Celso Melchiades Dória. Geometria II

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1 Celso Melchiades Dória Geometria II Floriaópolis, 007

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3 Uiversidade Federal de Sata Cataria Cosórcio ReDiSul Campus Uiversitário Tridade Caixa Postal 476 CEP Floriaópolis SC Reitor: Lúcio José Botelho Vice-Reitor: Ariovaldo Bolza Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitor de Esio de Graduação: Marcos Laffi Departameto de Educação a Distâcia: Araci Hack Catapa Pró-Reitora de Pesquisa: Thereza Christia M. Nogueira Pró-Reitor de Pós-Graduação: Valdir Soldi Pró-Reitora de Cultura e Extesão: Euice Sueli Nodari Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Orçameto, Admiistração e Fiaças: Mário Kobus Pró-Reitora de Assutos Estudatis: Coria Martis Espídola Cetro de Ciêcias da Educação: Carlos Alberto Marques Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Méricles Thadeu Moretti Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Maria Juracy Filgueiras Toeli Cursos de Liceciaturas a Modalidade à Distâcia Coordeação Acadêmica Matemática: Neri Tereziha Both Carvalho Coordeação de Ambietes Virtuais: Nereu Estaislau Buri Coordeação de Ifra-Estrutura e Pólos: Vladimir Arthur Fey Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Coordeação Pedagógica das Liceciaturas à Distâcia UFSC / CED / CFM Coordeação: Roseli Ze Cery Núcleo de Formação Resposável: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Material Resposável: Isabella Befica Barbosa Desig Gráfico e Editorial: Carlos A. Ramirez Righi, Diogo Herique Ropelato, Mariaa da Silva. Adaptação Desig Gráfico: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior. Produção Gráfica e Hipermídia: Thiago Rocha Oliveira Desig Istrucioal: Alessadra Zago Dahmer, Eleira Oliveira Vilela. Revisão Ortográfica: Jae Maria Viaa Cardoso. Preparação de Gráficos: Aita de Freitas Bitecourt, João Jair da Silva Romão, Pricila Cristia da Silva. Editoração Eletrôica: Diogo Herique Ropelato, Gabriel Cordeiro Cardoso, Jea Rissatti. Núcleo de Pesquisa e Avaliação Coordeação: Claudia Regia Flores Copyright 007, Uiversidade Federal de Sata Cataria / Cosórcio RediSul Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia. Ficha Catalográfica B88g Dória, Celso Melchiades Geometria II / Celso Melchiades Dória. Floriaópolis : UFSC/ EAD/CED/CFM, p. ISBN X 1. Geometria. II. Título. CDU 51

5 Sumário 1 Relações Métricas em Triâgulos. Trigoometria Relações Métricas em Triâgulos Relações Métricas um Triâgulo Retâgulo Relações Métricas um Triâgulo qualquer Cálculo das Mediaas em Fução dos Lados Cálculo das Alturas em Fução dos Lados Relação de Stewart Cálculo das Bissetrizes em Fução dos Lados Trigoometria Trigoometria o Triâgulo Retâgulo Trigoometria o Círculo Fuções trigoométricas Lei dos Cosseos e dos Seos Aplicação: Círculos Circuscritos a Triâgulos Idetidades Trigoométricas Aplicação: Círculo Iscrito a um Triâgulo Secate, Cossecate e Cotagete Equações Trigoométricas Resolução de Triâgulos Número π A Questão da Quadratura do Círculo Polígoos Regulares Costrução de Polígoos Regulares Costrução de π Valor de π Setores, Segmetos e Coroas Circulares Fasciate, Irracioal e Trascedete Geometria o Espaço Poto, Reta e Plao Posição Relativa etre Retas Posição Relativa etre Reta e Plao Posições Relativas etre dois Plaos Costrução de Sólidos I Pirâmides e Coes Prismas e Cilidros...145

6 3.3 Teorema de Thales e Proporcioalidade Perpedicularismo Costrução de Sólidos II Projeções Ortogoais Distâcia Distâcia etre Potos Distâcia de um Poto ao Plao Distâcia de um Poto à Reta Distâcias etre Retas Reversas Âgulos Âgulo etre Retas Âgulo etre Plaos. Diedros e Triedros Âgulo etre Reta e Plao A Esfera Áreas e Volumes Volume de um Paralelepípedo Retâgulo Pricípio de Cavalieri Volume e Área do Prisma Volume e Área da Pirâmide Volume e Área da Esfera Poliedros Defiições e Exemplos Cotado Vértices, Arestas e Faces Relação de Euler Poliedros Plaos Grafos Poliedros Classificação dos Poliedros Regulares... 37

7 Veja a webteca diversas images iteressates que mostram a importâcia dos estudos geométricos e suas maifestações as artes e a religião. Se lembra? Você já estudou as simetrias o Capítulo 6 da Geometria I. Naquele mometo você percebeu a importâcia deste coceito? Arquétipo (grego arché, atigo) é o primeiro modelo de alguma coisa. (Fote: wiki/arqu%c3%a9tipo) Apresetação Historiadores dizem que a geometria surgiu da ecessidade de estimarmos comprimetos, áreas e volumes, mas isto ão é toda a verdade, apeas uma parte importate dela. Diversas maifestações culturais são estruturadas sobre pricípios de simetria. Na geometria, o arquétipo é a simetria. Isto é mais evidete quado o aspecto visual está presete (figuras, daças, esculturas), porém, a poesia e a música também percebemos a importâcia da simetria. Nada mais sitetiza tão expressivamete a busca pela simetria do que uma Madala. O setido literal da palavra madala (do sâscrito) é circulo ou cetro. Madala é uma represetação geométrica ou diâmica etre o homem e o cosmos. Sua estrutura de combiações variadas de círculos, quadrados e triâgulos em toro de um cetro simbolizado a uião do plao espiritual com o material, servido para orgaizar visões religiosas do mudo, sistemas cósmicos e simbólicos, assim como fatores de ossa psique. Figuras 0.1, 0. e 0.3 No etato, a atureza humaa é acrescida do desejo e da habilidade para quatificar o que lhe cerca. Nosso objetivo será desevolver métodos eficietes para quatificarmos comprimetos, áreas e volumes. Apesar desse aspecto racioal e pragmático que osso objetivo os impõe, em mometo algum igoraremos a ecessidade da ituição para resolvermos ossos problemas, por isto, é importate fazermos figuras. Os problemas estão para a matemática assim como a sobrevivêcia está para a vida. Felizmete, as soluções requerem mais do que simplesmete um algoritmo lógico, requerem idéias! É claro, osso objetivo ão será resolver questões em aberto, ão precisaremos ter idéias iéditas como quem está a busca de uma descoberta, precisaremos, ape-

8 as, estudá-las, recohecê-las e apreder como aplicá-las. Na Matemática, é ecessário eteder as estruturas que regem as questões sobre as quais estamos iteressados. É muito importate que ao apredermos Matemática também reflitamos sobre os fudametos dos métodos e da abragêcia dos mesmos. Desta forma, poderemos gahar bastate experiêcia e capacidade para resolvermos os problemas. Geometria é uma área fudametal da Matemática por exigir que o estudate alie razão com ituição, pragmatismo com estética e, fialmete, domíio da liguagem matemática. A Geometria Euclidiaa baseia-se sobre dois resultados: o Teorema de Thales e o Teorema de Pitágoras. Ambos eram cohecidos por povos mais atigos do que os gregos, porém, é mérito dos gregos tê-los demostrado. Eles são fudametais para os métodos que desevolveremos. Teorema 1.1 (Thales) Sejam l,l e 1 l 3 retas paralelas e r, s retas trasversais a l,l e l. Sejam 1 3 Ai = li r e Bi = li s, i = 1,, os,3 potos de iterseção (figura 0.4). Etão, BB 1 AA 1 =. B B A A 3 3 Figura 0.4 Teorema 1.. (Pitágoras) Seja ABC um triâgulo retâgulo o vértice A ( A ˆ = 90 ) tal que a hipoteusa mede a e os catetos medem b e c (figura 0.5). Etão, a = b + c.

9 Figura 0.5 O Teorema de Pitágoras será o mais usado, o que ão dimiui a importâcia do Teorema de Thales. O Teorema de Pitágoras será usado direta ou idiretamete sempre que estivermos calculado o comprimeto de algum segmeto de reta, equato o Teorema de Thales, quado estivermos comparado comprimetos de figuras semelhates. Um dos axiomas da Geometria Euclidiaa afirma que dois potos defiem uma úica reta o plao. Ao tomarmos três potos A, B e C o plao, duas situações podem ocorrer: (1) os três defiem uma mesma reta, () os potos ão estão sobre uma mesma reta e defiem três retas. No segudo caso, a cada um dos pares correspode uma reta: ( A, B) l ( B, C) l ( C, A) l Defiição 1.1. Um Triâgulo é a região limitada do plao pelas retas defiidas por três potos ão colieares. AB BC CA Sobre um poto ão há ada mesurável, um segmeto podemos medir comprimetos e, um triâgulo, podemos medir comprimetos, âgulos e áreas. Logo, os triâgulos são as figuras mais simples a serem tratadas após os segmetos; mais do que isto, a partir do cohecimeto de como as medidas um triâgulo se relacioam podemos estimar as relações em figuras mais complicadas. Este será osso camiho, apredermos tudo sobre triâgulos e aplicarmos a outras figuras.

10 Notação: Idicaremos: 1) Os potos por letras latias maiúsculas. As letras miúsculas serão empregadas para expressarmos as medidas dos segmetos, equato as letras gregas miúsculas serão utilizadas para as medidas dos âgulos. ) Por AB o segmeto defiido pelos potos A e B. 3) Por l AB a semi-reta orietada defiida pelos potos A e B. 4) Por AOB ˆ o âgulo com vértice em O formado pelas semiretas loa e lob. Em algumas circustâcias, também usaremos AOB ˆ para idicarmos a medida do âgulo. 5) Para efeitos de otação e de simplicidade da exposição, ABC sigifica um triâgulo com vértices os potos A, B e C do plao (figura 0.10). O lado oposto ao vértice A mede a, o oposto a B mede b, e o oposto a C mede c. Os âgulos iteros em cada um dos vértices medem (o vértice A ), (o vértice B ) e (o vértice C ). Figura 0.6

11 1 Relações Métricas em Triâgulos. Trigoometria.

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13 1 Relações Métricas em Triâgulos. Trigoometria. Neste capítulo, determiaremos diversas medidas relativas a um triâgulo ABC em fução dos comprimetos dos lados. Iicialmete, obteremos algumas relações quado ABC é retâgulo e, a seguir, cosideraremos o caso geral. 1.1 Relações Métricas em Triâgulos Nesta seção, vamos obter relações que os permitem determiar diversas medidas importates o estudo de triâgulos. A primeira e mais famosa é cohecida como Teorema de Pitágoras. Para realizar este estudo começamos cosiderado triâgulos retâgulos para, etão, geeralizarmos para triâgulo qualquer Relações Métricas um Triâgulo Retâgulo Tópico 3. do livro de Geometria I. Cosideramos que = 90 e D é o pé da altura relativa ao lado AB. Abaixo, a tabela estabelece uma omeclatura e uma otação para os segmetos defiidos o ABC, coforme ilustra a tabela 1.1; segmeto ome comprimeto Num triâgulo retâgulo, os segmetos que a altura determia sobre a hipoteusa são chamados de projeções (sob âgulo de 90 ) dos catetos. BC hipoteusa a AC cateto b AB cateto c BD Projeção m CD projeção AD altura h Tabela

14 Figura 1.1 Os triâgulos ABC, DBA, e DAC são semelhates (caso AA). Comparado-os, temos as seguites relações: 1) ABC DBA. Casos de semelhaça de triâgulo - livro de Geometria I, tópico 7.3. a b c = = c h m bc = ah,( i) c = am,( ii) bm = ch,( iii) (1.1) ) DBA DAC a b = b = c h b = a,( i) c = bh,( ii) (1.) 3) DBA ~ DAC b m h = = h = m (1.3) c h Teorema 1. (Pitágoras) Num triâgulo retâgulo ABC cuja hipoteusa mede a e os catetos medem b e c, vale a idetidade a = b + c (1.4) No Ambiete Virtual de Apredizagem existe uma aimação que facilita sua compreesão. Demostração: Decorre das idetidades 1.1(ii) e 1.(i) que ( ) b + c = a m+ = a O triâgulo sedo retâgulo também vale a idetidade = (1.5) b c h 14

15 A verificação é simples, pois 1 1 c + b a 1 + = = = b c b c a h h Em cada um dos exercícios deste curso, faça um deseho que o/a ajude a pesar sobre a situação que está sedo descrita e quais as iformações de que você dispõe. Lista de Exercícios 1 1) Mostre que a diagoal de um quadrado de lado l mede l. ) Seja DEF um triâgulo eqüilátero de lado l. Mostre que a l 3 altura mede. 3) Num triâgulo retâgulo, a hipoteusa mede 5 e as projeções dos catetos sobre a altura relativa à hipoteusa medem m = 9 e =. Determie os outros lados e a altura relativa à hipoteusa. 4) Triâgulos Pitagóricos. O coceito de úmero para os Pitagóricos era restrito aos racioais, pois havia poucos exemplos de úmeros irracioais. Devido ao exemplo da diagoal do quadrado de lado 1, os gregos deram especial ateção aos triâgulos cujas medidas dos lados são úmeros iteiros. Eles pergutaram-se sobre um método para ecotrar m, e p tais que p = m + e observaram que ( ) ( ) x + y = x y + xy Sejam a= ( x+ y), b ( x y) c cada par de úmeros aturais (, ) à tríade ( a, b, c). = + e = xy. Faça uma tabela para x y, 1 x, y 10, associado-os 5) Mostre que se um cateto for o dobro do outro, etão a altura divide a hipoteusa em dois segmetos tais que um é o quádruplo do outro. 15

16 6) Sejam ABC um triâgulo retâgulo em A, D o pé da altura relativa ao lado BC e DE o segmeto perpedicular ao lado AB. Mostre que ( AD) ( AC) ( DE) =. 7) Sejam a e b úmeros positivos. Mostre que a média geométrica etre a e b é meor que a média aritmética, isto é, a+ b ab. 8) Seja a um úmero real positivo. Costrua um segmeto com comprimeto igual a a 7. 9) Sejam ABC um triâgulo retâgulo em A, D o poto médio de AB e DE BC. Mostre que ( EC) ( EB) ( AC) =. 10) Mostre que, dados dois círculos tagetes exteramete, o segmeto AA defiido pelos potos de cotato é a média geométrica etre os diâmetros dos círculos (figura 1.). Figura 1. 11) Supoha que, o triâgulo ABC, os âgulos B e C são agudos e a razão dos quadrados dos lados opostos a esses âgulos é igual à razão das projeções desses lados sobre BC. Mostre que ABC é retâgulo ou isósceles. 1) Se os úmeros positivos b, c e h satisfazem a relação 16

17 = b c h, mostre que existem triâgulos com lados medido b, c e a altura relativa ao terceiro lado medido h. Num dos triâgulos, a soma dos âgulos opostos aos lados b e c, respectivamete, será igual a 90 0, o outro, a difereça dos âgulos mecioados será ) Cosidere duas circuferêcias exteras com raios r, r e cuja distâcia etre os cetros mede d. Determie os comprimetos dos segmetos tagetes comus (existem 4 tagetes comus, figura 1.3). Figura Relações Métricas um Triâgulo qualquer Agora, seja ABC um triâgulo qualquer (figura 1.4). (a) (b) Figuras 1.4.a e 1.4.b Supohamos que as medidas a, b e c dos lados de ABC são cohecidas. Sejam D o pé da altura relativa ao lado AB, h c a 17

18 medida da altura CD e m a medida da projeção do lado AC sobre o lado AB. Observe que há dois casos para aalisarmos: (a) ABC é acutâgulo (b) ABC é obtusâgulo. Em ambos os casos, a costrução da altura CD gera dois ovos triâgulos, ambos retâgulos ADC e BCD. a) ABC é acutâgulo (figura 1.4a). Supohamos que A ˆ < 90. Neste caso, temos que D está etre A e B, e c= m+ ( c m) ; ADC b = m + h c, Coseqüetemete, ( ) = + ; BDC a m c h c a b c cm = + (1.6) b) ABC é obtusâgulo (figura 1.4b). Supohamos que A ˆ > 90. Neste caso, temos que D ão está etre A e B, e BD = c + m ; ADC b = m + h c Coseqüetemete ( ) BDC a = m + c + h c a b c cm = + + (1.7) Lista de Exercícios 1) Mostre que um paralelogramo a soma dos quadrados dos lados é igual a soma dos quadrados das diagoais Cálculo das Mediaas em Fução dos Lados Num triâgulo ABC, a mediaa relativa ao vértice A é o segmeto AD ligado o vértice A ao poto médio D do lado BC (figura P oto médio é o poto pertecete ao segmeto que o subdivide em dois segmetos de mesma medida. 18

19 1.4). Existem três mediaas em ABC, cujas medidas deotamos por m (relativa a A ), m (relativa a B ) e m (relativa a C ). A B C Figura 1.5 Existem dois triâgulos resultates da costrução do poto D, digamos que sejam ADB e ADC. Ao aplicarmos as idetidades 1.6 e 1.7, obtemos: a a ADB c = ma + x, 4 a a ADC b = ma + + x. 4 Somado as expressões acima, segue que a b + c = ma + e 1 m ( b c ) a A = + (1.8) Aalogamete 1 m ( a c ) b B = + (1.9) 1 m ( a b ) c C = + (1.10) O poto de iterseção das mediaas é deomiado baricetro do triâgulo (figura 1.6) e o deotamos por G. 19

20 Figura 1.6 A seguir, mostraremos algumas propriedades do baricetro. Iicialmete, fixamos a seguite otação: sejam PA, PB, P C os pés das mediaas ma, mb, m C, respectivamete, e G o baricetro (figura 1.6). Proposição. Cosiderado o triâgulo da figura 1.6, valem as seguites igualdades: P P B A = 1 AB P P A C = 1 AC P P B C 1 = BC. Demostração. Na figura 1.5, decorre do Teorema de Thales que 1 1 PBPAPCA é um paralelogramo. Portato, PBP A = APC = AB. Os outros casos são aálogos. Este teorema está discutido a Itrodução e o livro de Geometria I, é o Teorema Proposição 3. Num triâgulo ABC qualquer valem as relações GA = m, 3 A GB = m 3 B GC = m (1.11) 3 C Demostração. Coforme ilustra a figura 1.5, temos o caso de cogruêcia GAB GPAP B, do qual, GA GA GB AB = = = GP GP P P A B A B = ( GP ) GB = ( GP ) GC = ( GP ) A e B Coseqüetemete, ma GA + GPA ma = = 3 GPA =, GP GP 3 A A C 0

21 mb GB + GPB mb = = 3 GPB =. GP GP 3 B B Aalogamete, pois m GP C = 3 C. Assim, a relação 1.11 está verificada, ma ma = + GA GA = ma. 3 3 Exemplo. Se G é o baricetro de ABC, etão ( ) ( AB) ( BC) ( CA) 3 ( GA) ( GB) ( GC) + + = + + (1.1) Ao somarmos as relações abaixo, satisfeitas pelas mediaas de ABC ; c a + b = mc +, a b + c = ma +, b a + c = mb +. obtemos a + b + c ( a + b + c ) = ( ma + mb + mc) + da ode, 4 a + b + c = ( ma + mb + mc). 3 A 3 B 3 da expressão 1.1 está completa. Como m = ( GA), m = ( GB) e m ( GC) Lista de Exercícios 3 C 3 =, a verificação 1) Num triâgulo qualquer de lados medido a, b e c, seja D o pé da mediaa relativa ao lado BC e E o poto obtido pela projeção da mediaa AD sobre o lado BC. Fazedo = DE, mostre que c b am =. 1

22 ) Determie os lados de um triâgulo em fução das mediaas. 3) Mostre que um retâgulo ABCD a soma dos quadrados das distâcias de um poto M a dois vértices opostos A e C é igual à soma dos quadrados de suas distâcias aos dois outros vértices B e D. 4) Mostre que em qualquer triâgulo retâgulo, a soma dos quadrados das três mediaas é igual a três vezes a metade do quadrado da hipoteusa. 5) Mostre que a soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero é igual à soma dos quadrados das diagoais mais quatro vezes o quadrado do segmeto que ue os meios dessas diagoais. 6) Mostre que o lugar geométrico dos potos cuja soma dos quadrados de suas distâcias aos potos fixos A e B é k é um círculo com cetro o poto médio de AB. 7) Supoha que os lados de um triâgulo ABC satisfazem a relação a = b + c. Calcule as mediaas e mostre que o triâgulo cujos lados tem comprimetos iguais às mediaas é semelhate a ABC. 8) Mostre que um triâgulo ABC é semelhate ao triâgulo formado pelas suas mediaas se, e somete se, os quadrados dos seus lados estão em progressão aritmética. 9) Coclua que o baricetro existe e é úico Cálculo das Alturas em Fução dos Lados O segmeto altura relativo ao lado AB é o segmeto ortogoal à reta que cotém AB, passado pelo vértice C ; sejam D o pé desta altura e h C a sua medida. Ao traçarmos a altura relativa ao lado AB, obtemos triâgulos DAC e DBC, ambos retâgulos o vértice D. Seja m a medida de AD. Os casos quado ABC é acutâgulo e quado é obtusâgulo (figura 1.7a e 1.7b) são tratados jutos:

23 (a) (b) Figuras 1.7a e 1.7b ADC h = b m, C b + c a ABC m = ± c. Ao substituirmos a 1ª expressão o valor de m obtido a ª, temos 4 C c h = 4b c ( b c a ) + = = bc + b + c a bc b c + a = p é o semiperímetro de ABC. = ( b+ c) a a ( b + c ) = = ( a+ b+ c)( a+ b+ c)( a+ b c)( a b+ c). Se cosiderarmos p = ( a+ b+ c), a expressão acima se tora hc = c p( p a)( p b)( p c) (1.13) Aalogamete, ha = a p( p a)( p b)( p c) (1.14) hb = b p( p a)( p b)( p c) (1.15) 3

24 Uma coseqüêcia importate do cálculo das alturas é a determiação da área A do triâgulo em fução dos comprimetos dos lados, cohecida como fórmula de Herão. A= p( p a)( p b)( p c) (1.16) O poto de iterseção das alturas é deomiado ortocetro do triâgulo (figura 1.8). Figura 1.8 Hero (ou Hero, ou Herão) de Alexadria (10 d.c d.c.) foi um sábio do começo da era cristã. Geômetra e egeheiro grego. Seu trabalho mais importate o campo da geometria, Metrica, permaeceu desaparecido até (Fote: org/wiki/hero_de_alexadria acessado em 08 ju. 006). Sobre a fórmula de Herão, leia o artigo da Revista do Professor de Matemática através do lik coheca/57/pitombeira.pdf Lista de Exercícios 4 1) Determie os lados de um triâgulo em fução das alturas. ) Num triâgulo retâgulo ABC, A ˆ = 90, traçam-se a altura AD e, em seguida, DE e DF perpediculares a AB e AC respectivamete. Se BE = m, CF = e AD = h, mostre que: 1) m + = a ) 3) 3h + m + = a h = am 3) Num triâgulo ABC, sejam AB = 1, AC = 1 e a altura 3 4 AD = 1. Calcule o comprimeto do lado BC (há dois casos para 5 cosiderarmos, um deles C ˆ = 90 e o outro C ˆ B ˆ = 90 ). 4

25 4) Cohecedo-se os comprimetos dos lados de um triâgulo isósceles, calcule sua altura. 5) Mostre que o ortocetro existe Relação de Stewart Num triâgulo ABC de lados medido a, b e c, seja D um poto sobre o lado AB tal que AD = x, DB = y e CD = z, coforme ilustra a figura 1.9. Figura 1.9 Proposição 4. No ABC vale a relação de Stewart a x + b y z c = cxy (1.17) Para demostrarmos a relação acima, traçamos a altura relativa ao lado AB e cosideramos que a medida do segmeto defiido pelo pé da altura D é m (figura 1.9). Assim, ACD b = x + z ± xm (1.18) BCD a = y + z ± xm (1.19) Multiplicado a expressão 1.18 por y e a expressão 1.19 por x temos b y = x y + z y ± xmy a x = y x + z x ± xmx 5

26 Somado as expressões acima chegamos a ( ) ( ) a x b y xy x y z x y + = + + +, da qual, substituido c= x+ y, segue a relação Exemplo. Seja C um círculo de raio R e cetro em O com três círculos C1, C e C 3 detro dele, coforme ilustra a figura 1.10a. C 1 tem raio R 1 e cetro em O 1, equato C tem raio R e cetro em O. Vejamos que a relação de Stewart determia o raio x de C 3, sabedo que OO1 = a e OO = b. Para isto, aplicamos a relação de Stewart 1.17 ao OO 1 O3 (figura 1.10b): (a) (b) Figuras 1.10a e 1.10b ( ) ( ) ( )( ) ( ) a R + x + b R + x a+ b R x = ab a+ b. 1 Após expadirmos a expressão acima, obtemos x = ( a + b)( R + ab) ( ar + br1) [ ar + br + R] 1 Lista de Exercícios 5 1) Cosidere o exemplo acima 1 1 R =, R = e desehe o círculo C 3. 6

27 1.1.6 Cálculo das Bissetrizes em Fução dos Lados A reta bissetriz de um âgulo AOB ˆ é a reta passado por O que eqüidista das semi-retas loa e lob. Seja C um poto sobre a bissetriz do AOB ˆ, devido à defiição, a bissetriz divide o âgulo AOB ˆ em dois âgulos cogruetes AOC ˆ e COB ˆ (figura 1.11). Figura 1.11 A cada âgulo também associamos a reta bissetriz do seu complemeto. Desta forma, a cada vértice de um triâgulo ABC associamos a bissetriz itera (do âgulo itero) e a bissetriz extera (do âgulo extero). O poto de iterseção das bissetrizes iteras é deomiado o icetro do triâgulo. Proposição 5. Seja e c. ABC um triâgulo com lados medido a, b 1) Ao traçarmos a bissetriz itera relativa ao vértice A obtemos, a iterseção com o lado BC o poto D. Se x = BD e y = DC (figura 1.11a), etão ac x = b + c, ab y = b + c ) Ao traçarmos a bissetriz extera relativa ao vértice A obtemos a iterseção com o lado BC o poto D. Se x = BD e y = DC (figura 1.11b), etão ab x = c b, ac y = c b 7

28 Demostração: 1) Pelo vértice B, traçamos uma reta paralela à bissetriz AD gerado o poto E a iterseção com o prologameto do lado AC. Segue do Teorema de Thales que y b =. x AE No etato, decorre do paralelismo etre os segmetos BE e AD, que (1) AEB ˆ = CAD ˆ = DAB ˆ () EBA ˆ = BAD ˆ. Coseqüetemete, o triâgulo ABC é isósceles e, por isso, AE = c. Daí que, Por que se pode afirmar esta igualdade? y b y+ x b+ c a= x+ y a b+ c = = = x c x c x c (a) (b) Figura 1.1a e 1.1b Portato, ac x = b + c, ab y = b + c. ) Pelo vértice C traçamos uma reta paralela à bissetriz extera AD ' gerado o poto E a iterseção com o lado AB. Segue do Teoremade Thales que x c = y AE. No etato, o paralelismo etre os segmetos CE e AD implica em (1) ACE ˆ = CAD ˆ e () AEˆ C = CAD ˆ. Coseqüetemete, o triâgulo ACE é isósceles e, por isso, AE = b. Daí que, x c x y c b a= x y a c b = = = y b y b y b 8

29 Portato, ac x = c b, ab y = c b, Agora, determiaremos os comprimetos s A e s A das bissetrizes itera e extera, respectivamete, relativas ao vértice A. Para isto, usaremos a relação de Stewart 1.17; Substituido ac x = b + c, ab y = b + c a Relação de Stewart b x + c y s a = axy. A Obtemos de ode, ac + ab a bc A = b c s a a b+ c b+ c b+ c ( ) ( ) ( ) bc b + c a bc a + b + c b + c a saa= = b+ c b+ c ( )( ) ( ). Aplicado o semiperímetro p = a+ b+ c, chegamos a sa = bcp( p a) b+ c Aalogamete, sb = a+ c acp( p b) sc = a+ b abp( p c) Lista de Exercícios 6 (1.0) (1.1) (1.) 1) Mostre que as bissetrizes exteras são determiadas pelas expressões: s A = bcp( p b) p c b c ( ) s B = acp( p a) p c a c ( ) (1.3) (1.4) 9

30 s C = abp( p a) p b a b ( ) (1.5) ) Um triâgulo ABC, retâgulo em A, tem lados AB = 4, BC = 5 e AC = 7. Calcule a bissetriz do âgulo Ĉ. 3) Dado um triâgulo ABC, retâgulo em A, o qual AB = c, AC = b e a bissetriz do âgulo reto mede AD = 1, mostre que 1. Trigoometria 1 1 = +. l b c Trigoometria é o ramo da Matemática que trata das relações etre os lados e os âgulos de triâgulos. A trigoometria começou emietemete prática para determiar as distâcias que ão podiam ser medidas diretamete. Serviu à avegação, à agrimesura e à astroomia. De acordo com o axioma de cogruêcia, ao fixarmos o comprimeto de dois lados e a medida do âgulo formado etre eles (caso LAL), etão todas as medidas dos lados e dos âgulos do triâgulo estarão fixas. Como coseqüêcia do axioma temos outros 3 tipos de casos de cogruêcia: 1) LLL (lado-lado-lado), Cosulte o livro de Geometria I cogruêcia de triâgulos, seção 3.4 (pág. 87). Cosulte o livro de geometria I cogruêcia de triâgulos seção 3.4. ) 3) LA (âgulo-lado-âgulo), LLA (lado-lado-âgulo). Em cada um dos casos de cogruêcia, se as medidas dos elemetos citados forem fixadas, todas as outras medidas relativas ao triâgulo também estarão fixadas, a ossa tarefa será determiá-las. A estas relações deomiamos de relações métricas em triâgulos. Coforme já discutimos, o triâgulo é o elemeto geométrico mais simples após o poto e a reta. Desde a atiguidade o raciocíio lógico-dedutivista está sempre baseado uma estratégia redutivista, ode etedemos o todo a partir dos elemetos mais simples. Na geometria, o átomo é o triâgulo. A experiêcia com 30

31 Para cohecer algus destes problemas, leia o artigo o edereço br/materiais/tep/cap4. pdf que mostra questões iteressates resolvidas por meio da trigoometria e suas resoluções. a determiação das distâcias e dos comprimetos, muito comum a agrimesura e a astroomia, mostrou-os que o cohecimeto das relações métricas etre os lados e âgulos de um triâgulo é extremamete útil para a solução de problemas Trigoometria o Triâgulo Retâgulo Sejam O, A e B três potos ão colieares, loa e lob as semiretas defiidas por estes potos, e ( 0 90 ) a medida do âgulo AOB ˆ, coforme mostra a figura Figura 1.13 Ao traçarmos as retas r 1, r,..., r ortogoais a loa obtemos triâgulos retâgulos OA1B 1, OAB,..., AB. Decorre do Teorema de Thales que os comprimetos dos segmetos a figura 1.13 satisfazem a relação; AB 1 1 AB AB = =... = (1.6) OB OB OB 1 Ao cosiderarmos a família de triâgulos retâgulos { OAkB k k }, a relação 1.6 sigifica que a razão etre o comprimeto do cateto oposto ao âgulo e a hipoteusa do triâgulo, para cada um dos triâgulos, é costate (idepede de ). Portato, associamos ao âgulo AOB ˆ a razão defiida em 1.6, a se ; qual deomiamos por seo de e a deotamos ( ) AB 1 1 AB AB se( ) = = =... = (1.7) OB OB OB 1 Aalogamete, ao cosiderarmos a razão do cateto adjacete pela hipoteusa para cada um dos triâgulos da família { OAkB k k }, cocluímos que ela também é costate. A esta cos ; razão, deomiamos de cosseo de e a deotamos ( ) 31

32 OA1 OA OA cos ( ) = = =... = (1.8) OB OB OB 1 Além destas duas quatidades associadas ao âgulo, também defiimos a tagete de, deotada por tg( ), que é a razão do comprimeto do cateto oposto sobre o comprimeto do cateto adjacete; AB 1 1 AB AB se( ) tg ( ) = = =... = tg( ) = (1.9) OA OA OA cos( ) 1 Ao cosiderarmos um triâgulo retâgulo ABC, o qual A ˆ = 90, a hipoteusa mede a e os catetos medem b e c, o seo, o cosseo e a tagete do âgulo ˆB = valem se b a c a ( ) =, cos( ) =, tg( ) b =. c Decorre do Teorema de Pitágoras que b c a = b + c + = 1. a a Assim, obtemos a Idetidade Fudametal da Trigoometria cos ( ) se ( ) 1 + = (1.30) Lista de Exercícios 7 1) Seja ABC um triâgulo retâgulo com A ˆ = 90, a = 5, b = 4 e c = 3. Seja a medida do âgulo itero do vértice B. Calcule cos( ), se( ) e ( ) tg. ) No item aterior, seja a medida do âgulo itero do vértice C e calcule cos( ), se( ) e tg ( ). Compare os resultados com os obtidos o item aterior. 3) Coclua que ( ) ( ) se 0 = 0. cos 90 = 0 e ( ) se 90 = 1 ; ( ) cos 0 = 1 e 3

33 D ois âgulos são ditos complemetares quado a soma de suas medidas é 90. 4) Desevolva um método para medir a altura de um prédio utilizado apeas de uma trea de 5 metros (dica: use a posição do sol e a sombra do prédio). Proposição 6. Se dois âgulos e são complemetares, etão se ( ) = cos( ), cos( ) = se( ), tg( ) = 1 tg. (1.31) ( ) Demostração: Segue da hipótese que + = 90. Seja ABC um triâgulo retâgulo com âgulos iteros medido A ˆ = 90, ˆB = e Ĉ =, a hipoteusa mede a e os catetos medem b e c (figura 1.14). O seo e o cosseo do âgulo valem c b cos( ) =, se( ) =. a a Aalogamete, cos( ) b a =, se( ) c =. a Figura 1.14 Portato se( ) = cos( ) e cos( ) se( ) tg ( ) =. Além disto, = 1 tg. ( ) Decorre, da proposição acima, que os valores de cos( ), ( ) tg( ) para âgulos o itervalo [ 0, 45 ] do cosseo, seo, e da tagete para âgulos o itervalo [ 45,90 ] se, e determiam os valores. Exemplo. A seguir, calcularemos os valores do cosseo e do seo para algus âgulos: 33

34 1) = 30. Seja ABC um triâgulo eqüilátero (figura 1.15) de lado a e D o pé da altura relativa ao lado AB. Assim, o triâgulo ADC é retâgulo e D ˆ = 90, A ˆ = 60 e C ˆ = 30. Além disto, AC = a, a 3 AD = e CD = a. Coseqüetemete, a 3 a 3 cos( 30 ) 1 = =, se( 30 ) = = a a Figura 1.15 ) = 45. Cosideramos o triâgulo retâgulo ABC (figura 1.16) tal que Aˆ = Cˆ = 45 e B ˆ = 90. Desta forma, AB = BC = l, AC = l. Coseqüetemete, l 1 l 1 cos( 45 ) = =, se( 45 ) = =. l l Figura

35 3) = 60. Basta aplicarmos a Proposição 6 para cocluirmos que 1 3 cos( 60 ) =, se ( 60 ) =. 4) = 18. Cosideramos o triâgulo isósceles ABC (figura 1.17) tal que A ˆ = 36, B ˆ = Cˆ = 7 e AC = b. Ao traçarmos a bissetriz do vértice C costruímos o triâgulo DBC, ode Dˆ = Bˆ = 7, BCD ˆ = 36. Figura 1.17 Da semelhaça etre os triâgulos ABC e CDB (caso AAA), se DC = x, etão x b 5 1 = x= b. b x x O valor de x é a cohecida razão áurea relativa à medida b. Ao traçarmos o triâgulo ABC a altura relativa à base BC, com pé o poto H, obtemos o triâgulo retâgulo ABH (figura 1.18). 35

36 Figura 1.18 No ABH temos A ˆ = 18, B ˆ = 7, H ˆ = 90, AB = b, Portato, se( 18 ) BH = x. x 5 1 = = e, pela idetidade fudame- b cos 18 =. 4 tal da trigoometria 1.30, ( ) 5) = 7. Basta aplicarmos a Proposição 6 para cocluirmos que ( ) =, se( 7 ) cos 7 = Como coseqüêcia dos coceitos itroduzidos, a cada âgulo 0,90 associamos os valores do seo e do cosseo; [ ] ( cos ( ), se( )). Lista de Exercícios 8 Resolver um triâgulo sigifica determiar os valores dos comprimetos dos lados e dos seus âgulos iteros. 36

37 1) Resolva um triâgulo retâgulo ABC sabedo que a medida da hipoteusa a = 5, a soma dos catetos b+ c= 31 e b> c (deixe os âgulos idicados em fução do cosseo). ) Resolva um triâgulo retâgulo ABC de hipoteusa a, sabedo que a+ b= 36m e a+ c= 50m. 3) Os triâgulos ABC e ACD (figura 1.19) são retâgulos, respectivamete, em B e C. Uma progressão aritmética (P.A.) é uma seqüêcia umérica em que cada termo, a partir do segudo, é igual à soma do termo aterior com uma costate r. O úmero r é chamado de razão da progressão aritmética. (Fote: pt.wikipedia.org/wiki) U ma progressão geométrica (P.G.) é uma seqüêcia umérica em que cada termo, a partir do segudo, é igual ao produto do termo aterior por uma costate q. O úmero q é chamado de razão da progressão geométrica. (Fote: ht t p:// pt.wikipedia.org/wiki.) Figura 1.19 a) Achar o valor aproximado dos comprimetos AB e CD. b) Achar o comprimeto exato do lado AD. 4) Seja ABC um triâgulo retâgulo. Calcule a) o cosseo do maior âgulo agudo se os lados de ABC estão em progressão aritmética. b) o cosseo do maior âgulo agudo se os lados de ABC estão em progressão geométrica. 5) Observado a figura 1.0 abaixo, mostre que ( ) se tg = 1+ cos( ) 37

38 Figura 1.0 6) Um observador em uma plaície vê ao loge uma motaha segudo um âgulo de 15º (âgulo o plao vertical formado por um poto o topo da motaha, o observador e o plao horizotal). Após camihar uma distâcia d em direção à motaha, ele passa a vê-la segudo um âgulo de 30. Qual é a altura da motaha? 7) Um poto A dista 5 cm de um círculo com raio de 3 cm. São traçadas as tagetes AB e AC ao círculo. Calcule o seo do âgulo OAB ˆ. Aqui sua resposta será dada em fução da distâcia d. 8) Para medir a altura de uma chamié (figura 1.1), um observador utilizou um aparelho especial que estabeleceu a horizotal AB e mediu os âgulos e tedo a seguir medido BC = h. Determie a altura da chamié. Figura Trigoometria o Círculo Para aplicarmos os coceitos de seo e cosseo aos problemas geométricos evolvedo triâgulos precisamos estedê-los para âgulos 0,180. Até aqui, estes coceitos foram defiidos 38

39 usado triâgulos retâgulos, porém também existem os triâgulos obtusâgulos e os acutâgulos. Axioma: Fixada uma medida para o âgulo raso, deotada 180, existe uma relação biuívoca etre o itervalo [ 0,180 ] e as semi-retas de mesma origem que dividem um dado semi-plao, de modo que a difereça etre estes úmeros seja a medida do âgulo formado pelas semi-retas correspodetes. De acordo com o axioma aterior, a medida de um âgulo o plao está etre 0 e 360, o que mostra a ecessidade de geeralizarmos os coceitos trigoométricos para qualquer âgulo 0,360. Itroduziremos uma maeira mais propícia para medirmos um âgulo usado um círculo. Para este fim, cosideramos um par de eixos ortogoais coordeados o plao, deomiados eixo-x e eixoy, de forma que a todo poto do plao correspode uma coordeada P= ( xp, yp), ode x p é a abscissa de P e y p a ordeada de P são as projeções ortogoais de P sobre cada um dos eixos (figura 1.). A iterseção dos eixos é deomiada a origem do sistema coordeado e a deotamos por O. O plao é o cojuto dos potos {( x, y) / x, y } =. (1.3) Figura 1. Desta forma, o plao fica subdividido em 4 quadrates: { } { } { } { } 1) 1º quadrate: Q =, ( x, y) x > + + 0, y > 0 ) º quadrate: Q =, ( x, y) x < + 0, y > 0 3) 3º quadrate: Q =, ( x, y) x < 0, y < 0 4) 4º quadrate: Q =, ( x, y) x > + 0, y < 0 39

40 De acordo com o Teorema de Pitágoras, a distâcia do poto P= x, y à origem O (medida do segmeto OP ) é ( p p) OP = x + y. p p Assim, a cada poto ( ) P= xp, yp associamos o úmero real P = OP, deomiado o módulo de P. Também associamos a P o âgulo p formado pela semi-reta l op e o eixo-x, o qual também deomiamos de icliação da semi-reta l op em relação ao eixox. É claro, para qualquer poto Q lop, Q P, temos Q P e =. Resumido, a cada poto P associamos q p ( P, p) P (1.33) Por abuso de liguagem, p correspode ao âgulo e à sua medida. Radiaos O círculo de raio R cetrado a origem, que deotamos por C( O, R ), é o cojuto dos potos do plao que eqüidistam R da origem O ; ( ) ( ) { }. C O, R = x, y x + y = R Equivaletemete, C( O, R) = { P P = R}. Dois potos P, P 0 C ( O, R ) dividem o círculo em dois arcos (figura 1.3). Observamos que é cofuso descrever os arcos, pois sobre o círculo ão há uma posição etre os potos; a reta é mais fácil, porque temos o coceito de estarmos à esquerda ou à direita de um poto. Figura 1.3 Para resolvermos esta situação sobre um círculo, fixamos uma orietação: dizemos que um poto P C( O, R) desloca-se o setido positivo sobre C( O, R ) se o deslocameto realiza-se o setido ati-horário, caso cotrário, dizemos que P desloca-se o setido egativo (figura 1.4). Desta forma, ao represetarmos um 40

41 arco a forma PP, 0 estamos dizedo que o arco começou o poto P 0 e, ao deslocar-se o setido ati-horário, termia em P. Figura 1.4 Estudaremos o capítulo 3 vários dos mistérios deste famoso úmero, o. Chamado também âgulo cetral. C O R é C = R. É muito atigo o C cohecimeto de que a razão é uma costate, ou seja, ão R depede do comprimeto do raio. Com base este fato, os gregos itroduziram uma forma muito eficiete para medirmos um âgulo seguido os seguites passos; O comprimeto do círculo (, ) 1) fixamos o poto P ( R ) 0 =,0 sobre o eixo-x. Cada poto P0 = ( xp, yp) determia um úico âgulo P, formado pela semi-reta l op e o eixo-x; e também determia o arco orietado PP 0 C( O, R) cujo comprimeto deotamos por PP 0. Desta forma, P= P 0 p = 0, PP 0 = 0. ) Ao deslocarmos o poto P o setido positivo (ati-horário), o âgulo P cresce e o comprimeto do arco descrito também cresce. Se o deslocameto for o setido egativo (horário), assumiremos que o âgulo decresce e o comprimeto também decresce. Isso sigifica que ao fixarmos P0 = ( R,0) como o poto de partida, como mostra a figura 1.5, teremos âgulos positivos e egativos. À PP 0 associaremos um úmero real C p, de valor positivo se o deslocameto for o setido positivo e de valor egativo se o deslocameto for o setido egativo ( p e C terão o mesmo sial), tal que p Cp = PP. 0 41

42 Se o poto P desloca-se a partir de P = ( R ), sobre C ( 0, R) 0,0 =, o setido positivo até ( 0, R ), a distâcia percorrida pelo poto P é igual à 1 da circuferêcia de C 4 ( O, R ) que equivale a R ; portato, Cp até o poto ( ) = R. Se o deslocameto for o setido egativo 0, R, etão Cp = R. Figura 1.5a 3) Para determiarmos C p, quado o âgulo cetral do arco PP 0 é medido em graus, digamos a, utilizamos a fórmula. a Cp = R 360. Uma alterativa ao uso desta fórmula pode ser a utilização de regra de três. C Desta forma, a razão p R depede apeas da medida a do âgulo, idepede do raio R e é adimesioal. Isto motiva a defiição da medida C p p do âgulo cetral P ˆ 0OP ; p = (1.34) R 4) Decorre da defiição dada que Cp = R p. A uidade básica para medirmos âgulos através da expressão (1.34) é deomiada radiao. Quado Cp = R temos que p = 1 radiao, ou seja, 1rad 57 30'. Para covertermos a medida de um âgulo de graus para radiaos utilizamos a fórmula a a x = radiaos. (1.35) 360 4

43 5) Uma vez que a medida de um âgulo em radiaos ão depede do raio do círculo, é mais simples cosiderarmos o poto P pertecete ao círculo uitário {(, ) 1} S 1 = x y x + y = (1.36) Figura 1.5b Um âgulo de 1 radiao correspode ao arco de circuferêcia de comprimeto igual ao raio do círculo. Você acha que o raio iterfere em seus resultados? Tete calcular a medida dos mesmos âgulos em radiaos para um círculo de R=15 cm. Lista de Exercícios 9 1) Complete a tabela abaixo e marque os âgulos sobre um círculo de raio R=10 cm: grau radiao Tabela 1. Não estamos mais restritos a âgulos medido etre 0 e 360, a todo úmero real podemos associar um âgulo medido. No que segue, as medidas dos âgulos serão sempre em radiaos, salvo dito em cotrário. 43

44 1..3 Fuções trigoométricas Motivados pelas defiições sobre triâgulos retâgulos, temos a seguite defiição: Defiição 7. Seja ( ) 1 (1.33), etão ( ) = x, se( p ) cos p p P= xp, yp S e p o âgulo associado à P em = y (1.37) p A partir do século VIII d.c., astrôomos islâmicos aperfeiçoaram as descobertas gregas e idiaas, otadamete em relação às fuções trigoométricas. A trigoometria modera começou com o trabalho de matemáticos o Ocidete a partir do século XV. A iveção dos logaritmos pelo escocês Joh Napier e do cálculo diferecial e itegral por Isaac Newto auxiliaram os cálculos trigoométricos (Fote: br/liceciatura/1999/trigo. HTML). Figura 1.6 Observação. Na defiição acima, observamos que; 1) Associado a cada âgulo [ 0, ] há um úico poto 1 P= ( xp, yp) S. ) P é a icliação da semi-reta l op relativa ao eixo-x. 44

45 3) Sejam Px = ( x,0 p ) e Py ( 0, yp) =. O triâgulo OPx P é retâgulo ( P ˆ x = ) e Ô = p. Desta maeira, as defiições do seo e do cosseo de P, dadas a seção 1..1, coicidem com as defiições a seção ) ( ) ( ) cos + si = 1. 5) Os valores de cos( p) e ( p ) se podem assumir valores positivos e egativos (figura 1.6), depededo do valor das abscissas e das ordeadas do poto P. 6) Com o que observamos o item 1, se 1 P S, etão se y p ( p) =, cos( p) P x p = e Lista de Exercícios 10 P P = P + P (1.38) x y 1) Complete a tabela abaixo (use um trasferidor e um papel milimetrado); cos( ) se( ) tg( ) Tabela 1.3 ) Estude o sial de ( ) cos de acordo com a posição de P em cada um dos quadrates. se e ( ) 45

46 3) Complete as tabelas abaixo: cos( ) se( ) tg( ) Tabela cos ( ) se( ) tg( ) Tabela cos( ) se( ) tg( ) Tabela 1.6 4) Qual o valor máximo para o cosseo de um âgulo? E o míimo? 5) Repita o item aterior para o seo e para a tagete. Proposição 8. Seja [ 0, ] cos. Etão, ( ) = cos( ), se( ) = se( ) Demostração. É suficiete cosiderarmos os seguites casos: 1) 0,. 46

47 =, x p > 0 e x q > 0, os potos sobre o círculo uitário associados aos âgulos e -, respectivamete, coforme mostra a figura 1.7. Ao cosiderarmos A= ( x p,0) e B= ( x q,0), os triâgulos retâgulos OPA e OPB são cogruetes (LAL). Portato, OA = OB = xp, de ode A= B, e PA = QB = y p. Porém, B está sobre o lado egativo do eixo-y, por isto xq = xp e yq = yp. Coseqüetemete, Sejam P= ( xp, yp) e Q ( xq, yq) Figura 1.7 cos ) [, ] ( ) = = cos( ), se( ) y se( ). x p = =. Este caso fica como exercício para você. Qualquer dúvida, coverse com seu tutor. Lista de Exercícios 11 Determie os valores do seo e do cosseo dos âgulos abaixo e, em cada item, eucie alguma coclusão sobre a relação etre os valores ecotrados: p 1) Prove o segudo caso da proposição aterior. 5 ) =, = ) =, =

48 4) =, = ) =, = Proposição 9. Se 0, e + =, etão cos ( ) = cos( ), se( ) se( ) = (1.39) Neste caso, dizemos que e são âgulos suplemetares. Demostração. Há duas situações a serem cosideradas: 1) P está o 1º-quadrate. ( ) Sejam P cos ( ), se( ) associado ao âgulo e P ( ) = o poto sobre o círculo uitário = ( cos,0), coforme mostra a figura 1.8. Ao traçarmos por P a reta r paralela ao eixo-x, a iterseção de r com o círculo uitário defie o poto Q= ( xq, yq). Seja Q = ( x q,0); os triâgulos retâgulos OP P e OQ Q são cogruetes (LAL) implicado que o âgulo cetral associado ao poto Q mede. Por isto, temos que xq = cos( ) e y = se e, coseqüetemete, q ( ) cos ( ) = cos( ), se( ) = se( ) Figura 1.8 ) P está o º quadrate. (exercício) 48

49 A proposição acima os permite calcular se( ) e ( ) qualquer âgulo [ 0, ]. Lista de Exercícios 1 cos para 1) Prove o segudo caso a proposição aterior. ) Calcule o cosseo e o seo dos seguites âgulos e compare os resultados obtidos: a) 30 e 330. b) 60 e 300. c) 45 e 315. d) 18 e 34. 3) Mostre que se =, etão cos ( ) = cos( ), se( ) se( ) 4) Determie cos( ) =. (1.40) + e se( ) +. 5) Seja 0,. Supoha que os valores de cos( ) e de se( ) são cohecidos e determie os seguites valores (marqueos sobre o círculo uitário): a) cos( + ) e se( ). b) cos( ) e se( ). c) cos( ) e se( ). Decorre do exercício aterior que, para qualquer âgulo [ 0, ] os valores de se( ) e ( ), cos estão determiados por valores de potos correspodetes o 1º quadrate. Isto é: 49

50 i) se, (º quadrate), o âgulo correspodete é, ii) se [,3 ] (3º quadrate), o âgulo correspodete é, iii) se 3, (4º quadrate), o âgulo correspodete é. Uma vez que a cada associamos os valores se( ) e ( ) de fato, o que temos são fuções. Defiição 10. Seja x. Temos assim fuções trigoométricas: cos, 1) a fução cosseo defiida pela relação cos( ) ; da ode cos : 1,1 [ ] ) a fução seo defiida pela relação se( ) ; da ode, se : 1, 1. [ ] Decorre das igualdades cos( x+ ) = cos( x) e se( x + ) = se( x) que as fuções cos( x ) e se( x ) são periódicas de período. Da mesma maeira, temos fuções tagete : x (, ) tg( x), 1 =, tg( x) 1 x, sec x =, cos( x) 1 x 0, cos sec x =. se x cotagete : x ( 0, ) cotg ( x) secate : ( ) ( ) cossecate : ( ) ( ) Os domíios das fuções defiidas acima podem ser estedidos para itervalos maiores, porém é preciso ter cuidado porque elas ão estão defiidas para quaisquer valores reais; por exemplo, o maior domíio para a fução tagete, uma vez que tg( ) ão está defiido, é (k 1) (k+ 1) tg : (, ) k = ( ) S e uma fução associa valores de x com valores de y, seu domíio é o cojuto dos possíveis valores da variável x. (Fote: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Microdicioário de Matemática. São Paulo: Scipioe, 1998.) 50

51 Exemplo. Estudaremos este exemplo a fução seo: 1) O seu domíio é. ) O se( x ) é positivo os quadrates 1º e º, e egativo os quadrates 3º e 4º. 3) No itervalo, 0, a fução se( x ) é crescete. Para verificarmos a afirmação, cosideramos ( ) P = cos ( ), se( ) e Q cos ( ), se( ) P 0 = 1, 0 ( ) = ( ) os potos sobre 1 S correspodetes aos âgulos e. Além disto, também P 0, se Q = 0, se. ( ) cosideramos os potos = ( ) e ( ) y y ( ) Supohamos que, 0, e >. Lembrado que qua- do dois segmetos oblíquos a uma reta (eixo-y) são cogruetes ( OPy = OQy), o que tem projeção ortogoal maior é o segmeto que forma o meor âgulo com a reta (figura 1.9), temos ( ) ( ) se = P P < P Q = se, 0 0 o que mostra que o seo é uma fução crescete. Figura

52 Portato, Itervalo se( x ) cos( x ) tg( x ) cotg( x ) sec( x ) cos sec( x) o,, 3, 3, +, crescete +, decrescete -, decrescete -, crescete Tabela 1.7 4) Sua imagem é o itervalo [ 1 ]., 1 5) O gráfico da fução seo está represetado a figura 1.30, Se os valores de y são fuções de x, o cojuto dos valores de y é chamado de imagem da fução.(fote: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Microdicioário de Matemática. São Paulo: Scipioe, 1998.) Figura 1.30 Lista de Exercícios 13 1) Complete a tabela acima, estudado a variação das fuções trigoométricas e o sial em cada um dos quadrates. ) Determie os cojutos dos valores reais para os quais as fuções cotg( x ), sec( x ) e cos sec( x ) estão defiidas, as respectivas images e os períodos. 5

53 3) Determie os cojutos dos valores reais para os quais as fuções se( 3x ) e cos( 3x ) estão defiidas, as respectivas images e os períodos. Faça o gráfico das fuções Lei dos Cosseos e dos Seos Tedo em vista o caso (LAL) de cogruêcia, resolveremos a seguite questão: Questão 1. Seja ABC um triâgulo cujos lados AC e AB medem b e c, respectivamete, e cujo âgulo  formado etre eles mede. Determie a medida do lado BC. Aplicaremos os coceitos itroduzidos para obtermos relações etre as medidas dos lados e dos âgulos de um triâgulo qualquer. Para procedermos, há dois casos para cosiderarmos sobre o triâgulo ABC : (1) quado é acutâgulo, () quado é obtusâgulo. Iicialmete, cosideramos o caso quado ABC é acutâgulo. Coforme a figura (1.31), ao traçarmos a altura relativa ao lado AB obtemos os triâgulos retâgulos AHC e HBC. Figura 1.31 Ao fazermos x = AH e h = CH, obtemos as seguites relações: AHC b = h + x, x= bcos( ) (1.41) ( ) HBC a = h + c x (1.4) 53

54 Ao expadirmos a expressão (1.4) e substituirmos os valores de x e x obtidos em (1.41), obtemos a idetidade, cohecida como Lei dos Cosseos. Lei dos Cosseos a b c bc cos a = +. ( ) (1.43) De maeira aáloga, segue que ( ) b a c ac cos = + (1.44) ( ) c a b abcos = + (1.45) Observação. Se o triâgulo ABC é retâgulo em A, a expressão da lei dos cosseos é igual a expressão do Teorema de Pitágoras. No etato, você deve estar ciete de que a Lei dos Cosseos é coseqüêcia do Teorema de Pitágoras e ão o cotrário. De acordo com a expressão (1.45), o triâgulo cos ( ) ( b + c a ) =. 4b c Segue da idetidade fudametal 1.36 que se ( ) = e, coseqüetemete, se a ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4b c ( ) ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 4a b c Observamos que o lado direito da expressão acima, (,, ) k a b c ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) =, 4a b c ABC temos é ivariate por uma permutação dos valores de a, b, e c. Portato, se em vez de termos usado o âgulo e o comprimeto a tivéssemos usado os pares e b ou γ e c, teríamos obtido o mesmo k a, b, c. Desta maeira, obtemos a Lei dos Seos: resultado ( ) 54

55 Lei dos Seos se( ) se( ) se( ) = = (1.46) a b c Lista de Exercícios 14 1) Demostre as expressões (1.44) e (1.45). ) Mostre que a Lei dos Cosseos também vale para triâgulos obtusâgulos. 3) Num triâgulo ABC qualquer, mostre que valem as seguites desigualdades triagulares; a< b+ c, b< a+ c, c< a+ b. 4) Mostre, assim como a demostração da Lei dos Seos, que ( ) se ( ) se = = k ( a, b, c) (1.47) b c 5) A área de um triâgulo ABC é defiida pela expressão 1 A = ( base) ( altura), ode (base) correspode ao comprimeto de um lado, e (altura) a medida da altura relativa a essa base. Siga os seguites passos para obter uma outra demostração da Lei dos Seos: a) Cosidere um triâgulo ABC e verifique que a área é dada por 1 A = c b se( ), é a altura relativa ao lado AB. ode b se( ) 55

56 b) multiplique a expressão da área por a para obter a expressão se( ) A =. a abc c) Repita os ites ateriores, cosiderado a expressão para a área em fução de, c e a. d) Repita os ites ateriores, cosiderado a expressão para a área em fução de, b e a. e) Compare os resultados e coclua que vale a Lei dos Seos. 6) Prove que a área do triâgulo ABC de lados medido a, b e c é dada pela expressão 1 A= ( a + b + c ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) (1.48) 4 7) Mostre, usado a Lei dos Seos, que um triâgulo é isósceles se, e somete se, ele tiver dois âgulos iguais. 8) Mostre que um ABC, temos as seguites implicações: a < b + c é agudo, a = b + c é retâgulo, a > b + c é obtuso. 9) Um observador examia a extremidade superior de uma torre sob um âgulo. Quado ele se aproxima 110 m o âgulo duplica e quado se aproxima mais 50 m, triplica. Calcule a altura da torre Aplicação: Círculos Circuscritos a Triâgulos Um círculo é dito ser circuscrito a um triâgulo ABC se o seu cetro eqüidista dos vértices A, B e C ; este caso, seu raio é igual a distâcia dos vértices. Qualquer triâgulo ABC admite um úico círculo circuscrito, pois o cetro é a iterseção da mediatriz do segmeto AB com a mediatriz do segmeto AC (figura 1.3). O prefixo eqüi idica igualdade. Potos ou retas que estão a uma mesma distâcia em relação a alguma referêcia são eqüidistates. (Fote: IMENES. L.M.P.; LELLIS. M.C. Microdicioário de Matemática. São Paulo: Scipioe, 1998.) 56