COMPOSIÇÕES DE FUNÇÕES GERATRIZES E A FÓRMULA EXPONENCIAL

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1 COMPOSIÇÕES DE FUNÇÕES GERATRIZES E A FÓRMULA EXPONENCIAL Grade parte do poder de fuções geratrizes vêm de composição delas! Observação. Sejam F (x) = 0 G(x) = 0 f x g x duas séries formais. A composição F (G(x)) é bem defiida desde que g 0 = 0. Exemplo 0.1. Dada uma fução f : N C, vamos calcular g() = f(a 1 )f(a 2 )... f(a k ) ode a soma percorre todas as composições a 1 + a a k =, ode a i 1, e k 1. Por exemplo Seja Observe que g(3) = f(3) + f(1)f(2) + f(2)f(1) + f(1)f(1)f(1) F (x) = G(x) = 1+ G(x) = f()x g()x 1 1 F (x) Use o exemplo acima para resolver os seguites problemas. Exercício 1. Mostre que a1 a 2... a k = F 2 ode a soma é sobre todas as composições a a k =, e F é a sequêcia de Fiboacci. Exercício 2. Mostre que (2 a 1 1 1)... (2 a k 1 1) = F 2 2 ode a soma é sobre todas as composições a a k =. Exercício 3. Mostre que 2 {#i ai=1} = F 2+1 ode a soma é sobre todas as composições a a k =. Date: Terça Feira, 26 de Juho de

2 2 G. BUJOKAS 1. Sigificado combiatório A partir dessa seção, ós vamos precisar de fuções geratrizes expoeciais. Vamos usar a seguite otação. Para uma fução f : N C, ós associamos E f (x) = f() x 0 Dada duas fuções f, g, ós queremos eteder qual é o sigificado de E f (E g (x)) (essa expressão é bem defiida se g(0) = 0). Vamos usar a seguite otação. Para um cojuto fiito S, seja #S = o úmero de elemetos de S P(S) = o cojuto de todos os subcojutos ão vazios de S Π(S) = {{S 1,..., S k } P(S) S 1 S 2... S k = S e S i S j = para i j} O cojuto Π(S) vai ser chamado o cojuto de partições de S. Observe que o cojuto de partições de {1, 2,..., } ão é igual ao cojuto de partições do iteiro. Por exemplo Π({1, 2, 3}) = {{{1, 2, 3}}, {{1, 2}, {3}}, {{1}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2}}, {{1}, {2}, {3}}} Teorema 1.1. Dadas fuções f, g, defia uma fução h satisfazedo h(#s) = g(k)f(#s 1 )f(#s 2 )... f(#s k ) {S 1,...,S k } Π(S) para qualquer cojuto fiito S. Etão E h (x) = E g (E f (x)) Exemplo 1.1. Supoha que f(#s) é o úmeros de maeiras de dar uma estrutura F os elemetos de S, e g(#s) para uma estrutura G. Etão h(#s) é o úmero de maeiras de dividir os elemetos de S em grupos, e aplicar uma estrutura F em cada grupo, e uma estrutura G o cojuto de grupos. Figura 1. Filas orgaizadas em círculo

3 A FÓRMULA EXPONENCIAL 3 Por exemplo, cosidere o seguite problema. Nós queremos dividir um cojuto de pessoas em grupos, colocar cada grupo em um fila, e orgaizar os as filas em um círculo (como a figura 1). Qual é o úmero a de maeiras de fazer isso? Seja f() = o úmero de maeiras de colocar pessoas em uma fila, e g() = ( 1)! o úmero de maeiras de colocar elemetos em um círculo. Etão E f (x) = x = x = x 1 x E g (x) = 1 + ( 1)! x = 1 + Pelo teorema 1.1, x = 1 log(1 x) E a (x) = E g (E f (x)) ( = 1 log 1 x ) 1 x = 1 log(1 2x) ( log(1 x)) = 1 + (2 1) x Portato, a = (2 1)( 1)!. = 1 + (2 1)( 1)! x Exercício 4. Prove que a = (2 1)( 1)! usado uma bijeção. Exercício 5. Algumas criaças bricam assim: elas se dividem em grupos, e em cada grupo uma criaça fica o cetro, e as outras criaças do grupo formam uma roda em volta dela. A roda pode ter apeas uma criaça (esse caso, ela segura suas próprias mãos), mas sempre tem que ter uma criaça o cetro. Seja c() o úmero de cofigurações que criaças podem formar. Calcule a fução geratriz expoecial de c(). Calcule também a fução geratriz expoecial 0 k 0 c k ()t k x ode c k () é o úmero de cofigurações com exatamete k rodas. 2. A fórmula expoecial As aplicações mais comus de mais comum do teorema 1.1 são com g() = 1, isso é, com E g (x) = exp(x) = x 0 É tão comum que merece ser euciado como um corolário:

4 4 G. BUJOKAS Corolário 2.1 (Fórmula expoecial). Dada uma fução f, defia uma fução g satisfazedo g(#s) = f(#s 1 )f(#s 2 )... f(#s k ) {S 1,...,S k } Π(S) para qualquer cojuto fiito S. Etão E g (x) = exp(e f (x)) Exemplo 2.1. A ituição é que várias estruturas são formadas por compoetes coexas. Por exemplo, o úmero g()(= 2 ( 2) ) de grafos com vértices, e o úmero f() de grafos coexos. Ou o úmero g() de florestas, e o úmero f() de árvores. Usado a fórmula expoecial, a gete cosegue costruir uma sequêcia da outra. Por exemplo, uma permutação w é uma uião disjuta de ciclos. Seja c() = ( 1)! o úmero de maeiras de colocar objetos em um ciclo. Etão E c (x) = ( 1)! x = x = log(1 x) Se b() = é o úmero de permutações, etão E b (x) = exp(e c (x)) = exp( log(1 x)) = 1 1 x = x 0 o que é coerete. Exercício 6. Seja a o úmero de permutações de elemetos em que todos os ciclos tem tamaho 2 ou 1 (isso é, w é uma ivolução). (a) Calcule a fução geratriz expoecial de a. (b) Seja I S o subcojuto de ivoluções (etão a = #I ), e Fix(w) o úmero de potos fixos de w S. Calcule Fix(w) x t 0 w I (c) Coclua que para qualquer k, ( ) Fix(w) = k w I (d) Prove essa idetidade usado uma bijeção. ( ) a k k Exemplo 2.2. A gete pode usar a idéia acima para costruir a seguite fução geratriz. Dada uma permutação w de elemetos, seja c k (w) = o úmero de ciclos de tamaho k e defia C(w) = t c 1(w) 1 t c 2(w) 2... t c(w) o moomial idicador de ciclos. Seja S o cojuto de todas as permutações de um cojuto de elemetos. Vamos compactar toda a iformação dos moômios idicadores a seguite fução geratriz: F (x, t 1, t 2,...) = C(w) x 0 w S

5 A FÓRMULA EXPONENCIAL 5 A fórmula expoecial ós dá a seguite idetidade: x F (x, t 1, t 2,...) = exp(t t x t x ) Exercício 7. Seja a() o úmero de permutações w S que admitem uma raiz quadrada, isto é, existe u S tal que u 2 = w. Mostre que a(2 + 1) = (2 + 1)a(2) Exercício 8. Seja f() o úmero de maeiras de escolher um subcojuto S {1,..., } e uma permutação w S tal que Mostre que f() = F +1. w(i) S se i S Exercício 9. Seja k 2. Mostre que o úmero de permutações w S tal que todos os ciclos têm tamaho múltiplo de k é (k 1) (k+1) 2... (2k 1) (2k+1) 2 (2k+2)... ( 1) Exercício 10. Prove que o úmero de pares (u, v) S tal que u 2 = v 2 é igual a p(), ode p() é o úmero de partições de. Exercício 11. Agora faça os exercícios 7, 8, 9 e 10 com bijeções! 3. Referêcias A melhor referêcia que eu coheço é o excelete Eumerative Combiatorics do Richard Staley. Esse material está o volume 2. address: gbujokas@math.harvard.edu