Universidade Federal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física

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1 Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Mecâica Clássica 1. Ecotre a força para um campo de força cetral que permite uma partícula mover-se uma órbita espiral dada por, ode é uma costate e, são as coordeadas polares. 2. A figura abaixo é uma vista aérea de um aro circular liso que é forçado a girar a uma velocidade agular fixa em toro de um eixo vertical que passa pelo poto A. Uma cota de massa é efiada o aro e está livre para mover-se sobre ele, com sua posição especificada pelo âgulo coforme mostra a figura. a) Mostre que a lagrageaa que descreve o sistema é dada por: * ( ) ( ) + ode é o raio do aro. b) Use a equação de movimeto de Lagrage para mostrar que a cota oscila em toro do poto B exatamete como um pêdulo simples. c) Qual a frequêcia dessas oscilações se a amplitude é pequea? 3. Uma partícula de massa tem seu movimeto descrito pela lagrageaa ode são coordeadas cilídricas e é uma costate. a) Determie o hamiltoiao. b) Idetifique três costates de movimeto. c) Mostre que a solução da equação radial pode ser reduzida a uma quadratura ode o tempo é da forma sedo e costates.

2 Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Mecâica Quâtica 1) Cosidere um sistema quâtico descrito pela fução de oda, ode são fuções ortoormais e,, são coeficietes complexos. As fuções são autofuções de eergia, ou seja,. a) Qual a relação de ormalização da fução em termos dos coeficietes? b) Qual a eergia média deste sistema em termos dos coeficietes? c) Qual a probabilidade de se obter o autovalor E 4 ao se fazer uma medida do operador hamiltoiao sobre o estado descrito pela fução de oda? Qual o estado do sistema após esta medida? Explique sua resposta. 2) Numa dada base de kets ortoormais um certo operador é escrito a forma: sedo b um úmero real. a) Este operador é um observável? Explique. b) Determie os autovalores e autovetores B 0 0 b, 0 b 0 3. Cosidere o oscilador harmôico quâtico, cujo Hamiltoiao vale: H p m m x / 2 / 2. a) Escreva o operador em fução do operador úmero ode a m / 2 ( x ip / m ) e a m x ip m / 2 ( / ). b) Seja um autoket do operador N, tal que N. Quais os autovalores de? c) Calcule as relações de comutação d) Mostre que [ N, a ], [ N, a ]. N[ a ] ( 1) a, N[ a ] ( 1) a. e) Baseado o resultado do item aterior, qual iterpretação pode ser dada aos operadores f) Mostre que a 1 e a 1. 1 a e a?

3 Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Eletromagetismo 1. A figura abaixo mostra oito cargas potuais distribuídas os vértices de um cubo cuja aresta é igual a. Os valores das cargas são e. Trata-se do modelo da célula uitária de um cristal iôico cúbico. Por exemplo, o cloreto de sódio NaCl (sal de coziha), as cargas positivas são íos ; as egativas são íos. a) Calcule a eergia potecial desse arrajo. Cosidere zero o potecial quado a distâcia mútua etre as oito cargas for ifiita. b) No resultado aterior provavelmete você ecotrou. Explique a relação etre esse resultado e a observação desses cristais a atureza. 2. Um átomo de hidrogêio é colocado detro de um capacitor de placas paralelas cuja distâcia é de 1 mm, coforme ilustram as figuras abaixo, ode é o raio de Bohr. Iicialmete ão há difereça de potecial etre as placas, de modo que os cetros geométricos das cargas positiva e egativa coicidem (figura à esquerda). Se aplicarmos uma difereça de potecial de 10 kv (figura à direita), as cargas sofrerão deslocameto relativo e o átomo ficará ligeiramete polarizado. a) Que fração do raio atômico ( ) o próto ( ) e o elétro ( ) ficam separados? b) Estime a voltagem ecessária para ioizar o átomo de hidrogêio. Dado:.

4 3. Cosidere que, iicialmete, uma desidade de carga volumétrica esteja uiformemete distribuída em um codutor fiito de codutividade uiforme. Descreva em detalhes a evolução temporal desse sistema os casos em que: a) o codutor é uma esfera. b) o codutor ão é uma esfera. Sugestão: Você vai essecialmete mostrar, a partir da aálise dos seus resultados, que as cargas em um codutor em equilíbrio eletrostático se ecotram apeas a superfície após um tempo logo. Cosequetemete, o campo elétrico, a desidade de cargas o volume e a correte elétrica detro do material são todos ulos.

5 Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Física Estatística 1. Uma formiga ada em um camiho aproximadamete liear sedo observada por um cietista, o qual tira fotos a cada segudo. Ele percebe que formiga se move aleatoriamete dado um passo a cada segudo. O cietista também observa que a probabilidade da formiga avaçar (passo à direita) 1 mm é 0,3; a de avaçar 2 mm é de 0,2; a de retroceder (passo à esquerda) 1 mm é de 0,2, assim como a de retroceder 2 mm. Cosiderado que cada passo é idepedete um do outro, calcule: a) Supodo que além dos passos acima, a úica atitude da formiga é ficar parada, qual é a probabilidade que isso acoteça? b) O cietista observa a molécula por exatamete uma hora. Após esse tempo, supodo que o poto ode o cietista começou a observar a formiga é a origem do movimeto, qual a posição média da formiga? 2. A meos do termo costate ( ), a eergia de um oscilador harmôico é dada por, ode é um iteiro positivo e é sua frequêcia de oscilação. Cosidere etão osciladores a uma temperatura. Calcule: a) A fução de partição que descreve o sistema. b) A eergia média do sistema. c) O calor específico do sistema. d) A etropia do sistema. 3. Discuta o paradoxo de Gibbs cosiderado a distiguibilidade das partículas. Discuta a distiguibilidade o tocate aos gases ideais quâticos.