O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li

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1 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li Média Aritmética Simples e Poderada Média Geométrica Média Harmôica Mediaa e Moda Fracisco Admiistrador de Empresas graduado pela EAESP/FGV. É Sócio-Diretor da Cavalcate Associados, empresa especializada a elaboração de sistemas fiaceiros as áreas de projeções fiaceiras, preços, fluxo de caixa e avaliação de projetos. A Cavalcate Associados também elabora projetos de capitalização de empresas, assessora a obteção de recursos estáveis e compra e veda de participações acioárias. O cosultor Fracisco Cavalcate já desevolveu mais de 00 projetos de cosultoria, pricipalmete as áreas de plaejameto fiaceiro, formação do preço de veda, avaliação de empresas e cosultoria fiaceira em geral. Paulo Dragaud Admiistrador de Empresas com MBA em fiaças pelo Istituto Brasileiro de Mercado de Capitais - IBMEC. Executivo fiaceiro com carreira desevolvida em istituições fiaceiras do segmeto de mercado de capitais. Atualmete é cosultor da Cavalcate Associados, empresa especializada a elaboração de sistemas fiaceiros as áreas de projeções fiaceiras, preços, fluxo de caixa e avaliação de projetos. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE

2 ÍNDICE PÁG APRESENTAÇÃO 03 MÉDIA GEOMÉTRICA 04 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA 06 MÉDIA HARMÔNICA 07 A MEDIANA 09 COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA A MODA 2 UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 2

3 APRESENTAÇÃO No Up-To-Date 56 mostramos que com o adveto dos computadores a quatidade de dados dispoíveis para os profissioais das diversas áreas cresceu de forma gigatesca, o que dificulta o mauseio e a atualização das iformações. Por este motivo precisamos laçar mão de determiadas medidas que resumem certas características importates da população ou amostra que estamos queredo aalisar. No Up-To-Date 56 começamos a mostrar algumas dessas medidas cohecidas como medidas de tedêcia cetral em virtude dos dados observados se agruparem em toro desses valores cetrais. A moda, a média aritmética e a mediaa são as três medidas de tedêcia cetral mais utilizados para resumir o cojuto de valores represetativos do feômeo que se pretede estudar. Outras medidas importates são a média geométrica e a média harmôica que serão mostradas este Up-To-Date. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 3

4 MÉDIA GEOMÉTRICA A média geométrica de úmeros positivos é defiida como a raiz -ésima do produto de todos eles. A média geométrica é utilizada pricipalmete para calcular médias de razões, de taxas de variação, e de ídices ecoômicos. Ela pode ser simples ou poderada, coforme se utilize ou ão o seu cálculo uma tabela de freqüêcias. Dados valores x¹, x²,..., x, a média geométrica desses valores será: x g x * x2* x... x Exemplo, calcular a média geométrica dos seguites cojutos de úmeros: X {0, 60, 360} Y {2, 2, 2, 2} No primeiro cojuto temos: X¹ 0 3 X² 60 X³ x * x2 * x3 3 0 * 60 * , portato xg xg 60 No segudo cojuto temos: Y¹ y² y³ y 4 2 e 4 y 4 y * y2 * y3* y4 4 2 * 2* 2* g Vamos mostrar um exemplo para o cálculo da média de taxas de variação. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 4

5 Supoha que você teha ivestido $500 em 998. Após um ao esta aplicação passou a valer $650. Cotete com o resultado você reaplicou esta quatia por mais um ao obtedo um motate fial de $90. Qual será a taxa média de aumeto do capital ivestido? A taxa média de aumeto de capital será obtida mediate o cálculo de uma média geométrica. Vamos calcular primeiro as taxas de aumeto de capital, período a período: Período Taxa 998/ /500,3 999/ /650,4 xg 2,3*, 4,349, portato, a taxa média de aumeto do capital ivestido o período de dois aos foi de 34,9%. Comparado com a média geométrica: A média geométrica é meos afetada por valores extremos; A média geométrica é uma medida mais cetral quado os valores da variável apresetam uma taxa costate de crescimeto; Para um mesmo grupo de valores, a média geométrica é sempre meor que a média aritmética. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 5

6 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA Para uma seqüêcia umérica x: x, x2,...x, afetada pelos pesos p, p2... p respectivamete, a média geométrica poderada será desigada por (leia-se x barra g ) é defiida por: xg x g k fj j f f 2 x x... x x x2 xk fk Exemplo: Calcule a média geométrica dos valores costates da seguite tabela: xf fj k j fj x x x xg 9 xg xg x x x , UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 6

7 MÉDIA HARMÔNICA A média harmôica de úmeros x, x 2,... x se defie como dividido pela soma dos iversos dos úmeros. Portato, em um cojuto de valores x¹, x²,..., x, a média harmôica do cojuto será: + x x2 ou xh x x h i xi i xi Vamos calcular a média harmôica simples do cojuto de úmeros abaixo: X {0, 60, 360} xh i xi x360 25,2 43 A média harmôica é utilizada o caso de freqüêcias musicais e em algumas outras situações especiais. Por exemplo, se um passageiro viaja 0 quilômetros em uma rodovia a 60 quilômetros por hora e os próximos 0 quilômetros em uma estrada secudária a 30 quilômetros por hora, sua velocidade média ão é de 45 quilômetros por hora (( ) / 2 ) 45 ). Na verdade, ele terá percorrido um total de 20 quilômetros em 30 miutos, de modo que a velocidade média certa é de 40 quilômetros pôr hora. Verifique que a média harmôica de 60 e 30 é 40, e portato, é a média correta para este exemplo. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 7

8 x h i xi x Vamos imagiar agora que um ivestidor teha comprado $8.000 de ações de uma compahia a $45 a ação, e em seguida compra $8.000 a $36 a ação. Qual o preço médio por ação, pago pelo ivestidor? x h xi i O preço médio por ação será de $40. 2x UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 8

9 A MEDIANA A característica pricipal da mediaa é dividir um cojuto ordeado de dados em dois grupos iguais; a metade terá valores iferiores à mediaa, a outra metade terá valores superiores à mediaa. Para calcular a mediaa, é ecessário primeiro ordear os valores do mais baixo ao mais alto. Em seguida, cota-se até a metade dos valores para achar a mediaa. Por exemplo, a mediaa do cojuto 5, 6, 8 é 6; 6 está o meio. Em geral, a mediaa ocupa a posição (+)/2. Logo, para três úmeros, a posição é (3 + )/2 2, ou seja, a seguda posição. O processo para se determiar a mediaa é o seguite:. Ordear os valores; 2. Verificar se há um úmero ímpar ou par de valores; 3. Para um úmero ímpar de valores, a mediaa é o valor do meio. Para um úmero par de valores, a mediaa é a média dos dois valores do meio. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 9

10 Veja mais algus exemplos: Par Mediaa a) 2, 3, 3, 4 3 b), 8, 9, 20 8,5 Ímpar Mediaa c), 2, 3, 3, 3, 4, 7 3 d) 9, 40, 80, 8, Vamos determiar a mediaa do seguite cojuto de valores: X: {7, 2, 3, 5, 0, 8, 9, 3} º Passo: Ordear x: {7, 8, 9, 0, 3, 3, 5, 2} 2º Passo: Números de elemetos 8 (par), portato o termo cetral é: 8 8 4º elemeto e + 5 º elemeto 2 2 O elemeto que ocupa a quarta posição a série é 0 e o elemeto que ocupa a quita posição a série é 3, portato a Mediaa é: Mediaa M, 5 d 2 Dessa forma, podemos iterpretar que 50% dos valores do rol são valores meores ou iguais a,5 e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a,5. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 0

11 COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA A escolha da média, ou da mediaa como medida de tedêcia cetral de um cojuto, depede de vários fatores. A média é sesível a cada valor do cojuto, ou seja, ela é iflueciada por cada um desses valores, iclusive os extremos. Por outro lado, a mediaa é relativamete isesível aos valores extremos. Mediaa Média Observe que a figura acima, a média é iflueciada por um valor do extremo, equato que a mediaa ão é. Dessa forma, se tomarmos como exemplo, a reda pessoal ou o valor de casas de residêcia, a mediaa tem uma medida descritiva mais adequada, isto porque bastam algus valores muito grades para iflacioar a média aritmética. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE

12 A MODA Geericamete a moda é defiida como o valor que ocorre com maior freqüêcia um cojuto. Por exemplo, dados os úmeros {0, 0, 8, 6, 0}, há três úmeros 0 e um de cada um dos outros úmeros. O valor mais freqüete, portato é 0 a moda é 0. A moda fucioa como medida descritiva quato se trata de cotar dados. A moda, comparada com a média e com a mediaa, é a meos útil das medidas para problemas estatísticos, porque ão se presta à aálise matemática, ao cotrário do que ocorre com as outras duas medidas. Todavia, de um poto de vista puramete descritivo, a moda idica o valor típico em termos da maior ocorrêcia. A utilidade da moda se acetua quado um ou dois valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freqüêcia que outros. Iversamete, quado todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamete com a mesma freqüêcia, a moda ada acresceta em termos de descrição de dados. Exemplificado o cálculo da Moda, abaixo damos algus cojutos de valores: x y z {4,5,5,6,6,6,7,7,8,8} {4,4,5,5,6,6} {,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6,6} w {,2,3,4,5} Moda de x: M o 6. O valor 6 é o mais freqüete (3 ocorrêcias). Moda de y: Este cojuto é amodal, pois seus três valores apareceram duas vezes cada um. Não há, portato, predomiâcia de ehum valor do cojuto sobre os outros. UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 2

13 Moda de z: M o 2 e M o2 5. Trata-se de um cojuto bi-modal, uma vez que tato o valor 3 como o valor 5 apresetou o maior úmero de observações. Moda de w: Esse é outro cojuto amodal. Média Mediaa Quadro comparativo Defiição Vatages Limitações. Reflete cada valor 2. Possui propriedades matemáticas atraetes xi x Metade dos valores são maiores e metade são meores. Meos sesível a valores extremos do que a média Moda Valor mais freqüete. Valor típico: maior quatidade de valores cocetrados este poto. É iflueciada por valores extremos. Difícil de determiar para grade quatidade de dados. Não se presta a aálise matemática 2. Pode ão ser moda para certos cojutos de dados UP-TO-DATE - N o 57 O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE 3

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