APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS

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1 Miistério do Plaejameto, Orçameto e GestãoSecretaria de Plaejameto e Ivestimetos Estratégicos AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO SOCIOECONÔMICA DE PROJETOS APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS Claudia Botteo BRASÍLIA, MAIO DE 2009

2 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS A. Valor do diheiro ao logo do tempo 2 B. Os juros e as taxas de juros 3 1. Métodos de fixação do diheiro a juros compostos 3 2. Equivalêcia das taxas de juros 4 3. Relação etre a taxa omial aual e a taxa aual efetiva 5 C. Valor presete e valor futuro 6 4. Valor futuro do diheiro atual 6 5. Valor presete ou valor atual da soma futura do diheiro 7 6. Valor presete de uma série de futuras somas de diheiro diferetes umas das outras 8 7. Valor presete de um plao de prestações ou parcelas iguais e uiformemete distribuídas 8 8. Valor presete de um plao de prestações vecidas 9 9. Valor presete de um plao de aualidades adiatadas e deferidas Valor presete de um plao de perpetuidades vecidas Valor presete de um plao de perpetuidades adiatadas e deferidas Valor presete de um plao de prestações crescetes ou decrescetes a uma taxa costate 12 D. Bibliografia 15

3 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS 1 Para decidir sobre a oportuidade de execução de um projeto é essecial ter o fluxo de beefícios e custos atribuíveis a ele. Este fluxo é composto por ites cujos valores são distribuídos ao logo do tempo. É por isso que a iformação moetária cotida o projeto deve ser expressa o mesmo mometo, ou seja, resumida os deomiados idicadores de retabilidade ou viabilidade. Fórmulas matemáticas são um importate elemeto fiaceiro a avaliação de um projeto, permitido a homogeeização do fluxo de iformações. Abaixo estão os seguites coceitos básicos de matemática fiaceira: Valor do diheiro ao logo do tempo. Juros e taxas de juros. Valores atuais e futuros em um úico valor moetário e de uma série de valores iguais ou diferetes. A. Valor do diheiro ao logo do tempo Um dos erros mais comus a avaliação dos projetos é a falta de distição etre o tempo e o período: Tempo é um mometo. Período é um tempo decorrido etre dois potos ou evetos do projeto. Embora os beefícios e os custos de um projeto sejam gerados ao logo de um período, eles ocorrem um determiado mometo. Por exemplo, o salário mesal de um trabalhador para o mês de jaeiro de 2009 é gereciado ao logo de todo esse mês, sedo que, ormalmete, só é pago ao fial do mesmo. É por isso que quado da idetificação dos beefícios e custos de um projeto deve ser determiado quado o mesmo ocorrerá. A importâcia deste procedimeto é que o valor atribuído hoje por uma pessoa a um real é maior do que o valor dado a um real dispoível o futuro. Embora existam várias razões para que a mesma quatia de diheiro seja avaliada em mometos distitos, de formas diferetes, o mais importate é a existêcia de ivestimetos alterativos para esse diheiro. Um real recebido hoje é mais valioso do que um a receber o futuro, porque pode ser ivestido durate o período de tempo cosiderado. 1 Esta seção é ispirada do livro de Coloma Ferrá e Claudia Botteo "Evaluació projetos privados" (2007). 2

4 O seguite esquema é temporal e de um projeto cuja vida é dividida em períodos: Mometo 0 Mometo 1 Mometo 2 Mometo... Primeiro período Segudo período Se fosse um esquema mesal, o projeto seria de meses. O Mometo 0 correspode ao iício do primeiro mês; o Mometo 1, ao fial desse período e iício do segudo mês. Voltado ao exemplo do salário mesal, que é pago ao trabalhador, o valor deve ser iserido do Mometo 1 em diate. Além disso, se um forecedor vede para o projeto durate dois meses, o primeiro pagameto a ser feito deve ser registrado o fial do segudo mês (Mometo 2 de um caledário mesal). B. Os juros e as taxas de juros O redimeto fiaceiro gerado ao ivestidor por um recurso aplicado em determiado período de tempo é chamado juros. A taxa de juros é proveiete da relação etre os juros (I) e o capital iicial (A): i = Ι. A Por exemplo, se o capital iicial é de R$ 100 e os juros são de R$ 30, a taxa de juros (i) é igual a: R$ 30 i = = 0,3 = 30%. R$ 100 Quado se mecioa uma taxa de juros, é ecessário idicar o período a que ela se refere. Por exemplo: se o redimeto de R$ 30 é obtido após um ao, 30% é uma taxa de juros aual. 1. Métodos de fixação do diheiro a juros compostos 2 Sob a forma de juros compostos, os periódicos são capitalizados em períodos regulares (adicioado ao capital) e, assim, começam a gerar ovos juros. 2 Cabe recordar que existe uma modalidade de aplicação de recursos a juros simples. Nessa modalidade, os juros uca se toram parte do capital. O leitor pode estudar a modalidade de juros simples em Coloma, Ferrá e Claudia Botteo (2007), op cit. 3

5 Exemplo 1 Supoha que uma pessoa peça um empréstimo de R$ a um baco que cobra uma taxa de juros de 4% o semestre e que deva ser pago após 3 semestres, acrescido dos juros que se acumularam até o último mometo. A tabela abaixo resume os juros acumulados, que são capitalizados semestralmete, e o motate a ser reembolsado após 3 semestres: Período Dívida ao iício do semestre Juros semestrais Dívida ao fial do semestre ,00 40, , ,00 41, , ,60 43, ,86 Os juros semestrais são crescetes, pois foram calculados sobre o capital iicial acrescido dos juros capitalizados. O motate total a ser pago o fial de 3 semestres é de R$ 1.124,86, e pode ser obtido com a aplicação da seguite fórmula: MT = A ( 1+ i). (1) ode MT é o motate total a ser pago e é o úmero de períodos que decorre etre o mometo em que se recebe o empréstimo e os prazos para ser reembolsado com juros. 2. Equivalêcia das taxas de juros Ecotrar taxas de juros equivaletes é um procedimeto útil para avaliação de projetos. Isto porque, se o fluxo de um projeto tem distribuição mesal, o cálculo dos seus idicadores de retabilidade ecessita de uma taxa de juros mesal. No etato, se sua distribuição for aual, os idicadores vão exigir taxa de juros auais. Para que duas taxas de juros e diferetes períodos sejam equivaletes etre si, uma aplicação delas sobre um mesmo capital iicial deve produzir o mesmo motate total, coicidete com o lapso de tempo do ivestimeto. A equivalêcia etre as taxas pode ser visualizada tato o Exemplo 1, quato a fórmula (1). Uma taxa semestral de 4%, aplicada a um capital de R$ 1.000, obtém, o prazo de 3 semestres, um motate total igual a R$ 1.124,86: MT = (1,04) 3 = R$ 1.124,86. A fórmula utiliza a taxa semestral de 4% e o úmero de semestres (três) de duração da operação. A taxa trimestral de 1,9804% aplicada a R$ gera, após seis trimestres, o mesmo resultado: MT = (1,09804) 6 = R$ 1.124,86. A fórmula cosidera uma taxa trimestral de 1,9804% e o úmero de trimestres (seis) de duração da operação. Isto implica que as taxas de 4% semestral e 1,9804% trimestral são equivaletes. 4

6 É importate otar que as taxas são efetivas, o que sigifica que são as verdadeiras taxas pagas pela pessoa que recebe o empréstimo. A fórmula geral que permite trasformar uma taxa efetiva em outra é a seguite: 1 1 ( w w + z z w z 1+ i ) = (1 i ), ode: i = (1 + i ) 1. (2) w z ode i w e i z são as taxas relativas a um período de w e z de uidades de tempo, respectivamete. Por exemplo, se i 30 é a taxa de juros correspodete a 30 dias, a taxa efetiva correspodete a 45 dias (i 45 ),pode ser calcular como segue: 1 1 ( i ) = (1 i ), ode: i = (1 + i ) 1. Como pode ser visto a aplicação da fórmula, a uidade de tempo de referêcia deve ser a mesma para ambas alterativas (um dia, o caso ilustrado). Para calcular a taxa efetiva semestral (i s ) equivalete a uma taxa efetiva bimestral (i b ) pode ser feito como segue: 1 1 ( 2 b + s 6 1+ i ) = (1 i ), ode: i = (1 + i ) 1. s No procedimeto aterior foi utilizado o mês como uidade de tempo de referêcia. b 3 A taxa estimada para um ao é deomiada como taxa efetiva aual (TEA). Por exemplo, a TEA pode ser calculada a partir da taxa mesal (i m ); para cálculo da taxa efetiva semestral (i s ) equivalete a uma taxa efetiva bimestral (i b ), pode-se fazer o seguite: 1 ( m i ) = (1 TEA), que é: TEA = (1 + i ) 1. m Relação etre a taxa omial aual e a taxa aual efetiva Ao proporcioar uma forma de depósito ou empréstimo, sistemas bacários dão iformações utilizado a taxa aual omial (TNA). Esta taxa é apeas um poto de referêcia para a taxa de 365 dias, a partir da qual a TEA pode ser calculada. Em uma TNA de 20% para depósitos a prazo de 30 dias, os juros sobre a operação são calculados utilizado a taxa ormal 30 dias (TP 30 ), que é determiado a proporção da TNA. Dado que a TNA é 365 dias, a taxa regular para 30 dias, será: 0,20 TP 30 = 30 = 1,6438%. 365 Esta é uma taxa efetiva periódica para os 30 dias porque, a verdade, é o que baco aplica os depósitos deste período: 5

7 TP 30 = i 30. Se o diheiro permaece depositado ao logo de um ao, a verdadeira taxa aual paga pelo baco ão é 20%, mas a taxa aual igual ao TP 30, calculada pela seguite fórmula (2): TEA = (1+ TP30 ) 1 = (1,016438) 1 = 21,942%. 365 Como pode ser visto, a uidade de tempo defiida para a capitalização de juros é um elemeto essecial para cálculo da TEA, já que se o período de capitalização for diferete, o resultado também será. Usado os dados do exemplo, a capitalização de juros ocorre a cada 60 dias (ao ivés a cada 30 dias), a taxa periódica de 60 dias (TP 60 ) e a TEA são iguais a 3,2877% e 21,7479%, respectivamete. 0,20 60 TP 60 = 60 = 3,2877% e TEA = (1+ TP60 ) 1 = (1,032877) 1 = 21,7479%. 365 Se o período de capitalização for de 365 dias, a TNA coicide com a taxa efetiva correspodete ao mesmo lapso. A TEA é igual a 20%. Há ocasiões em que as taxas efetivas ecessárias ão são auais. Isto é fácil de ser resolvido, porque quado cosiderada a TEA as taxas efetivas equivaletes correspodetes a períodos de um ao podem ser calculadas C. Valor presete e valor futuro Abaixo estão algumas fórmulas úteis para a avaliação de um projeto: 4. Valor futuro do diheiro atual O valor futuro em períodos de uma soma de diheiro é obtido pela capitalização dos juros vecidos estes períodos. A fórmula para calcular o valor futuro é a (1), e é idicada para determiar o motate total sob a forma de juros compostos. ( 1 i). VF = VP + (2) Note-se que MT (motate total) foi substituído por VF (valor futuro), e A (capital iicial ivestido) pelo VP (valor atual ou valor presete), uma vez que estas expressões são utilizadas a avaliação de projetos. Quado se determia um valor futuro é ecessário idicar o exato mometo em que ele é calculado. Como ocorre para qualquer fórmula de matemática fiaceira, deve haver correlação etre o úmero de períodos durate os quais o motate de diheiro gera juros e a taxa efetiva de juros correspodete a cada período. 6

8 Exemplo 2 Para determiar hoje o valor futuro de R$ 100 após um ao caso a taxa efetiva semestral seja de 10%. Optado por trabalhar com um prazo de seis meses, deve ser utilizada a taxa efetiva semestral, sedo que assume o valor 2 (úmero de semestres em um ao). O valor futuro o mometo 2 de um caledário semestral é o seguite: VF 2 = 100 (1,1) 2 = R$ 121. Também se pode trabalhar com períodos auais: assume o valor 1 e deve ser utilizada a taxa efetiva aual equivalete à taxa efetiva semestral de 10%, o que equivale a 21%. O valor futuro do primeiro mometo de um caledário aual é: Exemplo 3 VF 1 = 100 (1,21) 1 = R$ 121. Deseja-se determiar hoje o valor futuro após 14 meses de R$ 100, a uma taxa efetiva semestral de 10%. Neste caso, pode ser desejável trasformar a taxa efetiva semestral em uma taxa efetiva mesal (1,6012%). O valor futuro o mometo 14 de um caledário mesal é: Exemplo 4 VF 14 = 100 (1,016012) 14 = R$ 124,91. A fórmula de valor futuro pode ser adaptada para o caso em que a taxa de juros ão permaeça costate através do tempo. Para calcular o valor futuro de R$ 100 após 6 meses, agora colocadas as taxas efetivas mesais (i m ) de 1% durate os primeiros 4 meses e de 1,5% durate os meses restates: VF = 100 (1,01) (1,015) = R$ 107,21 Ou seja, os R$ 100 são capitalizados a 1% ao mês durate os primeiros quatro meses e a 1,5% durate os 2 meses posteriores. 5. Valor presete ou valor atual da soma futura do diheiro O valor presete refere-se à quatidade de diheiro que deve ser aplicada a juros durate um determiado mometo ou após períodos. A fórmula para o valor atual resulta da fórmula (3) e é igual a: VF. (3) (1 + i) 7

9 Exemplo 5 Para determiar o valor presete dos R$ 400 que serão recebidos daqui a um ao, se a taxa efetiva for de 2% a cada dois meses: 400 (1,02) 6 = R$ 355,19. De outra forma, se hoje aplicarmos R$ 355,19 a 2% por bimestre, vamos obter R$400 após um ao. Exemplo 6 Neste caso, a aplicação da fórmula à situação em que a taxa de juros ão é costate ao logo do tempo cosiderado. O valor presete de R$ 400 a receber após um ao, se as taxas efetivas bimestrais vigetes forem de 1,5% para os primeiros 4 primeiros bimestres e de 2% para os restates, é igual a: (1,015) (1,02) 2 = R$ 362, Valor presete de uma série de futuras somas de diheiro diferetes umas das outras Se em vez de uma úica soma de diheiro, elas forem de valor diferete, o valor atual do cojuto de recursos é obtido pela adição dos valores atuais de cada um. Se a taxa efetiva aual for de 10%, o valor presete de dos dois valores o futuro, R$ 200 o prazo de um ao e R $ 300 detro de dois aos, é determiado como segue: 200 (1,10) (1,10) 2 = R$ 429,75. Ou seja, para obter essas duas retiradas os mometos idicados, R $ 429,75 devem ser depositados hoje. 7. Valor presete de um plao de prestações ou parcelas iguais e uiformemete distribuídas O plao de prestações iguais pode ser classificado de acordo com o úmero de prestações ou parcelas e, o mometo do pagameto da primeira. Depededo do úmero de prestações são chamados de: Plao de auidade, quado o úmero de prestações é fiito. Plao de perpetuidades: quado se trata de prestações itermiáveis. 8

10 A classificação das prestações tedo em cota o mometo de pagameto da primeira, cotado a partir do mometo de execução da operação, exige que os prazos sejam defiidos de acordo com o caledário das prestações. Eles são chamados: Plao de prestações vecidas: quado a primeira é paga ao fial do primeiro período. Por exemplo, se as prestações são mesais, o plao é vecido quado a primeira é paga ao fial do primeiro mês. Plao de prestações avaçadas (prestações adiatadas): quado a primeira é paga o iício do primeiro período. Por exemplo, se as parcelas são prestações mesais, o plao é de prestações avaçadas se a primeira é paga o iício do primeiro mês. Plao de prestações diferidas: quado a primeira cota é paga em algum mometo futuro que ão seja o fial do primeiro período. Por exemplo, se as prestações são mesais, o plao é de prestações diferidas se a primeira é paga o fial do segudo mês ou mais tarde. Se as prestações são bimestrais, a primeira é paga o fial do primeiro mês. 8. Valor presete de um plao de prestações vecidas As aualidades vecidas são distribuídas o tempo segudo o seguite caledário: Coceito Distribuição das prestações ode C é o valor de cada cota. O valor presete deste cojuto de prestações é: C C C C C C C (5) 2 (1+ i) (1 + i) (1 + i) Para chegar a uma fórmula de cálculo mais simples, se multiplicam os dois membros por (1+i): C C C VP (1 + i) = C (6) 2 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) A difereça etre (6) e (5) é igual a: C VP (1 + i) C (1 + i) surge assim a seguite fórmula:, C 1 (1 + i) 1 1 C. = (7) i (1 + i) (1 + i) i ode é o úmero de prestações. 9

11 Para aplicar corretamete a fórmula deve existir correlação etre a frequêcia das prestações e a taxa efetiva utilizada. Ou seja, se as prestações forem bimestrais, a taxa utilizada é a efetiva bimestral. 9. Valor presete de um plao de aualidades adiatadas e deferidas A fórmula (7) obtida para o caso de prestações vecidas, pode ser adaptada aos efeitos do cálculo do valor atual dos plaos de prestações adiatadas ou diferidas. Auidades adiatadas são e distribuídas ao logo do tempo, como segue: Coceito Distribuição das prestações C C C C C Ao usar a fórmula (7) sem ehuma modificação, o valor resultate é expresso o mometo correspodete a um período aterior da primeira cota, este caso, o mometo -1. Para que este valor seja expresso o mometo 0, a fórmula deve ser corrigida, capitalizado o valor resultate de uma aplicação direta durate um período: C 1 (1 + i) 1 1 (1 i) C (1 + i). + = (4) i (1 + i) (1 + i) i Como existem muitas variates de plao de prestações diferidas, se apreseta o seguite caso: Coceito Distribuição das prestações C C C Como pode ser visto, a primeira cota é paga o fial do segudo período. Isto implica que, ao usar (7) para atualizar, o valor resultate é expresso o mometo 1. Neste caso, para que este valor se expresse o mometo 0, é ecessário atualizar o resultado por um período e aplicar esta fórmula diretamete. A fórmula é: C 1 1 i (1 + i) 1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) i Um exemplo que permite aplicar a fórmula (7) e mostrar as modificações que devem ser feitas em algus casos:. Exemplo 7 Para calcular o valor atual de um cojuto de 6 prestações semestrais, iguais e cosecutivas de R$ 300, a taxa efetiva relevate é de 1% mesal. Como as prestações são semestrais, é ecessário usar a taxa efetiva semestral equivalete à efetiva mesal de 1% a fórmula (7): 6,152%. C 10

12 Se as prestações são vecidas, o valor atual é calculado diretamete, usado a fórmula (7): 6 (1,06152) = R$ 1.468,18. 6 (1,06152) 0,06152 Se as prestações são adiatadas, o valor atual é: 6 (1,06152) ,06152 = R$ 1.558,50. 6 (1,06152) 0,06152 Se a primeira cota semestral for paga o fial do quarto mês de cocretizada a operação, o valor atual do plao é: 6 (1,06152) (1,01) 6 (1,06152) 0, = R$ 1.497,69. Ou seja, o resultado da aplicação da fórmula (7) é expresso o mometo -2 de um caledário mesal (um semestre ates da primeira cota). Isto implica que, para determiar o valor atual, devem ser capitalizados os juros desses 2 meses. Se a primeira cota semestral for paga o fial do décimo mês, resulta: 6 (1,06152) (1,01) 6 (1,06152) 0, = R$ 1.410,89. A fórmula (7) calcula um valor expresso o mometo 4 de um caledário mesal. Isto implica que, para determiar o valor atual, esse resultado deve ser atualizado com o descoto dos juros referetes a esses 4 meses. 10. Valor presete de um plao de perpetuidades vecidas O seguite esquema permite visualizar graficamete o fluxo de perpetuidades vecidas: Coceito Distribuição das prestações C C C C Se a fórmula (7) de auidades vecidas cosidera que tede ao ifiito, a expressão resultate é o valor presete de um plao de perpetuidades vecidas: C. (9) i A aplicação da fórmula (9) é muito simples e é apresetada com um exemplo umérico. 11

13 Exemplo 8 Para calcular o valor presete de um plao de perpetuidades bimestrais vecidas de R$ 25, iguais e cosecutivas, se a taxa efetiva mesal for de 1%. Como a perpetuidade é bimestral, ao aplicar (9) deve-se usar a taxa efetiva bimestral equivalete à efetiva mesal de 1%: 2,01%. O valor presete de todas as prestações é igual a: 25 = 0,0201 R$ 1.243, Valor presete de um plao de perpetuidades adiatadas e deferidas Como feito o caso de prestações, a fórmula (9) pode ser modificada para aplicação os casos de perpetuidades adiatadas ou diferidas. O valor presete deste plao de perpetuidades adiatadas é obtido com a capitalização, por um período, do valor resultate da aplicação da fórmula (9): C (1 + i). i Por exemplo, se as perpetuidades bimestrais do plao aterior forem adiatadas, o valor atual é igual a: 25 (1,0201) = R$ 1.268,78. 0,0201 Se a primeira das perpetuidades bimestrais de R$ 25 for paga o fial do décimo mês, seu valor presete é: 25 0, (1,01) 8 = R$ 1.148,61. Ao usar a fórmula (9) ialterada, é calculado o valor o mometo 8 de um caledário mesal. Por isso, sua atualização precisa cosiderar esses 8 meses. 12. Valor presete de um plao de prestações crescetes ou decrescetes a uma taxa costate Existe uma fórmula para cálculo do valor atual do plao de prestações vecidas que crescem a uma taxa costate δ a partir do mometo 1: Coceito Distribuição das prestações C C (1+ δ) C (1+ δ) -1 12

14 Como se pode ver C é o valor correspodete à primeira prestação. O valor atual deste cojuto de prestações é: C C (1+ δ) C (1 + δ) (1 + i) (1 + i) (1 + i) 1. (10) Para ecotrar o valor presete do plao, ambos os membros de (10) são multiplicados por (1 + i) : (1 + δ) (1 + i) C C C (1 + δ) C (1 + δ) VP = (11) 2 1 (1 + δ) (1 + δ) (1 + i) (1+ i) (1 + i) A difereça etre (11) e (10) é: Ode: (1 + i) C C (1 + δ) VP 1 (1 ) = + δ (1 + δ) (1 + i) 1, C (1 + δ) (1 + i) (1 + δ) 1 C. = (12) i δ (1 + i) (1+ i) (i δ) É iteressate otar que se as prestações forem decrescetes a taxa δ, a partir do mometo 1, deve ser substituída δ por (-δ). Se a fórmula (12) se cosidera que assume o valor de ifiito, se determia o valor presete de um cojuto de perpetuidades vecidas e crescetes: C. (13) i δ A fórmula (13) só é válida se i > δ. Se δ é zero, as fórmulas (12) e (13) coicidem com as fórmulas (7) e (9), aplicadas em prestações e perpetuidades costates. Exemplo 9 Esta fórmula pode ser usada para calcular o valor presete dos beefícios líquidos sociais atribuíveis a um projeto de expasão de uma estrada. Cosidera-se que esses beefícios cresçam em fução do tempo caledário, idepedetemete do mometo em que se expada a estrada. A taxa de crescimeto dos beefícios líquidos é 2% aual e o beefício líquido de trâsito o primeiro ao caledário é de R$ A taxa de descoto social é de 10% aual. Se a costrução for hoje e gerar ifiitos beefícios desde o fial do primeiro ao, o fluxo aual de beefícios é o seguite: 2 13

15 Coceito a Beefício líquido de trasitar Seu valor presete é: = R$ (0,1 0,02) Se sob as mesmas codições, o projeto gera só 20 beefícios, seu valor presete é: (1,02) 1 (0,1 0,02) (1,1) = R$ ,02. Exemplo 10 É possível modificar as fórmulas (12) e (13) para uso em outras situações. Cosidera-se que o projeto do Exemplo 9 gerará seu primeiro beefício detro de 3 aos (mometo 3 do caledário aual). Se o úmero de beefícios for itermiável, o fluxo relevate aual de beefícios é o seguite: Coceito a Beefício líquido de trasitar Isto implica que as fórmulas o valor que assume C (primeira quota) é R$ e o valor presete do cojuto é: (0,1 0,02) (1,1) 2 = R$ ,72. O valor resultate da aplicação direta da fórmula (13) fica expresso o fial do segudo ao (mometo 2), e, portato, deve ser atualizado tedo em cota esses dois aos. Se o projeto gera 20 beefícios, seu valor presete é: Exemplo (1,02) 1 (0,1 0,02) (1,1) (1,1) 2 = R$ ,83. Esta fórmula pode ser aplicada para o cálculo dos beefícios líquidos de um projeto de mieração. Neste tipo de projeto é provável que os beefícios líquidos sejam decrescetes, já que, à medida que se extrai mieral, se obtém meos quatidade de material por uidade de tempo (a mia vai se esgotado). Além disso, os custos aumetam ao ter que percorrer maior distâcia a mia. Cosidera-se que o primeiro beefício aual é R$ e ocorre detro de um ao. A partir daí começa a dimiuir a uma taxa aual de 2%. Se seu úmero for igual a 20, o valor presete resultate é: 14

16 (0,98) 1 (0,1 + 0,02) (1,1) Se os beefícios duram ifiitamete: = R$ ,33. (0,1 + 0,02) = R$ ,69. D. Bibliografia BOTTEON, Claudia y FERRÁ, Coloma, Elemetos de matemática fiaciera para la evaluació de proyectos, e Serie Estudios-Secció Ecoomía Nº 47 (Medoza, FCE-UNC, 2005). FERRÁ, Coloma y BOTTEON, Claudia, Evaluació privada de proyectos (Medoza, FCE- UNC, 2007). GUTIERREZ, Héctor, Evaluació de proyectos ate certidumbre (Satiago de Chile, Uiversidad de Chile, 1994). HARBERGER, Arold C., Técicas de evaluació de proyectos, e "Serie Traduccioes- Secció Ecoomía", N 81 (Medoza, FCE-UNC, 1964). 15

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