Emerson Marcos Furtado

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1 Emerso Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Uiversidade Federal do Paraá (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Esio Médio os estados do Paraá e Sata Cataria desde 199. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Uiversidade Positivo de 000 a 005. Autor de livros didáticos destiados a cocursos públicos as áreas de matemática, matemática fiaceira, raciocíio lógico e estatística. Sócio-diretor do Istituto de Pesquisas e Projetos Educacioais Praxis de 003 a 007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joiville desde 006. Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 005. Autor de material didático para sistemas de esio do Grupo Positivo de 005 a 009. Professor do Cocursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 199, lecioado as disciplias de raciocíio lógico, estatística, matemática e matemática fiaceira. Cosultor da Empresa Result Cosultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 000. Cosultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desevolvidos as áreas socioecoômica, qualidade, educacioal, idustrial e eleições desde Membro do Istituto de Promoção de Capacitação e Desevolvimeto (Iprocade) desde 008. Autor de questões para cocursos públicos o estado do Paraá desde 003. Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

2 Tabelas de frequêcia As tabelas são utilizadas a Estatística para orgaização de iformações. Com elas, fica mais fácil compreedermos um cojuto de dados uméricos. Observe o quadro que apreseta o resultado de uma pesquisa realizada com 10 pessoas sobre a idade, em aos, em que cada uma começou a dirigir Vamos orgaizar esses dados brutos em uma tabela de frequêcias, observe: Idade (em aos) Frequêcia absoluta Total 10 As frequêcias absolutas idicam a quatidade de vezes que cada idade ocorreu. A distribuição das idades também pode ser represetada por meio de frequêcias relativas. Para calcular o valor de uma frequêcia relativa, basta dividir a frequêcia absoluta pela soma das frequêcias absolutas: f r frequêcia absoluta soma das frequêcias absolutas Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 141

3 Observe, por exemplo, a frequêcia relativa da idade de 18 aos: 4 f r , % Procededo da mesma forma para as demais frequêcias absolutas, podemos costruir a seguite tabela: Idade (em aos) Frequêcia absoluta Frequêcia relativa % % 0 0% % Total % Não é difícil perceber que, equato a frequêcia absoluta idica a quatidade de vezes que um feômeo ocorreu, a frequêcia relativa mostra o percetual da ocorrêcia de tal feômeo. É comum uma distribuição de valores ser represetada por meio de uma tabela de frequêcias de itervalos de classes. Como exemplo, observe a distribuição de velocidades com que automóveis passaram por um radar eletrôico: Velocidade (em km/h) Frequêcia absoluta simples Frequêcia relativa simples % % % % Total 0 100% A distribuição é composta por quatro itervalos de classe, todos com a mesma amplitude de 10km/h. 14 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

4 Embora ão seja obrigatório, é comum as distribuições terem itervalos de classe com a mesma amplitude. No primeiro itervalo, da velocidade igual a 60km/h, chamada de limite iferior do itervalo, está icluída, mas a velocidade de 80km/h, chamada de limite superior do itervalo, está excluída. Represetado por F a as frequêcias absolutas acumuladas e por F r as frequêcias relativas acumuladas, podemos acrescetar outras duas coluas à tabela aterior, observe: Velocidade (em km/h) f a f r F a F r % 9 45% % % + 30% 75% % % + 15% 90% % % + 10% 100% Total 0 100% De acordo com a tabela, podemos, por exemplo, dizer que: Dezoito velocidades possuem valores meores que 90km/h, ou 75% das velocidades ecotram-se abaixo de 80km/h. Agora que já compreedemos como podem ser represetados dados uméricos em uma tabela, vamos estudar algumas medidas, iiciado com as medidas de tedêcia cetral. Medidas de tedêcia cetral As medidas de tedêcias cetral têm esse ome pelo fato de os dados observados tederem, em geral, a se agrupar em toro de valores cetrais. Vamos estudar três medidas de tedêcia cetral: média aritmética, mediaa e moda. Média aritmética Dado um cojuto de valores quaisquer X {x 1, x,..., x }, a média aritmética desses valores é dada por: Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 143

5 X x + x + + x 1 Dessa forma, a média aritmética de um cojuto de valores é o valor obtido somado-se todos os valores dividido-se o total pelo úmero de valores. Exemplo: Qual é o valor da média aritmética do cojuto {,,3,3,4,6,6,6,8,9}, composto por dez valores? A média aritmética é dada por: X , Mediaa Mediaa é um úmero que, uma sequêcia de úmeros colocados em ordem crescete (ou decrescete), ocupe a posição cetral, se for ímpar. Se o úmero de termos de tal sequêcia for par, a mediaa será a média aritmética dos dois úmeros que estiverem o cetro. Exemplos: Qual é o valor da mediaa do cojuto {,, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 8}? O cojuto já está ordeado e possui ove elemetos. Como a quatidade total de elemetos é represetada por um úmero ímpar, existe um úico termo cetral. Esse termo cetral é igual a 4 (5.º termo) e correspode à mediaa: Me 4 Qual é o valor da mediaa do cojuto {,, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 8, 9}? O cojuto já está ordeado e possui dez elemetos. Como a quatidade de elemetos é represetada por um úmero par, existem dois termos cetrais que ocupam a 5.ª e a 6.ª posições. Tais elemetos são iguais a 4 e 6, respectivamete. Assim, a mediaa é igual à média aritmética desses dois termos cetrais: 144 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

6 4 Me Moda Moda de um cojuto é o elemeto desse cojuto que ocorre com maior frequêcia. Exemplo: Qual é a moda do cojuto {; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 9}? O valor mais frequete é igual a 6, ocorredo exatamete três vezes. Logo, a moda é igual a 6: Mo 6 Observação: (1) Quado dois valores ocorrem com a mesma frequêcia máxima, cada um deles é uma moda. Nesse caso, dizemos que o cojuto é bimodal. Exemplo: O cojuto a seguir é bimodal Assim, tato 5 quato 7 podem ser cosiderados moda do cojuto. () Quado todos os valores ocorrem com a mesma frequêcia, ão há moda. O cojuto, esse caso é amodal. Exemplo: Não há moda o cojuto: (3) Quado mais de dois valores ocorrerem com a mesma frequêcia máxima, cada um deles é uma moda. Nesse caso, dizemos que o cojuto é multimodal. Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 145

7 Exemplo: O cojuto a seguir é multimodal O úmero 1, o úmero 5 ou o úmero 7 podem ser cosiderados moda do cojuto. Comparação etre as medidas de tedêcia cetral Qual das três medidas de tedêcia cetral é a melhor? Não há uma resposta exata, pois ão há critérios objetivos para determiar a medida mais represetativa para qualquer cojuto de dados. Depededo das características de um cojuto, cada uma das medidas tem vatages e desvatages. Observe o quadro a seguir: Medida Vatagem Desvatagem Média Aritmética Mediaa Moda Relacioa-se melhor com outras medidas. Boa escolha se há valores extremos. Usada para variáveis qualitativas. Sesível a valores extremos. Para obtê-la é ecessário ordear o cojuto. Nem sempre existe. Medidas de dispersão Existem situações, a Estatística, em que as medidas de tedêcia cetral, como média aritmética, moda e mediaa, são isuficietes para caracterizar o grupo que se está estudado. Nesse caso, as medidas de dispersão apresetam uma diferete visão do cojuto aalisado. Etre as medidas que expressam o grau de dispersão de um cojuto de dados estatísticos iteressam-os a amplitude, a variâcia e o desvio padrão. Amplitude A amplitude de um cojuto de dados é igual à difereça etre o maior valor e o meor valor. 146 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

8 Exemplo: Qual é a amplitude do cojuto {; 8; 6; 9; 4}? Represetado a amplitude por A, temos: A 9 A 7 Das medidas de dispersão que estudaremos, a amplitude pode ser cosiderada a mais superficial, por levar em cosideração apeas os dois valores extremos, sem levar em cota os valores itermediários. Variâcia Dado um cojuto de valores {x 1, x, x 3,..., x } cuja média aritmética é igual a X, a variâcia dos valores desse cojuto, represetada por σ, é dada por: ( s 1 - ) + ( - ) ( ) + + ( - ) x X x X x X x X Exemplo: Qual é a variâcia do cojuto {; 8; 6; 9; 5}? Para calcularmos a variâcia, ates é ecessário calcular a média aritmética do cojuto: A variâcia é dada por: X ( s 1 - ) + ( - ) ( ) + + ( - ) x X x X x X x X s s 6 5 Logo, a variâcia é igual a 6. ( ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 147

9 Observação: O valor da variâcia sempre será represetado por um úmero real positivo. Quado, uma distribuição, a variâcia é igual a zero, ão existe dispersão, ou seja, todos os valores do cojuto são iguais. Desvio padrão O desvio padrão de um cojuto de valores {x 1, x, x 3,..., x } cuja média aritmética é igual a X, represetado por σ, é defiido por: s ( x - X ) + ( x - X ) + ( x - X ) + + x - X 1 3 ( ) Observação: O desvio padrão, assim como a variâcia, também assume apeas valores reais positivos. Quato mais próximo de zero for o valor do desvio padrão, mais homogêea é a distribuição de valores, ou seja, mais próximos estão us dos outros. Por outro lado, quato maior for o valor do desvio padrão, mais heterogêea será a distribuição de valores. Exemplo: Qual é o desvio padrão do cojuto {3; 7; 7; 3}? Iicialmete, vamos calcular o valor da média aritmética: 3 X Logo, a média aritmética do cojuto é igual a 5 potos. Agora, vamos obter o valor da variâcia: s ( ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) s s 4 s Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

10 O valor da variâcia é igual a 4. Como o desvio padrão é igual à raiz quadrada da variâcia, temos: s s s Portato, o desvio padrão é igual a. s 4 Resolução de questões 1. (Cesgrario) Uma loja de coveiêcia localizada em um posto de combustível realizou um levatameto sobre o valor das compras realizadas pelos seus clietes. Para tal, tomou uma amostra aleatória de 1 compras, que apresetou, em reais, o seguite resultado: Ídice Valor Ídice Valor Ídice Valor 1 19,40 8, ,00 14, , , , , ,00 4 7,0 11 8, ,50 5 8, , , , , ,00 7 7, , ,00 A mediaa dessa série de observações é: a) 15,50. b) 18,00. c) 18,30. d) 8,50. e) 34,00. Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 149

11 . (Cesgrario) Para respoder à próxima questão, utilize os dados da tabela a seguir, que apreseta as frequêcias acumuladas das idades de 0 joves etre 14 e 0 aos. Idades (aos) Frequêcia acumulada Uma das medidas de dispersão é a variâcia populacioal, que é calculada por å ( xi -m) 1. Sabedo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variâcia das idades a população formada pelos 0 joves? a) 0,15. b) 0,0. c) 1,78. d) 3,0. e) 3, (Cesgrario) A tabela a seguir apreseta a distribuição de frequêcias das idades de um grupo de criaças. Classes (em aos) f i Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

12 A mediaa da distribuição de frequêcia apresetada é: a) 5,5. b) 5,6. c) 5,7. d) 5,8. e) 5,9. 4. (Esaf) Cosidere a seguite amostra aleatória das idades em aos completos dos aluos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a úica opção correta: 9, 7, 5, 39, 9, 7, 41, 31, 5, 33, 7, 5, 5, 3, 7, 7, 3, 6, 4, 36, 3, 6, 8, 4, 8, 7, 4, 6, 30, 6, 35, 6, 8, 34, 9, 3, 8. a) A média e a mediaa das idades são iguais a 7. b) A moda e a média das idades são iguais a 7. c) A mediaa das idades é 7 e a média é 6,08. d) A média das idades é 7 e o desvio padrão é 1,074. e) A moda e a mediaa das idades são iguais a (Esaf) Para dados agrupados represetados por uma curva de frequêcias, as difereças etre os valores da média, da mediaa e da moda são idicadores da assimetria da curva. Idique a relação etre essas medidas de posição para uma distribuição egativamete assimétrica. a) A média apreseta o maior valor e a mediaa se ecotra abaixo da moda. b) A moda apreseta o valor itermediário e a média se ecotra abaixo da mediaa. c) A média apreseta o meor valor e a mediaa se ecotra abaixo da moda. d) A média, a mediaa e a moda são coicidetes em valor. e) A moda apreseta o meor valor e a mediaa se ecotra abaixo da média. Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 151

13 6. (Esaf) Assiale a opção que expresse a relação etre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmôica (H), para um cojuto de valores positivos (X 1, X,..., X ): a) G H X, com G H X somete se os valores forem todos iguais. b) G X H, com G X H somete se os valores forem todos iguais. c) X G H, com X G H somete se os valores forem todos iguais. d) H G X, com H G X somete se os valores forem todos iguais. e) X H G, com X H G somete se os valores forem todos iguais. 7. (Esaf) Cosidere a distribuição de frequêcias trascrita a seguir: X i F i A média da distribuição é aproximadamete igual a: a) 5,7. b) 5,4. c) 5,1. d) 5,19. e) 5, Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

14 8. (Esaf) Cosidere a distribuição de frequêcias trascrita a seguir: X i F i A mediaa da distribuição é igual a: a) 5,30. b) 5,00. c) um valor iferior a 5. d) 5,10. e) 5,0. 9. (Esaf) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumeto de 10%. O salário médio passou a ser de: a) $90.000,00. b) $91.000,00. c) $95.000,00. d) $99.000,00. e) $ , (Esaf) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculio e femiio são de R$50,00 e R$40,00, respectivamete. Etão, essa empresa: a) o úmero de homes é o dobro do úmero de mulheres. b) o úmero de homes é o triplo do úmero de mulheres. c) o úmero de homes é o quádruplo do úmero de mulheres. Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 153

15 d) o úmero de mulheres é o triplo do úmero de homes. e) o úmero de mulheres é o quádruplo do úmero de homes. 11. (Esaf) O desvio padrão do cojuto de dados A {, 4, 6, 8, 10} é, aproximadamete: a),1. b),4. c),8. d) 3,. e) 3,6. 1. (Esaf) Aplicado a trasformação z (x 14)/4 aos potos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários míimos. Assiale a opção que correspode ao desvio padrão dos salários ão trasformados. a) 6,0. b) 4,40. c) 5,00. d) 7,0. e) 3, (Esaf) O atributo do tipo cotíuo X, observado como um iteiro, uma amostra de tamaho 100 obtida de uma população de idivíduos, produziu a tabela de frequêcias seguite: Classes Frequêcia 9,5 39,5 4 39,5 49,5 8 49,5 59, ,5 69,5 0 69,5 79,5 6 79,5 89, ,5 99, Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

16 Assiale a opção que correspode à melhor estimativa da mediaa amostral do atributo X. a) 71,04. b) 65,0. c) 75,03. d) 68,08. e) 70,0. Dica de estudo Existem dois grupos pricipais de medidas se que destacam quado estudamos Estatística: as medidas de tedêcia cetral (média aritmética, mediaa, moda) e as medidas de dispersão (variâcia, desvio padrão). Pratique a resolução de problemas em que os dados são apresetados de forma bruta e orgaizados em tabela. Com isso, além de desevolver o cálculo das pricipais medidas estatísticas, você estará também estudado as tabelas de frequêcias. Referêcias BOYER, Carl B. História da Matemática. 1. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GAERTNER, Rosiete (Org.). Tópicos de Matemática para o Esio Médio. Blumeau: FURB. (Coleção Aritthmos.) LIMA, Elo Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LIMA, Elo Lages et al. A Matemática do Esio Médio. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 001. v.. LINTZ, Rubes G. História da Matemática. Blumeau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Jaeiro: Record, Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 155

17 Gabarito 1. Para obter o valor da mediaa, é ecessário ordear o cojuto de valores e destacar o termo cetral. Como o cojuto possui 1 termos, ou seja, uma quatidade ímpar de termos, o termo cetral é úico e ocupa a 11.ª posição. Assim, precisamos obter o 11.º termo da sequêcia ordeada. Em ordem crescete, temos: (7,0; 8,70; 10,30; 10,80; 13,40; 14,00; 15,50; 15,50; 15,50; 17,00; 18,00... ) Pela sequêcia apresetada, o 11.º termo é igual a 18,00. Portato, a mediaa é igual a 18,00. Resposta: B. Iicialmete, observe que as frequêcias da tabela são acumuladas. Etão, para facilitar, vamos calcular as frequêcias absolutas simples: Idades (aos) Frequêcia acumulada Frequêcia simples Sabedo-se que são 0 joves, a média aritmética das idades dos joves é dada por: 156 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

18 s 14 X X 17 0 O desvio de cada idade é igual à difereça etre o valor da idade e a média aritmética do cojuto de idades. A variâcia é igual a média aritmética dos quadrados dos desvios: ( ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + - ( ) +3 ( 19-17) + ( 0-17) Resposta: D 3. Somado-se as frequêcias, temos: s 64 0 s 30, Assim, a distribuição é formada por 0 elemetos. Como a mediaa divide ao meio a distribuição de valores, procuramos o termo que ocuparia a posição dada por 0/ 10. Vamos costruir uma colua adicioal de frequêcias absolutas acumuladas, observe: Classes (em aos) f i F i Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 157

19 Como procuramos o 10.º elemeto, vamos ecotrar, iicialmete, a classe mediaa por um procedimeto relativamete simples: Classes (em aos) f i F i < < > Logo, a terceira classe é a da mediaa. Como cosideramos sete valores até a seguda classe, devemos cosiderar apeas três valores da terceira classe, com o objetivo de atigirmos 10 valores e ecotrarmos a mediaa. A terceira classe é formada por quatro valores. Destes, desejamos cosiderar três valores, ou seja, 3/4 dos valores da terceira classe. Como a amplitude de classe mediaa é igual a, pois varia de 4 a 6, devemos cosiderar 3/4 dessa amplitude: , Assim, o valor da mediaa é igual ao limite iferior da classe mediaa adicioado a 1,5: Portato, a mediaa é igual a 5,5. Resposta: A Me 4 + 1,5 Me 5,5 4. A soma dos 37 valores é igual a Logo, a média aritmética das idades é dada por: X , 4 aos 158 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

20 Colocado os 37 valores em ordem crescete, temos: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 30, 31, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 39, 41, Estatística Em 37 valores ordeados, o 19.º é o termo cetral e correspode à mediaa. Assim, a mediaa é igual a: Me 7 aos O valor mais frequete é igual a 7 aos, ocorredo exatamete seis vezes. Portato, a moda é dada por: Mo 7 aos Logo, a mediaa e a moda são iguais a 7 aos. Resposta: E 5. Para uma variável aleatória cotíua, os valores da média aritmética, da mediaa e da moda idicam a assimetria da curva de distribuição de probabilidade da variável, idicado se há ou ão deformação e, havedo, se é à direita ou à esquerda. Para um cojuto de dados aproximadamete simétrico com uma úica moda, a média, a mediaa e a moda tedem a coicidir. Observe as três possíveis situações: Assimétrica à esquerda Simétrica Assimétrica à direita Ma Me Mo A média e a mediaa estão à esquerda da moda. Ma Me Mo As três medidas coicidem. Mo Me Ma A média e a mediaa estão à direita da moda. A distribuição egativa é à esquerda quado a média aritmética é meor que a mediaa que, por sua vez, é meor que a moda. Resposta: C Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 159

21 6. Iicialmete, vamos relembrar as defiições de média aritmética, geométrica e harmôica. Seja um cojuto de valores positivos x 1, x x 3,..., x. A média aritmética desse cojuto, deotada por X, é dada por: X x + x + x + + x 1 3 A média geométrica desse cojuto, deotada por Xg, é dada por: X g x. x.. x 1 A média harmôica desse cojuto, deotada por Xh, é dada por: X h x1 x x Sem perda de geeralidade, vamos provar que a média aritmética de dois úmeros positivos, a e b, é maior que ou igual à média geométrica que, por sua vez, é maior que ou igual à média harmôica, ou seja: X G H Prova 1: a média aritmética é maior que ou igual à média geométrica. Se a e b são úmeros positivos, etão: ( a- b) ³ 0 ( a) - a b+( b) ³ 0 a- ab+ b³ 0 a+ b³ ab a+ b ³ Mas, X a+ b exg ab, etão X³ Xg. Prova : a média geométrica é maior que ou igual à média harmôica. Sedo c e d úmeros positivos, da desigualdade etre as médias aritmética e geométrica, podemos escrever: ab 160 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

22 cd c d + Fazedo a troca c 1 a ed 1, temos: b cd. e c d + + a b a b ab ab ab Mas, se cd c+ d 1 1 +, etão 1 a b ab Ivertedo as frações, podemos escrever: ab Xh X a b As três médias somete assumirão o mesmo valor quado todos os valores do cojuto forem iguais. Resposta: D 7. Para uma distribuição de frequêcias de uma variável aleatória cotíua, a média aritmética é calculada utilizado-se o poto médio dos itervalos de classe poderados pelas respectivas frequêcias. Assim, a média aritmética é dada por: X X X 30 g Resposta: A 57, Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 161

23 8. A soma das frequêcias é dada por: Logo, são 30 elemetos o total Como a mediaa é a medida que divide o cojuto ao meio e a metade de 30 é igual a 15, é ecessário, ates, ecotrar-se a classe a que pertece a mediaa. Utilizado as frequêcias acumuladas, observa-se que a seguda classe é a classe mediaa, pois > 15, ou seja, a seguda classe é a primeira cuja frequêcia acumulada se iguala ou ultrapassa a metade da quatidade de dados. Até a primeira classe foram cosideradas ove observações. Assim, para se cosiderar 15 observações (a metade de 30), é ecessário se cosiderar mais seis observações (15 9 6). Como a seguda classe é composta por 1 observações, basta cosiderar 6 de 1, o que correspode a 50% do itervalo da seguda classe. Como o itervalo da seguda classe varia de 4 a 6, a metade (50%) do itervalo é exatamete 5,00. Portato, a mediaa, que separa 50% do cojuto ates (meores) e 50% depois (maiores), é igual a 5,00. Resposta: B 9. Preste ateção à seguite propriedade relativa ao desvio padrão: Multiplicado (ou dividido) cada valor de uma distribuição por uma mesma costate k, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por essa costate k. Justificativa: σ(k.x) k.σ(x) Quado multiplicamos todos os valores de uma distribuição por uma costate k, a média será também multiplicada pela costate k. Logo, o desvio padrão será multiplicado por k: s( kx) ( kxi -kx) [ kx ( i - x)] i å å å i 1 1 i 1 k. ( x - x) i k. s( X) 16 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

24 Essa propriedade será utilizada para respoder à questão uma vez que um aumeto de 10% correspode a multiplicar cada valor por 1,10: X + 0,10X (1 + 0,10). X 1,10. X Assim, quado se aumeta os valores de um cojuto em 10%, por exemplo, o desvio padrão também aumetará em 10%. Isso se aplica, aturalmete, à média do cojuto. Portato o ovo salário médio será igual a: Resposta: D $90.000,00. 1,10 $99.000, Sejam M e m a média dos salários dos empregados do sexo masculio e a quatidade de empregados do sexo masculio, respectivamete. Além disso, sejam F e f a média dos salários dos empregados do sexo femiio e a quatidade de empregados do sexo femiio, respectivamete. Se a média dos salários de todos os fucioários é igual a R$500,00, etão: M. m+ F. f 500 m+ f Substituido os valores das médias salariais dos homes e das mulheres, M 50 e F 40, temos: 50. m+ 40. f 500 m+ f 50m + 40f 500. (m + f) 50m + 40f 500m + 500f 50m - 500m 500f - 40f 0m 80f Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 163

25 Dividido ambos os membros por 0, temos: m 4f Portato, o úmero de homes é o quádruplo do úmero de mulheres. Resposta: C 11. A média aritmética dos valores do cojuto é dada por: X O desvio padrão é dado por: s ( -6) + ( 4-6) + ( 6-6) + ( 8-6) ( ) s s ,, 8 Logo, o desvio padrão é aproximadamete,8. Resposta: B 1. Preste ateção às seguites propriedades relativas ao desvio padrão: Propriedade 1: Adicioado uma costate k a cada valor de uma distribuição, o desvio padrão ão sofrerá alteração: σ(x + k) σ(x) 164 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

26 Justificativa: s( X+ k) å[ ] xi + k- ( x+ k) ( xi - x) i 1 i 1 å s( X) Propriedade Multiplicado (ou dividido) cada valor de uma distribuição por uma mesma costate k, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por essa costate k: Justificativa: σ(k. X) k. σ(x) Quado multiplicamos todos os valores de uma distribuição por uma costate k, a média será também multiplicada pela costate k. Por isso, o desvio padrão também será multiplicado por k: s( kx) ( kxi -kx) [ kx ( i - x)] i å å å i 1 1 i 1 k. ( x - x) i k. s( X) Na trasformação z (x - 14)/4 a variável x foi subtraída de 14 e, em seguida, dividida por 4. De acordo com as propriedades, subtrair 14 uidades ão altera o desvio padrão, mas dividir por 4 os valores da variável x fará com que o desvio padrão também fique dividido por 4. Logo, o desvio padrão da variável z é um quarto do desvio padrão da variável x, ou seja, o desvio padrão da variável x é o quádruplo do desvio padrão da variável z: σ x 4. σ z σ x 4. 1,10 σ x 4,40 Resposta: B Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações 165

27 13. Como são 100 observações, é ecessário se ecotrar o úmero que separa as 50 primeiras das 50 últimas. Iicialmete, é preciso ecotrar a classe mediaa. Para tato, utilizamos as frequêcias acumuladas. Adicioado as frequêcias absolutas simples até que estas atijam ou ultrapassem 50 (metade de 100), temos > 50. Logo, como tivemos que adicioar até a classe de frequêcia 6, cocluímos que a 5.ª classe é a classe mediaa. Observe que até a 4.ª classe, exatamete observações foram cosideradas. Ou seja, faltariam apeas observações a serem cosideradas da 5.ª classe. A 5.ª classe é composta por 6 observações e tem amplitude igual a 70,5 69,5 10. Assim, devemos cosiderar 4 das 6 observações o que correspode à fração de 10: Dessa forma, a mediaa ecotra-se a 1,54 uidade a partir do limite iferior do itervalo, que é igual a 69,5, ou seja: Me 69,5 + 1,54 71,04 Resposta: A 166 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações

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29 Este material é parte itegrate do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais iformações