PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

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1 AMORTIZAÇÃO Amortizar sigifica pagar em parcelas. Como o pagameto do saldo devedor pricipal é feito de forma parcelada durate um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas partes: uma é o valor dos JUROS icidetes sobre o saldo devedor; outra é o valor da AMORTIZAÇÃO do pricipal da dívida. Esta garatirá que o saldo devedor, após o pagameto de cada prestação, seja sempre meor, até a sua extição. PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO São diversos os sistemas de amortização, podedo ir desde métodos padroizados, com uso costate o mercado, até métodos cocebidos pelas partes, quado da formação da dívida. Nos limitaremos ao estudo de dois deles, o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF tabela PRICE) e o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC). SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) O sistema de amortização fracês é caracterizado por apresetar prestações periódicas e de mesmo valor. O cálculo do valor fixo das prestações, com pagameto sem etrada, ou seja, sedo a primeira prestação paga ao fial do período ao qual foi cotratado o empréstimo (pagametos postecipados), pode ser realizado multiplicado-se o valor do saldo devedor pricipal pelo fator localizado a tabela PRICE, verificado para a taxa i de juros e a quatidade de prestações. Este fator pode ser calculado pela expressão ( + i) i. ( + i) Desta forma, represetado o valor das prestações por R e o pricipal da dívida por P, temos: ( + i) i R = P ( + i) Esta relação pode ser resumida fazedo-se Price. Passamos a ter: ( + i) i = ( + i), sedo a otação suficiete para idicar a tabela R = P Obs.: Podemos usar PV (valor presete) para represetar o valor pricipal da dívida, em substituição a P, e para represetar o valor das prestações, em substituição a R. Estas são as teclas da calculadora HP-C que serão utilizadas. EXEMPLOS RESOLVIDOS: ) Um empréstimo de R$.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Fracês em prestações mesais, sem etrada. Se a taxa de juros for de 0% ao mês, calcular o valor das prestações e costruir a plailha de amortização. P = PV= R$.000 i = 0% a. m. = R = =? Cálculo do valor das prestações: R = P MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 R =.000 Cosultado a tabela Price para = e i = 0%, ecotramos: a 0% i 8% 9% 0% % 0, ,5687 0,5769 0,589 0,880 0,9505 0,0 0,09 0,09 0,0867 0,57 0, 5 0,506 0,5709 0,680 0, ,6 0,9 0,96 0,68 R =.000 0,57 R = = R$ 5,7 Para a costrução da plailha de amortização, vamos separar do valor de cada prestação, qual a parcela referete aos juros e à cota de amortização, cobrados em cada istate. Os juros pagos a primeira prestação icidem sobre o saldo devedor iicial R$.000. Logo: J = 000 0, = R$ 00 O valor amortizado a primeira prestação é, portato, a difereça: R$ 5,7 R$ 00 = R$ 5,7 O saldo devedor após o pagameto da primeira prestação é, portato, a difereça: R$.000 R$ 5,7 = R$ 78,5 Adotado procedimeto aálogo as demais prestações, temos a plailha N SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 0 R$.000,00 R$ 78,5 R$ 5,7 R$ 00,00 R$ 5,7 R$ 57,5 R$ 7,0 R$ 78,5 R$ 5,7 R$ 86,79 R$ 60,7 R$ 5,75 R$ 5,7 R$ 0,00 R$ 86,79 R$ 8,68 R$ 5,7 Observamos que a cada prestação paga, o valor dos juros decresce equato a cota de amortização aumeta. O Problema pode ser resolvido com uso de calculara fiaceira e plailha eletrôica Com a calculadora HP-C para a resolução do problema aterior, pode ser usada a seguite sequêcia de teclas: Para calcular o valor da Prestação (sem etrada, a calculadora ão pode apresetar o modo BEGIN o visor): 000 CHS PV 0 i Para o cálculo do valor dos juros devidos a primeira prestação (e as demais): f N Para o cálculo do valor amortizado a primeira prestação (e as demais): Para o cálculo do Saldo Devedor restate: RCL PV MATEMÁTICA FINANCEIRA

3 ) Cosiderado os dados do problema aterior e que o fiaciameto seja feito em + iguais (etrada + prestações, todas iguais). Qual será o valor da etrada e cosequetemete, de cada prestação? Com a calculadora HP-C, deve-se acioar a fução BEGIN, teclado: g BEG A idicação BEGIN aparecerá o visor Para calcular o valor da etrada e de cada prestação: 000 CHS PV 0 i R$ 86,79 ) Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sedo vedido em 5 prestações mesais, iguais e sem etrada. À taxa de juros de % ao mês, calcular o valor das prestações e costruir a plailha de amortização. P = PV = R$ 800 i = % a. m. = 5 R = =? Cálculo do valor das prestações: R = P R = 800 a 5 % Cosultado a tabela Price para = 5 e i = %, ecotramos: i % % 5% 6% 0,55 0,605 0,67 0,7 0,690 0,759 0,80 0, ,85 0,6 0,097 0,70 6 0,860 0,9076 0,970 0,06 7 0,605 0,666 0,78 0,79 R = = 800 0,6 R = = R$ 79,70 Temos a plailha: SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 0 R$ 800,00 R$ 65,0 R$ 7,70 R$,00 R$ 79,70 R$ 98,69 R$ 5,6 R$ 6,09 R$ 79,70 R$ 8,9 R$ 59,75 R$ 9,95 R$ 79,70 R$ 7,79 R$ 66, R$,56 R$ 79,70 5 R$ 0,00 R$ 7,79 R$ 6,9 R$ 79,70 ) Se uma dívida está sedo amortizada pelo sistema Price em 6 prestações de R$ 78,8, à taxa de 5% ao mês, qual o seu valor iicial? R = R$ 78,8 = 6 i = 5% a. m. P =? Vamos substituir os dados em R = P MATEMÁTICA FINANCEIRA

4 78,8 = P a 6 5% Cosultado a tabela Price para = 6 e i = 5%, ecotramos: i % % 5% 6% 0,55 0,605 0,67 0,7 0,690 0,759 0,80 0, ,85 0,6 0,097 0,70 6 0,860 0,9076 0,9700 0,06 7 0,605 0,666 0,78 0,79 78,8 = P 0,97 78,8 P = 0,97 P = R$ 00,00 Nota: Sistema de Amortização Fracês e Sistema Price, sigificam o mesmo método de amortização. Deomia-se sistema Price, o etato, quado a taxa de juros forecida é a omial, ou seja, com uidade de tempo diferete da uidade do período de pagameto das prestações. Ex.: taxa de juros de % ao ao com prestações pagas mesalmete. Neste caso, a taxa efetiva cobrada é igual a % ao mês. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) O Sistema de Amortização Costate é caracterizado por apresetar, como o próprio ome já diz, valor costate da cota de amortização. A cota costate de amortização A, pode ser calculada dividido-se o saldo devedor pricipal P, pelo úmero de prestações. P A = Os juros pagos a cada prestação são calculados sobre o saldo devedor da ocasião. Assim, a primeira prestação, a taxa i de juros icide sobre o saldo devedor total P; a seguda, sobre o saldo (P A); a terceira, sobre (P A), e assim por diate. EXEMPLOS RESOLVIDOS ) Um empréstimo de R$.000,00 será pago em prestações mesais pelo sistema de amortização costate, sedo a primeira delas paga mês após a sua aquisição. À taxa de 0% ao mês, costruir a plailha de amortização. Para a costrução da plailha, primeiramete calculamos o valor da cota de amortização: 000 A = A = R$ 50,00 A partir disto, podemos obter o saldo devedor após cada amortização, os juros e o valor de cada uma das prestações. Temos: MATEMÁTICA FINANCEIRA

5 SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR 0 R$.000,00 R$ 750,00 R$ 50,00 R$ 00,00 R$ 50,00 R$ 500,00 R$ 50,00 R$ 75,00 R$ 5,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 00,00 R$ - R$ 50,00 R$ 5,00 R$ 75,00 Observamos que o valor dos juros (ou das prestações) decrescem em progressão aritmética. ) Uma dívida de R$ 500,00, amortizada pelo SAC, em 0 vezes sem etrada, à taxa de % ao mês, produz que valor como quarta prestação? Qual o saldo devedor após o pagameto da sexta prestação? Iicialmete vamos calcular o valor da cota costate de amortização: 500 A = A = R$ 50,00 0 O valor da quarta prestação será igual à cota R$ 50,00 mais os juros aquele mometo. R = A + J Os juros pagos a quarta prestação serão calculados sobre: R$ 500 R$ 50 = R$ 50,00 J = 50 0,0 = R$ 7,00 R = R = R$ 57,00 O saldo devedor após o pagameto da sexta prestação é: R$ R$ 50 = R$ 00,00 ) Na amortização pelo SAC, de R$.000,00 em 0 vezes, à taxa de 8% ao mês, qual o total de juros pagos durate o fiaciameto? Para calcularmos o total de juros pagos um fiaciameto pelo SAC, aplicamos a fórmula: (J + J ) J T = J T refere-se ao total de juros, J aos juros da primeira prestação, J, juros a última prestação e é a quatidade de prestações. Temos: J =.000 0,08 = R$ 60,00 J 0 = 00 0,08 = R$ 6,00 (60 + 6) 0 J T = J T = R$ 880,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 5

6 EM RESUMO AMORTIZAÇÃO Pagar em parcelas PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) Prestações periódicas e de mesmo valor. R = P Cálculo do valor das prestações sem etrada com HP-C: 000 CHS PV / 0 i / / Cálculo do valor dos juros devidos a primeira prestação (e as demais): f Cálculo do valor amortizado a primeira prestação (e as demais): Cálculo do Saldo Devedor restate: RCL PV Para o cálculo do valor das prestações com etrada e as demais parcelas todas iguais ( + ): Deve-se acioar a fução BEGIN, teclado g BEG / A idicação BEGIN aparecerá o visor. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Valor costate da cota de amortização A. A = P MATEMÁTICA FINANCEIRA 6

7 EXERCÍCIOS 0. Cosiderado as tabelas o fial da apostila, preecha a plailha abaixo com os fatores que calculam os valores das prestações iguais de um fiaciameto com pagametos sem etrada, de acordo com a taxa de juros e o úmero de parcelas. i = Taxa do Fiaciameto,00%,50% 5,00% 7,00% 8,00% 0,00% = Número de Prestações 0. Um empréstimo de R$.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Fracês em prestações mesais, sem etrada. Se a taxa de juros for de 0% ao mês, calcular o valor das prestações e costruir a plailha de amortização. SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV 0 0. Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sedo vedido em 5 prestações mesais, iguais e sem etrada. À taxa de juros de % ao mês, calcular o valor das prestações e costruir a plailha de amortização. SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV Cosidere um empréstimo igual R$ 500,00. Sabedo que esse empréstimo será pago em prestações mesais e iguais sem etrada e que a taxa de juros do fiaciameto será de % ao ao, complete a plailha de amortização a seguir e respoda: SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV 0 a) Qual o valor em reais do saldo devedor imediatamete após o pagameto da ª prestação? b) Qual o valor em reais da cota de amortização embutido o valor da ª prestação? MATEMÁTICA FINANCEIRA 7

8 05. Complete os dados da plailha abaixo cosiderado o plao de pagameto em + prestações iguais, ou seja, etrada igual às demais prestações: PREÇO À FORMA DE TAXA VLR DA ENTRADA E VISTA PAGAMENTO DAS PRESTAÇÕES R$.000,00 + 0,00% R$ 86,79 R$.500,00 + 5,00% R$.000,00 +,50% R$ 800,00 + 7,50% R$.00,00 +,00% R$.000,00 + 9,00% R$.00,00 + 7,50% 06. Um empréstimo de R$.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Costate em prestações mesais, sem etrada. Se a taxa de juros for de 0% ao mês, calcular os valores das prestações e costruir a plailha de amortização. SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV Um empréstimo de R$ 900,00 será pago pelo Sistema de Amortização Costate em 5 prestações mesais, sem etrada. Se a taxa de juros for de 0% ao mês, calcular os valores das prestações e costruir a plailha de amortização. SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV A plailha de amortização a seguir está preechida parcialmete. N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR 0 R$.000,00 R$,0 R$ 8,0 X R$ 8,0 Y R$ 8,0 Z R$ 8,0 Com base esses dados, respoda:. Qual o sistema de amortização adotado e por que;. Qual a taxa de juros adotada o fiaciameto;. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamete. MATEMÁTICA FINANCEIRA 8

9 09. A plailha a seguir está preechida parcialmete. N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR 0 R$ 800,00 R$ 600,00 R$ 0,00 X R$ 00,00 R$ 00,00 Y R$ 00,00 Z Com base esses dados, respoda:. Qual o sistema de amortização adotado e por que;. Qual a taxa de juros do fiaciameto;.. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamete. 0. Uma pessoa fiacia uma compra o valor de R$ 560,00, pelo sistema de amortização costate, em 8 prestações mesais sem etrada, à taxa de 0% ao mês. Desejado quitar sua dívida atecipadamete, perguta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagameto da quita prestação?. Uma pessoa fiacia uma compra o valor de R$ 560,00, pelo sistema price de amortização, em 8 prestações mesais sem etrada, à taxa de 0% ao mês. Desejado quitar sua dívida atecipadamete, perguta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagameto da quarta prestação?. Uma pessoa fiacia uma compra o valor de R$.000,00, pelo sistema price de amortização, em prestações mesais sem etrada, à taxa de % ao mês. Desejado quitar sua dívida atecipadamete, perguta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagameto da décima prestação?. Uma pessoa fiacia uma compra o valor de R$ 0.000,00, pelo sistema price de amortização, em 0 prestações mesais sem etrada, à taxa de % ao mês. Desejado quitar sua dívida atecipadamete, perguta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagameto da décima prestação?. Uma compra o valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma etrada à vista de 0% e o saldo devedor restate em 5 prestações mesais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vecedo a primeira prestação em 0 dias. Embutida esta primeira prestação mesal, existe uma amortização do saldo devedor, de quatos reais? 5. Amortizado-se R$.500,00 pelo sistema de amortização costate, em 0 prestações sem etrada, com taxa de % ao mês, qual o valor da seguda prestação? 6. No pagameto de um empréstimo o valor de R$ 5.000,00 em 0 prestações mesais sem etrada, à taxa de 0% ao mês, pelo SAC, qual o valor da sexta prestação? 7. Na tabela abaixo, que apreseta algumas células sem valores uméricos, os dados referem-se a um empréstimo bacário de R$ 0.000,00, etregues o ato e sem prazo de carêcia, à taxa de juros de % ao ao, para pagameto em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, complete os dados da plailha. Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação , ,5 8, ,6.658,5 67,.99,9.67,7 50, Qual o valor à vista, de um automóvel vedido com uma etrada de R$.000,00 e o restate fiaciado em prestações mesais e iguais a R$ 85, à taxa de % ao mês? a) R$ 8.000,00 b) R$ 0.9,0 c) R$ 0.000,00 d) R$.000,00 e) R$ 8.9,0 9. Qual o valor à vista, de um automóvel vedido com uma etrada de R$.000,00 e o restate fiaciado em prestações mesais e iguais a R$ 58,7 à taxa de % ao mês? MATEMÁTICA FINANCEIRA 9

10 0. Qual o valor à vista, de um equipameto fiaciado em 6 prestações mesais e iguais a R$ 588,9 à taxa de % ao mês?. Uma pessoa deseja fazer um empréstimo de R$.500,00 mas só dispõe de R$ 0,86 para pagar mesalmete. Sedo a taxa omial de juros igual a 60% ao ao, qual a quatidade de prestações que viabiliza o pagameto do empréstimo? a) b) c) d) e) 5. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada o fiaciameto de um eletrodoméstico o valor de R$ 00,00, fiaciado em 0 prestações mesais e iguais a R$ 5,5. a) 7% b) 6% c) 5% d) % e) %. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada o fiaciameto de um eletrodoméstico o valor de R$ 500,00, fiaciado em 5 prestações mesais e iguais a R$,. a) 7% b) 6% c) 5% d) % e) % MATEMÁTICA FINANCEIRA 0

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