UM ESTUDO DO MODELO ARBITRAGE PRICING THEORY (APT) APLICADO NA DETERMINAÇÃO DA TAXA DE DESCONTOS

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1 UM ESTUDO DO MODELO ARBITRAGE PRICING THEORY (APT) APLICADO NA DETERMINAÇÃO DA TAXA DE DESCONTOS Viícius Atoio Motgomery de Mirada Edso Oliveira Pamploa tel: (035) Escola Federal de Egeharia de Itajubá - IEM/DPR Campus Prof. José Rodrigues Seabra - Av. BPS, º Itajubá -MG Abstract Sice fiacial resources are limited ad competitio is gettig tough with the globalizatio pheomea, it has bee more ad more importat the fiacial-ecoomic aalysis i order to ehace the kowledge of risk ad retur of projects. The domai of techics which calculate precisely the retur-risk relatioship i ivestmet aalysis is a matter of survival to compaies at preset. This paper summarizes the evolutio of the risk-retur relatioship study sice Markowitz (952) through Sharpe (964) with the Capital Asset Pricig Method (CAPM), util the developmet of APT by Stephe Ross (976). It comes to show how the Arbitrage Pricig Theory approach ca be used to determie the projects discout rate helpig the decisio-makig process of ivestmet. Key words : Arbitrage Pricig Theory, retur ad risk, ivestmet. Itrodução O Problema fiaceiro clássico para bacos, corporações; grades, médias e pequeas empresas, e até para pessoas físicas, é aquele quado surge uma grade oportuidade de ivestimeto, mas estas etidades ão possuem moeda para efetuar o ivestimeto. A solução etão, é o empréstimo de um baco ou a emissão de papéis ao público, através de bacos de ivestimetos. Todos os papéis são aceitos visado beefícios ecoômicos futuros, torado clara a importâcia do fator tempo os istrumetos fiaceiros. Além disso, os papéis fiaceiros são caracterizados por dois outros importates fatores : Retoro e Risco. Para garatir as ecessidades moetárias futuras ou fazer o diheiro crescer, aumetado sua riqueza, o ivestidor aceita correr um certo risco e historicamete os retoros de ativos com maior risco têm sido superiores àqueles de meor risco ou livres de risco (Goetzma, 997). A taxa de retoro é, etão, a medida do crescimeto da riqueza resultate de um ivestimeto. Os acioistas exigem das empresas, para projetos de ivestimeto com risco, um retoro igual ou superior àquele que coseguiriam aplicado o mercado fiaceiro com risco equivalete e o custo de capital próprio da empresa é a média poderada do retoro exigido por cada um dos acioistas da empresa. A avaliação de risco x retoro de uma empresa era tida como algo complexo e depedia de uma aálise completa da empresa, icluido sua saúde fiaceira, seus competidores do mercado, sua política de distribuição de dividedos, sua estrutura de capital, etc. Com a Modera Teoria de Portfólio proposta por H. Markowitz (952), itroduziu-se a estatística para avaliar o valor de papéis. Através da aálise da média, do desvio padrão (DP) e das correlações com outros papéis, torou-se mais simples relacioar risco e retoro de qualquer Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. PAMPLONA, Edso de O. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

2 seleção histórica de papéis. Cotudo, a aálise complexa feita ateriormete à Teoria de Portfólio, mais as codições macroecoômicas acioais e globais, cotiuam aida sedo válidas para se ter uma idéia da tedêcia futura dos papéis de determiada empresa. 2. Diversificação A difereça etre o DP de um ativo e de uma carteira de ativos é um feômeo cohecido como diversificação. Com a diversificação, ativos com risco podem ser combiados de modo que o cojuto de ativos teha meor risco que aqueles idividualmete cosiderados. A diversificação reduz parte do risco, sem etretato elimiá-lo completamete. A parte que pode ser elimiada é chamada de risco ão sistemático, que é um risco que afeta especificamete um úico ativo ou um pequeo grupo de ativos. A outra parte, que ão pode ser elimiada, é o risco sistemático, que é qualquer risco que afeta praticamete todos os ativos em maior, ou meor grau. Supodo uma carteira formada por dois ativos A e B, tem-se o retoro esperado para esta carteira e o risco (variâcia) calculados da seguite forma: ( ) E R = X R + X R () C A A B B c A A B B A B A B A B σ = σ X + σ X + 2σ σ X X ρ, (2) X A + X = (3) B Graficamete: Ode : - X A, X B são proporções de cada ativo a formação da carteira. - ρ A,B é a correlação etre os ativos A e B. - σ 2 é a variâcia e σ, o desvio padrão de cada ativo. - R é o retoro esperado de cada ativo. - o subscrito c refere-se à carteira de ativos formada. E(R C) R B B ρ=-ρ = - ρ = 0 ρ = R A A σ A σ B Fig. - Combiação de ativos σ A e B são ativos idividualmete cosiderados com seus respectivos retoro esperado e desvio padrão (risco), represetados pelas lihas potilhadas. Qualquer proporção combiada dos ativos A e B estará sobre uma das três curvas represetadas a Fig. ( para ρ A,B = -, ρ A,B = 0 e ρ A,B = ) e terá seus retoro e risco diferetes daqueles idividuais de A e B. Geericamete, para uma carteira cotedo ativos tem-se : PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

3 E( R C) = XR + X2 R X R ou E( RC) = Xi R i = i (4) 2 2 2, σ C = Xi σ i + 2 X ix j σ i j i= i=, j=, (5) X i i = = (6) Ode : - o primeiro termo da equação 5, equação que exprime a variâcia, represeta o risco ão sistemático, e o segudo termo, o risco sistemático da carteira. Risco total da carteira = Risco ão sistemático + Risco sistemático (7) A equação de variâcia aterior (equação 5), pode ser represetada pela matriz a seguir (tabela ), com a soma dos elemetos de sua diagoal sedo o primeiro termo da equação e a soma dos elemetos fora da diagoal, sedo o segudo termo X σ X X 2 2 σ, 2 X 2 X σ 2, 2 2 X 2 σ 2 σ,... X X... X 2 X σ 2, X X σ, X X 2 σ, X σ Tabela - Matriz de cálculo da variâcia do retoro de uma carteira de ativos Na hipótese de que : Todos os ativos têm pesos iguais : X i = /; Todos os ativos têm mesma variâcia σ i 2 Todas as covariâcias são iguais σ i, tem-se : σ C = σ i ( ) + ( )( ) 2 σ i, (8) Se tede ao ifiito, a equação aterior se reduz a : σ Graficamete : 2 C i = σ, (9) PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

4 Risco Total Risco ão Sistemático Risco Sistemático Fig. 2 - Efeito diversificação Portato, a medida que o úmero de ativos () de uma carteira cresce, o risco ão sistemático tede a desaparecer (feômeo da diversificação). A diversificação pode ser mais facilmete etedida, fazedo-se uma aalogia à álgebra vetorial. Se dois vetores A e B têm valores 3 e 4 cada um, o resultado de sua soma vetorial depederá do âgulo etre eles (respectivamete 90º, 0º, 80º), coforme figuras 3( a,b,c), e será sempre meor que sua soma algébrica 3+4 =7, com exceção de quado o âgulo for 0º, sedo igual este caso Figura 3.a Figura 3.b Figura 3.c Aalogamete, o risco de uma carteira formada por ativos depede da covariâcia (ou correlação) etre os ativos formadores da carteira e será sempre meor que a soma idividual dos riscos, com exceção de quado ρ =. Desta forma, pode-se reduzir o risco total da carteira, combiado-se adequadamete os ativos (diversificação). 3. Froteira Eficiete Na diversificação de Markowitz (952), todos os portfólios possíveis estariam domiados pela froteira eficiete (F.E.) que represeta o portfólio de meor risco e maior retoro. Sharpe (964), ampliou esta coceituação permitido a iclusão de ativos livres de risco (R F ). A liha reta tagete à froteira eficiete, partido do ativo livre de risco, caracteriza o portfólio eficiete (também chamado de Liha de Mercado de Capitais ou Capital Market Lie - CML), i.e., aquele que combia uma carteira com apeas o risco sistemático e o ativo livre de risco. PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

5 E (R) CML M F.E. R F Fig. 4 - Froteira Eficiete σ 4. Capital Asset Pricig Model (CAPM) William Sharpe recebeu o prêmio Nobel de Ecoomia em 990 por ter desevolvido a década de 60, o CAPM - um modelo que mostra que a taxa de retoro esperada de um ativo com risco é fução de sua covariâcia com a carteira de mercado. Um ativo com alto DP ão tem grade impacto sobre o risco de uma ampla carteira de ativos, mas um ativo com DP reduzido tem impacto substacial sobre o risco de uma carteira ampla. Este aparete paradoxo é base do CAPM, ode o coeficiete beta (β) e ão o DP é a medida apropriada de risco uma carteira de ativos. A cotribuição do risco de um ativo ao risco da carteira de mercado é medida pela covariâcia etre o retoro do ativo com o retoro da carteira de mercado. Esta cotribuição dividida pelo quadrado do DP (variâcia) do retoro da carteira de mercado é o Beta. σ i, c β i = 2 (0) σ c O ídice β (beta) exprime a tedêcia de uma ação idividual variar em cojuto com o mercado. Ou seja, é a sesibilidade do retoro de um ativo ao retoro da carteira de mercado. Retoro de ativos β > β = β < Retoro da carteira Fig. 5 - Diferetes betas que compõem a carteira de ativos Para β >, uma pequea variação o retoro da carteira, represeta uma maior variação o retoro do ativo (maior sesibilidade). Para β <, uma pequea variação o retoro da carteira, represeta uma meor variação o retoro do ativo (meor sesibilidade). O somatório poderado dos diversos betas de cada ativo formador da carteira de mercado é igual ao beta da carteira de mercado, que é igual a um. PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

6 X = β i i () Um portfólio eficiete é represetado pela equação fudametal do CAPM : R = R + β ( R R ) (2) F M F Portato, o retoro de um ativo com risco pertecete à carteira de ativos é calculado como sedo a soma do retoro de um ativo livre de risco, compoete da carteira; mais o fator beta deste ativo, multiplicado pelo prêmio pelo risco, que é a difereça etre o retoro histórico médio desta carteira, meos o retoro do ativo livre de risco. Graficamete : R M Retoro esperado do ativo (%) SML RF Fig. 6 - Liha de mercado de títulos (SML) β i 5. O Arbitrage Pricig Theory O modelo APT - Arbitrage Pricig Theory foi desevolvido por Stephe Ross a partir de 976 e supõe que os retoros sobre ativos sejam gerados por uma série de fatores de âmbito setorial ou macroecoômico. A taxa de retoro de um ivestimeto é composta por duas partes, uma sedo aquela esperada e outra iesperada ou surpresa, represetados a equação a seguir: R = R + U (3) Ou aida : R = R + m + ε (4) Ode : - R é a parte esperada do retoro e U é a surpresa; - m é o risco de mercado ( ou sistemático) e e é o risco ão sistemático. Diferetemete do CAPM, o APT utiliza o modelo fatorial ode as fotes sistemáticas de risco são desigadas por k fatores e portato : R = R + β F + β F β F + ε (5) 2 2 k k Na equação aterior, cada β represeta o somatório poderado dos betas de cada ativo, com relação aos k fatores cosiderados. PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

7 Cosiderado uma carteira com ativos e com um úico fator F, a taxa de retoro de um ativo compoete da carteira fica determiada por três cojutos de parâmetros : - Média poderada de retoros esperados dos ativos : R = X R + X 2 R X R (6) 2 - Média poderada de betas dos ativos, multiplicada pelo fator úico F: m = ( X β + X β X β ) F (7) 2 2 Observa-se que o caso de k fatores, m seria a soma de k parcelas formadas pela média poderada de betas dos ativos, multiplicados por cada fator F i (i =,2,...,k). 3 - Média poderada de riscos ão sistemáticos dos ativos : ε = X ε + X 2 ε X ε (8) A medida que o úmero de ativos a carteira aumeta, o risco ão sistemático desaparece (diversificação). Etão, ao combiar uma carteira diversificada com um ativo livre de risco, tem-se : R = R + β ( R R ) (2) F M F Equação idêtica ao modelo do CAPM, cosiderado um úico fator F (mercado). Etretato, o APT com sua modelagem multifatorial, talvez represete melhor a realidade, coforme equação a seguir : R = R + ( R R ) β + ( R R ) β ( R R ) β (9) F F 2 F 2 K F K - R i é o retoro médio esperado de toda a carteira, cosiderado o fator i (i =,2,...,k). - Os k fatores podem ser : o crescimeto do PNB, a iflação, o ível tecológico de um país e tatos outros fatores sistemáticos ecessários. Observa-se que tato a equação 2, referete ao modelo de fator úico do CAPM, quato a equação 9, referete ao modelo multifatorial do APT, ão apresetam a parcela ε da equação 4, elimiada com a diversificação. Levado-se em cota que : Os riscos sistemáticos se relacioam aos retoros de ativos liearmete através da SML; Os ivestidores percebem estes riscos e estimam a sesibilidade dos ativos em relação a eles, através de estimativas de betas; Algus ivestidores são mais agressivos e portato pouco aversos a riscos; Os ivestidores mais agressivos irão explorar as difereças os retoros esperados de ativos, assumido um risco arbitrário. Etão, o retoro esperado será próximo a SML, as diversas dimesões de risco de acordo com o úmero de fatores e a sesibilidade (β) dos ativos a estes fatores. O APT abadoa a oção de que existe apeas um portfólio certo para todos os ivestidores e o substitui por um modelo baseado a suposição de que algus fatores macroecoômicos e específicos, iflueciam o retoro de ativos e ão importa quão diversificado PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

8 está seu portfólio; ão se pode evitar estes fatores. Por isso, os ivestidores irão especificar estes fatores de modo preciso, já que são fotes de risco ievitáveis. Uma compesação por estar exposto a estes riscos, através da posse desses ativos, vem em termos do retoro esperado. A exposição a estes riscos é medida pelo fator beta. Um ivestidor pode, assim, escolher seu perfil de risco sistemático e retoro, selecioado um portfólio particular com arrajo peculiar de betas. Isto permite a existêcia de uma idústria de iformações, arbitradores de riscos e especuladores. Efim, com diferetes tipos de ivestidores assumido diferetes tipos de risco, aproxima-se do mudo real. Em estudos teóricos, Ross e outros pesquisadores tetaram estabelecer algus dos fatores que explicam o retoro das ações usado o modelo APT. Ecotraram algus destes k fatores como sedo as surpresas os ídices de iflação, o produto acioal bruto, a taxa de juros, o ídice da bolsa, a cofiaça do ivestidor a empresa e os desvios a curva de produção da empresa. Na prática etretato, outros fatores são usados de acordo com as ecessidades peculiares de cada ivestimeto. Coforme o CAPM, uma regressão histórica os retoros de ativos são feitas estes fatores para estimar os betas. Estes betas são usados a estimativa da taxa de descotos de determiado projeto; ou seja, a estimativa do retoro esperado do projeto (equação 9). No CAPM, um portfólio se ecaixa em todos os ivestimetos, bastado ajustar a sesibilidade do projeto ao mercado (ajuste de valor do beta). No APT, pode-se ter diversos portfólios, cada um se preocupado mais, ou meos, com determiados fatores específicos. Pode-se etão, modelar diferetes ceários ecoômicos o portfólio de ivestimetos, diferetes setores da ecoomia e diferetes ramos idustriais. Portato, o APT exige que os ivestidores teham perspicácia para perceber as fotes de risco e escolher os fatores adequados, estimado razoavelmete a sesibilidade destes fatores aos riscos de cada projeto. Porém, quato maior o úmero de fatores utilizados (betas estimados), maior o ruído estatístico icluído o modelo. O uso idiscrimiado da TMA de uma empresa o descoto do fluxo de caixa de projetos iéditos ou diferetes daqueles usualmete feitos a empresa pode levar a rejeição, ou aceitação errôea de projetos. Por exemplo, projetos de alto risco (B a figura 7) se aalisados à TMA podem ser rejeitados sem que se aproveite a oportuidade do alto retoro destes projetos. Projetos de baixo risco (A a figura 7), aalisados à TMA podem levar a retoro esperados superiores àqueles reais. A aceitação de projetos de alto risco uma empresa cotribui para o aumeto do custo de capital (TMA) da empresa, assim como os projetos de baixo risco aceitos, toram-a iferior. Taxa de descoto (retoro esperado) R B B SML TMA da empresa R A A Rf β A β B Beta 7.Coclusão Fig. 7 - Custo de capital de projetos PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.

9 Como cada projeto de uma empresa é diferete de outro imediatamete aterior ou posterior, já que a ecoomia é diâmica e os fatores de risco um ivestimeto mudam a todo istate para cada projeto; seu fluxo de caixa deveria ser descotado à taxa mais apropriada a decisão de orçameto de capital. Ou seja, ao ivés de se usar a TMA da empresa, utiliza-se a taxa de descoto própria de cada projeto, calculada pelo modelo APT. A vatagem de se utilizar o modelo APT, é que ele permite calcular a taxa de descotos de cada projeto respeitado suas peculiaridades quato aos riscos que se deseja icorrer, cosiderado o setor da ecoomia em que se ecotra, e o mometo ecoômico da decisão do ivestimeto, de modo que esta taxa esteja o mais próximo possível da realidade. 8. Bibliografia ROSS, S., WESTERFIELD, R., JAFFE, J., Admiistração Fiaceira - Corporate Fiace, Parte III - Risco, Capítulos 9,0, e 2, Ed. Atlas, 995. GOETZMANN, W. N., A Itroductio to Ivestmet Theory, Yale School of Maagemet, SHARPE, W. F., Capital Asset Prices : A Theory of Market Equilibrium Uder Coditios of Risk, The Joural of Fiace, Vol. XIX, No.3, pp , Sep.964 MARKOWITZ, H., Portfolio Selectio, Joural of Fiace, pp.44-58, March,952. PAMPLONA, Edso de O. Um Estudo do Modelo Arbitrage Pricig Theory (APT) Aplicado a Determiação da Taxa de Descotos. 7o ENEGEP. Gramado, RS, outubro de 997. Em co-autoria com Viícius Motgomery.