Teste de Hipóteses VÍCTOR HUGO LACHOS DÁVILAD
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- Augusto Belmonte Ribeiro
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1 Teste de ióteses VÍCTOR UGO LACOS DÁVILAD
2 Teste De ióteses. Exemlo. Cosidere que uma idustria comra de um certo fabricate, ios cuja resistêcia média à rutura é esecificada em 6 kgf (valor omial da esecificação). Em um determiado dia, a idústria recebeu um grade lote de ios e a equie técica da idustria deseja verificar se o lote atede as esecificações. : O lote atede as esecificações : O lote ão atede as esecificações Seja a v.a X : resistêcia à rutura X~N(; 5) (ióteses ula) (ióteses alterativa) : = 6 : 6 (ióteses simles) (ióteses Comosta bilateral)
3 Defiição: Uma hióteses estatística é uma afirmação ou cojetura sobre o arâmetro, ou arâmetros, da distribuição de robabilidades de uma característica, X, da oulação ou de uma v.a. Defiição: Um teste de uma hióteses estatística é o rocedimeto ou regra de decisão que os ossibilita decidir or ou a, com base a iformação cotida a amostra. Suoha que a equie técica da idústria teha decidido retirar uma amostra aleatória de tamaho =6, do lote recebido, medir a resistêcia de cada io e calcular a resistêcia média X (estimador de ) X ~ N, 5 6 Para quais valores de X a equie técica deve rejeitar o e ortato ão aceitar o lote? 3
4 Defiição: Região crítica (Rc) é o cojuto de valores assumidos ela variável aleatória ou estatística de teste ara os quais a hiótese ula é rejeitada. Se o lote está fora de esecificação, isto é, : 6, esera-se que a média amostral seja iferior ou suerior a 6 kgf Suoha que equie técica teha decidido adotar a seguite regra:rejeitar o se X for maior que 6.5 kgf e ou meor que 57.5 kgf. X 6,5 ou X 57,5 R c Região de rejeição de o. R c R a 57,5 X 6,4 Região de aceitação de o. 4
5 Procedimeto (teste) Se Se x R c x R c Rejeita - se Aceita - se 5
6 Tios de Erros Erro tio I: Rejeitar quado de fato é verdadeiro. Erro tio II: Não rejeitamos quado de fato é falsa. Exemlo : Cosidere o exemlo. : Aceitar o lote : Não aceitar o lote Erro tio I: Não aceitar o lote sedo que ela está detro das esecificações. Erro tio II:Aceitar o lote sedo que ela está fora das esecificações. Situação Decisão o verdadeira o falsa Não rejeitar o Decisção correta Erro II Rejeitar o Erro I Decisão correta 6
7 P(Erro tio I)= (ível de sigificâcia) P( Rejeitar verdadeira) P( Erro II) P(Nãorejeitar P(Rejeitar é falso). falso). Poder do teste Exemlo 3: Cosiderado as hióteses do exemlo : : = 6 cotra : 6. P X P P P 6,5 ou X 57,5 : X 6 Sob X,5 : 6 P X 57,5 : /6 6 6,5 6 5 /6 P 6 5 /6 57,5 6 5 /6 Z PZ,75,75, 445 X, X ~ N(6,5 /6). 7
8 8
9 P( Aceitar verdadeiro) P 57,5 X 6,5 : 6 5 Para o cálculo de cosiderar :=63,5. Sob, X ~ N 63,5;. P,5 X 6,5 : 63,5 PX 6,5 PX 57,5 57,8 PZ 4,8,86,,86. P Z 6 9
10 Testes bilaterais e uilaterais Se a hiótese ula e alterativa de um teste de hióteses são: : : ode o é uma costate cohecida, o teste é chamada de teste bilateral. Em muitos roblemas tem-se iteresse em testar hiótese do tio: : : o teste é chamado de teste uilateral esquerdo. E quado : : o teste é chamada de teste uilateral direito.
11 Exemlo 4: Uma região do aís é cohecida or ter uma oulação obesa. A distribuição de robabilidade do eso dos homes dessa região etre e 3 aos é ormal com média de 9 kg e desvio adrão de kg. Um edocriologista roõe um tratameto ara combater a obesidade que cosiste de exercícios físicos, dietas e igestão de um medicameto. Ele afirma que com seu tratameto o eso médio da oulação da faixa em estudo dimiuirá um eríodo de três meses. Neste caso as hióteses que deverão ser testados são: : 9 : 9 ode é a média dos esos do homes em estudo aós o tratameto.
12 Exemlo 5: Um fabricate de uma certa eça afirma que o temo médio de vida das eças roduzidas é de horas. Suoha que os egeheiros de rodução têm iteresse em verificar se a modificação do rocesso de fabricação aumeta a duração das eças : : sedo o temo médio das eças roduzidas elo ovo rocesso.
13 Procedimeto básico de teste de hióteses O rocedimeto básico de teste de hióteses relativo ao arâmetro de uma oulação, será decomosto em 4 assos: (i) Defiição as hióteses: : : ou ou (ii) Idetificação distribuição. da estatística do teste e caracterização da sua (iii) Defiição da regra de decisão, com a esecificação do ível de sigificâcia do teste. (iv) Cálculo da estatística de teste e tomada de decisão. 3
14 Teste de hióteses ara uma média oulacioal Cosidere uma amostra aleatória de tamaho de uma oulação ormal com média (descohecida) e variâcia (cohecida) Iicialmete, cosidera-se o caso do teste uilateral esquerdo. Suoha que tem-se iteresse em verificar as seguites hióteses: ( i) : : (ii) A estatística do teste é a média amostral X. Se oulação é ormal (ou se amostra é grade 3, mesmo que a oulação ão é ormal) a distribuição de X é N, / e a variável aleatória sob X ~ N(,) Z 4
15 5 (iii) É razoável, rejeitar em favor de, se a média amostral X é demasiado equea em relação. A região crítica, etão oderia ser obtido, selecioado um k da média amostral, de maeira que Rc={ X k } ode k é tal que ) : ( k X P =. Ou seja sob k z P k X P / / / z X Rc z k z k (iv) Coclusão: se z X Rc x, rejeita-se em caso cotrário ão se rejeita.
16 Método alterativo Um método alterativo rático é trabalhar diretamete a escala Z ( i) : cotra : (ii) A estatística de teste Z X sob ~ N(,) (iii) A região crítica ara um ível de sigificâcia fixado Rc z R; Z z iv) se z obs Rc Z z, rejeitase em caso cotrário ão se rejeita. z 6
17 Exemlo Um comrador de tijolos acha que a qualidade dos tijolos está dimiuido. De exeriêcias ateriores, cosidera-se a resistêcia média ao desmoroameto de tais tijolos é igual a kg, com um desvio adrão de kg. Uma amostra de tijolos, escolhidos ao acaso, foreceu uma média de 95 kg. Ao ível de sigificâcia de 5%, ode-se afirmar que a resistêcia média ao desmoroameto dimiuiu? ( i) As hióteses de iteresse são : : : Kg Kg (ii) A estatística do teste é a média amostral X. Já que = 3, tem-se que sob X ~ N,. (iii) A região crítica, etão oderia ser obtido, selecioado um k da média amostral, de maeira que Rc={ X k } ode k é tal que P ( X k : ) ==,5. Ou seja sob 7
18 X P / k / P z k,5 k,64 k 98,36 Rc X 98,36 (iv) Do euciado tem-se x 95 Rc X 98,36 ível de 5% de sigificâcia., rejeita-se ao 8
19 Método alterativo ( i) : cotra : (ii) A estatística de teste X Z sob ~ N(,) (iii) A região crítica ara um ível de sigificâcia =,5 fixado Rc z R; R,64 iv) Do euciado temos: 5% de sigificâcia. z obs 95 5 R c rejeita-se. ao ível de 9
20 Procedimeto Geral A seguir é aresetado o rocedimeto geral de teste de hióteses ara uma média oulacioal cosiderado o rocedimeto alterativo descrito acima. ( i) : ( ou : U. Esquerdo ) (ii) A estatística de teste : : U. Direito (a) Quado a variâcia e cohecida ( ou ) : : Bilateral Z X ~ N sob (,)
21 (b) Quado a variâcia é descohecida e amostra equeas ) ( ~ t S X T sob (iii) A região crítica ara um ível de sigificâcia fixado c Z R z R Z c ; ) ( c T T z R T c ; ) ( c Z R z R Z c ; ) ( c T T z R T c ; ) ( c Z R z R Z c ; ) ( c T T z R T c ; ) ( (iv) Se a ET obs R C., rejeita-se o em caso cotrário ão se rejeita.
22 Os registros dos últimos aos de um colégio atestam ara calouros admitidos uma ota média 5 (teste vocacioal). Para testar a hióteses de que a média de uma ova turma é a mesma das turmas ateriores, retirou-se, ao acaso, uma amostra de otas, obtedo-se média 8 desvio adrão. Use =,5 ( i ) As hióteses de iteresse são : Exemlo Suodo que as otas dos ovos calouros tem distribuição ormal com média e desvio adrão : 5 : 5 (ii) A estatística de teste T X 5 S sob ~ t( )
23 (iii) A região crítica ara um ível de sigificâcia =,5 fixado Rc z T; T,93 iv) Do euciado temos: ao ível de 5% de sigificâcia. T obs 8 5, 67 R c ão rejeita-se. 3
24 Teste de hióteses ara uma roorção oulacioal O rocedimeto ara os testes de hióteses ara roorção oulacioal é basicamete igual ao rocedimeto ara o teste ara uma média oulacioal. Cosidere o roblema de testar a hiótese que a roorção de sucessos de um esaio de Beroulli é igual a valor esecifico,. Isto é, testar as seguites hióteses: ( i) : : U. Esquerdo ( ou ) : : U. Direito ( ou ) : : Bilateral (ii) A estatística de teste Z ˆ ( o o ) sob ~ N(,) 4
25 Exemlo Um estudo é realizado ara determiar a relação etre uma certa droga e certa aomalia em embriões de frago. Ijetou-se 5 ovos fertilizados com a droga o quarto dia de icubação. No vigésimo dia de icubação, os embriões foram examiados e 7 aresetaram a aomalia. Suoha que deseja-se averiguar se a roorção verdadeira é iferior a 5% com um ível de sigificâcia de,5. ( i ) As hióteses de iteresse são : : :,5,5 (ii) A estatística de teste Z ˆ,5,5(,5) 5 sob ~ N(,) 5
26 (iii) A região crítica ara um ível de sigificâcia =,5 fixado Rc z R; R,64 iv) Do euciado temos =5, ˆ, 4 rejeita-se. ao ível de 5% de sigificâcia. 7,4,5 z : obs, 7963 Rc 5 5,75 5 6
27 7 X X,, m Y,Y, N X, ~ m N Y m, ~ Poulação Poulação m N Y X, ~ Iferêcia Para Duas Amostras Iferêcia Para Duas Amostras
28 Suoha que X,,X é uma amostral aleatória de tamaho de uma oulação com característica X, que tem distribuição ormal com média e variâcia. Cosidere que Y,,Ym é uma amostra aleatória de tamaho m, de uma oulação com característica Y que tem distribuição ormal com média e variâcia, alem disso, X e Y são ideedetes. Suoha que tem-se iteresse em verificar se existe ou ão uma difereça sigificativa etre as médias oulacioais e. O rocedimeto básico de teste, este caso é a seguite: ( i) Teste de hióteses e itervalo de cofiaça ara : : U. Esquerdo ( ou ) : : U. Direito ( ou ) : : Bilateral ode é costate cohecida o caso =, temos hióteses ara a igualdade de médias oulacioais teste de 8
29 9 (ii) A estatística de teste (a) Quado, e são cohecidos (,) ~ N m Y X Z sob (b) Quado descohecidos ) ( ~ m t m S Y X T sob ) ( ) ( m S m S ode S
30 Exemlo : Estuda-se o coteúdo de icotia de duas marcas de cigarros (A e B), obtedo-se os seguites resultados. A: 7; ; 3; B: 8; ; ; ; 4 Admitido que o coteúdo de icotias das duas marcas tem distribuição ormal e que as variâcias oulacioais são iguais, com =,5, ode-se afirmar que existe alguma difereça sigificativa o coteúdo médio de icotia as duas marcas? Sejam X: O coteúdo de icotia da marca A X ~ N(, ) Y: : O coteúdo de icotia da marca B Y ~ N(, ) (i) Nosso iteresse é testar as seguites hióteses: : : : : 3
31 Boxlots do Coteúdo de Nicotia or Marca 4 Coteúdo Nicotia 3 9 4, m 5, X Y S S Marca A B A estatística de teste é dada or: (ii) T S X Y m ~ sob t( m ) 3
32 (iii) A região crítica, ara =,5, (arte achurada) rereseta os valores corresodete da distribuição t-studet com +m- =4+5-=7 graus de liberdade com mostra a figura Rc t t( 7); T,365 3
33 (iv) Dos dados do exemlo temos: S ( ) S ( m ) S m (4 )(6) (5 ) Daí temos, que estatística observada ou calculada é: T obs S X Y m ,64 Como T obs Rc Não se rejeita 33
34 34 X X,, m Y,Y, N ) (, ~ ˆ ) (, ~ ˆ N m N ) ( ) (, ~ ˆ ˆ
35 Teste de hióteses ara Suoha que tem-se duas amostras ideedetes de tamahos e m suficietemete grades (>3 e m>3), de duas oulações Beroulli, com robabilidades de sucessos e resectivamete. E sejam X: o úmero de sucessos a amostra de tamaho e Y: o úmero de sucessos a amostra de tamaho m. Portato, X~B(, e Y~ B(m,). á iteresse em verificar as seguites hióteses estatística: ( i) : : U. Esquerdo ( ou (ii) A estatística de teste ) : : U. Direito ( ou ) : : Bilateral Z ˆ ˆ ~ N(,) Sob ( ) m 35
36 ode ˆ x y x y ˆ m ˆ, ˆ ; m m m Os assos (iii) e (iv) são equivaletes ao rocedimeto de teste ara uma média oulacioal. Exemlo 3: Dois tios de solução de olimeto estão sedo avaliados ara ossível uso em uma oeração de olimeto a fabricação de letes itra-oculares usadas o olho humao deois de uma oeração de catarata. Trezetas letes foram olidas usado a rimeira solução de olimeto e, desse úmero 53 ão tiveram defeitos iduzidos elo olimeto. Outras 3 letes foram olidas, usado a seguda solução de olimeto sedo 96 letes cosideradas satisfatórios. á qualquer razão ara acreditar que as duas soluções diferem? Use =,. 36
37 X: o úmero de letes sem defeito das 3 olidas com a ª solução, X~B(3,) Y: o úmero de letes sem defeito das 3 olidas com a ª solução Y~B(3,). Nosso iteresse é testar as seguites hióteses: : : (ii) A estatística de teste Z ˆ ˆ ~ N(,) Sob ( ) m 37
38 (iii) A região crítica, ara =,, (arte achurada) rereseta os valores corresodete da distribuição orma adrão com mostra a figura Rc t Z; Z,58 (iv) Dos dados do exemlo temos: Z obs ˆ,8433; ˆ ; m 3; ˆ ˆ,8433,6533 5,36 ( ),7483(,57) m 3 3,7483 Como Z obs Rc rejeita - se 38
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