Analise de Investimentos e Custos Prof. Adilson C. Bassan

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1 Aalise de Ivestimetos e Custos Prof. Adilso C. Bassa JUROS SIMPLES 1

2 Juro e Cosumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferêcia temporal: preferem cosumir a poupar. O prêmio para quem poupa é o juro. Juro e Capital O Capital também é escasso. O Juro é a remueração pelo uso do capital. O Juro é a remueração pelo custo do crédito. 2

3 Taxa de Juros Juro e tempo adam jutos. O juro é determiado através de um coeficiete referido a um dado itervalo de tempo. O coeficiete correspode à remueração da uidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex.: 12 % ao ao. Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL Na forma porcetual a taxa de juros é aplicada a cetos do capital. Ex.: 12% ao ao. FORMA UNITÁRIA Na forma uitária a taxa de juros é aplicada a uidades do capital. Ex.: 0,12 ao ao. 3

4 CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES A remueração pelo capital iicial (o pricipal) é diretamete proporcioal: - Ao valor aplicado; - Ao tempo de de aplicação. CÁLCULO DO JURO FÓRMULA BÁSICA: J = C. i. ode: J = Juro C = Capital iicial (Pricipal) i = Taxa de Juros (a forma uitária) = prazo de aplicação (a mesma uidade que a taxa) 4

5 Exemplo Supohamos que se tome emprestada a quatia de $1.000,00 pelo prazo de 2 aos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro? Resolução: Capital Iicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos () = 2 aos Trabalhado com a taxa de juros a forma uitária, temos o juro do primeiro ao como sedo: J 1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 No segudo ao, teremos: J 2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 Exemplo O juro total será a soma do juro devido o primeiro ao (J 1 ) mais o juro devido o segudo ao (J 2 ) J = J 1 + J 2 J = 100, ,00 = $ 200,00 Ou etão, podemos resolver o problema diretamete: J = 1.000,00 X 0,10 X ,00 X 0,10 X 1 J = 1.000,00 X 0,10 X 2 J = $ 200,00 5

6 CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES Variações da fórmula básica. J = C.i. C J i i J C J Ci MONTANTE JURO SIMPLES EXEMPLO Motate é a soma do juro mais o capital aplicado. ode: C= pricipal = prazo de aplicação i = taxa de juros N = C + J N = C(1 + i) 6

7 Exemplo Qual é o motate de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 aos? Resolução: Capital Iicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos () = 2 aos E sedo: N = C(1+i) Substituido-se os valores, tem-se: N = 1.000(1+0,10 x 2) N = 1.000(1+0,20) N = x 1,20 N = $ 1.200,00 Exemplo É possível resolver o problema, seguido-se a defiição dada por motate: a) Calculado o juro devido: J = Ci J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $200,00 b) Somado-se o juro com o pricipal: N = C + J N = 1.000, ,00 = $1.200,00 7

8 MONTANTE JURO SIMPLES N = C(1 + i) N C 1 i i N C 1 N C i 1 JUROS COMPOSTOS 8

9 Juros Compostos Juros Simples: Apeas o capital iicial rede juros; O Juro é diretamete proporcioal ao tempo e à taxa. Juros Compostos: O Juro gerado pela aplicação, em um período, será icorporado; No período seguite, o capital mais o juro passa a gerar ovos juros; O regime de juros compostos é mais importate, porque retrata melhor a realidade. Difereça etre os regimes de capitalização C o = 1000,00 i= 20 % a.a. = 4 aos Juros Simples Juros Compostos Juro por Período Motate Juro por período Motate x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 = x 0,2 =

10 Motate O cálculo do motate, em juros compostos é dado pela fórmula: C Co( 1 i) C = motate ao fim de períodos C o = capital iicial = úmero de períodos i = taxa de juros por período Exemplo Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o motate a ser devolvido? Resolução: C 0 = i = 2% a.m. = 10 meses Temos: C C C C C C (1 i) 1.000(1 0,02) 1.000(1,02) 10 0 C 0(1 i) $1.218,

11 Cálculo de Juro O juro é dado pela fórmula seguite: J Co.[( 1i) 1] J = juros após períodos C o = capital iicial = úmero de períodos i = taxa de juros por período Exemplo Qual o juro pago o caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses? Resolução: C 0 = i = 2% a.m. = 10 meses Temos: J J J [ C 0 (1 i) 1] 1.000[(1 0,02) 1.000[(1,02) 10 J [0,21899] J 10 $218, ] 1] 11

12 Valor Atual e Valor Nomial O Valor Atual correspode ao valor da aplicação em uma data iferior à do vecimeto. O Valor Nomial é o valor do título a data do seu vecimeto. V N ( 1 i ) V = valor atual N = valor omial i = taxa de juros = úmero de períodos que atecede o vecimeto do título Exemplo a) Por quato devo comprar um título, vecível daqui a 5 meses, com valor omial de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos correte for de 2,5% a.m.? Resolução: V N=1.131,40 = 5 Meses 12

13 Exemplo N = 1.131,40 i = 2,5 % a.m. = 5 meses V V V N (1 i) 1.131,40 5 (1,025) $1.000, ,40 1, Portato, se comprar o título por $ 1.000,00, ão estarei fazedo mau egócio. Exemplo b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vece daqui a 1 ao, com valor omial de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, vecível daqui a 3 meses e o valor de $ 1.080,00. Sabedo-se que a taxa correte de mercado é de 2,5% a.m., perguta-se se a troca proposta é vatajosa. Resolução: N * =1.080,00 N=1.344,

14 Exemplo O valor atual a data focal zero da letra de câmbio que vece em 12 meses é dado por: V V 1 1 V N 1344, (1 i) (1,025) 1.344, , 00 1, $1.000, 00 Calculemos agora o valor atual a data zero, da letra que vece em 3 meses: N * 1080, 00 V (1 i) (1, 025) Exemplo 1.080,00 V 2 1, V 2 $1.002,89 Comparado os dois valores atuais costatamos que: V 2 V 1 Ou seja, o título que vece em 3 meses tem um valor atual um pouco maior que o que vece em 12 meses. Portato, a troca seria vatajosa. 14

15 Taxas Equivaletes Duas taxas de juros são equivaletes se, cosiderados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for idiferete aplicar em uma ou em outra. q p iq 1 i 1 iq ( 1i) 1 d ode: i q = taxa referete a uma fração 1/q a que se refere a taxa i. i = taxa referete a um itervalo de tempo uitário ode: P = prazo pedido d = prazo dado Exemplo a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determiar a taxa de juros compostos equivalete mesal. Resolução: Sedo que: Portato: ou iq q i 1 1 q = 3 meses i = 9,2727% a.t. i i i i i 3 1 0, , , ,03a. m. 3% a. m. 1 15

16 Exemplo b) Supohamos que C 0 = 1.000,00; i q = 2% a.m.; i = 26,824% a.a. e = 1 ao. Verificar se i e i q são equivaletes. Resolução: Para verificar se as duas taxas são equivaletes, vamos aplicar o capital de $ 1.000,00 pelo mesmo prazo. Vamos adotar 1 ao, que é o período de aplicação correspodete à taxa i. O motate à taxa i, é: C 1 = 1.000(1,26824) C 1 = $ 1.268,24 Calculado-se o motate em 12 meses para a taxa i q, tem-se: C 1 = 1.000(1,02) 12 C 1 = 1.000(1,268242) Logo: C 1 = $ 1.268,24 Exemplo Portato, como C 1 = C 1, podemos cocluir que a taxa de 2% a.m. é equivalete à taxa de 26,824% ao ao. Note-se que esta taxa é maior que a taxa equivalete obtida a juros simples (ou seja: 2% x 12 meses = 24% ao ao). c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% ao ao ou de 33,1% ao triêio, determiar a melhor aplicação. Resolução: Para determiar qual a melhor aplicação, vamos a- plicar o capital dispoível às duas taxas e por um mesmo prazo. Façamos a aplicação por 3 aos, que é o período da seguda taxa. 16

17 Exemplo Aplicado à taxa de 10% a.a. C 3 = 1.000(1 + 0,10) 3 C 3 = 1.000(1,331) C 3 = $ 1.331,00 Aplicado à taxa de 33,1% ao triêio, por um triêio: C 1 = 1.000(1 + 0,331) 1 C 1 = 1.000(1,331) C 1 = $ 1.331,00 É portato, idiferete aplicar-se a qualquer das taxas; ou seja, as taxas são equivaletes. Exemplo Portato: C,p/q = C (1 + i) p/q C 5,1/2 = C 5 (1,10) 1/2 C 5,1/2 = 1.610,51(1,048809) C 5,1/2 = $ 1.689,12 b) usado a fórmula: C,p/q = C 0 (1 + i) +p/q C 5,1/2 = 1.000(1,10) 5+1/2 C 5,1/2 = 1.000(1,10) 5,5 C 5,1/2 = $ 1.689,12 17

18 Taxa Efetiva e Nomial Diz-se que a taxa é omial quado o período de capitalização ão coicide com o período da taxa. e i k k C k C o( 1 ) i f i k ( 1 ) 1 k Taxa Efetiva e Nomial i = taxa omial i f = taxa efetiva k = úmero de capitalizações para 1 período da taxa efetiva = úmero de períodos de capitalização da taxa omial C 0 = Pricipal C k = Motate 18

19 Exemplo 1) Um baco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotado a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ ,00, feito por 1 ao? Resolução: Adotado-se a coveção de que a taxa por período de capitalização seja a taxa proporcioal simples à taxa omial dada, tem-se: i = 5% a.a. i' i k 5 2 2,5% a. s. Ode k correspode ao prazo de formação de juros, ou seja, é o úmero de vezes em que foi dividido o período correspodete à taxa dada. Nestas codições, o motate o primeiro semestre é dado por: Exemplo C 1 = C 0 (1+i/k) 1 C 1 = (1 + 0,025) 1 = $ ,00 E, o segudo semestre, tem-se: C 2 = (1 + 0,025) 1 =$ ,25 O motate que seria devido caso a capitalização fosse aual é dado por: C = C 0 (1 + i) 1 C = (1 + 0,05) = $ ,00 Costatamos que existe uma pequea difereça para mais o motate, quado o prazo de capitalização ão coicide com o prazo da taxa. 19

20 Exemplo A taxa efetiva esta operação, em que temos duas capitalizações, é dada por: ou i f = 506,25/10.000,00 = 0, a.a. i f = 5,0625% a.a. E a taxa efetiva quado a capitalização é feita o período da taxa é: i f = 500,00/10.000,00 = 0,05 a.a. ou i f = 5% a.a. Exemplo Observe-se que podemos obter o resultado diretamete, a- plicado os $ ,00 em dois semestres: C 2 = (1,025) 2 = ,25 A taxa efetiva é dada por: 1 + i f = (1,025) 2 = 1, i f = 5,0625% a.a. 20

21 Exemplo 2) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 aos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o motate e a taxa efetiva da operação. Resolução: i = 10% a.a. K = 2 = 3 aos Portato: C k = C 0 (1 + i/k) k C 6 = (1 + 0,10/2) 2.3 C 6 = (1 + 0,05) 6 C 6 = $ 1.340,10 A taxa efetiva é dada por: i f = (1 + i/k) 2-1 i f = (1 + 0,05) 2-1 i f = 10,25% a.a. MONTANTE JURO SIMPLES C = Co (1 + i) C Co C i ( 1 i) Co 1 log C C log(1 i) 21

22 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Redas Certas ou Auidades Defiições: Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas: R 1 1 R R m m Estes capitais, referidos a uma dada taxa de juros i caracterizam uma auidade ou reda certa. VALORES = Termos da auidade; PERÍODO = Itervalo de tempo etre dois termos; DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos. 22

23 Valor Atual e Motate de uma Auidade Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos seus termos, a mesma data focal e à mesma taxa de juros i. Motate: é a soma dos motates dos seus termos, cosiderada uma dada taxa de juros i e uma data focal. Classificação das Auidades QUANTO AO PRAZO: Temporárias: quado a duração for limitada. Perpétuas: quado a duração for ilimitada. QUANTO AO VALOR DOS TERMOS: Costate: quado todos os termos são iguais. Variável: quado os termos ão são iguais etre si. 23

24 Classificação das Auidades QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: Imediatas: quado os termos são exigíveis a partir do primeiro período. -> Postecipadas ou Vecidas: se os termos são exigíveis o fim dos períodos. -> Atecipadas: se os termos são exigíveis o iício dos períodos. Classificação das Auidades QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO: Diferidas: quado os termos forem exigíveis a partir de uma data que ão seja o primeiro período. -> Postecipadas ou Vecidas: se os termos são exigíveis o fim dos períodos. -> Atecipadas: se os termos são exigíveis o iício dos períodos. 24

25 Classificação das Auidades QUANTO À PERIODICIDADE: Periódicas: se todos os períodos são iguais. Não-periódicas: se os períodos ão são i- guais etre si. Modelo Básico de Auidade São as auidades que são: Temporárias; Costates; Imediatas e Postecipadas; Periódicas; A taxa de juros i está referida ao mesmo período dos termos. 25

26 Valor Atual do Modelo Básico P = pricipal = úmero de termos R = termos i = taxa de juros P 0 R R R 1 2 P R. a i Diz-se que o pricipal vai ser pago em parcelas (prestações) iguais a R. Valor Atual do Modelo Básico a i = lê-se a,, catoeira, i ou a,, i. O cálculo de a i é feito do seguite modo: (1 i) 1 a i i(1 i) Esta fórmula ecotra-se tabelada para diversos valores de e de i 26

27 Exemplo I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mesais de $ 2.626,24, sem etrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguite ao da compra e o vededor afirmou estar cobrado uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Perguta-se o preço do carro à vista. Resolução: (1 i) 1 a i i(1 i) ode: = 4 meses i = 2% a.m. a i 4 (1,02) 1 4 0,02.(1,02) 3, Portato, como R = 2.626,24: P = 2.626,24 x 3, = ,00 Exemplo II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser fiaciado sem etrada em 10 prestações mesais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. Resolução: P R a i ode: P = 5.000,00 = 10 m. i = 3% a.m. Procurado uma tabela ou calculado diretamete, tem-se: a 10 3 R 8, ,00 8, $586,15 27

28 Exemplo Portato, o comprador deverá pagar uma prestação mesal de $ 586,15, por 10 meses. III) Uma aparelhagem de som estereofôico está auciada as seguites codições: $ 1.500,00 de etrada e 3 prestações mesais iguais de $ 1.225,48. Sabedo-se que o juro cobrado as lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista. Resolução: Chamado a etrada de E e as prestações de R, temos: P R R R E { Exemplo Portato, o pricipal (P), que é o valor atual das prestações a data zero somado à etrada (E), pode ser expresso do seguite modo: P ode: E = 1.500,00 R = 1.225,48 E Ra a 3 2,5 2, ,5 Logo: P = 1.500, ,48 x 2, P = 1.500, ,00 P = $ 5.000,00 Portato, o preço à vista as codições dadas é de $ 5.000,00. 28

29 Motate do Modelo Básico 1(1 i) r i i S = motate = úmero de termos R = termos i = taxa de juros P R r Diz-se que s é o resultado de um processo de capitalização (aplicação) de parcelas iguais a R. i Exemplo V) Um tapete persa é vedido por $ ,00 à vista. Pode ser adquirido também em prestações mesais de $ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabedo que as prestações vecem a partir do mês seguite ao da compra, pede-se para calcular o úmero de prestações. Resolução: Temos que: P R. a (1,03 ) i ,71. a a ,71 16, (1,03 ) 16, (1,03 ) 0,03 0, ,

30 Exemplo Extraido o logaritmo dos dois membros, tem-se: log(1, 03) log(0, ) log(0, ) log(1,03) 0, meses 0, Motate do Modelo Básico S = motate = úmero de termos R = termos i = taxa de juros S R R R S R. s Diz-se que s é o resultado de um processo de capitalização (aplicação) de parcelas iguais a R. i 30

31 Exemplo I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mesalmete. Sabedo-se que ela está gahado 2% a.m., quato possuirá em 2 aos? Resolução: S R. S i ode: R =1.000,00 S , Portato: S = 1.000,00 x 30, S = $ ,86 Logo, após 2 aos, a pessoa possuirá $ ,86. Motate do Modelo Básico s i O cálculo de = lê-se s,, catoeira, i ou s,, i. s i é feito do seguite modo: s i ( 1i) 1 i Esta fórmula ecotra-se tabelada para diversos valores de e de i (ver tabelas o fim do livro). 31

32 Exemplo II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ ,00 à vista, daqui a 12 meses. Admitido-se que ela vá poupar uma certa quatia mesal que será aplicada em letras de câmbio rededo 2,2% a.m. de juros compostos, determiar quato deve ser poupado mesalmete. Resolução: Neste caso, o motate é dado: S = ,00 Como a taxa de 2,2% ão se ecotra tabelada, fazemos o cálculo diretamete: 12 (1,022 ) 1 1, S 12 2,2 0,022 0,022 0, , ,022 1 Exemplo Temos: S R S12 2, R 2.948,99 13, R $2.949,00 Etão, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro pretedido. 32

33 Exemplo Já sabemos que o Baco B devolve: S B = $ ,00 Logo, cocluímos que é melhor aplicar o Baco A, gahado um adicioal de $ 772,83. 33

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