FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

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1 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES INTEGRANTES, LINEAR E BERNOULLI PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO III. DEFINIÇÃO. Uma equação que cotém as derivadas ou difereciais de uma ou mais variáveis depedetes, em relação a uma ou mais variáveis idepedetes, é chamada de equação diferecial.. CLASSIFICAÇÃO Pelo Tipo Equação Diferecial Ordiária Equação Diferecial Parcial Pela Ordem Pela Liearidade Liear Não Liear.. Classificação pelo Tipo Equações difereciais ordiárias são equações que cotém somete derivadas ordiárias, por eemplo: 0 5, 0, d d 6 0 Equações que evolvem derivadas parciais são deomiadas de equações difereciais parciais, por eemplo: u v u u u t t. Classificação pela Ordem

2 A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferecial é, por defiição, a ordem da equação. Por eemplo. 0 5, é ª Ordem d 6 0, é de ª Ordem d 5 e é de ª Ordem. Classificação como liear ou ão liear d d d 0 a a a a a g é liear de ordem Observe que a variável depedete e todas suas derivadas são do primeiro grau; isto é, a potêcia de cada termo evolvedo é e cada coeficiete depede apeas da variável. A equação 0 liear d 0 é ão liear Eercícios. I. Classifique as equações difereciais dizedo se elas são lieares ou ão lieares. Dê também a ordem de cada equação. '' ' 5 cos... ' d 0 e 0.. SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. DEFINIÇÃO. Qualquer fução f defiida em algum itervalo I, que, quado substituída a equação diferecial, reduz a equação a uma idetidade, é chamada de solução para a equação o itervalo. Eemplo. Verifique se a fução 5tg5 é solução da equação 5 ' Solução: ' 5sec 5 Substituido a equação temos: 5sec 5 5 5tg5

3 5sec tg 5sec tg, como 5sec 5 5sec 5 5 sec 5 tg podemos escrever,, logo cocluímos que 5tg5 é solução da equação 5 '. NÚMERO DE SOLUÇÕES Uma equação diferecial geralmete possui um úmero ifiito de soluções. Dada uma família de parâmetro ce, em que c é uma costate arbitrária, satisfaz a equação. Como idicado a figura abaio, podemos observar algumas soluções particulares coforme os valores atribuídos a c. Fote: Deis Zill, 00, p. 8 Eercícios. I. Verifique se as fução dada é uma solução para a equação diferecial ( c e csão costates ) 5. ' 0; e ; e EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM. TEORIA PRELIMINAR. Problema do Valor Iicial - PVI Vamos resolver uma equação diferecial de primeira ordem f,, sujeita à codição iicial 0 0 em que 0 é um úmero o itervalo I e 0 é um úmero real arbitrário. O problema.

4 Resolva f,, sujeito as codições 0 0 é chamado de problema do valor iicial. Em termos geométricos, procurado uma solução para a equação diferecial, defiida em algum itervalo I tal que o gráfico da solução passe por um poto, coforme figura. Eemplo. Sedo 0 0 ce uma família a um parâmetro de soluções para,. Se especificarmos, digamos, obtemos c, logo a solução chamada de particular é ' o itervalo 0, etão substituido 0, a família, e coforme figura. figura figura Fote: Deis Zill, 00, p. 9 Deis Zill, 00, p VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Defiição Uma equação diferecial da forma g () é chamada de separável. h 5. Método de Solução. Escrevedo () a forma, h g e itegrado ambos os lados temos: h c g c ão há ecessidade de usar as duas costates, logo podemos escrever h g c Eemplo. Resolva se5 Solução: se5

5 se5 cos5 c 5 I. Resolva a equação dada por separação de variável.. se5.. e e II. Resolva a equação dada sujeita à codição iicial idicada. 7. e se cos ; ; 0 0. t ; dt EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 0; 0 6. Fução homogêea Defiição. Se uma fução satisfaz f t, t t f, uma fução homogêea de grau, para algum úmero real, etão dizemos que f é Eemplo. Determie se é homogêea. Especifique o grau de homogeeidade. Solução: f,, t f t t t t t t t f t, t t tt t f t, t t f t, t t f,, logo a fução é homogêea de grau Eercícios. I. Determie se a fução dada é homogêea. Especifique o grau de homogeeidade. 5

6 DEFINIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA Uma equação diferecial da forma. M, N, 0, é chamada de homogêea se ambos os coeficietes M e N são fuções homogêeas de mesmo grau. Ou seja M, N, 0 é homogêea se,, e,, M t t t M N t t t N 6.. Método de Solução. A equação M, N, 0 pode ser resolvida por uma substituição algébrica do tipo u ou v em que u e v são as ovas variáveis idepedetes, que trasformará a equação em uma ova equação de variáveis separável. Vejamos, difereciado M, N, 0 temos; u temos, u du, substituido em M, u N, u u du 0, pela propriedade de homogeeidade podemos escrever: M, u N, u u du 0 M, u un, u N, u du 0 N, udu,, M u un u 0 Eemplo. Resolva a equação 0, usado uma substituição apropriada. Solução: 0 mesmo grau. M,, iicialmete testamos se M e N são homogêeas de 6

7 ,,, logo,,, M t t t t M t t t M é homogêea de grau N N t t t, também é homogêea de grau, etão podemos resolver esta equação utilizado uma substituição apropriada. Fazedo u e difereciado temos u du temos: u u du 0, substituido em 0 u u du 0 du 0 equação separável du du Itegrado ambos os membros temos l u c, voltado a variável l c arrumado l c que é a solução geral da equação. Eercícios. I. Resolva a equação diferecial dada usado uma substituição apropriada II. Resolva a equação diferecial dada sujeita à codição iicial idicada. ; ;. ;. ; 0 7. EQUAÇÕES EXATAS Embora a equação 0, seja separável e homogêea, podemos ver que ela é também equivalete à diferecial do produto de e, isto é d 0. 7

8 Por itegração obtemos imediatamete a solução implícita Você deve se lembrar do cálculo que, se z f, c é uma fução com derivadas parciais cotíuas em sua região R do plao, etão sua diferecial total é Agora se f, c f f dz f f segue-se que 0. Em outras palavras, dada uma família de curvas, diferecial de primeira ordem,calculado a diferecial total. f c,podemos gerar uma equação Eemplo. Gerar a equação que tem como solução 5 c. f f f Solução: 0, calculamos as derivadas parciais e, 5 f c f de, f c f f 5 e DEFINIÇÃO Uma epressão diferecial M, N, plao se ela correspoder a diferecial e total de alguma fução f, diferecial da forma M, N, 0 lado esquerdo é uma diferecial eata. é uma diferecial eata em uma região R o. Uma equação é chamada de equação eata se a epressão do Eemplo: A equação 0 é eata, pois d 7. CRITÉRIO PARA UMA DIFERENCIAL EXATA 8

9 Teorema. Sejam M, e, N fuções cotíuas em uma região retagular R defiida por a b, c d. Etão, uma codição ecessária e suficiete para que,, M N seja uma diferecial eata é: Prova: M N = Supoha que M, e, plao. Se M,,,, M,, N, M N teham derivadas parciais de primeira ordem cotíuas em todo N é eata eiste alguma fução f tal que f f N para todo plao em R. Logo, f f, e M f f f N 7. Método de Solução. Dada a equação M, N, 0 M N º Passo. Mostre que = f º Passo. Supoha que M, costate. e itegre M, em relação a, cosiderado,, () ode f M h h é uma costate de itegração. º Passo. Derive f, em relação a e supoha N, f M h N ',, (),, ' h N M f : 9

10 Observação importate epressão N,, M idepede de, pois, N N M N, M, M, 0 º Passo. Itegre () em relação a h N, M, () 5º Passo substituido () em () temos a solução da equação f, M, N, M, c f Obs: De maeira aáloga o º passo supor N, 7 0 Eemplo. Verifique se M N Solução: º passo. 0 e 0, logo é eata º Passo. Supoha M f, e itegre em relação a, f h ( ) º Passo. Derive f, h em relação a e iguale a N f ' h 7 ' º Passo. Itegre h h 7 ( ) 5º Passo. Substitua ( ) em ( ) 7 em relação, 7 0

11 f, 7 c Eercícios. I. Verifique se a equação dada é eata. Se for resolva se se cos cos 0 II. Resolva a equação diferecial dada sujeita à codição iicial dada e e 0; 0; ; 0; FATOR DE INTEGRAÇÃO Se M(,) + N(,) = 0 eata. ( I ) ão é eata, ecessita-se de um fator de itegração que a tore M N f ( ) Se f( ), uma fução apeas de, etão e é o FI ( fator de itegração) de ( I ) N M N g( ) Se g( ) uma fução apeas de, etão e é o FI ( fator de itegração) de ( I ) M Se ( I ) é homogêea e M + N 0, etão M N é o FI Se ( I ) pode ser colocada a forma f (, ) g(, ) 0 ode f (, ) g(, ), etão, é o FI f (, ) g(, ) M N As vezes, depois de reagrupados os termos da equação pode-se determiar um fator de itegração pelo recohecimeto de um certo grupo de termos como parte de uma diferecial eata, como mostra a tabela abaio:

12 GRUPOS DE TERMOS FATOR DE INTEGRAÇÃO DIFERENCIAL EXATA d d d l d arctg d se d l se = d l se = d se

13 r s p A equação m v 0 ode r, s, m,,, e v são costates e mv - 0 tem um fator de itegração da forma. O método de solução comumete dado, cosiste a determiação de e por meios de certas fórmulas. Eemplo: Resolver a equação Resolução: Multiplique a equação por 5 0 ( ) 5 0 Em que cada dois termos seja uma diferecial eata. Etão o primeiro de ( ) é proporcioal a: ( ) ( ) d isto é e 0 Do mesmo modo, o segudo termo de ( ) é proporcioal a ( ) d isto é ( 5 ) e 5 7 Resolvedo o sistema de equações abaio temos: 5 0 ode e 5 7 Daí, cocluímos que ( ) fica a forma: A primitiva é 5 c I. Resolver as equações a) 0 Resp. 6 b) c e e 0 Resp. e 0 8. EQUAÇÕES LINEARES 8.. DEFINIÇÃO Uma equação diferecial da forma a a f Dividido ( ) por ( ) é chamada de liear. 0 a obtemos a forma mais usada ( )

14 P f ( ) 8.. FATOR DE INTEGRAÇÃO. a forma diferecial temos: P f Colocado P f 0 Em uma equação liear podemos sempre ecotrar um fator de itegração e torá-la eata P f por uma fução ( ) ( FI ) temos: 0 0 Multiplicado P f ( ) que é uma equação eata. Como o lado esquerdo de ( ) é uma diferecial eata podemos escrever. P f d P. d P l P P e ( ) que é o fator de itegração Como esta equação é separável podemos resolvê-la e determiar Substituido ( ) em ( ) temos P P e e P f P P e e e P são difereciais eatas, agora escrevemos ( ) a forma. P P P e e P e f como o lada esquerdo é uma diferecial eata podemos escrevê-la P P d e e f itegrado temos P P e e f c P P P e e f ce Eemplo: Ecotre a solução geral de Solução: Iicialmete colocamos a equação a forma P f, ode P Calculado o Fator de itegração e e e multiplicado pela equação temos

15 e e e como o lado esquerdo é uma diferecial eata podemos escrever d e e itegrado ambos os lados temos e e c ce I. Ecotre a solução geral para a equação diferecial dada. Especifique um itervalo o qual a solução geral é defiida II. Resolva a equação diferecial dada sujeita à codição iicial dada 5 0; 0 6. ' e e 0; 0 di L Ri E, L, R e E cos ta tes; i 0 i dt 8. ; EQUAÇÕES DE BERNOULLI A equação diferecial; P f, ( ) em que é um úmero qualquer, é chamada de equação de Beroulli. Para 0 e, a equação ( ) é liear em. Agora, se 0, ( ) pode ser escrita como,, P f Se fizermos w, 0,, etão, dw. ( ) Com essa substituição, ( ) trasforma-se a equação liear 5

16 dw Pw f ( ) Cálculo do fator: FI e P P dw P P e e Pw e f P P d e w e f P P e w e f c P P P e f ce e e P P e f ce P Eercícios I. Resolva a equação de Beroulli dada.. e. II. Resolva a equação diferecial dada sujeita à codição iicial dada REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: Zill Deis G., Culle Michael R.Equações Difereciais. v..são Paulo: Makro Books do Brasil, 00. 6