INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS

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1 INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome aos cojutos, usaremos uma letra maiúscula do osso alfaeto, e os elemetos por letras miúsculas. Para represetação de um cojuto, utilizaremos uma das três formas seguites: - Listagem dos elemetos: Nesta represetação, todos os elemetos do cojuto são apresetados uma lista, evolvidos por um para de chaves e separados por poto-evírgula ou por vírgula. E: Cojuto dos algarismos pares. ={0; 2; 4; 6; 8} - Propriedade dos elemetos: Quado, pela quatidade, ão for coveiete escrever todos os elemetos que formam o cojuto, o descreveremos por uma propriedade possuída por todos os seus elemetos. E: ={ I é um algarismo par } Lê-se: O cojuto é formado pelos elemetos, tal que é um algarismo par. - Diagrama de Euler Ve: Represetamos o cojuto por um recito plao limitado por uma curva fechada. E: Relação de Pertiêcia relação de pertiêcia idica se um determiado elemeto pertece ou ão a um determiado cojuto. Simologia: Cosiderado ={0; 2; 4; 6; 8}, ssim: SIMOLOGI TRDUÇÃO 2 O elemeto 2 pertece ao cojuto. 3 O elemeto 3 ão pertece ao cojuto. Quado fazemos uso da relação de pertiêcia, estamos, ecessariamete, relacioado um elemeto a um cojuto, esta ordem. elemeto cojuto ou elemeto cojuto Oservação: Um elemeto pertece a um cojuto se ele é visível ou listado o cojuto. Relação de Iclusão relação de iclusão idica se um determiado cojuto está cotido ou ão em um outro cojuto. Se todos os elemetos de um cojuto pertecem a outro, etão o primeiro cojuto está cotido o segudo. asta um úico elemeto do primeiro cojuto ão pertecer ao segudo para que o primeiro cojuto ão esteja cotido o segudo. Simologia: SIMOLOGI TRDUÇÃO O cojuto está cotido o cojuto. D E O cojuto D ão está cotido o cojuto E. O cojuto cotém o cojuto. E D O cojuto E ão cotém o cojuto D. 1

2 Quado fazemos uso da relação de iclusão estamos, ecessariamete, relacioado um cojuto a outro cojuto. cojuto cojuto cojuto cojuto cojuto ou cojuto ou cojuto ou cojuto Se um cojuto está cotido o cojuto, dizemos que é um sucojuto de. Cojuto Vazio O Cojuto vazio é o cojuto que ão possui elemetos. Para represetarmos o cojuto vazio usaremos os símolos: { } ou. teção: Quado os símolos { } ou, aparecerem listados ou visíveis, detro de um cojuto, o cojuto vazio deverá ser tratado como elemeto desse cojuto especificado. E. : Seja o cojuto ={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o cojuto listado, que, pois é um elemeto do cojuto. Tamém sempre será verdade que: i ii para qualquer que seja o cojuto. para qualquer que seja o cojuto. Cojuto Uitário É o cojuto que possui apeas um elemeto. Cojuto das Partes O Cojuto das partes de um cojuto, deotado por P, é o cojuto formado por todos os sucojutos do cojuto. ssim o cojuto das partes é o cojuto dos sucojutos. teção: Lemre-se que detre os sucojutos de um dado cojuto, estão o cojuto vazio e o próprio cojuto. E.: Seja X = {a, e, i}, ecotre P. Numero de elemetos do cojuto das partes Para idicarmos o úmero de elemetos de um cojuto, usaremos a otação. E o úmero de elemetos do cojuto das partes será idicado por [P]. Daí : [ P ] 2 ssim, um cojuto com 4 elemetos, terá cojuto terá o total 16 sucojutos. 4 2 elemetos o seu cojuto das partes, ou seja, o Igualdade de Cojutos Dois ou mais cojutos são iguais quado apresetam os mesmos elemetos, em qualquer ordem, sedo que elemetos iguais, um mesmo cojuto, serão cosiderados uma úica vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: = { a; ; c} = { c; ; a} = { a; a; a; ; ; ; c; c} Simolicamete a igualdade etre cojutos fica defiida como: Operações com cojutos e Uião de Cojutos: uião de dois cojutos e, é o cojuto de todos os elemetos que pertecem a ou. Idicaremos a uião pelo símolo. Matematicamete: { a ou } 2

3 isto é: seja seja seja e e e Nos diagramas aaio,é a região hachurada: Iterseção de cojutos: iterseção de dois cojutos e, é o cojuto formado pelos elemetos comus a e. Idicaremos a iterseção pelo símolo. Matematicamete: { a e } Nos diagramas aaio, é região hachurada: Quado a iterseção de dois cojutos é o cojuto vazio, eles são chamados de cojutos disjutos. Difereça de cojutos: difereça etre dois cojutos e, é o cojuto formado pelos elemetos que pertecem a e ão pertecem a. Matematicamete: { a e } Nos diagramas aaio,é a região hachurada: Cojuto complemetar: Dados os cojutos e U, se o cojuto está cotido o cojuto U, a difereça U, é chamada complemetar de em relação a U. Chamaremos o cojuto U cojuto uiverso. o complemetar de em relação a U usaremos a otação: C U, ou Etão: C, ou. 3

4 4 } { U e C U No diagrama aaio C U é a região hachurada: E: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e ={ 1, 3, 5, 7} daí {0,1,4,6,8,9} U C U Difereça Simétrica : a difereça simétrica etre os cojutos e, é o cojuto dos elemetos que pertecem a e ão pertecem a ou, os elemetos que pertecem a e ão pertecem. Idicaremos a difereça simétrica etre e por:. Daí: } { ou No diagrama aaio, é região hachurada: Número de elemetos da uião de cojutos: O úmero de elemetos da uião de : - dois cojutos e será: - três cojutos, e C será: C C C C C Dedução: z y y y Seja pelo diagrama temos q z y, fazedo as sustituições de, y e z teremos a fórmula, para o úmero de elemetos da uião dos dois cojutos. Cojutos Numéricos

5 Os cojutos uméricos foram surgido, à medida que foi se torado ecessário apresetar resultados para algumas operações matemáticas. Com a ecessidade de cotar quatidades, surgiu o cojuto dos úmeros aturais. Cojuto dos úmeros aturais N: É o cojuto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5;...}. Um sucojuto importate de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5;...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois úmeros aturais resultam sempre em um úmero atural. Já a divisão ou sutração etre dois úmeros aturais em sempre é um úmero atural; a sutração 2-3, por eemplo, ão é possível em N. Daí a ecessidade de ampliar o cojuto N itroduzido os úmeros egativos. Cojuto dos úmeros iteiros Z: Ou cojuto dos úmeros relativos, é o cojuto Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}, Podemos destacar os seguites sucojutos de Z: - N, pois N Z. - Z* = Z { 0 } ou Z* = {...; -3; -2; -1; 1; 2; 3;...} Geometricamete temos: Oserve que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é 3, oposto ou simétrico de 3 é o 3, valedo = = 0. Quado os úmeros têm o mesmo sial asta coservá-lo e adicioar os úmeros; quado os siais são cotrários sutraímos o meor do maior, e o sial que prevalece é o deste último. É om lemrar tamém que o sial mais + ates de um parêtese ão vai alterar o sial do úmero que está etre parêteses, ocorredo o oposto quado o sial ates do parêtese for o de. Se ão houver ehum sial ates do parêtese estará implícito que o sial será o de mais +. Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguite regra: Números de mesmo sial dão sempre resultado positivo, equato que os de siais cotrários coduzem sempre à resultados egativos. No cojuto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a sutração, ou seja, a soma, o produto e a difereça de dois úmeros iteiros resultam sempre um úmero iteiro. E todas as propriedades das operações em N cotiuam válidas em Z. Já da divisão de dois úmeros iteiros em sempre resulta um úmero iteiro: -8 : +2 = -4 é possível em Z. -7 : +2 =? ão é possível em Z. Daí a ecessidade de ampliar o cojuto Z. Cojutos dos úmeros racioaisq: o acrescetarmos as frações ão aparetes positivas e egativas ao cojuto Z, otemos o cojuto dos úmeros racioais Q. ssim, por eemplo, são úmeros racioais: 3 1 2,, 1,, 2 2 1, 4 0, 1, 2 3, 4 1, 5, 3 2,... Oserve que todo úmero racioal pode ser escrito a forma escreveremos: Q = a, com a Z e Z * a, com az, Z*. ssim, 5

6 Percea que a restrição sigificado com Z *, os origa a termos 0 0. desigação racioal, surgiu porque, pois a a, a divisão de a por, só tem pode ser vista como uma razão etre os iteiro a e. letra Q, que represeta o cojuto dos úmeros racioais, é a primeira letra da palavra quociete. Os úmeros racioais podem ser ecotrados de três maeiras: - Número iteiro: Se = 1, temos N Z Q a a a Z 1 - Número decimal eato: Dado um úmero racioal, o que implica que Z é sucojuto de Q. ssim: a, a represetação decimal desse úmero é otida dividido-se a por. Se esse resultado possui uma quatidade fiita de casas decimais após a vírgula, este resultado é um úmero decimal eato. Eemplos: 1 0,25; 4 5 0,625; 8 4 0,8; , Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão a, que possui uma quatidade ifiita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado de dízima periódica, e a fração 2 0, ,6; a que gera a dízima, é a fração geratriz. Eemplos: 0, ,178; 83 2, ,51 33 No cojuto Q, as quatro operações fudametais são possíveis e valem todas as propriedades que valem para os iteiros. Certamete devemos os lemrar de que a divisão por zero é impossível! Geometricamete temos: Etre dois úmeros iteiros em sempre eiste outro úmero iteiro. Etre dois racioais sempre eiste outro racioal. Por eemplo, etre os racioais 0, 5 ecotrar ifiitos racioais; etre eles 5 8 0, e 0, 75 podemos 2 4. Mas isso ão sigifica que os racioais preechem toda a reta. Os úmeros racioais são isuficietes para medir todos os segmetos de reta. Por eemplo a medida da hipoteusa, de um triâgulo retâgulo, de catetos medido uma uidade, é um úmero ão racioal. Emora as quatro operações fudametais adição, sutração, multiplicação e divisão por um úmero diferete de zero sejam sempre defiidas em Q, 6

7 uma equação como a 2 2 irracioal. 2 2 ão pode ser resolvida em Q, pois ão eiste racioal a tal que. Surge etão a ecessidade de outro tipo de úmero, o úmero ão racioal ou Cojuto dos úmeros irracioaisr/q: São os úmeros que ão podem ser escrito a forma fracioária, com umerador iteiro e deomiador iteiro diferete de zero. São as decimais ifiitas e ão periódicas. Eemplos: 2 1, ; Represetação de algus irracioais a reta: 3 1, ; 3, Cojuto dos úmeros reaisr: Da uião do cojuto dos úmeros racioais com o cojuto dos úmeros irracioais otemos o cojuto dos úmeros reais R. Simolicamete: Q ou R / Q é racioal ou é irracioal R Q R / Q Os úmeros racioais ão eram suficietes para esgotar os potos da reta. Por eemplo, os, e ão eram preechidos com os úmeros racioais. gora, os úmeros reais esgotam todos os potos da reta, ou seja, a cada poto da reta correspode um úico úmero real e, reciprocamete, a cada úmero real correspode um úico poto da reta. Por isso dizemos que eiste uma correspodêcia iuívoca etre os úmeros reais e os potos da reta. Temos assim a reta real, que é costruída desta forma: uma reta, escolhemos uma origem e associamos a ela o zero, um setido de percurso e uma uidade de escala. O diagrama a seguir relacioa os cojutos uméricos vistos até aqui: potos da reta correspodete aos úmeros 3, 2,, N Z Q R Q / R R Q Q / R R Q Q / R Q / R R Q 7

8 2 a a N ssim com os úmeros reais toda equação do tipo com, pode ser resolvida e todos os segmetos de reta podem ser medidos. Eistem outros úmeros além dos reais, a raiz de ídice par e radicado egativo é impossível em R, pois, por eemplo, ão eiste úmero real que, elevado ao quadrado, dê um 4 úmero egativo. ssim, ão é um úmero real; é um úmero compleo ou imagiário. Podemos usar as seguites otações para algus sucojutos de R: R real positivo ou ulo * R real positivo R real egativo ou ulo * R real egativo O mesmo pode ser feito com Z e Q. Relação de ordem em R: Sejam dois úmeros reais quaisquer a e,etre a e poderá ocorrer uma, e somete uma, das relações: a = ou a > ou a <. desigualdade represetada por a < sigifica que o úmero real a é meor que o úmero real.geometricamete se a <, etão a está situado à esquerda de a reta real. desigualdade represetada por a > sigifica que o úmero real a é maior que o úmero real. Geometricamete, se a >, etão a está situado à direita de a reta real. Tamém usaremos a otação: a é meor que ou a é igual a a a a c a ou a a ou a a e c a é maior que ou a é igual a a c Será muito útil perceermos que se tivermos R, e escrevermos: > 0 é positivo < 0 é egativo 0 é ão positivo 0 é ão egativo lgumas propriedades importates das desigualdades: s simologias <, >, chamaremos de setido da desigualdade.vejamos algumas propriedades muito úteis: 1ªPodemos adicioar memro a memro, desigualdades de mesmo setido: -2<<3 e 1<y<5-2+1 < +y < 3+5 2ª Podemos somar ou sutrair um úmero real a amos os memros de uma desigualdade sem alterá-la ou traspor um termo de um memro para o outro, trocado o sial deste termo. +7 < 9 > 9-7 > 2 que é o mesmo que fazer +7 < > 9-7 > 2 3ª Podemos multiplicar ou dividir amos os memros de uma desigualdade por um real diferete de zero, mas com o seguite cuidado: -Se o úmero for positivo, coservamos o sial da desigualdade; -Se o úmero for egativo ivertemos o sial da desigualdade. Oserve: -3 < 2 multiplicado por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15 >

9 Itervalos Reais: Certos sucojutos de R, determiados por desigualdades, têm grade importâcia a Matemática; são os itervalos reais. Represetação a reta real Seteça matemática Notações simólicas Itervalo aerto: { R a < < } ]a,[ a, Itervalo fechado: { R a } [a,] [a,] Itervalo semi-aerto à direita: { R a } [a,[ [a, Itervalo semi-aerto à esquerda: { R a } ]a,] a,] Itervalos ifiitos : Represetação a reta real Seteça matemática Notações simólicas { R a } ]a, [ a, { R a } [a, [ [a, { R a } ],a[,a { R a } ],a],a], Cosidera-se como itervalo ] [ = R. Oservações: 1 oliha fechada idica que o etremo do itervalo pertece a ele. oliha aerta idica que o etremo do itervalo ão pertece a ele. 2 e, simolizam apeas a ausêcia de etremidades pela esquerda ou pela direita o itervalo, sedo sempre aertos. Portato e ão são úmeros reais! 3Como defiimos, itervalos são sucojutos dos úmeros reais. ssim os seguites eemplos ão são itervalos: S={ Z -5< < 2}; L= { N >3 }; T = { Z 3 1} Operações com itervalos Eercícios de aplicação: 9

10 1 Dado = a c d e C { R 1 1} e = [0, 5, determie: 2 Dados = [2, 5] e = 3, 6], calcule para U = R: a c d e EXERCÍCIOS COMPLEMENTRES Parte I 1 Sedo ={a,, {a}, 2}, determie as afirmações falsas e verdadeiras. i ii iii iv a { a} {{ a}} { a, } { a} v Etão: a todas são falsas i e iv são falsas c ii e v são falsas d somete a iii é falsa e todas são verdadeiras 2 Sejam e sucojutos de um cojuto X, tais que ={2, 3}, o cojuto é igual a: a {1, 4, 5} {0, 2, 3, 5} c{1, 2, 3, 4} d{1, 2, 3, 4, 5} e{0, 2, 4, 5, 6} X ={0, 1, 5, 6} e X ={0, 4, 6}. Se 3 FCMSC-SP Se, e C são cojutos tais que C C e C, etão: a C C c d e C C 4Cesgrario Sejam M, N e P cojutos. Se M N P é : a M N ={1, 2, 3, 5} e M P ={1, 3, 4}, etão 10

11 {1, 3} c{1, 3, 4} d{1, 2, 3, 5} e{1, 2, 3, 4, 5} 5 MCK Se e são dois cojutos tais que a sempre eiste sempre eiste tal que c se etão d se etão e tal que e, etão: 6 UFRN Se, e C são cojutos tais que é igual a: a {4,5} {6, 7} c {4, 5, 6} d {5, 6, 7} e {4, 5, 6, 7} C ={6, 7} e C ={4, 5}, etão, C 7 Se ={3, 7} e ={7, 8, 9}, etão o úmero de elemetos do cojuto M tal que M ={8} e ={3, 7, 8, 9,10} é: a 1 2 c 3 d 4 e 5 M M ={3}, 8 O úmero de cojutos que satisfaz a 3 4 c 5 d 6 e 7 { 1,2} {1,2,3,4} é: 9 U.Ueraa No diagrama, a parte hachurada represeta: E F G a c d e E F G E G G E F E F F G 11

12 10 PUC região assialada o diagrama represeta: a c d C C C C C e C C 11 Num grupo de 400 pessoas, 30% são homes e 65% das mulheres têm mais de 20 aos. Quatas mulheres aida ão comemoraram se 20º aiversário? a c 120 d 105 e Supoha que uma equipe de 10 estudates, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O úmero de estudates que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é? a eatamete 6. eatamete 2. c o míimo 6. d o máimo 5. e o míimo PUC-SP Detre os iscritos em um cocurso púlico, 60% são homes e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homes e 30 % das mulheres. Qual a porcetagem dos cadidatos que já tem emprego? a 60% 40% c 30% d 24% e 12% 14 CESESP Numa uiversidade são lidos apeas dois jorais X e Y, 80% dos aluos lêem o joral X e 60 % lêem o joral Y. Saedo-se que todo aluo é leitor de pelo meos um dos dois jorais, assiale a alterativa que correspode ao percetual de aluos que lêem amos. a 80% 14% c 40% d 60% e Depois de dias de férias, um estudate oserva que: Choveu 7 vezes, de mahã ou à tarde; Quado chove de mahã ão chove à tarde; C Houve 5 tardes sem chuva; D - Houve 6 mahãs sem chuva. Etão é igual a: a 7 9 c 10 d 11 e 12 12

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