Otimização e complexidade de algoritmos: problematizando o cálculo do mínimo múltiplo comum

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1 Otimização e complexidade de algoritmos: problematizado o cálculo do míimo múltiplo comum Custódio Gastão da Silva Júior 1 1 Faculdade de Iformática PUCRS Porto Alegre RS Brasil Abstract. This article itroduce three differet approaches to compute Least Commo Multiple, M(), whe is i the rage of from 2 to 42. They're usig calculatio by brute force approaches, factorig theorem ad partially ordered set. Together with the approaches we are itroducig the results ad performace compariso. Resumo. Este artigo apreseta três abordages diferetes para computar o míimo múltiplo comum, M (), para variado de 2 a 42. São utilizadas as abordages de cálculo por força bruta, teorema da fatoração e cojutos parcialmete ordeados. Apresetamos juto com as abordages os resultados obtidos e uma comparação de desempeho. 1. Itrodução O desafio que este estudo propõe é o de pesquisar mecaismos que possibilitem desevolver algoritmos que sejam capazes de ecotrar o meor úmero que seja, ao mesmo tempo, divisível por todos os úmeros iformados e oferecer uma comparação de desempeho etre os algoritmos desevolvidos. Por simplificação, limitamos a faixa de úmeros escolhidos, a forma Essa faixa foi escolhida por ser, ao osso poto de vista, suficiete para o estudo, visto que o meor úmero positivo divisível por todos os úmeros meores que 42 é um úmero de 64bits. 2. Primeira solução: força bruta Em ossa primeira tetativa de solucioar o desafio apresetado, fizemos a coversão do problema diretamete para um algoritmo. A idéia cotida este algoritmo é: dado um úmero iformado, ecotrar o primeiro úmero em ordem crescete, M(), que seja divisível por todos os úmeros a faixa 2 M(). A algoritmo desevolvido pode ser aalisado a Figura 1.

2 Figura 1. Pseudocódigo desevolvido com a abordagem força bruta Deixamos este algoritmo executado por um período de oito horas. Neste tempo foram ecotrados algus dos úmeros procurados. Os resultados foram tabulados e mostrados a Tabela 1. Tabela 1. Meores múltiplos ecotrados a faixa 2 26 M() Tempo (ms) M() Tempo (ms) , , , , , , Aalisado os resultados obtidos, verifica-se que o tempo requerido para processameto dos úmeros acima de M(11) começa a crescer de forma ão liear coforme visto a Figura 2 e por esse motivo, apesar de retorar resultados corretos, ão pode ser apresetado como uma solução ao euciado, visto que este algoritmo ão atede o míimo de performace esperado.

3 Tempo (ms) , ,10 11, , ,24 25,26 Figura 2. Relação de tempo por múltiplo ecotrado. 2. Seguda solução: teorema da fatoração úica Em virtude do problema de performace apresetado pelo algoritmo visto a Figura 1, resolvemos etão pesquisar outras formas de ecotrar o míimo múltiplo comum de uma faixa de úmeros. Em uma rápida pesquisa a Wikipédia [Wikipedia, 2007a], ecotramos o cálculo do míimo múltiplo comum sedo realizado por meio do teorema da fatoração úica esse teorema afirma que qualquer úmero maior que 1 pode ser escrito de um só modo como potêcias de úmeros s e que para ecotrar o míimo múltiplo comum basta fatorar os úmeros e recolher os resultados elimia-se a duplicação escolhedo o úmero de maior expoete. O míimo múltiplo comum é o produto desses fatores. Exemplificado: MMC(2,3,4,5,6) = 60 I. 2 = 2 1 II. 3 = 3 1 III. 4 = 2 2 IV. 5 = 5 1 V. 6 = 2 1 * 3 1 Calculado o produto dos s: 2 2 * 3 1 * 5 1 = 60 Achamos iteressate esse euciado e decidimos implemeta-lo. Isso foi realizado em duas fases: a primeira que fatora os úmeros, Figura 3; e a seguda que selecioa os úmeros s ecessários para o cálculo, Figura 4;

4 Figura 3. Pseudocódigo resposável por fatorar os úmeros meores que Resultados ecotrados por este algoritmo: * Tabela 2. es s para todos os úmeros a faixa * * * * * * * * * * * *3 1 * * * * * * * * *3 1 *7 1 A Tabela 2 cotém a fatoração de todos os úmeros meores que 43. De acordo com a teoria da fatoração úica, podemos utilizar este resultado para calcular o míimo múltiplo comum de uma faixa de úmeros qualquer, observado o limite defiido para este estudo: Para fialmete ecotrarmos o míimo múltiplo comum, basta selecioarmos os fatores, aplicado a regra de pegar sempre os maiores expoetes caso teham algum fator duplicado, e a partir dos fatores selecioados, calcular o produto destes fatores. O algoritmo descrido a Figura 4 demostra como selecioar os fatores, cosiderado a regra de pegar o maior expoete.

5 Figura 4. Pseudocódigo que separa os fatores repetidos com maior expoete Tabela 3. Tabela de resultados completa míimo múltiplo comum = *3 1 = *3 1 =12 5,6 2 2 *3 1 *5 1 = *3 1 *5 1 *7 1 = *3 1 *5 1 *7 1 =840 9, *3 2 *5 1 *7 1 = , *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 = *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 *13 1 = *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 *13 1 = , *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 = *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 = , *3 2 *5 1 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 = , *3 2 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 = , *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 = , *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 *29 1 = *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 *29 1 *31 1 = *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 *29 1 *31 1 = *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 *29 1 *31 1 *37 1 = , *3 3 *5 2 *7 1 *11 1 *13 1 *17 1 *19 1 *23 1 *29 1 *31 1 *37 1 *41 1 = Comparado a Tabela 3 com a tabela de referêcia (Tabela 1), temos os mesmo valores gerados a primeira solução o que os leva a crer que os resultados para, ode 26 42, estão corretos. O iteressate dessa solução é que o tempo de resposta é de meos de 1 ms, o que resolve o problema de performace apresetado a primeira solução. Agora que temos a tabela de resultados completa e temos performace, será que coseguimos gerar esses mesmos resultados de uma outra forma?

6 3. Terceira solução: cojutos parcialmete ordeados Pesado um pouco mais sobre o problema, resolvemos abordá-lo como um cojuto parcialmete ordeado [Davey, 2002] o ituito de verificar se esse cojuto é um reticulado [Meezes, 2005], pois uma das propriedades que esse cojuto respeita é de ter o poto de itersecção superior ( ) etre os elemetos o míimo múltiplo comum desses elemetos [Wikipedia, 2007b]. Etão seja α um cojuto parcialmete ordeado com a sua ordem defiida por x y os úmeros aturais. α = {1,2,3,..., 42} Para fis de modelagem e simplificação, vamos particioar o problema em vários ceários e em cada um deles vamos tratar um subcojuto de α. Figura 5. Diagrama de Hasse proposto para α 1 (A), α 2 (B) e α 3 (C) Ceário 3.1: dado α 1 = {1,2}, qual o M(2)? Com o diagrama de Hasse desehado (Figura 5-A), é possível verificar que o do cojuto é 2. Logo, M(2) = 2. Ceário 3.2: dado α 2 = {1,2,3}, qual o M(3)? Aalisado o diagrama de Hasse gerado (Figura 5-B) e com raciocíio aálogo ao Ceário 3.1 temos que = 6. Ceário 3.3: dado α 3 = {1,2,3,4}, qual o M(4)? Por raciocíio aálogo: = 12, (Figura 5-C) Ceário 3.4: dado α 4 = {1,2,3,4,5}, qual o M(5)? Por raciocíio aálogo: = 60, (Figura 6)

7 Figura 6. Diagrama de Hasse proposto para α 4 e α 5 Ceário 3.5: dado α 5 = {1,2,3,4,5,6}, qual o M(6)? Por raciocíio aálogo: = 60, (Figura 6) Ceário 3.6: dado α 6 = {1,2,3,4,5,6,7}, qual o M(7)? Por raciocíio aálogo: = 420, (Figura 7) Figura 7. Diagrama de Hasse proposto para α 6 Observado esses ceários deduzimos algumas coclusões iteressates: o reticulado mostra o míimo múltiplo comum de quaisquer elemetos do cojuto;

8 o topo do reticulado demostra o míimo múltiplo comum de todos os elemetos do cojuto; um mesmo míimo múltiplo comum pode ser comum para valores de diferetes (Ceário 3.5, 3.6 e Tabela 3); e cada itersecção detro do reticulado também pode ser utilizada para computar o próximo míimo múltiplo comum. Isso é possível porque respeitado a relação de ordem defiida, o diagrama de Hasse, os míimos múltiplos comus sempre estarão acima dos úmeros utilizados para computá-lo. Essa última afirmação é muito importate para a questão de performace, coseguir utilizar o último míimo múltiplo comum computado para calcular o próximo faz com que o esforço computacioal seja liear, isso idepedete de qual seja esse úmero. Mas para que um cojuto seja um reticulado é ecessário calcular o míimo múltiplo comum é o máximo divisor comum de todos os elemetos desse cojuto e os ceários de modelagem mostram que o úmero de elemetos cresce bastate. Etão, é possível ecotrar uma forma de calcular o míimo múltiplo comum de um cojuto, utilizado o resultado do último míimo calculado sem que para isso se teha que calcular o míimo múltiplo comum e o máximo divisor comum de todos os potos gerados o diagrama de Hasse? Após realizar algus testes a procura de uma resposta a essa perguta, chegamos à fórmula: M() = M( 1)* x Se M( 1) * x mod = 0 Ode 1 x O truque para ecotrar o valor de x é testar todos os valores que respeite a regra 1 x. O valor de x será ecotrado quado a regra M( 1) * x mod = 0 for respeitada. A explicação para isso é que precisamos ecotrar um valor para x de forma a fazer com que o produto desse x com o último míimo múltiplo comum calculado seja divisível por. E programar uma rotia para ecotrar esse úmero é trivial em uma liguagem de programação. É sugerido o algoritmo demostrado a Figura 8 para essa tarefa. Tal como os algoritmos apresetados que se utilizam dos fatores úicos, o algoritmo apresetado esta seção tem excelete performace (meos de 1 ms) e apreseta resultados corretos (Tabela 3).

9 Figura 8. Pseudocódigo que ecotra o míimo múltiplo comum, utilizado a abordagem de cojutos parcialmete ordeados. 4. Cosiderações fiais O osso objetivo com esse artigo foi demostrar as etapas que se seguiram para solucioar o desafio apresetado. Exploramos três formas diferetes de solução e em cada uma apresetamos algoritmos mais elegates e com melhor desempeho. O primeiro algoritmo, Figura 1, faz o cálculo corretamete, mas por apresetar sérios problemas de performace é iviável como uma solução completa. Mas esse algoritmo teve um papel importate o setido de apresetar os míimos múltiplos comus até 26, o que permitiu validar em partes os outros dois algorimos seguites. No segudo algoritmo, Figura 3 e Figura 4, as coisas correram de forma mais traqüila, ode o osso papel se limitou em eteder a sugestão apresetada pelo Wikipédia [Wikipedia, 2007a], e escrever um algoritmo que seguisse os passos descritos o site. Testado esse algoritmo percebemos que a sugestão do Wikipédia é válida e resolve o problema com uma excelete performace. O que os desagradou essa solução foi o fato de ela ão ter sido criada por ós. Aalisado os resultados gerados por esse algoritmo tivemos uma idéia: seria possível modelar o problema como um cojuto parcialmete ordeado? Será que esse cojuto poderia ser modelado como um reticulado [Wikipedia, 2007b; Meezes, 2005; Davey, 2002]? Buscado resposta para esses dois questioametos, desevolvemos um algoritmo, Figura 8, que trasforma o coceito modelado o diagrama de Hasse em uma proposta de solução tão boa quado a apresetada a seção 2, sedo por isso a ossa escolha para a solução do problema apresetado. Referêcias bibliográficas Wikipédia (2007a) Míimo múltiplo comum, Julho de Wikipédia (2007b) Patially ordered set, Juho de Davey, B. A. (2002) Itroductio to lattices ad order 2. ed. Cambridge (UK) : Cambridge Uiv., c Meezes, Paulo Blauth (2005) Matemática discreta: para computação e iformática 2. ed. Porto Alegre : Sagra Luzzatto, p.

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