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1 Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor da variável para cada valor de variável. Deve ser em compreedido que a variável é deomiada variável idepedete, podedo tomar qualquer valor um certo cojuto de úmeros deomiado domíio de f. Para cada valor de o domíio de f, o valor correspodete de é deotado por f() tal que f(). A variável é deomiada variável depedete, visto que seu valor depede do valor de. O cojuto de valores assumidos por à medida que varia o domíio é deomiada imagem de f. Usualmete, mas ão sempre, utiliza-se para a variável idepedete e para a variável depedete. Uma equação que forece em termo de determia uma fução f, e diz-se que a fução f é defiida pela equação (ou dada pela equação). Se a fução f é defiida por uma equação, etão (a ão ser que recomedações eplícitas sejam feitas) compreede-se que o domíio de f cosiste aqueles valores de para os quais a equação faz correspoder um e somete um (diz-se que f é defiida o poto). Portato, a imagem de f é automaticamete determiada, visto que esta cosiste aqueles valores de que correspodem, pela equação de defiição aos valores de o domíio. Gráfico de uma fução Defiição : o gráfico de uma fução f é o cojuto de todos os potos (,) o plao tal que pertece ao domíio de f e a imagem de f, e f().

2 Fig. Gráfico da fução f defiida pela equação com a restrição > 0. Na defiição, a ecessidade de que uma fução f associe um e somete um valor de para cada valor de em seu domíio correspode à codição geométrica de que dois potos distitos de um gráfico ão podem possuir a mesma ascissa. Portato, a curva a Fig. ão pode correspoder ao gráfico de uma fução, porque os dois potos P e Q têm a mesma ascissa. O gráfico de uma fução ão pode passar acima ou aaio de si mesma. Fig. O gráfico acima ão represeta uma fução, pois uma fução ão pode possuir valores distitos para a mesma ascissa.

3 O domíio e a imagem de uma fução podem ser facilmete determiados o gráfico da fução. Assim, o domíio de uma fução é o cojuto de todas as ascissas dos potos sore o gráfico (Fig. 3a), equato sua imagem é o cojuto de todas as ordeadas dos potos de seu gráfico (Fig. 3). Fig. 3 (a) Domíio e () Imagem de uma fução E. : Seja f uma fução defiida pela equação com a restrição. Esoce o gráfico de f e determie seu domíio e imagem, idicado-os os eios e respectivamete. Tipos de Fuções Descreveremos a seguir certos tipos ou classes de fuções que são importates ao cálculo. Etre estas estão as fuções pares, as ímpares, as poliomiais, as racioais, as algéricas e as trascedetais.

4 ) Fuções pares e ímpares Defiição 3: (a) uma fução f é par se, para todo o domíio de f, - pertece tamém ao domíio de f e f(-) f(). () uma fução f é ímpar se, para todo o domíio de f, - pertece tamém ao domíio de f e f(-) -f(). ) Fuções poliomiais Fig. 4 (a) fução par e () fução ímpar Uma fução defiida por uma equação da forma 0 + a + a a a f ( ) a + ode é um iteiro ão-egativo e os coeficietes a 0, a, a,..., a são úmeros reais costates é deomiada fução poliomial. Se a 0, diz-se que esta fução poliomial é de grau. Casos particulares: f ( ) fução costate a 0 f 0 + ( ) a a fução afim f ( ) fução idetidade

5 3) Fuções racioais e algéricas A soma, difereça ou produto de duas fuções poliomiais é aida uma fução poliomial, mas o quociete de duas poliomiais ão é, geralmete, uma poliomial. Por eemplo, 3 + f ( ) ão é uma fução poliomial. Esta oservação motiva a seguite defiição: Defiição 4: A fução f defiida pela equação f() p()/q(), ode p e q são fuções poliomiais e q ão é uma fução costate ula, é deomiada fução racioal. O domíio da fução racioal defiida por f() p()/q() cosiste em todos os valores de para os quais q( ) 0. Oserve que a soma, o produto, a difereça e o quociete de fuções racioais são aida fuções racioais. No etato, etraido-se a raiz de uma fução racioal, podese ecotrar uma fução que ão seja racioal. Defiição 5: Uma fução algérica elemetar é uma fução que pode ser otida através de um úmero fiito de operações algéricas (sedo estas operações a adição, a multiplicação, a sutração, a divisão e a radiciação com ídice iteiro positivo), começado pelas fuções idetidade e costates. Algus eemplos de fuções algéricas elemetares f ( ), + 5 f ( ) Aida se poderia oservar que qualquer fução racioal é, automaticamete, uma fução algérica elemetar.

6 Em cursos mais avaçados, um cojuto de fuções mais aragete, deomiado cojuto das fuções algéricas (sem o adjetivo "elemetar ), é defiido. Geericamete, estas são as fuções acessíveis através de operações algéricas. 4) Fuções trascedetes As fuções restates, aquelas que ão são algéricas, são deomiadas fuções trascedetes, já que elas trascedem aos métodos algéricos. Estão esta categoria, por eemplo, as fuções trigoométricas, as fuções epoecial, logarítmica e hiperólica. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As seis fuções trigoométricas, seo, co-seo, tagete, secate, co-secate e co-tagete (areviadas, se, cos, ta, sec, cossec e cot, respectivamete) são, provavelmete, já astate familiares ao leitor, e assim os restrigimos a uma reve revisão. Certas fórmulas fudametais do cálculo toram-se muito mais simples se os âgulos são medidos em radiaos e ão em graus. Por defiição, a medida de um âgulo θ em radiaos (Fig. 5) é o úmero de vezes que o raio como uidade de comprimeto está cotido o arco s suetedido pelo âgulo θ um círculo de raio r. Etão, Fig. 5 Arco em radiaos θ ( em radiaos) Visto que o comprimeto da circuferêcia s πr e o arco suetedido é 360 o, tem-se: π radiaos 80 o s r

7 Portato, radiao (80/π)º 57º8'. Da circuferêcia trigoométrica: Fig. 6 Circuferêcia Trigoométrica As seis fuções trigoométricas relativas ao âgulo t estão discrimiadas a seguir: cos t se t sec t tg t cot t cos sect Fig. 7 Arcos otáveis

8 Idetidades Trigoométricas

9 Gráficos

10 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS As fuções algéricas e trigoométricas, emora úteis, ão são suficietes para a aplicação da matemática à física, química, egeharia, ecoomia e às ciêcias aturais. Nesta seção itroduziremos as fuções epoeciais e logarítmicas. Todas as fuções que podem ser costruídas a partir das fuções algéricas, trigoométricas, epoeciais e logarítmicas por adição, sutração, multiplicação, divisão, composição e iversão são chamadas fuções elemetares. Aspectos ásicos Sejam e m iteiros positivos e supoha que a e sejam úmeros reais positivos. Etão, i) a a a... a ( vezes) ; a 0 ii) m + m iii) m m m m iv) ( ) v) ( a ) a vi) a a vii) viii) m m a a Logaritmo: Se etão é chamado o logaritmo de a ase (>) e escrevemos log

11 Propriedades do logaritmo: Cosidere a>0 e c>0 úmeros reais positivos. Etão, a i) log ac log a + log c ii) log log a log c c iii) log a log a iv) log 0 ( ) > v) Mudaça de Base: log log a log a A fução logarítmica atural Itroduziremos agora a ase dos logaritmos aturais. Nesta ase,,788..., que é defiido através u e lim + u u Defiimos log e l como fução logarítmica atural. Propriedades do logaritmo atural: Cosidere a>0 e >0 úmeros reais positivos. Etão, i) l a l a + l ii) iii) a l l a l l k l a a k iv) l 0

12 A fução epoecial A iversa da fução logarítmica atural é chamada fução epoecial. Deotaremos a fução epoecial por ep. ep( ) e l Como ep é a iversa de l, o gráfico de ep é otido refletido-se o gráfico de l em relação à reta (Fig. 8) Fig. 8 As fuções logarítmica atural e epoecial ELEMENTOS DE GEOMETRIA PLANA E ANALÍTICA Para o estudo do cálculo além do cohecimeto de fuções é ecessário ter em mete oções ásicas da geometria plaa e da geometria aalítica. Nesta seção iremos destacar algus aspectos que serão úteis posteriormete.

13 Áreas em geometria plaa i) ii) l A a A iii) iv) 4 3 l A h B A + ) ( v) vi) Área do setor circular r A π r A α r C π Fig. 9 Áreas Plaas

14 Equações da reta Distâcia etre potos: ( ) ( P P + ) ) ( ) ( d + Distâcia etre potos Coeficiete agular da reta: tg m θ m Coeficiete agular da reta Equação da reta:

15 m( ) Equação da reta Escrevedo m m + etão m + Equação reduzida da reta

16 Codições de paralelismo e perpedicularidade i) Codição de paralelismo Duas retas ão-verticais, distitas, são paralelas se, e somete se, possuem o mesmo coeficiete agular. ii) Codição de perpedicuralidade Da figura: Etão, Resulta que, α +ϕ 80 o o α +ϕ ϕ o ϕ + 90 tg ϕ tg( ϕ + 90 o o ) tgϕ cot gϕ tgϕ Logo, m m

17 A circuferêcia CP r ( h) + ( k) r Etão, ( h) + ( k) r Equação da circuferêcia Eercícios: ) Ecotre o círculo através da origem com cetro em (,-). ) Determie as coordeadas do cetro, o raio e faça o gráfico da circuferêcia:

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