Propostas de Resolução

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1 Propostas de Resolução Eercícios de MATEMÁTICA A. ao Como utilizar este ficheiro e localizar rapidamete a resolução pretedida? Verifique se a Barra de Ferrametas deste documeto eiste a caia de pesquisa do seu Adobe Reader. Se tal ão suceder, active-a, clicado com o botão direito do rato e seleccioado a opção pretedida. Na caia de pesquisa (Fid), digite Pág., com o P maiúsculo e sem esquecer o poto fial, seguido de um espaço e do úmero de págia ode se ecotra o eercício ou problema do qual pretede cohecer a resolução. Depois de validar a iformação, teclado em Eter, surgirá o ecrã a págia do documeto PDF com todas as resoluções dos eercícios da págia seleccioada do livro. CEXMA Porto Editora Depededo da sua etesão, a resolução poderá estar a colua ou até a págia seguite do PDF.

2 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. si a + si (908 - a) si a + [si (908 - a)] Pág.... cos Pág. 0. (si 08 + si 608) * tg 08 A [ABC] AB AC A [ABC] 0 * œ 0œ h, - h ) 8,6 EA 00 tg a Área do triâgulo: A [ABE] AB * AC cos a AB cos a si a AC si a h, - 0œ EA 00 tg a Área restate: Resposta: (C) cos a * si a A [ABC] si a cos a 00 * EA 000 tg a A tg a A tg a A 000 ( - tg a) si a + cos a + œ * œ + œ * œ œ * 00 tg a. AC Pág. AC 0 œ 6 +. si (608) * si (8) + cos (8) * tg (608).. tg 08 + si (608)..... tg cos 08 œ + œ + tg œ - œ ( + œ) ( - œ) - œ - œ - - cos a tg a * si a cos a.8 membro cos a - cos a - cos a si a cos a cos a cos (908 - a) * si (908 - a) tg a.8 membro si a + cos a - cos a cos a œ œ * œ + œ * œ œ6 + œ6 œ6 œ + œ œ œ œ + œ si a * si a tg a * cos a.8 membro, c. q. m. cos a cos (908 - a) * si (908 - a) tg a si a * cos a si a cos a cos a.8 membro, c. q. m. si a.8 membro + cos a - cos a ( + cos a) ( - cos a) + cos a + cos a - cos a.8 membro, c. q. m. si a - cos a - œ - Como é agudo, temos que si a Œ a œ. si a * cos a si a cos a si a 8 0 CEXMA Porto Editora cos a 6 0 tg a 8 6

3 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. tg a + tg a cos a + cos a cos a Como é agudo, temos que, cos a Œ a si a - cos a œ œ. 9. Área 7 * A [ABO] 7 * 7 * * AB * OM 7 * ) 6,9 cm tg (80 : 7)8 0 * tg a tg a, ± a tg, tg b, ± b tg, a tg -, ) 6,08 si a - si a Œ ou, como tg œ œ œ6, a si a cos a vem: 0. b tg -, ),998 si a * daí que, si, a œ6. si a + œ cos a œ6 œ + œ * œ6 + œ6 œ6 6. Pág. AB 8,6 cm AB : 06,8 AĈB 6, AĈB : 8, 0. Os triâgulos [AHC] e [CHB] são semelhates porque são rectâgulos e têm os âgulos agudos respectivamete iguais (CˆBH ACH ˆ e HĈB HÂC). Logo, Etão, AH CH CH HB. 0. AC + (œ) CH CH CH * CH œ CH œ cm BC + (œ) CEXMA Porto Editora ,8 tg 8, 06,8 CH * tg (8,8) CH 06,8 CH CH ),6 cm tg (8,8) A [ABC] 608 : : 68 OP 0 OP 0 cos (68) ) 8,09 cm DP 0 AB * HC cos (68) si (68) DP 0 si (68) DC DP 0 si (68) ),76 cm DC * OP A petágoo A [CDO] * * 0 si (68) * 0 cos (68) 00 si (68) cos (68) ) 7,76 cm Perímetro 7AB 70 cm ) 8,6 *,606 a : AB 0 cm OM tg a OM tg a ) 06 0,8 cm A [ABC ]. CH CB + HB Pág. 6. AC + AC œ80 AC œ cm tg (BÂC) œ BÂC ) 6,08 CBˆA BÂC ) 908-6,08 CBˆA ),998 CH - 6 CH œ08 CH 6œ cm AÔB 608 : 08 HÔB 08 : œ si (608) 6 OB * OB OB œ OB œ OB œ OC OB œ cm. A [ABC] AB * CH AB * CH A [ABC] 6œ cm BC œ cm œ ± BÂC tg ( + ) * œ * 6œ BC + BC œ76 8œ cm

4 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. 608 : y a tg (78) 60 : 0 d b AB : 6 7 d y tg (8) c + 6 MB 7 :,. 608 : 8 8 ; 8 :,8. Seja a medida do lado do triâgulo, em cetímetros œ +.., si (08) r, r si (08) r, r 7 A círculo pr p * 7 9p A círculo 9p cm : 8 AB BM : 7 7 si (,8) r 7 r si (,8) A círculo p * r p * 7 si (,8) A círculo ) 0, cm + + Como 0, vem que Œ > œ * œ A triâgulo h tg (608) 6 h 6 * œ h 6œ m ) 0,9 m b cos (08) 00 b 00 * œ b 00œ m h si (08) 00 * œ h 00 tg a tg 08 a a tg 08 a + b 00 tg œ AC a + b ) 7, m œ cm œ œ œ * œ h 00 * h tg (68) tg (68) Pág. 7 ),6 m 7. Se os pombos partem de A e B, ao mesmo tempo e à mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo a C, tem-se que AC BC. 7. As torres e, distam do lago 8 pés e pés, respectivamete. 8. AC AB + BC Pág y tg (78) tg (78) tg (8) + 6 tg (8) y tg (78) (tg 78 - tg 8) 6 tg (8) y tg (78) 6 tg (8) tg 78 - tg (8) y ) 8,9 m œ0 + a œ0 + (0 - a) a a + a 00a 800 a tg b 0 8 ± b tg 0 8 ± b ) 6,77 tg a 0 ± a tg 0 ± a ), a ),8 e b ) 6,778 AC + AC œ tg q CG AC tg q œ ± ± q ),8 CÂG ),8 cos EG cos EG EG cos Área da face lateral: A [BCE] Área total A base + * A [BCE] A() + * A() + BC * EG cos q tg œ - * cos y ) 8,878 m ) 8,68 m cos cos cos + A(), c. q. m. cos

5 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 9. A(08) 9. EF cos (08) + cos (08) œ + 8 œ tg EF tg * œ + œ (œ + 8) œ œ * œ œ + œ + 8œ. 608 : :,8, h h tg (,8), tg, CEXMA Porto Editora V pirâmide A base * altura V() * * tg V() tg 6 + cos a cos a 6 cos a œ pois a é agudo., si a si a + cos a tg a si a cos a 8 cos a + tg a 8 * 6 + œ + œ + œ 0 tg a * cos a si a œ * 6 œ * œ 6 cos a - tg a + si a 6 - œ œ - œ - œ 0. œ (cos a - tg a) œ œ - - œ..8 membro (si - cos ) si + cos - si cos - si cos.8 membro, c. q. m...8 membro si cos + cos si + cos cos œ V() si, c. q. m. cos œ œ si * tg + cos si * si cos + cos.8 membro, c. q. m. cos. Pág. 9 A ) 0,0 m jardim * si (8) h si (8) h si (8). A jardim - A lago ) 0,0 -,6.. a tg 8 a tg 8 Pág. 0 b cos 8 b cos 8.. * A lago 8 * EA 8 ), 6 m tg 88 EA 8 tg 88 BC 6 si 08 BC 6 * AE + BC 8 tg 88 + ),88 m a + b tg 8 + a cos (8) a cos (8) h si h si (8) h h tg (8) b b tg (8) a + b cos 8 + h tg 8 h tg (8) + 0 h tg 8 tg 8 - tg 8 0 tg 8 h tg 8 (tg 8 - tg 8) 0 tg 8 h tg 8 0 tg 8 tg 8 - tg 8 h ) 9,67 ) 0,7, tg (,8) ) 86, m cos 8 si 8 tg 8 ) 0,7 m e h ) 9,67 m 8 tg (,8) BC ), m b ) 8,9 m si (8) tg (8) h tg 8 h tg tg 8

6 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo. -, rad -, p rad )-,0p rad O âgulo pertece ao.8 quadrate. Pág. Para que o sector correspodete a 70 caia juto à seta terá que rodar, para além das voltas iteiras um âgulo de amplitude u com p - p 8 < q < p + p I. AC AB A [ABC] Resposta: (C) II si q AC si q cos q AB cos q Logo, -068 é a amplitude de um âgulo do.8 quadrate. I é falsa II é verdadeira Resposta: (C) p f 6 0 œ AC * AB si q * cos q si (p - a) - si a - cos - p + a - cos p + a * 608 si cos å ]-p, p[ - p p f() -œ + si() p f 6 -œ + si 6 p -œ + si p -œ + œ 0 p f - œ + si p -œ + œ 0 p é um zero de f. 9 cos q si q si a Ora, p p,, < p - p > p + p 8 8 Resposta: (C) 0. cos a - cos (-a) cos a - cos a 0. P(, y) cos p 6 cos p - 6 p -cos p 6 -œ p y si 6 si p - 6 p si p 6 P - œ, f() + cos D f R år - cos - cos D9 f [-, ] si - p 6 - cos 0p - si p 6 - cos p + p - si p 6 + cos p - * + * - Resposta: (C) AB r - + cos tg a AB r tg a p 6 < p - p 8 + e p - p 8 < p 6 < p + p 8. - f() - si p - p 6 - cos p + p Pág. CEXMA Porto Editora 6. 9p p 6p + p 77p 6 79p 6 8p + p p + p 6 p + p 6 Pág. A [ABC ] AB * AC. p rad 808 rad 80 p ) 7,8 r tg a * r r tg a radiao correspode, aproimadamete a 7,8. Esta amplitude apeas se ajusta à opção (C). Resposta: (C)

7 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. OM cos a Uma equação que traduz o problema é: AM si a A [OAB ] OM * AB A APD A trapézio 0 tg 00 si a cos a cos a * si a 9. Trata-se de determiar o valor máimo de h sedo h() 0 - cos (). Deste modo, temos que: - cos (). AB AC cos a AB cos a si a AC si a Pág. - - cos () cos () h() O valor máimo de h é.. A [ABC] si a cos a si a * cos a Resposta: (C) 0. Dado que - si e - cos, ; år, Pág. 6 si + cos <, ; år. Logo, a equação é impossível.. si si Os valores d(0) e d( p) 0 apeas se verificam, etre as hipóteses apresetadas, em d(a) + cos a. 6. BC si a 7. OB Pág. 8. OC cos a A [ABCD] OC * BC cos a si a AB tg a A A quarto de círculo + A triâgulo p * AP 0 tg + AP 0 tg OB * AB p + tg a. Em cada itervalo de amplitude p a equação admite duas soluções. Logo, em [0, 0 p] a equação admite 0 soluções. p 9 - p 9 p 9 p. PQ si a OQ cos a A [OPR] OR * PQ cos a * si a si a cos a. Se cos a < 0 e tg a > 0 etão si a < 0 (a å.8 Q) Pág. 7 si a + cos a si a - cos a si a œ - cos a Como si a < 0, si a -œ - cos a. b é uma solução da equação si. CEXMA Porto Editora A trapézio A [APD] AD * AP * * 0 tg 0 tg Etão, si b. si b -cos p + b cos p + b - p Logo, é uma solução da equação + b cos -. 6

8 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. + cos 6 å [0, p]. cos å [0, p] p p 7. a + b p p - b a cos (p - b) cos (a) - cos b cos (a) cos b -cos (a) p 8. Se q å, tem-se cos q < 0, si q > 0 e tg q < 0., p Logo: cos q - si q cos q + (-si q) < 0 si q * cos q < 0 si q * tg q < 0 si q - tg q si q + (-tg q) > 0 Período positivo míimo: p. Pág. 9 0 p 0 p p p p si ( p) si ( p) CEXMA Porto Editora. D9 f R; g(0) 0; h(0) Pág. 8. Por eemplo: a) ]- p, 0[ b) c) d) e) f) g) [0, p] h). si 0 kp, k åz tg 0 Se a fução seo é zero, a tagete também é zero.. si 0 cos - cos Se a fução seo é zero, a fução co-seo é máima ou é míima.. Nos potos ode a fução co-seo é zero, a fução tagete ão está defiida.. f() tg, g() si e h() cos. - p, p - p, 0 - p, p [0, p] - p, p 0, p p p p p p 7p 0 p p p p p 7p 0 p p p p cos () cos cos p p Em ]0, p[, tem-se: p -p + p S p, p 6 si si - 7p 6-7p 6-7p 6 Em ]0, p[, tem-se: - 7p 6 S p 6, p 6 6 Período positivo míimo: + kp -p + kp p + 7p 6 + kp p 6 p + p 6 - p + kp, k åz + kp, k åz + kp, k åz p 6 p 6 7

9 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora.... Em ]0, p[, tem-se: Em ]-p, p[, tem-se:. cos å ]-p, p[ 0 6. f() + cos ; D f R 6. tg tg p p p + p S p, 7p 6. si å ]0, p[ p p S 6 cos cos - p Em ]-p, p[ tem se - p p. S - p, p 6 si si p p p p S - p, - p 6 tg -tg p - p + kp, k åz Em ]- p, p[, tem se: - p -p + p S - p, p 6 S 06 - cos - + cos + - f() D9 f -, g() + si ; D g R - si - si - + si + - g() D9 g [-, ] 6. h() si ; D h R 8 - si p + kp p - p + kp - p - p -p + kp, k åz - p + kp p + kp, k åz - p -p tg tg - p p 7p + kp, k åz + kp, k åz - p p 6. i() - cos ; D i R k () - cos ; D k R - cos 7. 0 si D h [0, ] - cos 0 cos - - cos cos i() D i 9 [-, ] j() + tg p ; D + kp, k åz j R \ 6 tg år tg 0 + tg j() D9 j [, +?[ 0 cos - - cos cos cos - k() D9 k -, si - p - a - a å p, p - cos a - a å p, p cos a si a + cos a si a + si a Œ si a - œ7 a å. Q œ7 tg a si a - cos a - œ7 si(p + a) - tg a -si a - tg a œ7 + œ7 7œ7 Pág. 0

10 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7. tg a a å p, p + tg a cos a + 9 cos a cos a 0 a å. Q cos a - œ0 7. cos a - œ0 0 si a + cos a si a - 0 si a Œ 9 0 si a - œ0 0 p cos (8p + a) - si - a - si (-a) cos a - si p - a + si a cos a - cos a + si a cos a + si a - œ0 0 - œ0 0 cos( - p) - å.8 Q cos(p - ) - å.8 Q cos(p - ) - å.8 Q -cos - å.8 Q cos å.8 Q + tg cos a å. Q - œ0 0 + tg tg tg - œ tg (-) + si - p + cos - -tg - si p - + cos -tg - cos + cos œ - + * œ0 å. Q si - D9 f -, Em [-p, p] 9. V 0 cm ; Trata-se de resolver graficamete esta equação, o itervalo 0, p. p 6 V A base * h V p (r9) * h f() 0 8 si - f () 8 si - h cos q ± h cos q V p ( si q) * cos q V p si q cos q 0 p * si q cos q 90 p si q cos q 0 8 si - 0 si 8 si - 8 si 8 si p + kp, k åz r9 si q ± r9 si q + kp p 6 p 6 - p p 6 p 6 Zeros: - p 6, - 7p 6, p 6 e p 6 + kp, k åz - p p 6 Recorredo à calculadora gráfica foram obtidos os seguites resultados: y p si q cos q y 90 CEXMA Porto Editora f() 8 si - D f R - si si 8 œ si œ - 7 BˆVA q ; BVA ˆ ) * 0, ou BˆVA ) *, BVˆA ),09 rad ou BVˆA ),6 rad 9

11 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO p 6 Pág.. 08 é o comprimeto do arco AB. 0p cm 0. Área lateral de um coe prg 0. 0 * p * 6 60 (r raio da base; g geratriz) g 6 cm pr 0p r 0 cm A p * 0 * 6 A 0p cm V A base * h V * pr * h h h Œ si - p œ si - p si p - p p + kp - p p - p + kp, k åz p si - 0 si si() 6 6 Temos que e - si(), A år. > Deste modo, a equação é impossível. si + si 0 si ( si + ) 0 + kp p + kp, k åz p + kp p + kp, k åz si - si p + kp p + kp, k åz p + kp, k åz CEXMA Porto Editora V * p * 0 * œ90 V ) 676,9 cm si () si () si p 6 p 6 + kp p - p + kp, k åz 6 p 8 + kp si œ si œ si si p p + kp p - p + kp, k åz p si() + œ 0 si () - œ si () -si p si () si - p - p + kp p - - p + kp, k åz - p 9 + kp - si 0 si 0 + kp p kp, k åz kp, k åz h œ90 p 8 + kp, k åz + kp, k åz p 9 + kp, k åz.9 si - si si() - si 0 si() si. si 0 si - kp si si - p 6, k åz kp - p 6 si œ9 - * si si p + kp åo, k åz p + kp, k åz kp p + kp, k åz kp p + kp, k åz p si + si 0 si -si p si si - p - p > + kp p - + kp, k åz - p + kp p - - p + kp, k åz. si() + si() 0 si() -si() si() si(-) - + kp p + + kp, k åz 7 kp - p + kp, k åz kp 7 + kp p + kp 7p 6 + kp, k åz - p + kp, k åz + kp, k åz

12 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. cos cos p p + kp -p + kp, k åz k - : -p - p C.S. - p, 0, 6 p k 0: p -p.7 cos () -cos cos () cos (p - ). C.S. - p, p 6 cos () -cos p 6 cos () cos p - p 6 cos() cos p 6 p 6 + kp -p 6 + kp, k åz p - + kp -p + + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz k 0 : p -p k : p p p 8 + kp k 0 : p 8 - p 8 k : 7p 8 7p 8 k - : - 7p 8-7p 8 - p 8 + kp, k åz C.S. - 7p 8, - 7p 8, - p 8, p 8, 7p 8, 7p k - : - p -p k - : - p -p C.S. - p, - p, - p, p, p, p 6 - cos + cos 0 cos - cos 0 cos (cos - ) 0 cos 0 cos. cos + p 6 -œ cos + p 6 -cos p 6 p + kp å O, k åz cos + p 6 cos p - p 6 + p 6 p 6 + kp + p 6 -p + kp, k åz 6 p 6 + kp -p + kp, k åz cos + 6 p p cos 6 p + kp, k åz k 0 : p k - : - p C.S. - p, 6 p p + kp -p + kp, k åz k 0 : p -p. si - p cos() Pág. k : p p k - : - p -p C.S. - p, - p, p, p 6 p -si - cos() -cos cos() cos(p - ) cos() p - + kp p kp, k åz. cos + p cos + p + p kp, k åz - p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz CEXMA Porto Editora..6 k 0 : - p C.S. - p 6 - cos 0 cos cos - cos p + kp kp, k åz kp, k åz k 0 : 0 C.S. 06 cos() cos + kp - + kp, k åz kp kp, k åz kp kp, k åz k 0 : 0 0 k : p p. cos() -si cos cos p + p + + kp -p - + kp, k åz p + kp -p + kp, k åz p + kp -p 8 + kp, k åz. - cos si si - si 0 si (si - ) 0 si 0 si kp å O, k åz kp, k åz cos p + -si

13 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.. cos () - cos() - cos () - cos() + 0 cos œ9 - * * cos cos kp p + kp -p p tg() -œ tg() -tg tg() tg - p - p + kp, kåz + kp, k åz kp y p + y + kp - p kp - p + kp, k åz kp - p + kp, k åz 0 p p. cos () cos() Œ cos() -Œ - + kp, k åz em] - p, p [ CEXMA Porto Editora.. tg () tg () - tg ().. si tg si - si cos 0 si cos - si 0 cos si cos - si 0 cos p 9 + kp, k åz tg (-) - œ -tg -tg p 6 tg tg p p + kp, k åz 6 6 tg () tg - p tg () tg p - p + kp p + kp, k åz - p + kp p + kp, k åz œ tg - tg - 6 p 6 p tg - p 6 œ - p 6 p + kp, k åz 6 p 6 + kp, k åz p 6 + kp, k åz si (cos - ) 0 cos 0 0 (si 0 cos ) cos 0 0 Soluções pertecetes ao itervalo ]-p, p[: 0 tg œ tg tg - œ tg 0 tg tg - œ 0 kp p + kp, k åz kp p + kp, k åz 0 si 0 si + cos 0 si 0 cos -si tg - p 6 tg p 6 si 0 cos cos p + œ tg 0 tg tg p em ]-p, p[. si + si cos 0 si (si + cos ) 0 6. si - å [- p, p] 6. cos + œ > 0 å [0, p] 6. cos() Œ cos() -Œ p 6 + kp -p 6 p p p + kp - + kp + kp p - p - p p - p -7p -p - p p å - p 6, - p 6 cos >- œ å 0, p 6 7p 6, p si() > œ p < < p p 8 < < p 8 - p + p 6 -p 6 å p 8, p 8 7p 6 7p + kp, k åz p -7p 7p -p p 7p p å [0, p] å [0, p] å [0, p] + kp p 6 + kp + kp, k åz em ] - p, p [

14 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6. + si * ( + cos ) - cos * si ( + si ) ( + cos ) - si cos + cos + si + si cos - si cos 8. A() ( + si + cos ), c. q. m. A(0) ( + si 0 + cos 0) ( ) ; 7. cos > œ si k - å [0, p] œ cos <-œ cos > å 0, p p, p 7p, p Como - si, temos que: - k - k - - k - k - 0 k - 0 k å -,- œ œ, å 0, p Para 0, o polígoo a cor correspode ao triâgulo [ADG] cuja área é Para AD * AG p, o polígoo a cor correspode ao quadrado [ABFG] cuja área é. 8. Trata-se de resolver graficamete a equação A(),. Itroduzido a calculadora gráfica as fuções y A() e y, ; o domíio dos dois gráficos: * 0, p. p A + si p + cos p ( + + 0), obtiveram-se os potos de itersecção A área do polígoo [ABEG] é, para ) 0, ou ),. 7. si k - cos k + - k - - k + 0 k - k 0 k 0 Para k 0, tem-se si - cos. (codição impossível, pois se si -, cos 0.) A codição é impossível para todo k [ R. 8. Pág CE si CE si EB tg EB tg AE - EB - tg AF AE e FC CE Perímetro AE + CE f () - tg + * si f() - tg + si, p f - tg p + si p c. q. m. - œ + œ CEXMA Porto Editora BC EC cos BC cos si EC si A() A [ABEG] A trapézio[aceg] - A triâgulo[bce] AG + CE * AC - BC * EC - + œ œ Iterpretação: Quado p o perímetro do quadrilátero [CEAF] é igual a, 6 + œ. + œ + œ 6 + œ

15 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO BC tg BC tg AC cos AC cos Perímetro AB + BC + AC f() + tg + f () cos f() + si (cos ) cos + cos + si + cos, cos c. q. m. cos p + a - a å 0, p -si a - a å 0, p si a a å 0, p Pág.. f() si - si cos Pág.. A [ABC] AE BE AC * BI AD - BE - cos a tg + ( + tg ) si a AE si a cos a BE cos a tg + * ( + tg ) + tg +, c. q. m. tg tg tg cos a + si a cos a + cos a - 9 cos a Œ 6 cos a a å. Q Área do trapézio BC + AD * AE + ( - cos a) * si a - cos a * si a ( - cos a) si a si a - si a cos a f (a), c. q. m si a + cos a f (a) cos a g() si + si cos g() 0 si + si cos 0 si ( + cos ) 0 si 0 + cos 0... p f si p - si p cos p Para a p o trapézio é um quadrado de lado e cuja área é,, portato,. f () - si cos AH si AH si si 0 cos - 0 p p å [0, p] HB cos HB cos A - * Área do [AHB].. HC HB A [ABC] AD cos HC cos si HB si AC * HB ( + cos ) si si + si cos g(), c. q. m. tg AD tg AC AD + DG + GC ( + HC) * si... - * - * AH * HB si * cos p f - si p cos p - * œ * œ 0 Para p obtém-se a figura. A superfície sombreada reduz-se a um poto. A sua área é zero. d() si, åa[0, p] d() AB para p - si cos f(), c. q. m. CEXMA Porto Editora BH AD + + AD AD + tg + tg BH tg BI + BH + tg d(p) si p * Sedo AB, a semicircuferêcia tem raio.

16 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. O âgulo BCA está iscrito uma semicircuferêcia. Logo, BCA é um âgulo recto e, portato, o triâgulo [ABC] é rectâgulo em C.. BC + AC BA BC + si BC - si BC - si BC * cos å 0, p ± BC cos, c. q. m. A ABC 6. Para a eb -, tem-se f () - si. Pág. 6 Etão, f (u) - si u. tem-se BC * CA Como + tg q cos q e tg q, + - si q si q - si q Logo, f(q) - si q - *. p 6. Como 0 é um maimizate e é um miimizate de f, temos: a + b * si 0 p a a + b * si - a + b - f (0) p f - Logo, a e b -. cos * si si cos, c. q. v. cos q cos q cos q a + b - a b - å 0, p ± cos > 0 7. O triâgulo [APM] é rectâgulo em M e AM. 7. Quado a amplitude de é zero a caalização tem a forma da figura abaio. Neste caso, o comprimeto da caalização é de km, pois 8. a cos a cos Pág. 7 b si b si 9. g(0) si 0 cos 0 FM + AB + 8. Área do círculo: A círculo p * p Área do rectâgulo: Área do relvado: d r T 678 km 00 cos si ,07 cos A rectâgulo AB * BC a * b 0 cos * 0 si A A círculo - A rectâgulo p - 00 cos si, c. q. m. 9. O apogeu correspode a uma amplitude de igual a 808. CEXMA Porto Editora Assim: PA cos PA * cos PA cos PM tg PM tg FP + PM FP + tg FP - tg Como PA PB, o comprimeto da caalização é dado por: FP + * PA ( - tg ) + * cos - si cos + 8 cos si g(), c. q. m. cos 9. d(808) A altitude a do satélite o apogeu é dada por a d(80) - raio da Terra km d() ,07 cos 800 Como 808 < < cos - (0,66) ) 809 km + 0,07 cos ,07 cos ,07 cos - 9 cos )-0, d(0) 7 + si 0 7 Pág. 8 Ecotra-se a 7 metros do solo.

17 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 0. Cotradomíio 0 t 7 0 pt 0 p ±- si pt 0 Miimizates Maimizates - si pt si pt 0 d(t) 7 + si pt 0 si pt 0 - pt 0 p + kp, k åz t + 60k, k åz t pt 0 p + kp, k åz t + 60k, k åz t t 7 t å 0, 7 d(t) 7 + si pt 0 si pt 0 t å 0, 7. f(), +,6 si. I. Jaeiro: dias Fevereiro: 9 dias Março: dias Total de dias: 8 O dia de Março foi o 8.8 dia do ao. Tem-se, assim, 8. f(8), +,6 * si p( - 8), å {,,,...,66} Pág. 9 8 p(8-8) 8 ),6,6 h h 0,6 * 60 mi ) h 0 mi No dia de Março o Sol asceu às 6 h 0 mi e o tempo que decorreu etre o ascer e o pôr-do-sol foi de h 0 mi. Como 6 h 0 mi + h 0 mi 8 h 0 mi, o dia de Março o pôr-do-sol ocorreu às 8 h 0 mi.. Trata-se de resolver graficamete a iequação f() >,7, com å {,,,..., 66}. Recorredo à calculadora gráfica determiaram-se as abcissas dos potos de itersecção do gráfico de f com a recta de equação y,7. Foi obtido o gráfico seguite: d(t) si 0 pt 7 si 0 pt 0 pt kp, k åz 0 t 0k, k åz t 0 t 0 t 60 t å 0, 7 Podemos cocluir que: f() >,7, < < 9,6 å {,,...,90, 9} Como , o tempo que decorreu etre o ascer e o pôr-do-sol foi superior a,7 horas durate 8 dias. CEXMA Porto Editora 0. 6 No istate t s o Mauel ecotrava-se o poto mais elevado da roda. Como o Mauel voltou a esta posição o istate t 7 s, podemos cocluir que levou 60 segudos (7-60) a dar uma volta completa. d(t) 9, t å 0, si 0 pt 9, t å 0, 7 pt si 0 t å 0, 7 pt 0 p 6 + kp pt 0 p t + 60k t + 60k, k åz t å 0, 7 t t t 6 k åz t å 0, kp, A cadeira úmero ecotra-se a uma distâcia de 9, metros do solo os istates t s, t s e t 6 s. Assim, o Mauel demora segudos a ecotrar-se pela primeira vez a 9, metros do solo. 0. Já se verificou que a distâcia máima ao solo atigida pela cadeira é de metros e a distâcia míima é de metros. Podemos etão cocluir que o diâmetro da roda é de - 0 metros e, cosequetemete, o raio tem metros de comprimeto.. V() 80 ( - si ), å 0, p Pág. 0. A capacidade total do depósito é dada por V( p). V(p) 80 (p - si (p)) 60 p ) 0 A capacidade total do depósito é de 0 m, aproimadamete.. Trata-se de resolver a equação V() 00. Recorredo à calculadora gráfica determiou-se a itersecção do gráfico da fução V com a recta de equação y 00. Foi obtido o seguite gráfico: Podemos etão cocluir que para que eistam 00 m de combustível o depósito, a amplitude do arco ABC terá de ser de, radiaos, aproimadamete.

18 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. Para determiar o volume de combustível o mometo em que a sua altura é da altura máima é ecessário calcular o valor da amplitude de correspodete a essa altura. Atededo à figura ao lado tem-se: Etão a p e, cosequetemete, No mometo em que a altura do combustível eistete o depósito é da altura máima, o seu volume é de aproimadamete 98 m.. O gráfico correcto é o (B). Pág. O gráfico (C) ão se ajusta à situação descrita uma vez que a altura do combustível o depósito é crescete. Atededo à forma do depósito podemos cocluir que a taa de variação da altura ão é costate. Logo, o gráfico (D) também ão traduz a situação apresetada. O gráfico (A) também ão é adequado pois, atededo ovamete à forma do depósito, a taa de variação da altura do combustível o depósito é maior a parte iicial e a parte fial do echimeto, ao cotrário do que aí se apreseta.. Observado a figura verifica-se que tg a œ8... a) cos a a p p V 80 * p p - si ) 98 si p + a Pretedemos, portato, calcular o valor de cos a sabedo que tg a œ8. Assim temos que: + tg a + (œ8) Como a é um âgulo do.8 quadrate, tem-se cos a - b) r r cos a T(t) si cos a + 8 cos a cos a 9 e cos a -. T(0) si -8p + cos (p - a ) cos a + cos (p - a ) 8-8 * œ p(t - 8) A temperatura do ar às zero horas foi de C. T(0) si p * si p * 8-8 si p 8 - œ ) cos a - cos a cos a A temperatura do ar às 0 horas foi de C. Pág..... T(t) si si Como t å 0,, vem t 6 t. A temperatura foi de C às 6 horas e às horas desse dia. - 8p Portato, p (t - 8) p(t - 8) si Desta forma, temos que D9 T 0, 6. si t k, k åz t + k, k åz Como t å 0,, vem que t. A temperatura máima foi de 6 C e ocorreu às horas. T(t) si si t k, k åz t 6 + k, k åz Como t å 0,, t 6 -. A temperatura míima foi de 0 C e ocorreu às horas. T(t) si si - T(t) si p(t - 8) p(t - 8) p(t - 8) 6p p (t - 8) p(t - 8) p(t - 8) p(t - 8) p + kp, k åz p(t - 8) p p (t - 8) p (t - 8) - si, pelo que - - p + kp, k åz p(t - 8) 0 si p (t - 8) p (t - 8) - p p (t - 8) + kp p + p + kp, k åz 6 6 t k t k, k åz 6 t k t k, k åz t 6 + k t + k, k åz 0 t < -8 t - 8 < 6-8p p(t - 8) 6p t - 8 k, k åz t 8 + k, k åz Como t å 0,, vem t 8 t T t 6 p(t - 8) si - p 6 p(t - 8) kp, k åz A temperatura foi de 8 C às 8 horas e às 0 horas. p 7

19 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.6. Para q 908, P (908) œ cos 8 œ œ 8. P 8. Trata-se de um quadrado de lado. CEXMA Porto Editora.7. 8 A temperatura foi superior a 8 C etre as 8 horas e as 0 horas. p(t - 0) I(t) 0 + si a) - si p(t - 0) si 7 I(t) I(t) 0 + si p(t - 0) p(t - 0) si p + kp, k åz t k, k åz t 6 + k, k åz Como t å 0,, vem t 6. A temperatura o iterior foi máima às 6 horas. Atededo a que o eterior foi máima às horas temos um desfasameto térmico de horas. b) Recorredo à calculadora gráfica determiou-se a itersecção dos gráficos de T e I. Foram obtidos os seguites resultados: 7,7-8,9 9, 9, h ) 9 h mi p(t - 0) p(t - 0) 0 + A temperatura eterior foi superior à temperatura o iterior durate 9 h mi. œ AB cos q œ AB * cos q AB P(q) * œ cos q P(q) œ cos q œ cos q, c. q. m. Pág.. a) P(q) 8œ œ cos q 8œ b) Como 0 < q < 808, tem-se q, logo, q P(q) 8œ6 œ cos q œ cos q 8 œ6 Œ 8 * 6 cos q * œ cos q * œ cos q œ Como 0 < q, dode q 60. < 90, q 0 q œ. a) Sabedo que tg pretede-se calcular, cos q Tem-se + + tg q cos q Como 0 < q, tem-se cos q < 90 > 0 Portato, q cos Logo, P(q) œ * cos q œ * 0œ. b) Atededo à figura, tem-se: OB œ tg q OB œ tg q Área do losago cos q œ cos q 8œ cos q cos q cos q A(q) * 8œ6 9 AC * OB A(q) œ * œ tg q A(q) tg q Logo, se tg q, A(q) * 6.

20 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. AÔB 60 (o triâgulo AOB é equilátero) Pág... h + 6 h 6-9. h œ7 h œ9 * h œ h œ m ),0 m A BCP CB * GP A(a) 6 cos a cos a 9 * 6 cos a A(a) 0 6 cos a 0 cos a 0 6. Raio da roda + altura do triâgulo ( + œ) m ) 9,0 m. 60 : * 0 O Pedro avaçou um arco de amplitude 0, relativamete à posição iicial, ocupado a posição P' :.6.7 a cos 9 ) 6, a a 8 60 * p * 6 * p a < < cos a p 6 p 6 m ),76 m 0 < 6 cos a 6.6 miutos 0 segudos 0 s 60 0 s 86 * * O Pedro avaçou um arco de circuferêcia de amplitude 7 * 0 +, relativamete à posição P. Logo, o Pedro está um pouco ates de [OA].. a) a 0 Pág. A BCP b) a CP 6 GP GP si 8 CP 6 œ GP œ A BCP 6 * PC * CB CB * GP * œ 6 m 8œ A BCP 8œ m ),6 m.8 A(a) 6 cos a cos a 6 a cos - 6 ; a ) 6,0 08 a < 908 (6, 0 ; ), Para a ) 6 obtém-se um triâgulo de área igual a m.. O gráfico faz lembrar o perfil da motaha. Pág. 6. Recorredo à calculadora gráfica foram obtidos os valores máimo e míimo de f : CEXMA Porto Editora. GPˆC a (são iguais dado que são âgulos agudos de lados paralelos). GP CP cos a GP CP * cos a GP 6 cos a a) P(9,;,6) b),66-8,6 ),7 A difereça etre as altitudes dos potos mais alto e mais baio do perfil da motaha é,7 hm. 9

21 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Calcularam-se as coordeadas dos potos de itersecção do gráfico de f com a recta de equação y. Obtiveram-se os seguites valores: O Nuo pode ocupar qualquer poto P(, y) da liha do perfil da motaha, tal que 0,, 7, ou,88,, 9,7, pois só assim poderá observar uma asa-delta a voar por cima de si a uma altura costate de hm. 6. a(t) p Pág. 7 - p cos (œ9,8t) a(0) p - p 6 cos (0) p - p 6 p No mometo iicial, a distâcia do cetro da esfera à recta OS é dada por PC sedo C o poto da recta OS tal que o triâgulo [OPC] é rectâgulo em C com CÔP a(0) p. PC OP si p PC œ PC œ a(t) p p - p 6 cos (œ9,8t) p p cos (œ9,8t) A difereça etre os comprimetos dos poteiros é igual Pág. 8 à difereça etre as distâcias das etremidades dos poteiros à barra quado forem eactamete zero horas. Logo, o valor pedido é igual a m(0) - h(0). m(0) cos p 800 * * 7 0,7 h(0) + 0 cos p 600 * * 0, m(0) - h(0),7 -, 0, Como 0, m 0 cm, o poteiro dos miutos tem mais 0 cm do que o poteiro das horas. m(0) - h(0) 0, m 0 cm 7. Pretede-se mostrar que: m(t + 600) m(t) m(t + 600) cos p 800 (t + 600) cos p 800 t + 600p cos p 800 t + p cos p 800 t m(t) Iterpretação: hora 60 * 60 segudos 600 segudos. De hora a hora repete-se a distâcia da etremidade do poteiro dos miutos à barra. 7. A recta AB é paralela à barra os istates em que a distâcia da etremidade do poteiro dos miutos à barra é igual à distâcia da etremidade do poteiro das horas à barra. Trata-se portato de determiar as soluções da equação m(t) h(t) com t å 0, 600. Recorredo à calculadora gráfica obtiveram-se os potos de itersecção dos gráficos de h e m. Foram obtidos os seguites valores: cos (œ9,8t) 0 œ9,8t p + kp, k åz p + kp t œ9,8, k åz O istate em que o cetro da esfera passa pela primeira vez a recta r correspode à solução da equação aterior que se obtém para k 0. p + 0 * p p t œ9,8 * ) 0, œ9,8 Etão, t ) 0, s. Podemos etão cofirmar que, a primeira hora do dia, eistiram dois istates em que h(t) m(t), ou seja, em que a recta AB é paralela à barra. O istate pedido ocorre para t 00 s, ou seja, às 0 h mi 0 s. CEXMA Porto Editora 0

22 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO. Pág u. v i u i * i v i * cos u W v * * cos (808) 6 * (-) -6 u. v i u i * i v i * cos u W v * * cos(08) 6 cos(808-08) -6 cos 08-6 * œ -œ Resposta: (C) 60 : 6 60 * 60 0 DˆFB 08 : 608 O heágoo regular pode ser decomposto em seis triâgulos equiláteros cuja altura é igual à medida do apótema, ou seja œ. i FB i i FD i œ FB. FD i FB i * i FD i * cos FB W FD œ * œ * cos 60 * * 6 a. b i a i * i b i * cos(a W b ) -0 * i b i * cos p - -i b i * cos p PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO -0 * i b i * cos p - p - -i b i * i b i Capítulo u. v - i v i 0 - * -8 i BC i * i BD i * cos BC BC. BD W BD 6 * 6 * cos 60 i p i i q i p. i p i * i q i * cos(p W q q -9 ) -9 * * cos(p, q ) -9 cos( p, q ) - (p W q ) 808 Os vectors p e q têm a mesma orma, a mesma direcção e setidos cotrários. Logo, são simétricos. Etão p + q UQ ' TX UQ. TX 0.. v. u - v v. u - v. v 6 * 8 AB. BA AB. -AB -AB. AB -i AB i - - cos(câb) AC AB Pág. 6 Resposta: (C) cos(câb) CEXMA Porto Editora. 6. i u i k ; i v i k, k år + u. (u - v ) + v. (u + v ). (u - v ) (u - v ) u. u - u. v + v. u - v. v u. i u i - i v u - v. v i Resposta: (C) A(, -); B(, ); C(k, ) AB B - A ( -, + ) (, ) BC C - B (k -, - ) (k -, ) AB ' BC AB. BC 0 7. u ' v u. v 0 Pág. 6 i v i k - (k) k - k -k (, ). (k -, ) 0 k k k.. cos AD W AE cos(câb) AD. AE i AD i * i AE i * cos AD W AE * * u. v œ ; i u i ; i v i cos (u W v u. v ) i u i * i v i cos (u W v ) œ * cos (u W v ) œ i a a i i ' b b i a. b 0 (a + b ). (a - b ) i a i + a. b - i b i * * - (u W v ) p rad a. a - a. b + b. a - b. b

23 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. a (, ); b (, k). u. v i u i * i v i * (-) Pág. 67 a. b (, ). (, k) 6 + k a ' b a. b 0 Resposta: (C) 6. AC. CD (AD + DC ). CD -i CD i AB. AC k 0 k - AD. CD + DC. CD 0 - CD. CD i AB i * 8 i AB i 6 i AB i Resposta: (C) i AB i * i AB i * cos Perímetro i AB i * AC AD + DC AD ' CD i AB i * i AC i * cos AB W AC 8 i AB i i AC i u. v -i u i * i v i u. v < 0 u. v i u i * i v i * cos(u W v ) i u i * i v i i u i * i v i * cos(u W v ) cos u W v Logo, u W v 0. Deste modo, u e v têm a mesma direcção e o mesmo setido. u. v i u i * i v i * cos(u W v ) u. v * * cos(u W v ) u. v cos(u W v ) - cos(u W v ) - cos(u W v ) - u. v cos(u W v ) (u W v ) cos u. v i u i * i v i œ * œ - œ ),78 CEXMA Porto Editora. u (0, ) Pág. 66. v (0, -). a (-, œ). z (-, -). w AB, A (, -), B (, ).6 c u - v (, 0) - (0, -). a ' b a. b 0. i c i 6. e. f * * cos p * (-) -... u. -i u v u. (-u) -u. u i - * - i u i œ0 + i v i œ0 + (-) i a i œ(-) + (œ) œ9 + œ i z i œ(-) + (-) œ + 9 œ AB B - A (, 6) i w i œ + 6 œ0 œ * 0 œ0 (, 0) + (0, 6) (, 6) i c i œ + 6 œ7 i d i œ + œ * œ c W d p ; cos(c W d ) œ c. d 6 * œ * œ u. p œ v * 6 * cos 8 * 6 9œ u. p œ v * œ * cos œ * œ6 9. i u i ; i v i ; u. v Pág u. v + v. w + w. u AC. CB + CB. AB + AB. AC -CA. CB + (-BC ). (-BA ) + AB. AC - CA. CB + BC. BA + AB. AC -0 * 0 * cos * 0 cos * 0 * cos * 0 v. (u + v ) v. u + v. v + i v i + u. (-v + u ) -u. v + 6u. u - * + 6i u i * 8 (u + v ). (u - v ) u. u - u. v + v. u - v. v * + - (u - v ). (u + v ) u. u + u. v - v. u - v. v * u. (u + v ) - v. (u - v ) u. u + u. v - v. u + v. v i u i + i v i + 9 i u + v i - i u - v i (u + v ). (u + v ) - (u - v ). (u - v ) u. u + 6u. v + 6v. u + 9v. v - - u. u + 6u. v + 6v. u - 9v. v u. v * 7 i u i + u. v - i v i i u i - i v i 0. i v i ; (u + v ). (u - v )

24 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 0. (u + v ). (u - v ) C(, y) com + y r, pois C é um poto da circuferêcia. 0. u. v i u i * i v i * cos(u W v ). (u + v ) 0 i u i + i v i 0 i u i - i v i 0 i u i + i v i 0 i u i 0 + i v i 0 + i v i + i v i 0. A(-, ); B(, -); C(, 0). AB B - A (, -). u. u - u. v + v. u - v. v i u i - i v i i u i - i u i 6 i u i 6 6 * * cos p 0 * (u + v ). (u - v ) 0 u. u - u. v + v. u - v. v 0 i u i - i v i 0 (u + v ). (u + v ) 0 u. u + u. v + v. u + v. v 0 i u i + u. v + i v i 0 i u i - * 0 + i v i 0 ± i v i 0 i v i 0 i v i œ0 AC C - A (6, -) AB. AC cos(ab W AC ) AB. AC AB W AC cos -œ0 8 ) 7,98. ABC W BA W BC BA -AB (-, ) BC C - B (, ) i AB i * i AC 8 i œ + 9 * œ6 + 8 œ * œ0 8 œ0 BA. BC cos(ba W BC ) BA. BC i BA i * i BC - i œ + 9 * œ6 + BA W BC cos -œ - ) 08 u. v -0 - œ. Cosideremos um refe- Pág. 69 recial o.. Oy sedo O o cetro da circuferêcia tal que O cotém o diâmetro [AB] da mesma circuferêcia. Seja r o raio da circuferêcia. Tem-se que: A(- r, 0) e B(r, 0)... Logo, AC AB + BC, c. q. d. Logo, AB. AC a, c. q. m. o âgulo ACB é recto. AC AB + BC, logo, AB AB ' BC. BC 0 6. Pág CA A - C (- - r, -y) CB B - C (- + r, -y) CA. CB (- -r)(- + r) + (-y)(-y) - r + y ( + y ) - r r - r 0 CA. CB 0 CA ' CB ± AC AC i AC i. AC (AB + BC ). (AB + BC ) AB. AB + AB. BC + BC. AB + BC. BC i AB i i BC i AB + BC AB. AC AB. (AB + BC ) AB. AB + AB. BC i AB i + 0 a UV. VA (UH + HV ). VA UH. VA + HV. VA 0 + HV. VA HV. VA, c. q. m. UV. SA SA. SA \\SA SA VA. SU VA. (-US ) -VA. VA (VA US ) -\\VA -VA, c. q. p. 7. A(-,, 0); B(-,, ); C(-, 0, 7) AB B - A (0, -, ) ; BA (0,, -) AC C - A (-, -, 7) BC C - B (-, -, ) (SA UV ) i AB i œ œ0 i AC i œ œ6 i BC i œ œ -VA. US O triâgulo [ABC] é escaleo. + y r

25 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora œ0 * œ œ0 A ˆBC - cos œ0 - O triâgulo [ABC] é obtusâgulo. MN e AB são colieares, sedo AB MN. a - 7 (, -, 6) ou a (, -, 6) 7 a - 6 7, Como a 7, ou a 6 7, - 7, 7 7 tem a terceira coordeada egativa, 0. a (,, 0); b (0, œ, ) 0. a. b * 0 + œ + 0 * œ 0. cos(a W a. b b ) i a i * i b i œ œ œ9 + * œ + œ * œ6 0. cos(câb) cos(ac W AB ) AC. AB CÂB cos cos(a ˆBC) cos( BA W BC ) BA. BC A(,, 0); B(, -, ); C(-, -, 0) - M, -, 0 ; M(-, -, 0) - N, - - AB B - A (, -, ) MN N - M, -, b (, -, 6) - a k b e i a i a k (, -, 6) a (k, -k, 6k) œ6 * œ0 œ60 œ60 ),8 i a i œ(k) + (-k) + (6k) œ9k + k + 6k œ9k 7œk 7 \k \ i a i 7 \k \ \k \ 7 k - 7 k 7 a - 6 7, 7, (a W b ) cos - œ œ78 ) 608, + 0 ; N 0, -, i a - b i \\ (,, 0) - (0, œ, ) \\ \\ (, -œ, -) \\ œ + ( - œ) + (-) œ œ œ. A(, ); B(, -) Pág. 7 M +, - ; M 9, - i AC i * i AB i i BA i * i BC i P(, y) é um poto geérico da mediatriz de [AB]. œ œ78 MP - 9, y + AB (, -) MP. AB 0. A(-, -); B(-, ) P(, y) é um poto geérico da mediatriz de [AB]. y A(, ); B(0, ) P(, y) é um poto geérico da circuferêcia de diâmetro [AB]. AP. BP 0 ( -, y - ). (, y - ) 0 ( - ) + (y - ) (y - ) y - y - y y - - 9y A(-, ); B(, -) P(, y) é um poto geérico da circuferêcia de diâmetro [AB]. AP. BP 0 ( +, y - ). ( -, y + ) 0 ( + ) ( - ) + (y - ) (y + ) y + y - y y + + y - 0. ( - ) + (y - ) 0. T(-, ) (- - ) + ( - ) Cetro da circuferêcia: C(, ) T(-, ) y y - 0 y - 7 y M, MP +, y - AB (-, 7) MP. AB 0 CT (-, ) P(, y) é um poto geérico da recta tagete à circuferêcia o poto T. TP ( +, y - ) TP. CT 0 ( +, y - ). (-, ) y y + y ; M -, y y y +

26 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. AB. AC AB. (AB + BC ) AB. AB + AB. BC i ABi + 0 AB, c. q. m.. Tem-se P(r, s) Q (, 0); Q é um poto de O OP (r, s) PQ ( - r, -s) Como a recta t é tagete à circuferêcia o poto P tem-se que, pelo que OP OP ' PQ. PQ 0 (r, s). ( - r, -s) 0 Como P(r, s) pertece à circuferêcia de cetro a origem e raio, tem-se r + s. Logo, r, c. q. p. r. R(, 0), U(, ) Pág. 7 Como [RS] está cotido o eio O, V tem a abcissa igual à de R e a ordeada igual à de U. Logo, V(, ). M +, 0 + ; M, Recta UM m y - ( - ) y - + y r - r - s 0 r r + s - - (U pertece a UM)... MU, ; i MU i Œ + Œ œ MN, - ; i MN i Œ 6 + œ A MNU NÛM cos- œ * œ 6 UN N - U, 0 - (, ) -, - UM M - U, - (, ) -, - UN. UM + i UN i Œ Œ 6 i UM i Œ + Œ œ cos (NÛM) cos ( UN W UN. UM UM ) + - œ * œ œ ) 6,68 T, - ; C: + y 6 proposição verdadeira, logo o poto T + 9, pertece à circuferêcia..6 P (, y) é um poto geérico da recta t. OT. TP 0, -. -, y y y - i UN i * i UM i CEXMA Porto Editora. Logo, a recta UM, passa a origem, ou seja, passa o cetro da circuferêcia. MU U - M, Como N é um poto de O, N tem coordeadas (, 0) MN N - M -, - MU ' MN MU. MN 0 ( - ) + * Deste modo, temos que N c. q. m., 0, N, 0 ; 0 * - 0 0; N å t U(, ); * - ; U å t Como e, t é a recta NU..7 a) VP U å t N å t. SP 0 defie a circuferêcia de diâmetro [VS]; P(, y) é um poto geérico dessa circuferêcia. V(, ), S(, 0) y - VP. SP 0 ( -, y - ). ( -, y) 0 ( - ) ( - ) + (y - ) y y - y 0 + y - - y + 0

27 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO b) VR. MP 0 defie a mediatriz do segmeto de recta [VR]. P(, y) é um poto geérico dessa mediatriz. V(, ); R(, 0); M, VR. MP 0 (0, -). -, y ( - ) - y - 0 y c) OR. RP 0 defie a recta tagete à circuferêcia C o poto R. R(, 0); P(, y) é um poto dessa recta tagete. OR. RP 0 (, 0). ( -, y) A Outro processo: O triâgulo [BOD] é isósceles (OB OD) BÔD a DˆBO O ˆDB Se Logo, DˆBC * 8 08 BĈD BˆDC ED cos a EO si a CD * EB 80 - (90 + a ) - a a 608, OˆBD ED * (OB * EO). a) Se [OAD] é equilátero tem-se a 60. Pág. 7 b) c) Como D é um poto do círculo trigoométrico, as suas coordeadas são (cos a, si a). Dado que e si 608 tem-se D œ., œ cos 60, B(0, -), C -, œ DB B - D - œ, - - DC C - D (-, 0) DB. DC + 0 DB Œ - + i DC i œ + 0 cos(db W DC ) DB. DC C ˆDB cos - BĈD C ˆDB 78 DˆBC * œ - - ŒŒ + i DB i * i DC i ŒŒ + * ŒŒ + ŒŒ + 78 A cos a ( + si a), c. q. m.. Sedo o triâgulo [DEO] isósceles tem-se ED EO e, cosequetemete a 8. A cos 8 ( + si 8) œ + œ œ +. a) DN si a NA - ON - cos a DA DN + NA d si a + ( - cos a) d si a + + cos a - cos a d (si a + cos a) + - cos a d + - cosa d - cos a, + c. q. m. b) + tg a cos a ; tg a Como 08 a < 908, cos a d - cos a d - * d d Œ œ0 cos a 6 cos a cos a 6 CEXMA Porto Editora 6

28 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Capítulo CEXMA Porto Editora.... r : y - + y - + Uma recta perpedicular a r tem declive. a : - - y + z - 0 ; a (-, -, ) a é um vector ormal a a. b : - y + z + y - z - 0 ; b (,, -) b é um vector ormal a b. a - b Como a e b são colieares, a b. - z y - y - - z t (-, 0, ) é um vector director de t. Resposta: (C) - z Poto geérico de s : P y (-, y, ) Um vector director de s é da forma s (0, a, 0), com a 0 0. a Sedo y 0 e a -, vem P(-, 0, ) e s (0, -, 0). Pág. 90. Pág. 9 y - z y + z - z - y - z - ( + z) y + z - z - - z y - z + -z yz y - z + - z Logo, a recta r passa o poto A(-,, 0) e tem a direcção do vector r (,, ). Deste modo, tem-se que: Resposta: (C) 6. Observado a figura tem-se P(0,, ) e Q(,, 0). PQ Q - P (,, 0) - (0,, ) (, 0, -) Logo, uma equação vectorial da recta PQ é: 7. P(0, 0, ); Q(0,, 0) r : (, y, z) (-,, 0) + k (-,, ), k år. PQ Q - P (0,, -) - - z y y - z (, y, z) (,, 0) + k (, 0, ), k år. Poto médio de [PQ] : M(0,, ) Seja a o plao mediador de [PQ]. Etão PQ ' a e M å a, logo: a : 0 + y - z + d 0 M å a : * - * + d 0 d 0 a : y - z 0 y z O úico poto que satisfaz a codição y z é o poto A(, 0, 0). 8. Oz: y 0 Pág. 9 + y 0 Logo, (, 0, 6) são as coordeadas do poto de itersecção da recta r com o plao Oz. Outro processo: r : + A(-,, 0) å r e r (, -, ) é um vector director de r. Uma equação vectorial de r é: Seja R um poto geérico de r: Substituido a equação do plao Oz cuja equação é y 0, vem que: Substituido k por em R tem-se: (- + *, -, * ) (, 0, 6) que são as coordeadas do poto pedido. 9. Seja a a medida da aresta do cubo. As coordeadas do poto D são (a, 0, a). Como D pertece ao plao defiido pela equação + y 0 tem-se a a U(,, ) r : (, y, z) (, 0, ) + k (0, 0, ), k år (, 0, ) são as coordeadas do poto T r é a recta que passa em T e tem a direcção do vector r (0, 0, ), ou seja, do eio Oz. A recta r é, assim, a recta PT. Como P é um poto do plao OUV, P é a itersecção da recta PT com aquele plao.. A recta r é defiida por Pág. 9 Logo, (,, 0) é um poto de r, é um vector director dessa recta e r r (0, 0, ) (0, 0, ) é um vector coliear com r. Deste modo, uma equação vectorial de r é: y - - z y - - z yz + z y 0 y 0 z 6 r : (, y, z) (-,, 0) + k (, -, ), k å R R(- + k, - k, k) - k 0 k y z 6 y 0 (, y, z) (,, 0) + k (0, 0, ), k år. 7

29 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora. a : - y + z ; b : + y - 7z 7. A(,, 0); A a pois - + * 0 0 B(, 0, 0); B b pois * C (0, 0, -); C a pois * (-) 0 D(,, 0); D å a pois - + * 0 e D å b dado que * 0 7 se e só se. A codição 0 defie a recta de itersecção dos plaos de equações 0 (plao yoz) e z. z Resposta: (C). defie uma recta com a direcção do vector u z (0, a, 0), com a 0 0, ou seja, paralela ao eio Oy.. A codição y defie uma recta com a direcção Pág. 9 do vector u (0, 0, a), com a 0 0, portato paralela ao eio Oz. 6. r : - y - z - ; r (,, ) s : (, y, z) (,, ) + k (, 0, ), k å R; s (, 0, ) r e s ão são colieares ( 0 0). Logo, r e s ão são paralelas. r. s Logo, r e s ão são perpediculares. r e s são cocorretes porque o poto de coordeadas (,, ) pertece às duas rectas. 7. AB (-, m, ) r : 8. r : Um poto pertece à recta de itersecção de a com b é um poto que pertece a a e a b. r (,, -) Se AB e r são rectas paralelas etão colieares, ou seja, o AB kr AB e r, k år. (-, m, ) k (,, -) - k m k -k Logo, m -. são vectores Se r e s são rectas coicidetes, todo o poto de r é poto de s. Em particular o poto A(,, 0) que pertece a r terá que pertecer a s: y - - Resposta: (C) y - z - z ; s : k y z k 9. a : - y + z + Pág. 9 0; a (, -, ) ' a b : + y + z + 0; b (,, ) ' b 0 -. y - k - m - z - k k a e b ão são colieares Logo, a e b ão são paralelos.. a b * - * + * 0 0. Logo, a e b ão são perpediculares. Os plaos a e b são cocorretes ão perpediculares. Resposta: (C) 0. a : + y ; u (,, 0) ' a. a : + y 0; u (,, 0) ' a a a b : - + y - z ; v (-,, -) ' b b : + y + z ; v (,, ) ' b v. v ± b ão é perpedicular a b c : - y 0; w (, -, 0) ' c c : z 0; w (0, 0, ) ' c w. w 0 ± c ' c Resposta: (C) a : + y - z - 0 Se b é paralelo a a etão b : + y - z + d 0. Como (0,, ) å b, vem que: 0 + * - + d 0 d 0 b : + y - z y + z 0 Resposta: (C). r : (, y, z) (0,, ) + k (, 0, -), k år r (, 0, -) é um vector director de r Oy : z 0; k é ormal a Oy Oz : y 0; j (0, 0, ); k é ormal a Oz yoz : 0; i (0,, 0); j (, 0, 0); i é ormal a yoz r. j (, 0, -). (0,, 0) 0 r. j 0 ± r Oz. Se a e b são estritamete paralelos, Pág. 96 dada uma recta cotida em a, eistem em b uma ifiidade de rectas que lhe são paralelas.. a : + y + z ; a (,, ) é um vector ormal a a r : y z; r (,, ) é um vector director de r é coliear com a r ± r a Logo, a recta r é perpedicular a a.. a : - z ; a (, 0, -) é ormal a a r : y tem a direcção da recta r z ; r (,, ) P(0,, ) Substituido as coordeadas de P a equação de a (0-0 ) verifica-se que P a. Substituido as coordeadas de P as equações de r 0 0 verifica-se que P r.. a r (, 0, -). (,, ) a r 0, a ' r Como pelo que a recta r é paralela a a. Resposta: (C) 8

30 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 6. r : y - z Pág. 97. P(, 0, 0) r (,, 0) é um vector director de r k (0, 0, ) é um vector director do eio Oz r. k 0 ± r é perpedicular ao eio Oz ± r é paralela ao plao Oy 7. a : + y ; a (,, 0) é ormal a a Oy : z 0; k (0, 0, ) é ormal a Oy. a k 0 ± a ' k ± a ' Oy 8. a : + y + z 0; a (,, ) é um vector ormal a a r : y - z é um vector director de r m ; r (,, m) a r a ' r a. r 0 9. a : EAD b : ABC a ' b (,, ). (,, m) m 0 m - BG é paralela a a e ão é paralela a b (a opção (A) é falsa). FE é perpedicular a a e FE ão é perpedicular a b (a opção (C) é falsa). FA é perpedicular à itersecção de a com b e ão é perpedicular a b (a opção (D) é falsa). 0. Todos as rectas passam o poto de Pág. 98 coordeadas (,, ) do.8 octate (, y, z) (,, ) + k (, 0, 0), k år Recta paralela ao eio O. Itersecta apeas o plao yoz. (, y, z) (,, ) + k (0,, 0), k år Recta paralela ao eio Oy. Itersecta apeas o plao Oz. (, y, z) (,, ) + k (,, 0), k år Recta perpedicular ao eio Oz. Não itersecta o plao Oy. Q(0,, 0) R(0, 0, ) Vector ormal ao plao PQR : (a, b, c) QP (, -, 0) QR (0, -, ). QP 0. QR 0 (a, b, c). (, -, 0) 0 (a, b, c). (0, -, ) 0 Todo o vector da família (b, b, b), com b 0 0 é ormal ao plao PQR. Em particular, para b, obtém-se o vector (,, ) ormal ao plao PQR. - y - z - defie uma recta r sedo r (,, ) um vector director. Logo, r Y PQR. Resposta: (C). O eio O é perpedicular ao plao yoz. Toda a recta perpedicular ao plao yoz é paralela ao eio O.. Se r e s são perpediculares a um mesmo plao a, etão r s. Resposta: (C). Oz : y 0; j (0,, 0) é um vector ormal Pág. 99 ao plao Oz. Para que a seja perpedicular a Oz terá que ser, sedo. a j 0 a um vector ormal a a. a : z + - z + 0; a (, 0, -) Logo, a é perpedicular a Oz.. O sistema a. j (, 0, -). (0,, 0) 0 defie a itersecção de uma recta com um plao. Como a recta é perpedicular ao plao (o vector director da recta r (,, ) é ormal ao plao) a itersecção é um poto. 6. Uma superfície esférica de cetro em C(, 0, 0) é tagete ao plao yoz se tiver raio igual à abcissa do cetro, ou seja, r. Logo, ( - ) + y + z, defie uma superfície esférica tagete ao plao yoz. Resposta: (C) 7. Uma esfera de cetro o poto C(,, ) é tagete ao plao Oy se o seu raio r for igual à cota de C, ou seja, r. Logo, uma codição que defie a esfera é ( - ) + (y - ) + (z - ) a b c b + y + z y z a - b 0 -b + c 0 9

31 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA Porto Editora 8. Para que a superfície esférica seja tagete aos plaos de equações z e z, a cota do cetro da superfície esférica terá que ser z 0 + ; - o raio terá que ser. Logo + y + (z - ) é uma possível solução. Resposta: (C) 9. Se a superfície esférica é tagete ao plao de equação Pág. 00 y 0, o seu raio terá que ser igual ao valor absoluto da ordeada do cetro, o que só se verifica a opção (A): ( - ) + (y - ) + z com C(,, 0) e r. Como a distâcia do cetro C ao plao de equação é igual a \ - \ r, esta superfície esférica é tagete ao plao de equação. 0. O cetro da superfície esférica E : + (y - ) + z é o poto C(0,, 0) e o raio é. Como a distâcia de C ao plao de equação y é \ - \ raio, a superfície esférica é tagete ao plao a. Logo, a itersecção de E com a é um poto. Outro processo: + (y - ) + z y + (y - ) + z y (Este sistema defie a itersecção de E com o plao a) + + z y + y 0 y (, y, z) (0, 0, ) (0, 0, ) são as coordeadas do poto de itersecção da superfície esférica E com o plao a.. ( - ) + (y - ) + (z - ) y defie a itersecção da superfície esférica de cetro C(,, ) e raio com o plao de equação y que passa o cetro de C (este poto tem-se y). Logo, a itersecção é uma circuferêcia de raio.. ( - ) + (y - ) + (z - ) defie uma superfície esférica S de cetro C(,, ) e raio œ. Um plao de equação a itersecta esta superfície esférica se - œ a + œ. Das hipóteses apresetadas apeas - œ + œ. Resposta: (C). Raio da circuferêcia de perímetro 8 p: pr 8p r 8p r p Atededo a que o triâgulo [OBC] é rectâgulo em C tem-se OB +, ou seja, r. Podemos cocluir que a equação da superfície esférica é + y + z. Resposta: (C) 0 y 0 y. A itersecção da esfera defiida pela codição Pág. 0 + y + z (cetro a origem e raio ) com o plao de equação z é um círculo de raio r. Tem-se que:. As superfícies esféricas têm o mesmo cetro e raios diferetes pelo que ão se itersectam. 6. Trata-se de duas superfícies esféricas de cetros C (0,, 0) e C (0,, 0) com o mesmo raio igual a œ. Como a distâcia etre os cetros é iferior à soma dos raios, pois C C e < œ, a itersecção das duas superfícies esféricas é uma circuferêcia. 7. E : ( - ) + (y - ) + (z - ) 6 defie a esfera de cetro C(,, ) e raio 6. Dado que a recta r passa o cetro da esfera, a itersecção é um segmeto de recta cujo comprimeto é igual ao diâmetro da esfera, ou seja,. Resposta: (C) 8. ( - ) + (y - ) + (z - ) Pág. 0 Cetro da esfera : C (,, ) A(,, ) 9. E : + (y - 7) + z 9 0. r + r A círculo p * r p * 9p r : (, y, z) (,, ) + k (-, 0, ), k år AC C - A (,, ) B C + AC (,, ) + (,, ) (,, 7) A esfera tem raio e cetro sobre o eio Oy o poto C (0, 7, 0). Logo, E itersecta Oy em dois potos: A(0,, 0) e B(0, 0, 0) pois 7 - e a : + y - z b : + y - z Os plaos a e b são estritamete paralelos. A itersecção de a com b é o cojuto vazio. 0

32 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. A(, 0); B(, ); AB é a recta paralela a Oy de equação. CD D - C (0, ) - (, ) (-, -) CB B - C (, ) - (, ) (, -) cos (CD W CD. CB CB ) i CD i * i CD i œ + * œ + DĈB cos- - ) 78 OB (, ) Declive de OB : OC (, ) Declive de OC: Sedo a a icliação de OC, tem-se a tg - ) 6, 8. tg a, dode. Pág y - + y -0 Logo B(, -0).. A codição BP. BC 0 defie a recta perpedicular à recta BC que passa o poto B. Como a recta BC é paralela ao eio O (é a recta de equação y ) e o triâgulo [ABC] é equilátero, vem que: m AB tg 608 œ m AC tg ( ) Recta AB Recta AC -tg (608) -œ m AB œ; B (, ) y - œ ( - ) y œ - œ + m AC -œ; C(-, ) y - -œ ( + ) y -œ - œ + O poto A é a itersecção das rectas AC e AB. Logo, as suas coordeadas são a solução do sistema: y œ - œ + y - œ - œ - CEXMA Porto Editora C ˆBA 0 (âgulo itero do heágoo) Icliação da recta BC :608 Icliação da recta FB : Icliaç ~ ao da recta EC : 08 ( EC FB). O poto B é a itersecção da recta AB com a recta BC. Recta AB AC C - A (0, ) - (-, 0) (, ) m AC Como AB ' AC, m AB - A(-, 0) é um poto da recta AB. AB : y ( + ) y - - Recta BC m BC tg ( ) - C(0, ); é a ordeada a origem. BC : y - + Itersecçao das rectas AB e BC : y - - y y - +. A(, 0, 0); B(0,, ) Pág. 0 p : + y - z + * 0-0 proposição verdadeira; A å p 0 + * - proposição verdadeira; B å p Como A å p e B å p, a recta AB está cotida o plao p.. C(0, 0, z), z > 0 AC C - A (-, 0, z) BC C - B (0, -, z - ) AC ' BC AC. BC 0 z Logo, C(0, 0, ). (-, 0, z). (0, -, z - ) z (z - ) 0 z 0 z. Raio da base: R b OB Altura do coe: h OA œ + œ0 Volume do coe: V * p œ0 * 0p Logo, o volume do coe é 0p z > 0 u.v.