Resposta: L π 4 L π 8

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1 . A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados meores, com um círculo iscrito em cada um deles. Sabedo-se que o úmero de círculos em cada etapa cresce expoecialmete, determie: a) a área de cada círculo iscrito a -ésima etapa dessa divisão; b) a soma das áreas dos círculos iscritos a -ésima etapa dessa divisão. a) L A π A A L π 4 L π 8 A L π b) Na primeira etapa temos círculo (4 0 ). Na seguda etapa temos 4 círculos (4 ). Na terceira etapa temos 6 círculos (4 ). Logo, a etapa termos 4 círculos. Portato, a soma das áreas de todos os círculos da etapa será dada por: L πl 4 π 4. A figura a seguir é uma represetação do Sistema Solar. Em 766, o astrôomo alemão J. D. Tietz observou que as distâcias heliocêtricas dos plaetas até etão cohecidos e do citurão de asteroides obedeciam, com boa aproximação, a um padrão cohecido hoje como lei de Titius-Bode. Segudo esse padrão, a partir do plaeta Vêus e icluido o citurão de asteroides, subtraido-se 0,4 das distâcias heliocêtricas, em uidades astroômicas (UA), obtém-se uma progressão geométrica com termo

2 iicial 0, e razão. A distâcia da Terra ao Sol, por exemplo, é de, aproximadamete, UA e, este caso, 0,4 0,. Determie, segudo a lei de Titius-Bode, a distâcia heliocêtrica, em UA, do plaeta Júpiter. A Lei de Titius-Bode estabelece que d 0,4 0,, com d sedo a distâcia heliocêtrica do plaeta, e correspodedo ao plaeta Vêus. Cosiderado o citurão de asteroides, segue que o plaeta Júpiter correspode a 5 e, portato, d 0,4 0, d 5, UA.. Uma partícula em movimeto descreve sua trajetória sobre semicircuferêcias traçadas a partir de um poto P, localizado em uma reta horizotal r, com deslocameto sempre o setido horário. A figura mostra 0 a trajetória da partícula, até o poto semicircuferêcias traçadas e R, R, P, em R 4 r. Na figura, seus respectivos raios. O, O e O são os cetros das três primeiras A trajetória resultate do movimeto da partícula será obtida repetido-se esse comportameto R idefiidamete, sedo o cetro e o raio da -ésima semicircuferêcia dados por O e R, respectivamete, até o poto também em r. Nessas codições, o comprimeto da trajetória descrita pela P, partícula, em fução do raio R, quado a) b) c) d) π R. π R. π R. 7 π R. 4 e) π R. teder ao ifiito, será igual a [E] Seja Temos C o comprimeto da trajetória.

3 R R R C π R π π π, 4 que correspode à soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita. Portato, π R lim C π R. 4. Cosiderem-se a sequêcia umérica a ( ) A (,,...,a,...) tal que, para valores iteiros positivos de, e a progressão aritmética B = (, 4,..., 8). Sobre essas sequêcias, é correto afirmar: 0) A sequêcia A é uma progressão geométrica. 0) A sequêcia B tem dez termos. 04) Existem apeas três termos comus às duas sequêcias. 08) Os termos x e y da progressão geométrica crescete x, 6) Os termos da sequêcia C (c ), em que ) Utilizado-se algarismos do subcojuto c a a a a,a,a, y, b 9 são tais que x + y = 5., são quadrados perfeitos. da sequêcia A, podem-se formar úmeros aturais primos, sem algarismos repetidos. 64) Existe um par de elemetos da sequêcia B que pode ser excluído, sem alterar a sua média aritmética = Falsa. Temos que ( ) a 6. 6 Logo, como, segue que A ão é uma progressão geométrica.. Verdadeira. Se é o úmero de termos da sequêcia B, 04. Verdadeira. Os termos, 08. Verdadeira. Como daí, 6 x x. 6. Verdadeira. Como 9 e 8 (x, a, y, b ) (x, 6, y, 4) etão 7 8 ( ). são os úicos termos comus às sequêcias A e B. Portato, x y 5. ( ) a, ( ) ( ) c sedo, vem é uma P.G. crescete, segue que y 6 4 y e,. Portato, os termos da sequêcia c a a são quadrados perfeitos. úmeros primos, sem algarismos. Falsa. Como {a, a, a } {,, 6}, segue que podemos formar 7 repetidos:,,, 6,6, 6 e Verdadeira. Como a soma de dois termos equidistates dos extremos é costate e igual a segue que qualquer um dos seguites pares pode ser excluído, sem que a média aritmética seja alterada: (, 8), (4, 5), (7, ), (,9) ou (,6). 9,

4 5. Assiale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 0) A proprietária de um bufê divide os gastos com um café da mahã em duas partes: a primeira compreede os gastos fixos para qualquer úmero de covidados e a seguda os gastos por covidado. Ela calcula que o gasto total para 40 covidados é de R$ 440,00 e para 0 covidados é de R$ 800,00. Assim, um café da mahã para 55 covidados terá um gasto total de R$ 605,00. 0) Em uma esfera E de raio R iscreve-se um cubo C. Neste cubo iscreve-se uma esfera E ; esta esfera iscreve-se um cubo C e assim sucessivamete. Os raios das esferas assim costruídas formam uma progressão geométrica ifiita cujo primeiro termo é R. A soma dos termos desta progressão geométrica é R S. 04) Cosidere uma progressão aritmética de k termos positivos, cujo primeiro termo a é igual à razão. O produto dos k termos desta progressão é o úmero P = a k k! 08) Cosidere uma progressão aritmética (a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9 ). Com os termos desta progressão costruímos a matriz a a a A a4 a5 a 6. a 7 a8 a9 A matriz costruída desta forma é iversível. 6) Dada uma progressão geométrica (a, a, a,..., a k ) com k termos estritamete maiores do que zero, a sequêcia (b, b, b,..., b k ) dada por b = log a para todo, k, é uma progressão aritmética =. 0) Falsa. A fução de primeiro grau que passa pelos potos (40, 440) e (0, 800) é dada por f(x) = 6x Logo, f(55) = = 50. 0) Verdadeira. Na figura, temos x = R. Etão, R. R R R R.. Temos, etão, a P.G. R R R R,,,... cuja soma será dada por:. R S = R. k 04) Verdadeira. a a a ka a k! 08) Falsa. Se a razão da P.A. for igual a zero, o determiate será ulo e a matriz ão será ivertível.

5 6) Verdadeira. a a k ak q log logq logak logak logq bk bk logq. a k k Portato, a sequêcia (b, b, b,..., b k ) é uma P.A. 6. Um soldado fez séries de flexões de braço, cada uma delas com 0 repetições. No etato, como cosequêcia das alterações da cotração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da seguda, foi sempre 8% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamete aterior. A primeira série foi realizada em 5 segudos e a última em miuto e 40 segudos. Cosiderado log = 0,, a soma do úmero de repetições realizadas as séries é igual a: a) 0 b) c) 40 d) 60 [C] A duração das séries costitui uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é,8,8, isto é, (5; 5,8; 5 (,8) ; ; 5 (,8) ). Sabedo que a duração da última série foi de mi 40 s 0 s, (,8) log 79 log (7 9) log ( ) log (7 9) 0,,,7 7. Portato, a soma do úmero de repetições realizadas as temos séries é igual a e cuja razão é 7. Para costruir uma curva floco de eve, divide-se um segmeto de reta (Figura ) em três partes iguais. Em seguida, o segmeto cetral sofre uma rotação de 60º, e acresceta-se um ovo segmeto de mesmo comprimeto dos demais, como o que aparece tracejado a Figura. Nas etapas seguites, o mesmo procedimeto é aplicado a cada segmeto da liha poligoal, como está ilustrado as Figuras e 4. Se o segmeto iicial mede cm, o comprimeto da curva obtida a sexta figura é igual a

6 a) b) c) d) 6! cm 4!! 5! cm 4!! cm cm [C] Os comprimetos das figuras formam uma P.G. de razão 4/. Logo, o comprimeto da sexta figura será dado por: a Uma pilha de latas de leite está exposta um supermercado, em forma de pirâmide de base triagular, como mostra a figura a seguir. Para motar uma pirâmide semelhate, um promotor de vedas usou 5 caixas cotedo 4 latas em cada uma. Cada lata mede 5 cm de altura. Observe que, do topo para a base da pirâmide, a quatidade de latas é,, 6 e assim sucessivamete. a) Essa sequêcia é uma progressão aritmética? Justifique b) Essa sequêcia é uma progressão geométrica? Justifique c) Determie a altura da pirâmide formada pelo promotor de vedas.

7 a) A sequêcia (,, 6,, ) é uma progressão aritmética de ª ordem, pois as difereças etre dois termos cosecutivos costituem uma progressão aritmética de primeiro termo b) A sequêcia (,, 6,, ) ão é uma progressão geométrica, pois 6. e razão igual a. c) O úmero total de latas que o promotor utilizou para motar a pirâmide foi Assim, como segue que a pirâmide tem 8 íveis e, portato, sua altura mede , 85 cm No mês correte, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agora, alterativas para voltar a ter lucro. a) Primeiramete, assuma que a receita ão variará os próximos meses, e que as despesas serão reduzidas, mesalmete, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que forece o valor da despesa em fução de, o úmero de meses trascorridos, cosiderado como mês iicial o correte. Calcule em quatos meses a despesa será meor que a receita. b) Supoha, agora, que a receita aumetará % a cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma progressão geométrica (PG) de razão /. Nesse caso, escreva a expressão do termo geral dessa PG em fução de, o úmero de meses trascorridos, cosiderado como mês iicial o correte. Determie qual será a receita acumulada em meses. Se ecessário, use, =,;, a) Se d é a despesa da empresa o mês, d ( ) , cosiderado como mês iicial o correte, etão: com. O valor de para que a despesa seja meor do que a receita é tal que ,4. Portato, após 6 5 meses a despesa será meor do que a receita., e, 5,6. b) Seja r a receita da empresa o mês, r cosiderado como mês iicial o correte. Assim, A receita acumulada em meses correspode à soma dos primeiros termos da PG de razão, e primeiro termo igual a , ou seja, 5, (, ) , 0, (,59) R$ ,00.. Um baco oferece dois plaos para pagameto de um empréstimo de R$.000,00, mesais iguais e com a mesma taxa mesal de juros: o Plao, o período é de meses; e o Plao, o período é de 4 meses. em prestações Cotudo, a prestação de um desses plaos é 80% maior que a prestação do outro. a) Cosiderado essas iformações, determie em qual dos dois plaos Plao ou Plao o valor da prestação é maior. b) Supoha que R$.000,00 são ivestidos a uma taxa de capitalização mesal igual à taxa mesal de juros oferecida pelo mesmo baco. Calcule o saldo da aplicação desse valor ao fial de meses.

8 a) Cosidere o fluxo de caixa abaixo, em que x é a prestação do Plao. Sedo i a taxa de juros mesal, a soma dos valores das prestações a data focal 0 deve ser tal que x (i) x (i) x (i) 000. Como temos que: x ( i), x ( i),, x ( i) costituem uma PG de primeiro termo x (i) e razão ( i), [( i) ] ( i) x ( i) 000 x 000. (i) i Aalogamete, se y 4 (i) y 000. i é a prestação do Plao, devemos ter 4 Portato, como ( i) ( i), segue que x y. b) Do euciado e do item (a), temos que x,8 y. Assim, 4 ( i) ( i) 4 x y,8 y [ ( i) ] y [ ( i) ]. i i Fazedo (i) k, obtemos:,8 ( k) k k,8 k 0,8 0 k 0,8 ou k. Como k ( i) i 0 (absurdo), segue que k ( i) 0,8. Por coseguite, o saldo da aplicação de R$.000,00 ao fial de 000 (i) 000 [(i) ] 000 (0,8) R$.500,00. meses é. Assiale a(s) proposição(ões) correta(s). 0) Na figura a seguir está represetada uma espiral poligoal ifiita, costruída a partir da uião dos segmetos de reta, obtidos da seguite maeira: comece com o segmeto de reta, divida-o ao AC cm meio, obtedo BC 5cm. Repita a divisão, ecotrado CD,5cm, depois DE,5cm em seguida EF 0,65cm, e assim sucessivamete. O comprimeto desta espiral poligoal ifiita é de 9,8 cm.

9 0) Outro problema curioso do livro de Malba Taha é o chamado Problema de Diofate, ou Epitáfio de Diofate. Uma das versões sobre a vida do matemático grego Diofate, grade estudioso de Álgebra, aparece o parágrafo a seguir: Eis o túmulo que ecerra Diofate maravilha de cotemplar! Com artifício aritmético a pedra esia a sua idade. Deus cocedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida a juvetude; um duodécimo, a adolescêcia; um sétimo, em seguida, foi escoado um casameto estéril. Decorreram mais cico aos, depois dos que lhe asceu um filho. Mas este filho desgraçado e, o etato, bem-amado! apeas tiha atigido a metade da idade do pai, morreu. Quatro aos aida, mitigado a própria dor com o estudo da ciêcia dos úmeros, passou-os Diofate, ates de chegar ao termo de sua existêcia. (MALBA TAHAN. O homem que calculava. 7 ed. Rio de Jaeiro: Record, 008. p. 84). Com base a iterpretação dessa versão, pode-se afirmar que Diofate casou-se aos aos. 04) Quado se aumeta a medida do lado de um cubo, o seu volume aumeta a mesma proporção que sua área total. 08) Passadas 87 horas das 7 horas da mahã, de determiado dia, o relógio idicará meia-oite. 6) O cetro de gravidade do retâgulo, cujos vértices um sistema de coordeadas cartesiaas são os potos: A( 4,), B( 4, ), C(5, ) e D(5,), é o poto ) Cosidere a proporção: x y z 4,. Se x + 4z =, etão x + y + z = = 4 0) (falsa) calculado a soma dos ifiitos termos da P.G temos: S 0 0) (verdadeira) x x x x 4x 7x x 40 4x 6 84x 5 4 x 75x 84x x 756 x 84 com = aos. 6 Casou-se 04) (falsa) A razão etre as áreas é o quadrado da razão etre as arestas e a razão etre os volumes é o cubo da razão etre as arestas. 08) ( falsa) 87 dividido por 4 resulta 7 deixado resto 9, temos etão 7 dias e 9 horas, ou seja, duas horas da mahã. 6) (falsa) 5 ( 4) x e y ) (verdadeira) x = z.z + 4z = logo z = 4 x logo x = 8 e y = 6

10 . Uma tartaruga se desloca em liha reta, sempre o mesmo setido. Iicialmete, ela percorre metros em miuto e, a cada miuto seguite, ela percorre 4 / 5 da distâcia percorrida o miuto aterior. a) Calcule a distâcia percorrida pela tartaruga após miutos. b) Determie uma expressão para a distâcia percorrida pela tartaruga após um úmero iteiro de miutos. c) A tartaruga chega a percorrer metros? Justifique sua resposta. d) Determie o meor valor iteiro de tal que, após miutos, a tartaruga terá percorrido uma distâcia superior a 9 metros. [Se ecessário, use log 0,0.] a) m b) Utilizado a soma dos primeiros termos de uma P.G., temos: 4. 5 S 4 5 S 4. 5 c) Sabem0s que d) S aplicado o logaritmo decimal temos: 4 log 5 log é meor que. Logo, a tartaruga ão chega a percorrer m. log 8 (log 8 log) log log (log ) 0.( 0,) log Portato, para que a soma seja maior que 9 deveremos ter o míimo =.

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