Aplicação da Lei Gauss: Algumas distribuições simétricas de cargas

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1 Aplicação da ei Gauss: Algumas distibuições siméticas de cagas Como utiliza a lei de Gauss paa detemina D s, se a distibuição de cagas fo conhecida? s Ds. d A solução é fácil se conseguimos obte uma supefície fechada tal que: D s 1. eja em qualque luga nomal ou tangencial à supefície fechada, o que conduz a que D s. d Ds. d ou Ds. d espectivamente. D s.d 2.uando não é zeo o valo de D s é constante

2 .d Podemos assim substitui o poduto escala Ds pelo poduto dos escalaes Ds e d, e potanto simplifica a integação. A integação estante não é mais um integal de supefície sobe a supefície fechada que atavessa nomalmente. D s O conhecimento da simetia do poblema é aqui muito impotante. Um pequeno exemplo: Consideando uma caga pontual na oigem de um sistema de coodenadas esféicas, detemina o valo da densidade de fluxo eléctico povocada pela caga pontual.

3 A supefície a utiliza é uma esfea centada na oigem e com aio qualque. D s é em qualque luga da supefície esféica nomal a esta. D s O valo de é constante em todos os pontos da efeida supefície. Teemos então que: E potanto: Ds 4π 2 Ds Ds. d 2π π 2 Ds. d esf Ds sen θdθdφ d esf 4π 2 Ds Tendo em conta que pode se qualque e D s é diigido adialmente teemos que: Ds u 2 e E u 2 4π 4πε

4 Outo exemplo: Consideando uma linha com distibuição unifome de cagas,, petencentes ao eixo Z, estendendo-se de - a +. Paa soluciona este poblema é impotante conhece: 1. As coodenadas com as quais vaia o campo eléctico 2. ue componentes existem no vecto Na aplicação da ei de Gauss é fundamental a consideação da simetia do poblema que petendemos esolve. No caso da linha de cagas efeida é óbvio que somente a componente adial estaá pesente no vecto ou seja: D D

5 . D D u A componente D é uma função de, ou seja D f() Uma vez conhecida a simetia do poblema vamos escolhe a supefície fechada paa a qual vamos detemina o valo de D s A supefície que espeita as condições efeidas anteiomente é, sem dúvida um cilindo, pois é a única na qual D seá sempe nomal. A figua ao lado mosta uma possível supefície cilíndica que se entende de z até z.

6 A aplicação da ei de Gauss conduz a: cil Ds Ds. d 2π Z φ Ds d lados + d topo + d φ d z 2Dsπ d base Ds Tendo em conta que: D 2π Vem que: D E P P 2π 2πε Repaa que se obteve, de foma mais simples, a expessão do campo eléctico ciado po uma linha de cagas.

7 O poblema do cabo coaxial Admitamos dois condutoes cilíndicos coaxiais, um inteno com aio a e outo exteno com aio b, cada um com compimento infinito. Admite-se que o conduto inteno tem uma distibuição de cagas supeficial igual a. É um poblema extemamente complicado de se esolvido utilizando a ei de Coulomb. A simetia do poblema mosta que só existe componente D e que esta é função apenas de. A supefície gaussiana a considea é um cilindo de compimento e de aio tal que a < < b.

8 Consideando a supefície gaussiana efeida teemos: Ds 2π A caga total de um compimento do conduto inteno é: 2π z φ adφdz 2πa s De onde podemos etia que: D a a D u a < < b

9 Tendo em conta que a densidade supeficial de caga do conduto inteno pode se epesentado como uma densidade linea atavés de: E então teemos que: 2 πa 2πa D 2π u a < < b Ou seja, um esultado idêntico aquele obtido paa uma linha infinita de cagas utilizando a lei de Coulomb.

10 Recodando as expeiências de Faaday, podemos esceve que a Caga pesente na supefície extena seá: De onde podemos etia que: πa cil. ext 2, cil.int 2πb, cil. ext 2πa, cil.int, cil. ext., cil a b O que acontece se adoptamos paa a supefície gaussiana um cilindo com aio >b???.int.

11 Neste caso, a caga envolvida seá nula. Ao + da supefície intena contapõe-se da supefície extena. e a caga envolvida é nula teemos que: D 2π D Paa <a teemos um esultado idêntico. Conclusões? O conduto exteno age como uma blindagem evitando que o campo do conduto inteno suja no exteio do conduto exteno No inteio do conduto cental não existe campo

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