CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013

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1 CONCURSO PÚBLICO 01 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 16 QUESTÕES POR TÓPICOS Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição JUN 01 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é puível como crime, com pea de prisão e multa (art. 18 e parágrafos do Código Peal), cojutamete com busca e apreesão e ideizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei º 9.610, de 19/0/98 Lei dos Direitos Autorais).

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3 DILMAR RICARDO ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA 16 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS Teoria e Seleção das Questões: Profs. Dilmar Ricardo e Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis 1ª Edição JUN 01 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é puível como crime, com pea de prisão e multa (art. 18 e parágrafos do Código Peal), cojutamete com busca e apreesão e ideizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei º 9.610, de 19/0/98 Lei dos Direitos Autorais).

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5 SUMÁRIO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades... 0 Questões de Provas de Cocursos NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções. Divisão Proporcioal. Regras de Três Simples e Composta... Questões de Provas de Cocursos PORCENTAGEM... Questões de Provas de Cocursos.... JUROS... 6 Questões de Provas de Cocursos DESCONTOS...9 Questões de Provas de Cocursos SISTEMAS DE MEDIDAS: Área, Volume, Massa, Capacidade e Tempo. Sistema Moetário Brasileiro... Questões de Provas de Cocursos.... FUNÇÕES ALGÉBRICAS... 9 Questões de Provas de Cocursos EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: de 1º e º graus... Questões de Provas de Cocursos ANÁLISE COMBINATÓRIA: Arrajos, Permutações, Combiações Questões de Provas de Cocursos PROBABILIDADE Questões de Provas de Cocursos... 6 TABELAS FINANCEIRAS UTILIZÁVEIS NA SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICA.. 6 GABARITOS... 66

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7 MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1 Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS RELATIVOS INTEIROS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Os cojutos uméricos foram surgido a partir da ecessidade do homem de apresetar resultados para algumas operações matemáticas. Iicialmete era preciso cotar quatidades, criado-se assim o cojuto dos úmeros aturais: N = { 0,1,,,...}. Cohecedo-se o cojuto dos úmeros aturais como seria possível a operação ( )? Para torar sempre possível a subtração, foi criado o cojuto dos úmeros iteiros relativos: Z = {..-, -, -1, 0, +1, +, +, } Represetação dos úmeros iteiros a reta umérica Vamos traçar uma reta e marcar o poto 0 (origem), em que está o úmero real zero. À direta do poto 0, com uma certa uidade de medida, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros positivos e à esquerda de 0, com a mesma uidade, assialaremos os potos que correspodem aos úmeros egativos. Números opostos ou simétricos Na reta umerada, os úmeros opostos estão a uma mesma distâcia do zero. Observe que cada úmero iteiro, positivo ou egativo, tem um correspodete com sial diferete. Exs.: O oposto de +1 é -1. O oposto de - é +. O oposto de +9 é -9. O oposto de - é +. O oposto de zero é o próprio zero. Comparação de úmeros iteiros Observado-se a represetação gráfica dos úmeros iteiros a reta. Dados dois úmeros quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o meor deles. Notas: 1. Os úmeros iteiros positivos podem ser idicados sem o sial de +. Ex.: + =. O zero ão é positivo em egativo. Todo úmero iteiro possui um atecessor e um sucessor. Exs.: + é o sucessor de + -6 é o atecessor de -. O valor absoluto ou módulo de um úmero iteiro é a distâcia desse úmero à origem. Exs.: - = 0 = 0 + = a) -1 > -, porque -1 está à direita de -. b) + > -, porque + está a direita de - c) - meor -, porque - está à esquerda de -. d) - meor +1, porque - está à esquerda de +1. Operações com úmeros iteiros 1. Adição a) Adição de úmeros iteiros positivos A soma de dois úmeros iteiros positivos é um úmero positivo. a) (+) + (+) = + b) (+1) + (+) = + c) (+6) + (+) = +9

8 Simplificado a maeira de escrever a) + + = + b) +1 + = + c) +6 + = +9 Observe que escrevemos a soma dos úmeros iteiros sem colocar o sial + da adição e elimiamos os parêteses das parcelas. b) Adição de úmeros iteiros egativos A soma de dois úmeros iteiros egativos é um úmero egativo a) (-) + (-) = - b) (-1) + (-1) = - c) (-) + (-) = -9 Simplificado a maeira de escrever a) - = - b) -1 1 = - c) - = -9 Observe que podemos simplificar a maeira de escrever deixado de colocar o sial de + a operação e elimiado os parêteses das parcelas. c) Adição de úmeros com siais diferetes A soma de dois úmeros iteiros de siais diferetes é obtida subtraido-se os valores absolutos, dado-se o sial do úmero que tiver maior valor absoluto. a) (+6) + (-1) = + b) (+) + (-) = - c) (-10) + (+) = - Simplificado a maeira de escrever a) +6 1 = + b) + = - c) = - Quado as parcelas são úmeros opostos, a soma é igual a zero. Exemplos a) (+) + (-) = 0 b) (-8) + (+8) = 0 c) (+1) + (-1) = 0 Simplificado a maeira de escrever a) + = 0 b) = 0 c) +1 1 = 0 Para obter a soma de três ou mais úmeros adicioamos os dois primeiros e, em seguida, adicioamos esse resultado com o terceiro, e assim por diate. a) = = = = = = = = -1 b) = = = = = = +8 - = = +6 Propriedades da adição 1) Fechameto: a soma de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (-) + (+) =( +) ) Comutativa: a ordem das parcelas ão altera a soma. Ex.: (+) + (-) = (-) + (+) ) Elemeto eutro: o úmero zero é o elemeto eutro da adição. Ex.: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8 ) Associativa: a adição de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: [(+8) + (-) ] + (+) = (+8) + [(-) + (+)] ) Elemeto oposto: qualquer úmero iteiro admite um simétrico ou oposto. Ex.: (+) + (-) = 0. Subtração A operação de subtração é uma operação iversa à operação da adição. a) (+8) (+) = (+8) + (-) = = + b) (-6) (+9) = (-6) + (-9) = -1 c) (+) (-) = ( +) + (+) = + Notas: 1) Para subtrairmos dois úmeros relativos, basta que adicioemos ao primeiro o oposto do segudo. ) A subtração o cojuto Z tem apeas a propriedade do fechameto (a subtração é sempre possível) 8

9 Elimiação de parêteses 1) Parêteses precedidos pelo sial positivo (+) Ao elimiarmos os parêteses e o sial positivo (+) que os precede, devemos coservar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses. a) + (- + ) = - + b) + ( + ) = + - ) Parêteses precedidos pelo sial egativo (-) Ao elimiarmos os parêteses e o sial de egativo (-) que os precede, devemos trocar os siais dos úmeros cotidos esses parêteses.. Multiplicação a) -( + ) = b) -( ) = c) -(+8) (-) = -8 + = - d) -(+) (+) = - = -6 e) (+10) (-) (+) = 10 + = 10 a) Multiplicação de dois úmeros de siais iguais Observe os exemplos: a) (+). (+) = +10 b) (+). (+) = +1 c) (-). (-) = +10 d) (-). (-) = +1 Coclusão: Se os fatores tiverem siais iguais o produto é positivo. b) Multiplicação de dois úmeros de siais diferetes Observe os exemplos: a) (+). (-) = -6 b) (-). (+) = -0 c) (+6). (-) = -0 d) (-1). (+) = - Coclusão: Se dois produtos tiverem siais diferetes o produto é egativo. Regra prática dos siais a multiplicação SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+). (+) = (+) b) (-). (-) = (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+). (-) = (-) b) (-). (+) = (-) c) Multiplicação com mais de dois úmeros Multiplicamos o primeiro úmero pelo segudo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamete, até o último fator. a) (+). (-). (+) = (-6). (+) = -0 b) (-). (-). (-). (-6) = (+1). (-). (-6) = (-60). (-6) = +60 Propriedades da multiplicação. Divisão 1) Fechameto: o produto de dois úmeros iteiros é sempre um úmero iteiro. Ex.: (+). (-) = (-10) ) Comutativa: a ordem dos fatores ão altera o produto. Ex.: (-). (+) = (+). (-) ) Elemeto Neutro: o úmero +1 é o elemeto eutro da multiplicação. Ex.: (-6). (+1) = (+1). (-6) = -6 ) Associativa: a multiplicação de três úmeros iteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado. Ex.: (-). [(+). (-) ] = [ (-). (+) ]. (-) ) Distributiva Ex.: (-). [(-) +(+)] = (-). (-) + (-). (+) A divisão é a operação iversa da multiplicação Observe: a) (+1) : (+) = (+), porque (+). (+) = +1 b) (-1) : (-) = (+), porque (+). (-) = -1 c) (+1) : (-) = (-), porque (-). (-) = +1 d) (-1) : (+) = (-), porque (-). (+) = -1 Regra prática dos siais a divisão As regras de siais a divisão é igual a da multiplicação: SINAIS IGUAIS: O RESULTADO É POSITIVO (+) a) (+) : (+) = (+) b) (-) : (-) = (+) SINAIS DIFERENTES: O RESULTADO É NEGATIVO (-) a) (+) : (-) = (-) b) (-) : (+) = (-) 9

10 NÚMEROS FRACIONÁRIOS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES c) APARENTE: É quado o umerador é múltiplo do deomiador. Cohecedo-se o cojuto dos úmeros iteiros como 10 seria possível a operação (:10)? Ex.: =. Para torar sempre possível a divisão, foi criado o cojuto dos Números Racioais, formado por todos os úmeros que podem ser escritos a forma de fração, são eles: 10 = 1 ) Decimais exatos: = 0, ; d) PRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador meor que o deomiador. Ex.:. 6 1) Iteiros: ; e) IMPRÓPRIA: É uma fração irredutível que possui umerador maior ou igual ao deomiador. 6 6 ) Dízimas periódicas: 1 = 0,... Exs.: ; 6. f) EQUIVALENTE: Quado duas frações represetam FRAÇÕES uma mesma parte do iteiro, são cosideradas x As frações são úmeros represetados a forma. equivaletes. y 1 1 ; 10 = ; =. Ex.: é uma fração equivalete à, pois ambas represetam metade de um iteiro. O úmero x é o umerador da fração e y o deomiador. Número Misto Para que uma fração exista é ecessário que o deomiador seja diferete de zero ( y 0 ). de ser represetada por uma parte iteira seguida Toda fração imprópria, que ão seja aparete, po- de uma parte fracioada. Leitura de uma fração 6 Ex.: =, ou seja, represeta partes iteiras Algumas frações recebem omes especiais: 1/ um quarto mais a fração própria. 1/6 um sexto Processo 1/8 um oitavo Repetimos o deomiador da fração imprópria; / dois quitos 1/1000 um milésimo Dividimos o úmero 6 por sete para obtermos /100 sete cetésimos a parte iteira ; 1/11 um oze avos Colocamos como umerador da fração própria o resto da divisão obtida etre 6 e. /10 sete ceto e vite avos /1 quatro treze avos Operações etre Frações Classificação das Frações 1. Redução de Frações ao Meor Deomiador Comum Quato à classificação a fração pode ser: Para reduzirmos duas ou mais frações ao meor a) REDUTÍVEL: É quado a fração admite simplificação. Isso ocorre se o umerador e o deomiador forem divisíveis por um mesmo úmero. Ex.: a fração tato o umerador quato o 8 deomiador são úmeros divisíveis por. Assim, 1 podemos escrever que =. 8 b) IRREDUTÍVEL: É quado a fração ão admite simplificação. Ex.: A fração simplificação. 6 é uma fração que ão admite deomiador comum, devemos determiar o m.m.c dos deomiadores, dividir o m.m.c ecotrado pelos deomiadores e, o resultado dessa divisão, multiplicar pelos umeradores. Ex.: Reduzir as frações e ao meor deomiador. 6 Processo: 9 10, =,

11 . Comparação etre Frações. Multiplicação e Divisão 1 caso: Deomiadores iguais 1 caso: Multiplicação Dadas duas ou mais frações com o mesmo deomiador, a maior dessas frações será aquela que tiver maior umerador. Ex.: Comparado as frações 1 < < 1 ou > >. caso: Deomiadores diferetes ; ; 1 teremos: Para compararmos duas ou mais frações que possuam deomiadores diferetes, reduzimos as frações ao meor deomiador comum e procedemos de acordo com o 1 caso. 1 Ex.: Compare as frações ; ;. 6 Processo: ; 1 ; = 6 Como ; ; > 60 > 1 60 caso: Numeradores iguais. 1 temos que > >. 6 Dadas duas ou mais frações com o mesmo umerador, a maior dessas frações será aquela que tiver meor deomiador. Ex.: Comparado as frações > >. Adição e Subtração ou < <. ; ; teremos 1 caso: Adição ou subtração com deomiadores iguais Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores iguais, basta coservar o deomiador comum e adicioar ou subtrair os umeradores. + Ex.: + = = caso: Adição ou subtração com deomiadores diferetes Para adicioar ou subtrair frações com deomiadores diferetes, basta reduzirmos as frações ao meor deomiador comum e procedermos como o primeiro caso. Ex.: = = Para multiplicar duas ou mais frações, basta dividirmos o produto dos umeradores pelo produto dos deomiadores. 9 1 Ex.: = = 6 Observação: Sempre que possível, devemos fazer a simplificação dos umeradores com os deomiadores, ates de efetuarmos o produto. Essa simplificação pode ser feita com umerador e deomiador da mesma fração ou etão com umerador de uma fração e deomiador de outra. Etão, a operação aterior, teríamos: 9 / 1 = / = caso: Divisão Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo iverso da seguda. Exemplo: FRAÇÃO DECIMAL 1 = 1 = 6 = É toda fração cujo deomiador é uma potêcia de 10 com expoete ão ulo (10, 100, 1000 ) a) ; 10 b) ; 100 c) NÚMEROS DECIMAIS EXATOS As frações decimais podem ser escritas a forma de úmeros decimais exatos. a) 10 = 0,; b) 100 = 0,0; c) 1000 = 0,0. Nos úmeros decimais exatos, a vírgula separa a parte iteira da parte decimal. 11

12 Leitura de um úmero decimal exato Para ler um, úmero decimal, procedemos do seguite modo: 1 ) Lê -se a parte iteira ) Lê-se a parte decimal, seguida da palavra: décimos se houver uma casa decimal. cetésimos se houver duas casas decimais. milésimos se houver três casas decimais. a), (cico iteiros e três décimos). b) 1, (um iteiro e trita e quatro cetésimos). c) 1,00 (doze iteiros e sete milésimos). Se a parte iteira for igual a zero, lê-se apeas a parte decimal. a) 0, lê-se quatro décimos. b) 0,8 lê-se trita e oito cetésimos. Trasformação de fração decimal em úmero decimal Escrevemos o umerador e cotamos da direita para a esquerda tatas casas quato são os zeros do deomiador para colocarmos a vírgula a) =, 10 1 b) = 1, c) = 0, Quado a quatidade de algarismos do umerador ão for suficiete para colocar a vírgula, acrescetamos zeros à esquerda do úmero. 9 a) = 0, b) 1000 = 0,00 Trasformação de úmero decimal em fração decimal O umerador será o úmero decimal sem a vírgula, e o deomiador é o úmero 1 acompahado de tatos zeros quatos forem os algarismos do úmero decimal depois da vírgula. a) 0, = 10 8 b) 8, = 100 c) 0,00 = 1000 Operações com úmeros decimais 1. Adição e Subtração Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem úmeros aturais. a),6 +,19,6,19 +,8 b) 8,,61 8,,61,81 Se o úmero de casas depois da vírgula for diferete, igualamos com zeros à direita a), + + 0,,0,00 + 0, 8,1 b),,,0, 1,6. Multiplicação de úmeros decimais 1 caso: Multiplicação Multiplicamos os úmeros decimais como se fossem úmeros aturais. O úmeros de casas decimais do produto é igual à soma do úmero de casas decimais dos fatores. a),6 x,,6 x,,8 b) 0, x 0,00 x0, 0,00 0,

13 DÍZIMAS Na multiplicação de um úmero decimal por uma potêcia de 10 (10, 100, 1000,...), basta deslocar a vírgula para a direita uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a),8 x 10 =,8 b),8 x 100 = 8, c),8 x 1000 = 8 d) 0,098 x 100 = 9,8 caso: Divisão Igualamos as casas decimais do dividedo e do divisor e dividimos como se fossem úmeros aturais. a) 1,68 :, Igualado-se as casas decimais, teremos: 168 : 0 =, b) 1, : Igualado-se as casas decimais, teremos: 1 : 00 =,09 Na divisão de um úmero decimal por uma potêcia de 10 (10, 100, 1000,...), basta deslocar a vírgula para a esquerda uma quatidade de casas equivaletes ao úmero de zeros da potêcia de dez. a) 9, : 10 =,9 b) 9, : 100 =,9 c) 9, : 1000 = 0,9 d), ; 1000 = 0,0 São úmeros que possuem ifiitas casas decimais. 1 0, = ; = 1,... ; = 1,... ; 9 90 = 1,1... ; π =, Os úmeros 119 ; ; ; ; π são deomiados 9 90 geratriz das dízimas apresetadas acima. Dízimas ão periódicas As dízimas ão periódicas ou aperiódicas são aquelas que ão possuem período defiido. Dos exemplos citados acima é possível verificar que e π geram dízimas ão periódicas. Dízimas periódicas As dízimas periódicas são aquelas que possuem período defiido. Dos exemplos citados ateriormete é possível verificar que ; ; geram dízimas periódicas Observações: 1) Todos os radicais iexatos geram dízimas aperiódicas; ) Período é o úmero que se repete após a vírgula, a dízima periódica; ) Dízimas periódicas simples são aquelas que apresetam o período logo após a vírgula; ) Dízimas periódicas compostas são aquelas que apresetam parte ão periódica (úmero que aparece etre a vírgula e o período); ) O úmero que aparece à esquerda da vírgula é deomiado parte iteira. Represetação e omeclatura Cosidere a dízima periódica 1,... 1,() 1, Etão, 1 é a parte iteira é a parte ão periódica é o período Obteção da geratriz da dízima periódica 1º caso: Dízima periódica simples sem a parte iteira O umerador da geratriz é formado pelo úmero que forma o período e, o deomiador, por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. Exemplo: 0,... = 0,() 0, 99 º caso: Dízima periódica simples com a parte iteira O umerador da geratriz é formado pela parte iteira seguida da periódica, meos a parte iteira. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui. 1 1 Exemplo: 1,... = = 99 1,() 1,

14 º caso: Dízima periódica composta sem a parte iteira MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL O umerador da geratriz é formado pela parte ão periódica seguida da periódica, meos a parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. Cosidere a operação. = 10. Nesta operação podemos verificar que: e são divisores do úmero 10 e são fatores do úmero é múltiplo dos úmeros e 10 é divisível por e 6 Exemplo: 0, = = = ,(6) 0, º caso: Dízima periódica composta com a parte iteira O umerador é formado pela parte iteira seguida da parte ão periódica e periódica, meos a parte iteira seguida da parte ão periódica. O deomiador é formado por uma quatidade de oves que correspode à quatidade de algarismos que o período possui, seguido de uma quatidade de zeros que correspode à quatidade de algarismos que a parte ão periódica possui. 6 0 Exemplo:, = = = ,(6) 01 9 NÚMEROS PRIMOS Um úmero atural diferete de zero e 1 será primo se, e somete se, for divisível por 1 e por ele mesmo. Ou seja, quado o úmero possuir apeas dois divisores aturais. Ex.: Os úmeros {,,,,11,1,1,19,,...} são algus dos ifiitos úmeros primos. Observações: 1. O úmero é o úico par que é primo.. Os úmeros {,6,8,9,10,1,1,1,16,18,0,1,,...} são cosiderados úmeros compostos. Esses úmeros podem ser escritos em fução de uma multiplicação etre úmeros primos. Podemos tomar como exemplo o úmero 6 que pode ser escrito em fução dos primos e, pois, 6 =.., 6 OBTENÇÃO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 1. Através da decomposição simultâea Em cálculos que aparecem dízimas periódicas devemos trasformá-las em frações, ates de efetuarmos as operações. MÚLTIPLOS E DIVISORES, MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Em algus casos o método utilizado acima se tora trabalhoso. O m.m.c. de dois ou mais úmeros aturais pode ser ecotrado através da decomposição simultâea dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 10 e 8. DIVISÃO EUCLIDIANA 10, 8 Numa divisão Euclidiaa é possível idetificar o dividedo, 60, divisor, quociete e o resto. 0, 1 1, 1 Dividedo divisor, 1, resto quociete 1, 1 Podemos relacioar o Dividedo (D), o quociete (Q), o divisor (d) e o resto (R) através de uma equação. Assim, m.m.c.(10, 8) =... = 80 D = Q. d + R Observações: 1. O meor resto possível é zero;. O maior resto possível é uma uidade meor que o quociete;. 0 resto < quociete ; O m.m.c.(10, 8) é obtido através do produto etre os fatores primos ecotrados através da decomposição simultâea dos úmeros 10 e 8.. Através da decomposição simples O m.m.c também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados.. Cosidere dois úmeros A e B. Dizemos que A é divisível por B quado o resto da divisão for zero. Ex.: Ecotre o m.m.c dos úmeros 10 e 8. 1

15 = O m.m.c.(10, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus e ão comus, com maior expoete possível. Logo, m.m.c.(10, 8) =... = 80. Nas decomposições acima se pode observar que e são fatores primos comus e que e são fatores primos ão comus. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. O m.m.c pode ser utilizado a resolução de problemas que evolve fatos ou feômeos cíclicos ou repetitivos. Exemplos Resolvidos: 1. Dois ciclistas saem jutos, o mesmo istate e o mesmo setido, do mesmo poto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 1 segudos e o outro em 10 segudos. Calcule os miutos que levarão para se ecotrar ovamete. a) 1.0 b) 1 c) 10 d) 60 e) Resolução: Temos aí um clássico problema de m.m.c. O primeiro ciclista dá uma volta em 1 segudos. O segudo ciclista dá uma volta em 10 segudos. Existiu uma coicidêcia. A próxima coicidêcia ocorrerá o m.m.c. etre 1 e = =.. m.m.c.(1, 10) =...11 = = 1.0 segudos. A questão pediu a resposta em miutos. Como 1 miuto correspode a 60 segudos, para obtermos a resposta em miutos basta dividirmos 1.0 por segudos segudos miutos 0 Logo a alterativa correta é a letra "e".. (PUC SP) Numa liha de produção, certo tipo de mauteção é feita a máquia A a cada dias, a máquia B, a cada dias, e a máquia C, a cada 6 dias. Se o dia de dezembro foi feita a mauteção as três máquias, após quatos dias as máquias receberão mauteção o mesmo dia. Resolução: Temos que determiar o m.m.c etre os úmeros, e 6.,, 6,,, 1, 1, 1, 1 m.m.c.(,, 6) =.. =. = 1 Dessa forma, cocluímos que após 1 dias, a mauteção será feita as três máquias. Portato, dia 1 de dezembro.. Um médico, ao prescrever uma receita, determia que três medicametos sejam igeridos pelo paciete de acordo com a seguite escala de horários: remédio A, de em horas, remédio B, de em horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciete utilize os três remédios às 8 horas da mahã, qual será o próximo horário de igestão dos mesmos? Resolução: Calcular o m.m.c. dos úmeros, e 6.,, 6 1,, 1, 1, 1 m.m.c.(,, 6) =.. = 6 O míimo múltiplo comum dos úmeros,, 6 é igual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão igeridos jutos. Portato, o próximo horário será às 1 horas. OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 1. Através da decomposição simples O m.d.c. também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos úmeros dados. Ex.: Ecotre o m.d.c. dos úmeros 10 e 8. Como vimos ateriormete: 10 =.. e 8 =... O m.d.c. (10, 8) é dado pela multiplicação dos fatores primos comus, com meor expoete possível. Logo, m.d.c.(10, 8) =. = 1. 1

16 . Através do método das divisões sucessivas O método das divisões sucessivas será utilizado para obteção do m.d.c. de apeas dois úmeros aturais. O método é utilizado da seguite forma: 1) Divide-se o maior úmero pelo meor. ) Divide-se o divisor pelo resto obtido a primeira divisão. ) Repete-se o mesmo procedimeto até que se ecotre um resto zero. ) O m.d.c. será o divisor obtido quado se tem resto zero. ) Cosidere dois úmeros aturais A e B, ode A é múltiplo de B. Neste caso, pode-se afirmar que m.m.c.(a,b) = A e, como B é divisor de A, o m.d.c.(a,b) = B. 6) Dados dois úmeros aturais A e B se pode afirmar que: m.m.c.(a,b). m.d.c.(a,b) = A.B. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais úmeros aturais são primos etre si quado a decomposição desses úmeros ão apresetarem fatores primos comus. Ex.: Cosidere os úmeros e 1. Como =. e 1 =., os mesmos ão apresetam fatores comus e, portato, são primos etre si. Observações: 1. O m.d.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é 1.. O m.m.c. de dois ou mais úmeros primos etre si é o produto desses úmeros.. Dois úmeros aturais cosecutivos sempre serão primos etre si. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.D.C. Exemplos Resolvidos: 1. Uma idústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimeto. Após realizarem os cortes ecessários, verificou-se que duas peças restates tiham as seguites medidas: 16 cetímetros e cetímetros. O gerete de produção ao ser iformado das medidas, deu a ordem para que o fucioário cortasse o pao em partes iguais e de maior comprimeto possível. Como ele poderá resolver essa situação? Resolução: Devemos ecotrar o m.d.c. etre 16 e, esse valor correspoderá à medida do comprimeto desejado =..1 =..1 m.d.c.(16, ) =..1 = 8 Portato, os retalhos podem ter 8 cm de comprimeto.. Uma empresa de logística é composta de três áreas: admiistrativa, operacioal e vededores. A área admiistrativa é composta de 0 fucioários, a operacioal de 8 e a de vededores com 6 pessoas. Ao fial do ao, a empresa realiza uma itegração etre as três áreas, de modo que todos os fucioários participem ativamete. As equipes devem coter o mesmo úmero de fucioários com o maior úmero possível. Determie quatos fucioários devem participar de cada equipe e o úmero possível de equipes. Resolução: Determiado o úmero total de fucioários de cada equipe: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 8, 6 e Decomposição em fatores primos: 8 =. 6 =. 0 =.. m.d.c.(8, 6, 0) =. = 6 Determiado o úmero total de equipes: = : 6 = 19 equipes O úmero de equipes será igual a 19, com 6 participates cada uma.. Um comerciate quer distribuir 60 larajas, maças, 8 peras e 6 magas etre várias sacolas, de modo que cada uma recebesse o mesmo e o maior úmero possível de uma espécie de fruta. Qual o úmero total de sacolas obtidas? Resolução: Determiado o úmero total de frutas de cada sacola: Ecotrar o m.d.c. etre os úmeros 60,, 8 e

17 Decomposição em fatores primos: 60 =.. =. 8 =. 6 =. m.d.c.(60,, 8, 6) =. =. = 1 Determiado o úmero total de sacolas: = : 1 = 18 sacolas O úmero de sacolas será igual a 18, com 1 frutas cada uma. NÚMEROS REAIS O diagrama abaixo represeta de forma simplificada o cojuto dos úmeros reais: Z- = {...,-,-,-1,0} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão positivos. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q): O cojuto dos Números Racioais é obtido através da uião dos Números Iteiros e as frações ão aparetes positivas e egativas. Assim, todo Número Racioal pode ser escrito a forma a/b, com a Z, b Z e b 0. Ex.: {-,-/,-1,-1/,1/,...} De acordo com os exemplos é possível otar que os Números Racioais podem gerar úmeros decimais exatos (-/ = -1,) ou úmeros decimais periódicos (1/ = 0,...). CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I): Número Irracioal é todo úmero que está ou pode ser escrito a forma decimal ifiita e ão-periódica. Um dos úmeros irracioais mais cohecidos é o π, que se obtém dividido o comprimeto de uma circuferêcia pelo seu diâmetro (π =,119...). As raízes quadradas ão exatas de úmeros aturais também são úmeros irracioais ( = 1,008...). CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R): O cojuto dos Números Reais é dado pela uião dos cojutos de Números Racioais e Irracioais. N: Naturais Z: Iteiros Q: Racioais I: Irracioais R: Reais CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N): O cojuto dos Números Naturais é represetado por N = {0,1,,,,,...}. N * = {1,,,,,...} represeta o cojuto dos Números Naturais ão ulos. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z): O cojuto dos Números Iteiros é represetado por Z = {...,-,-,-1,0,1,,,,...}. Notas: Z * = {...,-,-,-1,1,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão ulos. Z * + = {1,,,,...} represeta o cojutos dos Números Iteiros Positivos que equivale ao cojuto dos Números Naturais ão ulos. Z+ = {0,1,,,,...} represeta o cojuto dos Números Iteiros ão egativos que é equivalete ao cojuto dos Números Naturais. Z * - = {...,-,-,-,-1} represeta o cojuto dos Números Iteiros Negativos. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C): A raiz de um radical de ídice par e radicado egativo é impossível em R, pois, por exemplo, ão existe úmero real que, e- levado ao quadrado, dê um úmero egativo. Exemplo: Complexo. POTENCIAÇÃO ão é um Número Real; é um Número Cosidere dois úmeros aturais x e, com > 1. Deomiamos potêcia de base x elevada ao expoete, o úmero x que é o produto de fatores iguais a x. Assim, x = x.x.x.x... x 1 fatores Ex. =.. = 1 Notas: Numa potêcia de base for egativa, se o expoete for par o resultado será positivo e, se o expoete for ímpar, teremos um resultado egativo. Exs.: ( - ) = 16 e ( - ) = - 8 Para elevar uma fração a um expoete, elevam-se o umerador e o deomiador da fração a esse expoete: = x x y y.. 8 Ex.: = = =

18 1. Defiições 1.1. Número elevado ao expoete ulo Por defiição temos x 0 = 1 Exs.: 0 = 1 0 = 1, desde que x 0. O sial do expoete do deomiador muda durate a operação... Potêcia de uma potêcia Devemos coservar a base e multiplicar os expoetes: m m ( x ) = x ( ) 6 0 = 1 Ex.: ( ) 8 = = = = Idetermiado 1.. Número elevado ao expoete uitário Por defiição temos Exs.: 1 = 1 = ( ) 1 = 0 1 = 0 x 1 = x. 1.. Potêcia de expoete iteiro egativo Por defiição temos x = = =. Exs.: 1 = = 1 = = = 1 1 = x 8 x x Em algumas expressões podemos ter uma potêcia de ordem superior: ( ) m x m x = 81 Ex.: = Veja que a resolução é feita de cima para baixo, ou seja, primeiro resolvemos.. Potêcia de um produto ou divisão RADICIAÇÃO ( x y) = x y Ex.: = = = = 8 A radiciação é uma operação matemática oposta à poteciação (ou expoeciação) = = = = / Para um úmero real a, a expressão a represeta o úico úmero real x que verifica x = a e tem o mesmo sial que a (quado existe). zero egativo = / (ão existe solução) Assim temos: a = x x = a. Propriedades ode:.1. Produto de potêcias com bases iguais a: radicado Devemos coservar a base e somar os expoetes: : ídice do radical ( N / 1) x x = x m + m x: raiz -ésima de a Exs.: + = = = 1 : radical + = = = Quado é omitido, sigifica que é igual a e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. Os expoetes permaecem com os mesmos siais durate a operação. Ex.: 6 = 8, pois 8 = 6... Divisão de potêcias com bases iguais Devemos coservar a base e subtrair os expoetes: x m = x m x 1 Exs.: = = = ( ) + = = = = Propriedades Para a e b positivos tem-se: 1.1. Radical de um produto a b = a b Ex.: 16 =. 16 =. = 8. 18

19 1.. Radical de um quociete Exemplos Resolvidos: a = b a b Ex.: = = =. 1.. Radical de uma potêcia Devemos coservar a base e dividir o expoete da potêcia pelo ídice da raiz. m a m = a Ex.: =. 1.. Radical de outro radical m a = m a 1 Ex.: = =. Racioalização de deomiadores Processo pelo qual se trasforma uma fração em outra cujo deomiador ão tem radicais. a) b) c) X X b X b X b = = =. b b b b b X a m X a + Observação: m X a X a = =. m m a a a = b (a + b) (a b) = a b EXPRESSÕES NUMÉRICAS m X a b ( a + b ) ( a b ) X = ( a b) a b Para resolvermos as expressões uméricas, devemos seguir a seguite seqüêcia de operações: 1. As potêcias e as raízes;. Os produtos e os quocietes, a ordem em que aparecem (esquerda para a direita);. As somas e as difereças, em qualquer ordem;. Nas expressões que apresetarem parêteses, colchetes e chaves, devemos começar pelas expressões eles cotidas, a partir do mais itero (parêteses).. 1. Ecotre o valor da expressão umérica: 1+[(x6-)-(10-6:)+1] Resolução: 1+[(.6-)-(10-6:)+1] = 1+[(18-)-(10-)+1] = 1+[16-+1] = 1+[9+1] = 1+10 =. Ecotre o valor da expressão umérica: [( 16 : ). ]:.(9 ) Resolução: [( 16 : ). ]:.(9 ) = [(:).9]:.(9-8) = [.9]:.1 = 18:.1 = 9.1 = 9. Ecotre o valor da expressão umérica: [( 10 1) : ( + : )] Resolução: [( 10 1) : ( + : )] = [(10-) :(+8:)] = [ :(+)] = [:] = =. Ecotre o valor da expressão umérica: Resolução: = = = = = = =

20 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS 1. [Oficial-PM-MS/01-Fud. Escola Gov.].(Q.6) Todos os úmeros decimais e dízimas periódicas podem ser escritos. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/01].(Q.) Sejam os cojutos A = { IN : 0 < < } e B = {x IR : 1 < x 1}. a forma, com a Z e b z*, o que defie um ú- Pode-se afirmar que: a b a a) A B = ] 1,1] {} mero racioal. Se é a mais simples fração geratriz do b b) A B =A B úmero N = 1,... +,..., etão a b é um úmero: c) A B = ] 1,[ d) A B =]0,1] e) A B = {1} a) par. b) múltiplo de. 6. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/011-FAPEC).(Q.1) c) divisível por. d) múltiplo de 11. Se o úmero N = , etão é correto afirmar que: e) primo. a) N = 18. [Oficial-PM-MS/01-Fud. Escola Gov.].(Q.9) A figura a seguir represeta ove quadrados, dispostos em três lihas e três coluas. 6 A B 1 C Os úmeros que aparecem os quadrados são aturais, de 1 a 9 (icluido os extremos). Além disso, a soma dos úmeros dos quadrados de uma mesma liha ou de uma mesma colua é costate. Nessas codições, o valor de A + B C é igual a: b) N = 16 c) N = 1 d) N = 10 e) N = 8. (Moitor de Aluos-PMCG-SEMAD-MS/011-FAPEC).(Q.) Qual é o valor da expressão umérica a seguir? a) 8 b) 6 c) d) e) a). b). c). 8. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/011].(Q.1) Um casal tem quatro filhos: Alberto (A), Bedito (B), Carlos (C) d). 1 e Davi (D). o filho A tem da idade do pai, B tem e) 6. 6 da 1 idade do pai, C tem da idade do pai e D tem. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/01].(Q.16) Seja S o da cojuto solução da equação x x = 1. Pode-se afirmar idade do pai. Com essas iformações podemos afirmar que: que se colocarmos esses filhos em ordem do mais velho para o mais ovo teremos: a) S = { } b) S = {16} a) B, D, C e A c) S = {9, 16} b) A, B, C e D d) S = {9} c) D, C, A e B e) S = d) D, C, B e A e) C, D, A e B. [Assist. Adm.-(NM)-UEMS-FAPEMS/01].(Q.) É correto afirmar que: a) o cojuto dos aturais cotém o cojuto dos iteiros. b) π pertece ao cojuto dos úmeros racioais. a) C, A, D e B c) é o dobro de. b) D, C, A e B π d) >. c) B, A, D e C d) A, D, C e B e) < < 1. e) C, D, A e B 9. [Assist. Serv. Saúde II.-(Aux. Serv. Saúde)-SES-MS/011].(Q.) Os úmeros decimais represetados por A = 0,6; B = 0,6; C = 0, e D = 0,00 quado colocados em ordem decrescete assumem as seguites posições: 8 0

21 GABARITOS (16 QUESTÕES) 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números Naturais, Iteiros, Racioais (fracioários e decimais) e Reais. Operações e Propriedades A E B C E E A A C B B D B B D E A B D E A D A NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: Razões e Proporções. Divisão Proporcioal. Regras de Três Simples e Composta E C C B C E E D D B D C E D C B A D E D D C C E C B E C C C A D A C E C B PORCENTAGEM D A E E A C A C D E JUROS 1 6 A A C C C A D DESCONTOS 1 E E A D 6 SISTEMAS DE MEDIDAS: Área, Volume, Massa, Capacidade e Tempo. Sistema Moetário Brasileiro B E C C B A A E B E E D A C B FUNÇÕES ALGÉBRICAS C D A E B D B E B A E C C D B 1

22 8 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: de 1º e º graus A B A D D B A D D B E C B E D E C D C E B C E C 6 E A D 9 ANÁLISE COMBINATÓRIA: Arrajos, Permutações, Combiações. 1 A D A 10 PROBABILIDADE 1 B D A D D 6

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