Questão 11. Questão 13. Questão 12. Questão 14. alternativa B. alternativa E. alternativa A

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1 Questão Em uma pesquisa, foram cosultados 00 cosumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa marca de sabão em pó. Cada cosumidor deu uma ota de 0 a 0 para o produto, e a média fial das otas foi 8,. O úmero míimo de cosumidores que devem ser cosultados, além dos que já foram, para que essa média passe para 9, é igual a a) 0. b) 00. c) 0. d) 00. e) 0. alterativa B Seja x N o úmero míimo de cosumidores que devem ser cosultados, além dos que já foram, para que a média passe para 9. Como esse úmero deve ser míimo, os x cosumidores devem dar as maiores otas possíveis para o produto. Etão, iremos supor que a soma das otas dadas por eles é 0x. A soma das otas dadas pelos seiscetos cosumidores iiciais é 00 8,. Logo para que a média atija o valor desejado: 0x , = 9 x = 00 x + 00 Questão Com o reajuste de 0% o preço da mercadoria A, seu ovo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$ 9,99. Dado um descoto de % o preço da mercadoria B, o ovo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A ates do reajuste de 0%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o descoto de %, em R$, é a),00. d),00. b),00. e),00. alterativa A c) 99,00. Sejam a e b os preços das mercadorias A e B, respectivamete, sem cosiderar reajustes ou descotos. Temos:,a b = 9,99,(0,9b) b = 9,99 0,9b = a 0,0b = 9,99 b = O preço da mercadoria B, sem o descoto de %, é R$,00. Questão Retirado-se um semicilidro de um paralelepípedo reto-retâgulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frotal e vista superior, estão idicadas as figuras. Se a escala das medidas idicadas a fotografia é :00, o volume do sólido fotografado, em m, é igual a a) ( + π). d) ( π). b) ( +π). e) ( π). alterativa E c) ( π). Como a escala é : 00, cm a fotografia equivale a m o tamaho real. O volume V do sólido é dado pela difereça etre o volume do paralelepípedo reto-retâgulo de dimesões 7 m, m e m e metade do volume do cilidro, cujo raio da base é = meaaltura,m. Logo V = 7 π = π = = ( π ) m. Questão Cosidere que a represetação gráfica da fução f:r R, dada por f(x) = mx x +, com m e reais, é uma parábola com ordeada do vértice maior que. Se m. >, uma possível represetação gráfica de f é

2 matemática a) b) c) d) e) alterativa C Como m > m > ; logo Δ= m < 0. Portato o gráfico de f(x) ão itercepta o eixo Ox. Temos que f(x) é represetado por uma parábola com ordeada do vértice maior que, ou seja, maior que a ordeada da itersecção do gráfico da fução com o eixo Oy. Assim, a parábola tem cocavidade para baixo e uma possível represetação gráfica está idicada a alterativa C. Questão Os satélites de comuicação são posicioados em sicroismo com a Terra, o que sigifica dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo poto da superfície da Terra. Cosidere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q represetam duas cidades a Terra, separadas pela maior distâcia possível em que um sial pode ser eviado e recebido, em liha reta, por esse satélite. Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passado pelo satélite, o sial percorrerá, em liha reta, a distâcia de a) R. b) 7 R. c) 8 R. d) 0 R. e) R. alterativa C Cosideremos a figura ao lado, em que S represeta a posição do satélite e O, o cetro da Terra. Como P e Q são potos de tagêcia, SP = SQ. No triâgulo retâgulo SPO, temos: (SP) + (OP) = (SO) (SP) + R = (7R) SP = R Assim, o sial percorrerá em liha reta a distâcia SP + SQ = = SP = 8 R. Questão A tabela idica as apostas feitas por cico amigos em relação ao resultado decorrete do laçameto de um dado, cuja plaificação está idicada a figura. Aa Face braca ou úmero par. Brua Face braca ou úmero. Carlos Face preta ou úmero meor que. Diego Face preta ou úmero maior que. Érica Face braca ou úmero meor que.

3 matemática a) 0x y = 0. c) x 9y = 0. e) x y = 0. b) x 0y + = 0. d) x + y 0 = 0. Se trocarmos o coectivo ou pelo coectivo e a aposta de cada um, o jogador que terá maior redução as suas chaces de acertar o resultado, em decorrêcia dessa troca, será a) Aa. d) Diego. b) Brua. e) Érica. alterativa D c) Carlos. Motado uma tabela com as apostas de cada um dos amigos para os coectivos "ou" e "e", temos: "ou" "e" Aa,,,,, Brua,,, Carlos, Diego,,,, Érica,,,,, Redução das chaces de acertar As reduções percetuais de Aa, Brua, Carlos, Diego e Érica são, respectivamete, = = 0%, = 7%, = 0%, = 80% e = 0%. Nas duas situações, redução das chaces de acertar e redução percetual, Diego teve a maior etre os amigos. Questão 7 Cosidere P um poto pertecete à reta (r) de equação x + y 0 = 0 e eqüidistate dos eixos coordeados. A equação da reta que passa por P e é perpedicular a (r) é alterativa A Como P é eqüidistate dos eixos coordeados, as coordeadas de P são da forma (a; a) ou (a; a), a R. Sedo P um poto da reta r, temos: a + a 0 = 0 a = ou a + ( a) 0 = 0 ou a = Logo P = ; ou P = ( ; ). Além disso, a reta r de equação x + y 0 = 0 y = + x 0 possui coeficiete agular e, portato, o coeficiete agular das retas perpediculares a ela é. Assim, há duas retas as codições do euciado: uma admite equação y x 0x y = 0 e a outra admite equação y = (x ) x y =. Questão 8 O cojuto solução da equação se 8 π 8π 8π = cosx, com x [0, π [, é a) π π,. b) π 7π,. π π c),. d) π π,. π π e),. alterativa B Supodo que 8 π 8 π 8 π seja a soma dos termos da progressão geométrica ifiita 8 π 9, 8 π 7, 8 π 8,..., de primeiro termo 8 erazão 9π 8 π 7 8 π =, temos, para x [0; π[, 9

4 matemática se 8 π 8 π 8 π = cos x π se 9 = cos x se π = cos x π π π cos =cos x cos = cos x π x = = ou x π 7 π π. Assim, o cojuto solução da equação dada é π, 7 π. Questão 9 Para estimar a área da figura ABDO (sombreada o deseho), ode a curva AB é parte da represetação gráfica da fução f(x) = x, João demarcou o retâgulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que plota potos aleatoriamete o iterior desse retâgulo. a área estimada dessa figura, em uidades de área, é igual a a),. d),8. b),. e),. c),9. alterativa A Como OCBD é um retâgulo e a curva AB é parte da represetação gráfica da fução f(x) = x,já que a abscissa de D é, temos BD = =. Logo a área de OCBD vale OD BD = = 8. Se dos 000 potos "plotados" apeas 0 ficaram o iterior da figura ABDO, a área estimada dessa figura é igual a =,. Questão 0 Um ecotro cietífico cota com a participação de pesquisadores de três áreas, sedo eles: 7 químicos, físicos e matemáticos. No ecerrameto do ecotro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cietistas para represetá-lo em um cogresso. Tedosidoestabelecidoqueadupladeveria ser formada por cietistas de áreas diferetes, o total de duplas distitas que podem represetar o grupo o cogresso é igual a a). b) 9. c) 77. d) 8. e) 9. Sabedo que dos 000 potos plotados, apeas 0 ficaram o iterior da figura ABDO, alterativa D Existem 7 = comissões formadas por um químico e um físico, 7 = 8 comissões formadas por um químico e um matemático e = 0 comissões formadas por um físico e um matemático. No total, há = 8 comissões que podemos formar com dois cietistas de áreas diferetes.

5 Questão O serviço de recapeameto de uma estrada pode ser realizado com o uso da máquia, da máquia ou das duas máquias. As características dessas máquias são: Área de estrada que a máquia recapeia por hora Custo horário do operador da máquia Número de horas de operação da máquia Máquia 00 m R$ 0,00 x Máquia 000 m R$ 0,00 y a) Se as máquias e, trabalhado jutas, realizaram o serviço em um total de 0 horas, calcule o custo total dos operadores das máquias e a área de estrada que foi recapeada. b) Se a estrada que será recapeada tem área equivalete a de um retâgulo de km por 0 m, determie a fução que relacioa x e y idicados a tabela, e costrua o plao cartesiao a represetação gráfica dessa fução. a) Supodo que as máquias recapeiam trechos diferetes da estrada, e utilizado os dados forecidos pela tabela, a máquia recapeou 00 0 = 000 m de estrada e a máquia, =0 000 m, totalizado = = 000 m de estrada. O custo do operador da máquia foi 0 0 = 00 reais e o custo do operador da máquia, 0 0 = 00 reais, somado = 700 reais. b) A área recapeada pela máquia, em m, após x horas, é 00x e a recapeada pela máquia, em m, após y horas, é 000y. Como a área total a ser recapeada é km 0m= 000 m 0 m = = m, temos: 00x + 000y = x + y = 0 Logo, o gráfico que represeta essa fução, como x 0 e y 0, é: Questão 7 O projeto de uma ferrameta prevê que ela se ecaixe perfeitamete em um parafuso de cabeça hexagoal regular, como idica a figura. a) Calcule as medidas de x e y, admitido a medida do lado do hexágoo que forma a cabeça do parafuso igual a cm. b) Cosidere λ como um arco de circuferêcia cujo cetro é o poto médio do segmeto de comprimeto y, idicado o projeto da ferrameta. Sedo L a medida do lado do hexágoo que forma a cabeça do parafuso, e R a medida do raio de λ, determie R em fução de L. a) A figura a seguir represeta um hexágoo regular de lado cm.

6 matemática Como cada âgulo extero de um hexágoo regular vale 0 o o o = 0, m (EFH) = 0. Do triâgulo retâgulo EHF temos FH = = cos 0 o =. Já que x = AF + FH, temos x = + = cm. o Por simetria, y = EH = se 0 = cm. b) Cosideremos o arco de circuferêcia λ de cetro O a figura a seguir. Se L é a medida do lado do hexágoo regular, L L coforme item a, x = L + = e y = L. Aplicado o Teorema de Pitágoras o triâgulo retâgulo PQO, temos (OP) = (PQ) + (OQ) = + L L R R = L R = L. Questão 8 A probabilidade de que um compoete eletrôico ão quebre é chamada de cofiabilidade. Para aumetar a cofiabilidade de um sistema, é comum que se istalem dois compoetes eletrôicos de mesma cofiabilidade em paralelo. Nesse caso, o sistema só irá falhar se ambos os compoetes istalados falharem simultaeamete. a) Calcule a probabilidade de que um sistema com compoetes, cada um de cofiabilidade 90%, ão falhe. b) Admita que um sistema com compoetes em paralelo só falhará se os compoetes falharem simultaeamete. Calcule o úmero de compoetes em paralelo que devem ser istalados em um sistema para que ele teha cofiabilidade de 99,9%, sabedo-se que cada compoete tem cofiabilidade 0%. (Adote log = 0,) a) A probabilidade de um compoete falhar é 00% 90% = 0% = 0,. Logo, como o sistema só irá falhar se os dois compoetes falharem simultaeamete, a probabilidade pedida é (0,) = 0,99 = 99%. b) A probabilidade de um compoete falhar é 00% 0% = 0% =. Logo, como o sistema só irá falhar se os compoetes falharem, a probabilidade de que o sistema fucioe é. Coseqüetemete, para a cofiabilidade ser igual a 99,9%: 99,9% 0,00 = = = 000 log = log000 log = Adotado a aproximação dada, 0, = = 0. Questão 9 Cosidere as fuções reais f e g, defiidas por x f(x) = eg(x) = x + x a) Determie o domíio da fução f e a imagem da fução g. b) Determie o domíio de f(g(x)). Iterpretaremos "determie o domíio" como "determie o mais amplo domíio real". a) Como x D(f) f(x) R x R e x 0 x > 0 x >, o mais amplo domíio de f é ]; + [.

7 matemática A imagem da fução de R em Ry = x é [0; + [. Assim, a imagem de g, supodo que o domíio de g é R, é [; + [. b) Iterpretaremos a perguta do item b como "determie o mais amplo domíio de g para o qual f g está defiida". Observe que o domíio de f g coicide com o domíio de g. A composta f g está bem defiida se, e somete se, Im(g) D(f). Etão x D(f g) g(x) D(f) g(x) > x + > x > x > ou x < x < ou x >. Logo o mais amplo domíio de f g é ] ; [ ]; + [. Questão 0 Cosidere a equação algébrica x + kx kx + kx = 0, a variável x, com k C. a) Determie k = a + bi, com a e b reais, para que o úmero complexo i seja uma das raízes da equação. b) Determie todas as raízes da equação quado k =. a) Como i é uma das raízes da equação, etão: (i) + k(i) k(i) + k(i) = k ki = 0 k( i) = 0 k = = + i i b) Se k =, etão a equação tora-se x + x x + x = 0, que admite como raiz: 0 Assim, a equação é equivalete a (x )(x x + x ) = 0 (x )[x (x ) + (x )] = 0 (x )(x )(x + ) = 0 (x )(x )(x + i)(x i) = 0. Logo as raízes da equação são:,, i e i.

8 Média Aritmética: a i i = Fução composta: f( g( x)) = ( fog)( x) Formulário de Matemática P.A.: a a ( ) r S = P.G.: a = a q S = S = a q b b ac Equação de º grau: ax + bx + c = 0, a 0; x = ± a ( a + a ) a ( q ) q vértice da parábola: b Δ, a a Módulo: x = x, se x 0 x, se x < 0 Logaritmo: logca + logcb = logc( a b) a logca logcb = log c b logc a = logc a logc a logb a = logcb Geometria: Relação de Pitágoras: a = b + c área de retâgulo: b h área de círculo: π r volume do cilidro: π r h volume do paralelepípedo: a b c soma dos âgulos iteros de um polígoo: ( ) 80 o Geometria Aalítica: y = mx + (equação reduzida da reta) y m = Δ Δ x = tgα retas paralelas: mr = ms retas perpediculares: mr ms = Trigoometria: Âgulo 0 o 0 o o 0 o 90 o se 0 / / / cos / / / 0 tg 0 / a b c Lei dos seos: = = se A se B se C Lei dos cosseos: a = b + c b c cos A se α = CO / H cos α = CA / H tg α = CO / CA

9 Combiatória e Probabilidade: A, p =! ( p)! Probabilidade = C, p = casos favoráveis casos possíveis! p! ( p)! P =! Números Complexos: Z = a + bi, a R, b R, i = Equações: a x + a x + a x + + a0 = 0 p Divisores de a 0 q Divisores de a p possíveis raízes racioais q

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