoluto de f.

6 Mínimo Definição 3 (Mínimo Global e Local) Uma função f : D R tem um mínimo absoluto ou mínimo global em a se f (a) f (x), x D. Dizemos a é um mínimo relativo ou mínimo local de f se f (a) f (x), x próximo de a.

7 Exemplo 4 Considere a função f (x, y) = x + y. z x y 3 Note que f (x, y) = x + y = f (, ), para qualquer (x, y) R. Logo, (, ) é um mínimo absoluto de f.

8 Valor Extremo Definição 5 (Valor Extremo) Um número que é um máximo ou um mínimo local é chamado valor extremo de f. Teorema 6 Se f é diferenciável e tem um valor extremo num ponto a no interior de seu domínio, então devemos ter f (a) =. No entanto, podemos encontrar exemplos no qual f (a) = mas f não tem valor extremo em a.

9 Ponto de Sela Definição 7 (Pontos de Sela) Um ponto estacionário a de uma função diferenciável f é um ponto de sela se qualquer bola aberta B de centro a contém pontos x e y tais que f (x) < f (a) < f (y). O conceito de ponto de sela é análogo à noção de ponto de inflexão para uma função f : R R.

10 Exemplo 8 Considere a função f (x, y) = xy cujo gráfico é o paraboloide hiperbólico z x y 3 Observe que o gradiente de f é f (x, y) = (y, x).

11 Logo, f (, ) = (, ). Porém, (, ) não é um extremo de f. Vamos mostrar que (, ) é um ponto de sela. Considere uma bola aberta B que contém (, ). A bola necessariamente contém um ponto (x, y ) no primeiro quadrante e um ponto (x, y ) no segundo quadrante. Em outras palavras, (x, y ) são tais que x > e y >. Similarmente, (x, y ) são tais que x > e y <. Agora, f (x, y ) < f (, ) } {{ } } {{ } =x y = < f (x, y ). } {{ } =x y

12 Exemplo 9 Considere a função f (x, y) = x 3 3xy, cujo gráfico é 6 4 z x y 3 também possui um ponto de sela na origem.

13 Exemplo Considere a função f (x, y) = x y, cujo gráfico é z x y 3 possui um mínimo absoluto na origem porque f (x, y) f (, ) para qualquer (x, y).

14 Matriz Hessiana Definição (Matriz Hessiana) A matriz n n com as derivas de segunda ordem de uma função de n variáveis é chamada matriz Hessiana e denotada por H(x). Em outras palavras, D f (x) D f (x)... D n f (x) D f (x) D f (x)... D n f (x) H(x,..., x n ) = D n f (x) D n f (x)... D nn f (x)

15 Exemplo Determine o vetor gradiente e a matriz Hessian da função f (x, y) = x y no ponto (, ).

16 Exemplo Determine o vetor gradiente e a matriz Hessian da função f (x, y) = x y no ponto (, ). Resposta: f (x, y) = ( x, y) = f (, ) = (, ), e H(x, y) = [ ] = H(, ) = [ ].

17 Teorema da Hessiana Teorema 3 (Teorema de Hessiana) Seja f : D R uma função com derivadas de segunda ordem contínuas numa bola aberta que contém um ponto estacionário a de f. Nesse caso, Se todos os auto-valores de H(a) são positivos, f tem um mínimo relativo em a. Se todos os auto-valores de H(a) são negativos, f tem um máximo relativo em a. Se H(a) tem auto-valores positivos e negativos, a é um ponto de sela de f.

18 Teste da Segunda Derivada Teorema 4 (Teste da Segunda Derivada) Seja f : D R uma função de duas variáveis com derivadas de segunda ordem contínuas numa bola aberta que contém um ponto estacionário (a, b) de f. Denote o determinante da matriz Hessian em (a, b) por D, ou seja, D = f xx f xy = f xxf yy (fxy). Nesse caso, tem-se f yx f yy Se D > e f xx (a, b) >, f tem um mínimo relativo em (a, b). Se D > e f xx (a, b) <, f tem um máximo relativo em (a, b). Se D <, é um ponto de sela de f.

19 Exemplo 5 Determine os pontos de máximo e mínimo relativos e os pontos de sela da função f (x, y) = x 4 + y 4 4xy +.

20 Exemplo 5 Determine os pontos de máximo e mínimo relativos e os pontos de sela da função f (x, y) = x 4 + y 4 4xy +. Resposta: Os pontos críticos são: (, ), (, ) e (, ). Aplicando o teste da segunda derivada, concluímos que (, ) é um ponto de sela quanto os outros dois são mínimos relativos.

21 Gráfico da função f (x, y) = x 4 + y 4 4xy + : 4 3 z x y 3

22 Exemplo 6 Determine a menor distância entre o ponto (,, ) e o plano x + y + z = 4.

23 Exemplo 6 Determine a menor distância entre o ponto (,, ) e o plano x + y + z = 4. Resposta: A menor distância é

24 Teorema do Valor Extremo Teorema 7 (Teorema do Valor Extremo) Se f é uma função contínua em um conjunto fechado e limitado D R n, então f assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em pontos de D. Observação: Para determinar os valores extremos de uma função f em um conjunto fechado e limitado D, deve-se:. Determinar os valores de f nos pontos críticos de f em D.. Determinar os valores extremos de f na fronteira de D. O maior dos valores nos itens e é o valor máximo absoluto de f e o menor dos itens e é o mínimo absoluto de f.

25 Exemplo 8 Determine os valores extremos de f (x, y) = x xy + y, no retângulo D = {(x, y) : x 3, y }.

26 Exemplo 8 Determine os valores extremos de f (x, y) = x xy + y, no retângulo D = {(x, y) : x 3, y }. Resposta: O valor máximo de f em D é f (3, ) = 9 e o valor mínimo absoluto de f é f (, ) = f (, ) =.

27 Gráfico da função f (x, y) = x xy + y, no retângulo D = {(x, y) : x 3, y }.f (x, y) = x 4 + y 4 4xy + : z x y

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