Cálculo das Probabilidades e Estatística I. Departamento de Estatistica

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1 Cálculo das Probabilidades e Estatística I Departameto de Estatistica Versão

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3 Sumário 1 Itrodução à Estatística Coceitos básicos de amostragem Tipos de variáveis Níveis de Mesuração Tipos de estudos Tipos de Amostragem Pricipais plaos de amostragem probabilística Erros de amostragem Estatística Descritiva Tabela de distribuição de freqüêcias Distribuição de freqüêcias por valores Distribuição de Freqüêcias por classes ou itervalos Regras para elaboração da Tabela de Distribuição de Freqüêcias Elemetos em uma tabela de Distribuição de Freqüêcias Medidas de Tedêcia Cetral Média Aritmética Moda Mediaa Assimetria Medidas de Dispersão Itrodução a Probabilidade Probabilidade Codicioal Variáveis aleatórias Coceitos e defiições Classificação das variáveis aleatórias Esperaça de uma variável aleatória Propriedades da Esperaça Variâcia de uma variável aleatória Propriedades da Variâcia Modelos Probabilísticos para variáveis aleatórias Modelos Probabilísticos para variáveis aleatórias discretas Distribuição de Beroulli iii

4 5.1.2 Distribuição Biomial Distribuição de Poisso Modelos Probabilísticos para variáveis aleatórias cotíuas Distribuição Normal Distribuição t-studet Distribuições Amostrais Distribuição Amostral da Média Distribuição Amostral da Proporção Iferêcia Estatística Estimação Potual Propriedades de um estimador Itervalo de Cofiaça Itervalo de Cofiaça para a Média Caso 1: X possui distribuição ormal com Variâcia cohecida Caso 2: X possui distribuição ormal com Variâcia descohecida Caso 3: Grades Amostras: Itervalo de Cofiaça para a proporção Teste de Hipótese Procedimeto Geral do Teste de Hipótese - Uma Amostra Teste de hipótese para a média Caso 1: X possui distribuição ormal com Variâcia cohecida Caso 2: X possui distribuição ormal com Variâcia descohecida Caso 3: Grades Amostras: Teste de hipótese para a proporção Correlação e Regressão Liear Simples Coeficiete de Correlação Liear(ρ) Iterpretação geométrica Teste de hipótese para o Coeficiete de Correlação Regressão Liear Simples Estimação dos parâmetros Coeficiete de Determiação (R 2 ) Bibliografia 66

5 Capítulo 1 Itrodução à Estatística Aida hoje o coceito popular, a palavra estatística evoca dados uméricos apresetados em quadros ou gráficos, publicados por agêcias goverametais, referetes a fatos demográficos ou ecoômicos. A palavra estatística é derivada da palavra latia status, que sigifica estado, usada aqui para desigar a coleta e a apresetação de dados quatitativos de iteresse do Estado. Etretato, a mera coleta de dados assim apresetados está loge de ser o que etedemos, hoje, por Estatística. Na verdade, sua feição essecial é a de ser um cojuto de métodos estatísticos, especialmete apropriados ao tratameto de dados afetados por uma multiplicidade de causas. Esses métodos fazem uso da Matemática, particularmete do cálculo de probabilidades, a coleta, apresetação, aálise e iterpretação dos dados. Essa prática tem sido cotiuada os tempos moderos, por meio dos receseametos, dos quais temos um exemplo aquele que se efetua a cada decêio, em osso País, pela Fudação IBGE, órgão resposável por ossas estatísticas (dados estatísticos) oficiais. A primeira tetativa para se tirar coclusões a partir de dados uméricos foi feita somete o século 17, a Iglaterra em GRAUNT (1662). Graut baseou sua aálise sobre razões e proporções de fatos vitais, os quais ele observou uma regularidade estatística em um grade úmero de dados. Graut colocou os dados em tabelas e através de cálculos básicos produziu algus cometários sobre os resultados obtidos, aalisado a cofiabilidade dos dados e comparado o úmero dos ascimetos e das mortes masculias e femiias. No capitulo XI, GRAUNT (1662), Graut produz uma tabela de vida primitiva, estas tabelas trasformam-se mais tarde em uma das pricipais ferrametas da demografia e do seguro. Etretato, a estatística só começou realmete a existir como disciplia autôoma o iício do século 20, o verdadeiro iício da estatística modera. Fisher ( ) foi um dos mais ifluetes estatísticos do século 20. Em FISHER (1922) são apresetados os fudametos matemáticos da Teoria Estatística, este trabalho Fisher itroduz os termos estimação e estimativa. Neste mesmo trabalho é apresetado três critérios de estimação, mais precisamete, propriedades que os estimadores devem ter: Cosistêcia, eficiêcia e suficiêcia. Um marco importate a Teoria da Estatística modera foi a formalização da teoria das probabilidades feita por Kolmogorov em 1933, KOLMOGOROV (1956),. Uma defiição modera para estatística poderia ser: uma coleção de métodos para plaejar experimetos, obter e orgaizar dados, resumí-los, aálisá-los, iterpretá-los e deles extrair coclusões. Pode-se afirmar portato, que o foco da estatística é estudar os feômeos coletivos. Sedo assim, a primeira etapa em uma pesquisa que evolverá procedimetos estatísticos é 1

6 a coleta de dados. A coleta de dados é uma fase crucial a estatística pois se os mesmos ão forem colhidos de maeira adequada as outras fases do processo de aálise estatística estarão defiitivamete comprometidos. A seguir serão dados algums coceitos e iformações básicas sobre o plaejameto e coleta de dados. 1.1 Coceitos básicos de amostragem Amostragem é o procedimeto utilizado a obteção da amostra, que deve ser de tal forma que a amostra obtida seja represetativa da população de iteresse. Todos ós em osso dia a dia temos cotato com a amostragem, por exemplo, quado alguém está adoçado uma xícara de café ele primeiro coloca um pouco de açucar, mistura bem e depois prova(coleta uma amostra) para verificar se precisa ou ão mais açucar. Note que, o processo de mexer bem ates de provar é um procedimeto(plao) amostral ituítivo. Etretato, este caso, a amostra poderia ão ser represetativa do todo se a pessoa ão mexesse bem, e por coseguite, poderia-se colocar mais açucar quado a verdade ão precisaria de mais ou, ão colocar mais açucar quado de fato precisaria de mais. Logo, um procedimeto amostral mal elaborado ou mal executado pode levar a uma coclusão errôea devido a um viés de iterpretação do resultado. Portato, plaos(plaejametos) amostrais que produzam amostras represetativas e coseqüetemete resultados cofiáveis e livres de possíveis viéses é o objetivo pricipal do pesquisador. A seguir, serão apresetados algus coceitos e termos técicos que são utilizados a Teoria da Amostragem. Defiição 1.1 (População ou População alvo). É o cojuto de todos os seres, objetos ou iformações que estão sob ivestigação. Notação: Um população de tamaho N será deotada por U = (1,..., N ). Exemplo 1.1. Um grupo de pesquisadores desejam aalisar a ifluêcia de fatores sociodemográficos, físicos e metais sobre a mobilidade de idosos, pessoas com 60 aos ou mais, residetes o muicípio de Sata Cruz, Rio Grade do Norte. Neste caso a população são todas as pessoas com 60 aos ou mais residetes o muicípio de Sata Cruz. Defiição 1.2 (População de estudo). É o cojuto de todos os seres, objetos ou iformações que poderiam ser icluídas o estudo. Teoricamete, o mesmo que a população alvo, porém muitas vezes diferete. Exemplo 1.2. No Exemplo 1.1 supoha que a pesquisa teha sido realizada durate um determiado mês do ao, e que este mês possívelmete algumas das pessoas desta população poderiam ão estar a cidade e deste modo ão poderiam ser icluídas a pesquisa. Deste modo, este caso, a população alvo é diferete da população de estudo. Defiição 1.3 (Ceso). É o levatameto de iformações de toda uma população. Defiição 1.4 (Amostra). É o cojuto dos elemetos selecioados de uma população. Notação: Uma amostra de tamaho será deotada por s = k 1,..., k para ki U. Defiição 1.5 (Uidade amostral ou elemetar). São os elemetos alvo da pesquisa. Podem ser pessoas, aimais,objetos, domicílios, empresas, etc. Deve ser defiida o iício da ivestigação de acordo com o iteresse do estudo. É muito importate que a uidade elemetar seja claramete defiida, para que o processo de coleta e aálise teha sempre um sigificado preciso e uiforme.

7 Defiição 1.6 (Variáveis). É uma característica qualitativa ou quatitativa que observamos em cada uidade amostral. Ex.: altura, sexo, peso, idade, classe social, etc. Notação: As variáveis são usualmete deotadas pelas letras maiúsculas X, Y,Z, W. Em um população U = (1,..., N ), o cojuto de valores que essas variáveis assumem são deotadas por x = (x 1,x 2,...,x N ); Em uma amostra s = k 1,..., k, os valores que essas variáveis podem assumir são deotadas por X = (X 1, X 2,..., X ) em que cada X i pode assumir qualquer valor x u, para u U e x u x. Defiição 1.7 (Parâmetro). Uma medida umérica que descreve alguma característica de uma população, por exemplo, peso médio ao ascer de criaças a cidade de João Pessoa, proporção de peças defeituosas produzidas em um dia em uma liha de produção. Notação: Utiliza-se usualmete letras gregas,µ,σ 2,τ para se deotar parâmetros. Etretato, existem exceções, por exemplo, para o parâmetro proporção utiliza-se p. Defiição 1.8 (Estimador). É qualquer fução dos elemetos X 1,..., X da amostra X, que assume valores em Θ(espaço paramétrico), em que Θ é o cojuto de todos os valores que o parâmetro θ pode assumir. Notação: Usualmete utiliza-se µ, σ 2, p para se deotar parâmetros. Etretato, existem exceções, por exemplo, para o parâmetro µ utiliza-se X. Exemplo 1.3. Seja X = (X 1, X 2,..., X ), etão um estimador para a média populacioal µ para essa amostra é dada por: X = X X. Defiição 1.9 (Estimativa). É o valor observado de um estimador após a amostra ser coletada. Exemplo 1.4. Cosidere a seguite amostra da variável X, X = (5, 3, 4, 2, 6), etão X = Defiição 1.10 (Cadastro amostral). Lista das uidades da população de pesquisa de ode a amostra será extraída. Nem sempre aplicável. = Tipos de variáveis As variáveis podem ser: qualitativas ou quatitativas. Qualitativas: são variáveis categóricas. Nomial: Não existe ehuma relação etre as categorias. Ex.: sexo(masc, fem), curso(fisioterap Efermagem, etc), procedêcia. Ordial: Existe uma ordeação atural etre as categorias. Ex.: Grau de istrução(1o grau, 2o grau,superior), ível socio-ecoômico(a,b,c,d). Quatitativas: são variáveis uméricas.

8 Discreta: Admitem somete úmeros iteiros. Ex: batimetos cardíacos, úmero de filhos. cotíuas: os valores podem ser qualquer úmero real. Ex.: tempo de coagulação, peso, altura Níveis de Mesuração 1. Escala Nomial: as uidades amostrais são classificadas em categorias segudo uma característica. Ex.: sexo(masc, Fem), Hábito de fumar(fumate, ão fumate), sobrepeso(sim, ão). Observação 1.1. Note que, ão existe ordem etre as categorias e suas represetações, se úmericas são destituídas de sigificado úmerico. Ex.: sexo masculio=1, sexo femiio=2 2. Escala Ordial: as uidades amostrais são classificadas em categorias que possuem algum tipo ierete de ordem. Ex.: ível socio-ecoômico(a,b,c,d), ível de retiol sérico(alto, aceitável, baixo, deficiete). Observação 1.2. Embora exista ordem etre as categorias, a difereça etre as categorias adjacetes ão tem o mesmo sigificado em toda a escala. 3. Escala itervalar: Neste ível de mesuração podemos quatificar as difereças etre as categorias. Etretato, o zero esta escala é arbitrário. Ex.: Temperatura (graus Celsius, Fahreheit). Observação 1.3. Nesta escala, embora pode-se quatificar as difereças etre as categorias, essas difereças ão são absolutas. Por exemplo, 50 o C embora seja o dobro de 25 o C, ão implica que é duas vezes mais quete, pois se mudarmos a uidade de medida para Fahreheit teremos 50 o C = 50 1, = 122 o F e 25 o C = 25 1, = 77 o F o que implica que esta uidade a razão etre as duas temperaturas é 1, Escala das razões: Nesta escala o zero é absoluto, isto implica que a razão etre duas medidas é igual idepedetemete da uidade que está sedo utilizada. Ex.: Altura(cm, m), peso(g, Kg) Tipos de estudos Em pricípio, pode-se dizer que os estudos cietíficos se dividem em dois grupos: estudos observacioais e os estudos experimetais. Estudos Observacioais. Se caracterizam pela ão iterveção do pesquisador sobre os dados do estudo. De um modo geral, esses estudos efetuam descrições a respeito de um determiado problema, como, por exemplo: a estimativa da proporção de peças defeituosas em uma liha de produção, ou a estimativa do úmero médio de chamadas atedidas em cetral PABX. Em resumo, em um estudo observacioal, o pesquisador observa e mede, mas ão modifica;

9 Estudos Experimetais. Nos estudos experimetais, o pesquisador itervém sobre os elemetos pesquisados, mediate a adoção de algum tratameto ou mediate a alteraçäo da situação. Nesses casos, pretede-se comparar os resultados obtidos as diversas situações ou tratametos com a fialidade de detectar difereças os dados. Exemplo 1.5. Um egeheiro precisa saber se a quatidade de corrosão em uma tubulação utilizada pela sua empresa depede do tipo do revestimeto usado ou do tipo de solo em que se ecotra a tubulação. Deste modo, plaejou-se o seguite experimeto: utilizou-se quatro diferetes revestimetos e três diferetes tipo de solo o experimeto. Selecioaram-se 12 peças de tubulação e cada uma é revestida com um dos quatro revestimetos e eterrada em um dos três tipos de solo durate um período fixo de tempo, após o qual se determia a quatidade de corrosão Tipos de Amostragem Quado se realiza um estudo dos estudo observacioal, a coleta dos dados pode ser feita através de uma amostragem probabilística ou de uma amostragem ão probabilística. Defiição 1.11 (Amostragem Probabilística). É o procedimeto pelo qual se utilizam mecaismos aleatórios de seleção dos elemetos de uma amostra, atribuido a cada elemeto uma probabilidade de pertecer a amostra. Defiição 1.12 (Amostragem ão Probabilística). É o procedimeto pelo qual se ão utilizam mecaismos aleatórios de seleção dos elemetos de uma amostra, tais como: amostras itecioais, as quais os elemetos são escolhidos com o auxílio de especialistas; e amostras de volutários, como ocorre em algus experimetos sobre ovos medicametos e vacias. Observação 1.4. A grade vatagem da amostra probabilística é medir a precisão da amostra obtida, baseado-se apeas o resultado cotido a própria amostra. 1.2 Pricipais plaos de amostragem probabilística Serão apresetados os plaos de amostragem, para os casos mais comus a prática. Estes casos satisfazem os seguites pressupostos: População fiita e amostragem sem reposição. Amostragem aleatória(aa): Procedimeto pelo qual cada elemeto da população tem a mesma chace(probabilidade) de ser selecioada. Amostragem aleatória simples(aas): Procedimeto pelo qual uma amostra de tamaho é selecioada de tal forma que cada amostra possível de tamaho tem a mesma chace(probabilidade) de ser selecioada. Esse plao amostral subdivide-se aida em dois outros: Amostragem aleatória simples com reposição(aascr) e Amostragem aleatória simples sem reposição(aassr). Exemplo 1.6 (Difereça etre AA e AAS). Imagie uma sala com 48 aluos, distribuídos em 8 fileiras. Supoha que o professor deseja selecioar uma amostra de 8 aluos. Assim, coloca-se em uma ura 8 bolas umeradas de 1 a 8. Selecioa-se ao acaso uma bola e verifica-se seu úmero. A amostra será a fileira selecioada. A amostra selecioda é uma amostra aleatória(aa)? É uma amostra aleatória simples(aas)?

10 Exemplo 1.7. Cosidere uma população U = (1, 2, 3, 4, 5) e uma amostra s = k 1, k 2, k 3. Determie todas as amostra possíveis para um plao amostral com reposição, S(A), e para um plao amostral sem reposição, S(B), de tamaho 3. Para o plao amostral com reposição tem-se que: S(A) = s 1 = 1, 1, 1, s 2 = 1, 1, 2, s 3 = 1, 1, 3, s 4 = 1, 1, 4, s 5 = 1, 1, 5, s 6 = 1, 2, 1, s 7 = 1, 2, 2, s 8 = 1, 2, 3, s 9 = 1, 2, 4, s 10 = 1, 2, 5,. s 121 = 5, 5, 1, s 122 = 5, 5, 2, s 123 = 5, 5, 3, s 124 = 5, 5, 4, s 125 = 5, 5, 5 Para o plao amostral sem reposição tem-se que: S(B) = s 1 = 1, 2, 3, s 2 = 1, 2, 4, s 3 = 1, 2, 5, s 4 = 1, 3, 2, s 5 = 1, 3, 4, s 6 = 1, 3, 5. s 55 = 5, 3, 1, s 56 = 5, 3, 2, s 57 = 5, 3, 4, s 58 = 5, 4, 1, s 59 = 5, 4, 2, s 60 = 5, 4, 3 Amostragem sistemática: É realizada quado os elemetos da população estão ordeados e a seleção dos elemetos da amostra é feita periodicamete ou sistematicamete. Exemplo 1.8. Deseja-se selecioar uma amostra de tamaho 30 de um cadastro amostral com 500 elemetos. Seja, k = 500 = 16, Etão, como k ão é iteiro arredodamos para o maior iteiro meor igual a 16, 7. Assim, k = 16. Agora selecioamos ao acaso um úmero etre 1 e k, para isso utilize um gerador de úmeros aleatórios, por exemplo. Supoha que o úmero sorteado seja 9. Assim os elemetos da amostra serão 9, 25, 41,..., 473. Amostragem estratificada: Esse procedimeto cosiste em dividir a população em sub-populações (estratos). Estratos são divisões de acordo com algum critério, por exemplo: sexo, faixa etária, estado civil, assim detro de cada estrato teremos uma maior homogeeidade. Dessa forma, para uma população com N uidades amostrais e d estratos com tamahos N 1,..., N d, tem-se que d N i =1 i = N, portato teremos os seguite coeficiete de proporcioalidade c i = N i. Deste modo, para uma amostra de tamaho devemos selecioar uma AAS de N tamaho i = c i de cada estrato. Exemplo 1.9. Supoha o exemplo aterior que tehamos dois estratos(masculio, femiio), em que N 1 = 290 e N 2 = 210. Assim, c 1 = 290 = 0, 58 e c = 210 = 0, 42. Logo, 0, = , 4 e 0, = 12, 6. Portato, 1 = 17 e 2 = 13. O próxima etapa é coletar uma amostra utilizado o plao AASCR ou AASSR de tamaho 1 = 17 para o 1o. estrato e 2 = 13 para o 2o. estrato.

11 Observação 1.5. Este é o tipo de amostragem que produz o meor erro. Amostragem por coglomerado: Neste procedimeto cada uidade amostral é um grupo (coglomerado) de elemetos. Coglomerados são partes represetativas da população, por exemplo, dividimos um bairro em quarteirões. Assim cada quarteirão é uma uidade amostral. Deste modo, selecioamos uma AAS dos quarteirões para depois proceder-se o levatameto dos dados de todos os elemetos do Coglomerado. Observação 1.6. Este é o tipo de amostragem que produz o maior erro etre os procedimetos apresetados Erros de amostragem Sempre que coletamos uma amostra e a partir dela procuramos estimar certos parâmetros populacioais de iteresse, estaremos sujeitos a cometer algum erro, ão importa o quão bem plaejado teha sido a coleta dos dados. Pode-se classificar os erros de amostragem em dois tipos: Erro amostral e erro ão amostral. Erro amostral(e). é a difereça etre o resultado amostral e o verdadeiro resultado da população. Tais erros resultam das flutuações amostrais devidas ao acaso. Exemplo Seja x = (x 1,...,x 100 ) os valores de uma certa característa em uma população. Seja X = (X 1,..., X 5 ) uma amostra de tamaho 5 do vetor de característica da população x. Supoha que X 1 = x 3, X 2 = x 52, X 3 = x 11, X 4 = x 77, X 5 = x 31. Etão, por exemplo, a média populacioal é dada por, e a média amostral, X = X 1 + X X 5 5 Assim o erro amostral este caso será E = X µ. µ = x 1 + x x = x 3 + x 52 + = x 11 + x 77 + x 31 5 Erro ão amostral. ocorre quado os dados amostrais são coletados ou registrados icorretamete. Exemplos de erros ão amostrais: seleção de uma amostra por coveiêcia, uso de um istrumeto de medida defeituoso, digitação icorreta dos dados, etc. Observação 1.7. Se coletarmos uma amostra de maeira apropriada de modo que ela seja represetativa da população, poderemos utilizar os métodos estatísticos para avaliar o erro amostral.

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13 Capítulo 2 Estatística Descritiva Após coletado os dados, a próxima etapa o processo de aálise estatística cosiste em descrever os dados coletados, isto é, resumir e descrever suas características mais importates. Esta etapa do processo é deomiada de estatística descritiva. Três métodos básicos da estatística descritiva são: costrução de tabelas de freqüêcia, costrução de gráficos e cálculo de medidas resumo. Quado se descreve um cojuto de dados, que pode ser composto de uma úica variável, caso uivariado, ou por um cojuto de variáveis, caso multivariado, algumas características devem ser observadas: 1. Cetro: O cetro de um cojuto de dados é um valor que seja represetativo do todo, isto é, uma medida que possa represetar o cojuto de dados; 2. Dispersão ou variação: Uma medida de dispersão ou variação é uma medida que resume a variabilidade presete um cojuto de dados; 3. Valores discrepates ou outliers: Elemetos da amostra que se ecotram muito distates da grade maioria dos dados; 4. Distribuição: A distribuição de freqüêcias dos dados forece iformação sobre a forma da distribuição de probabilidade dos dados, por exemplo, a distribuição pode ser simétrica, assimétrica, pode ter a forma de um sio ou pode ser achatada. 2.1 Tabela de distribuição de freqüêcias É uma tabela em que se colocam as freqüêcias observadas de cada categoria ou classe. Um dos objetivos de se costruir uma tabela de distribuição de freqüêcias é obter iformações sobre a forma da distribuição de probabilidade dos dados. Esta iformação ajudará a escolha de um modelo probabilístico. Mais adiate, iremos estudar algums modelos probabilísticos comums a prática. Existem dois tipos de tabela de distribuição de freqüêcias. 1. tabela de distribuição de freqüêcias por valores: esta tabela é adequada para variáveis qualitativas, ou quatitativas dicretas que ão possuam muitos valores diferetes; 2. tabela de distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos: esta tabela é adequada para variáveis quatitativas cotíuas, ou dicretas que possuam muitos valores diferetes; 9

14 2.2 Distribuição de freqüêcias por valores É costruída cosiderado-se todos os diferetes valores ou categorias, levado-se em cosideração suas respectivas repetições(freqüêcias). Tabela 2.1: Procedêcia dos aluos Procedêcia N o de aluos % Capital 10 33,33 Iterior 12 40,00 O. região 8 26,67 Total Fote: Pesquisa em classe Tabela 2.2: Número de disciplias matriculadas Número de disciplias N o de aluos % , , , , ,33 Total Fote: Pesquisa em classe

15 2.3 Distribuição de Freqüêcias por classes ou itervalos Utiliza-se a Distribuição de Freqüêcias por itervalos ou classes quado temos uma grade variabilidade o dados, isto é tem-se muitos valores diferetes Regras para elaboração da Tabela de Distribuição de Freqüêcias 1. Efetua-se um rol estatístico os dados brutos, isto é, ordear os dados em ordem crescete; Tabela 2.3: Idade dos aluos Tabela 2.4: Rol Estatístico Determia-se a amplitude total(at) dos dados: AT = X m a x X m i em que X m i e X m a x são os valores míimo e máximo do cojuto de dados respectivamete. Para o osso exemplo te-se que AT = = 9; 3. Escolhe-se coveietemete o úmero de classes(k). Geralmete, etre 5 e 20 classes são satisfatórios. Um maeira prática de determiar o úmero de classes é utilizar k. No exemplo temos que: 30 = 5, 47, portato K = Determiar a amplitude de classe: h AT K. Assim, Obs.: Deve-se ter sempre h K AT. AT K = 9 5 = 1, 8 h = 2 5. Efetua-se o agrupameto em classes e elabora-se a tabela de Distribuição de Freqüêcias. Tabela 2.5: Tabela de distribuição de freqüêcias Idades (aos) Número de aluos % , , , , 67 Total Fote: Pesquisa em classe

16 2.4 Elemetos em uma tabela de Distribuição de Freqüêcias Limites de classe: L i f i L s u pi = [L i f i, L s u pi ); Amplitude de classe: h i = L s u pi L i f i ; Poto médio da classe: X i = L s u p i + L i f i 2 Observação 2.1. No caso em que todas as classes possuem a mesma amplitude tem-se que X i +1 = X i + h ou X i = X 1 + (i 1) h, para i 2; Freqüêcia simples ou absoluta: f i : freq. simples da i-ésima classes, isto é, o úmero de elemetos da classe. Portato, f i =1 i = ; Freqüêcia relativa: f ri = f i ; Freqüecia percetual: f i % = f ri 100;. Freqüêcia simples acumulada: F i = i i =1 f j = f 1 + f f i ; Freqüêcia relativa acumulada: F ri = i i =1 f r i = f r1 + f r2 + + f ri ; Freqüêcia percetual acumulada: F i % = i i =1 f j % = f 1 % + f 2 % + + f i %; Exemplo 2.1. Cotiuação do exemplo aterior. Tabela 2.6: Procedêcia dos aluos Procedêcia f i f ri f i % F i F ri F i % Capital 10 0, , , ,33 Iterior 12 0, , , ,33 Outras regiões 8 0, , Total Fote: Pesquisa em classe

17 Figura 2.1: Gráfico em setores Outros Estados Capital Iterior Figura 2.2: Gráfico de barras Capital Iterior Outros Estados Para a variável quatitativa tem-se que: Tabela 2.7: Tabela de distribuição de freqüêcias Idade(Aos) X i f i f ri f i % F i F ri F i % [18, 20) , , , ,00 [20, 22) , , , ,67 [22, 24) , , , ,00 [24, 26) ,0333 3, , ,33 [26, 28) ,0667 6, Total Fote: Pesquisa em classe Questões: 1. Qual a proporção de aluos com idade míima de 22 aos? Resposta: = , 67 = 23, 33% Qual a proporção de aluos com idade iferior a 24 aos mas que teham o míimo 20 aos? Resposta: = = 50%. 30

18 Figura 2.3: Histograma e Polígoo de freqüêcias Exemplo 2.2. Uma amostra aleatória de 36 aluos da disciplia de Estatística Vital foi selecioada e o curso de cada aluo foi aotada. Tabela 2.8: Curso Tabela 2.9: Rol Estatístico Elabore uma tabela de distribuição de freqüêcias adequada para os dados; Faça um gráfico baseado os valores da tabela acima. 2.5 Medidas de Tedêcia Cetral Detre as medidas de tedêcia cetral, destacamos: 1. Média Aritmética ou Média; 2. Moda; 3. Mediaa

19 Tabela 2.10: Amostra de 36 aluos da variável Curso Curso f i f ri f i % F i F ri F i % ,0278 2,78 1 0,0278 2, ,0833 8,33 4 0, , , , , , , , , , ,0833 8, Total Fote: Pesquisa em classe Média Aritmética A) Dada uma população x = (x 1,...,x N ), etão a média, chamada de média populacioal e deotada por µ, é dada por, µ = x x N N B) Dada uma amostra X = (X 1,..., X ), etão a média, chamada de média amostral e deotada por X, é dada por, X = X X ; Exemplo 2.3. Para a amostra de idades de 30 aluos do exemplo calcular a idade média dos aluos X = = 20, 6; 30 C) Para uma tabela de distribuição de freqüêcias, a média é dada por, X = X 1 f X f. em que, f i é a freqüêcia simples da i-ésima classe e X i é o poto médio da i-ésima classe. Exemplo 2.4. Para a tabela de distribuição de freqüêcias da amostra de 30 aluos calcular a idade média dos aluos. DESVANTAGENS DA MÉDIA X = = 21; 30 É uma medida de tedêcia cetral que por uiformizar os valores de um cojuto de dados, ão represeta bem os cojutos que revelam tedêcias extremas. Ou seja, é grademete iflueciada pelos valores extremos (grades) do cojuto; Exemplo 2.5. Cosidere os salários de 6 empregados de uma determiada empresa: ; R$1180 R$1230 R$1250 R$1240 R$1220 R$2940

20 Portato o salário médio pago pela empresa é: X = = Não pode ser calculada para distribuições de freqüêcias com limites idetermiados (idefiidos); VANTAGENS É a medida de tedêcia cetral mais cohecido e de maior emprego; É facilmete calculável; Tem propriedades iteressates; Depede de todos os valores do cojuto de dados. Propriedades 1. A soma dos desvios em relação a média é zero, isto é, (X 1 X ) + (X 2 X ) + + (X X ) = 0 Para as propriedades seguites cosidere as duas amostras (X 1,..., X ) e (Y 1,..., Y ) das variáveis X e Y respectivamete e c > 0 uma costate arbitrária. 2. Se Y = X + c etão Y = X + c. Se Y = X c etão Y = X c ; 3. Y = c X etão Y = c X. Y = X c etão Y = X c. 4. Seja Z = X + Y uma outra variável etão Z = X + Y Moda A) Dada uma amostra de elemetos (X 1,..., X ), etão a moda, deotada por Mo, será o valor mais freqüete a amostra, isto é, de maior freqüecia simples f. Exemplo 2.6. Para a amostra de idades da Tabela 2.3 a moda é Mo = 21 pois é o valor com maior freqüecia simples f = 7; B) Para uma tabela de distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos, a moda será um valor detro da classe modal(classe com maior freqüecia simples f i ). Portato, para dados agrupados, a moda será dada por: Mo = L i f Mo + 1 h Mo 1 + 2

21 em que, L i f Mo = Limite iferior da classe modal; h Mo = Amplitude da classe modal; 1 = f Mo f A ; 2 = f Mo f P ; f A = freqüecia simples da classe aterior a classe modal; f P = freqüecia simples da classe posterior a classe modal; Exemplo 2.7. Para a Tabela 2.5 de distribuição de freqüêcias das idades dos aluos, a moda é dado por: A classe modal é 18 20; L i f Mo = 18; h Mo = 2; f Mo = 12 f A = 0, f P = 11 1 = 12 0 = 12; 2 = = 1; Portato, Mo = = , 8 = 19, DESVANTAGENS DA MODA Nem sempre é úica e em sempre existe; Seu valor ão depede de todos os valores da amostra; VANTAGENS DA MODA Não é iflueciada por extremos; Pode ser calculada a maioria das vezes para distribuições de freqüêcia com limites idetermiados Mediaa A) Dada uma amostra de elemetos (X 1,..., X ), etão a mediaa, deotada por M e, será o valor que divide a amostra em duas partes iguais. Se o tamaho da amostra for ímpar etão M e = X ( +1 2 ). Ex: 2,9,5,8,3,13,11 etão M e = X ( ) = X (4) = 8. X ( Se o tamaho da amostra for par etão M e = 2 ) +X ( 2 +1 ). Ex: 2,9,5,8,3,13,11,13 etão M e = X (4) +X (5) 2 = = 8, 5. Exemplo 2.8. Para a amostra de idades da Tabela?? a mediaa é M e = X (15)+X (16) 2 2 = = 20;

22 B) Para uma tabela de distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos, a mediaa será um valor detro da classe da mediaa. A classe da mediaa será a classe que F i satisfazer: O meor F i maior ou igual a. Portato, para os dados agrupados a mediaa será dado por: 2 em que: M e = L i f M e + 2 F A h M e f M e L i f M e = Limite iferior da classe da mediaa; h M e = Amplitude da classe da mediaa; f M e = freqüecia simples da classe da mediaa; F A = freqüecia simples acumulada da classe aterior a classe da mediaa; Exemplo 2.9. Para a Tabela 2.5 de distribuição de freqüêcias das idades dos aluos, a mediaa é dado por: A classe modal é 20 22; L i f M e = 20; h M e = 2; f M e = 11 F A = 12 1 = 12 0 = 12; 2 = = 1; Portato, M e = = = 20, Assimetria Para verificar se uma distribuição é simétrica ou assimétrica é usual utilizar a relação etre a média e a mediaa, Assim: Se média Mediaa a distribuição é simétrica; Se média>mediaa a distribuição é assimétrica à direita; Se média<mediaa a distribuição é assimétrica à esquerda; 2.6 Medidas de Dispersão Uma medida de dispersão que os forece iformação sobre a variabilidade de um cojuto de dados, coseqüetemete da população. Diz-se que cojuto de dados é mais homogêeo que outro quado possui variabilidade meor que o do outro cojuto de dados. 1. Amplitude Total: AT = X m a x X m i

23 Exemplo Seja X = (3, 5, 5, 7) e Y = (4, 5, 5, 6, 5) duas amostras aleatória das variáveis X e Y respectivamete. Etão, X = = 5 e Y = AT X = 7 3 = 4 e AT Y = 6 4 = 2 = 5 2. Variâcia e Desvio padrão: (A) Variâcia(σ 2 ) e Desvio padrão(σ) populacioal: Para uma população de tamaho N, tem-se que N N σ 2 i =1 = (X i µ) 2 e σ = (X i =1 i µ) 2 N N (B) Variâcia(S 2 ) e Desvio padrão(s) amostral: Para uma amostra de tamaho N, tem-se que S 2 i =1 = (X i X ) 2 e S = (X i =1 i X ) 2 Observação 2.2. Como S 2 é um estimador viciado para σ, isto é, o valor esperado de S 2, E (S 2 ), ão é σ 2, ou seja, E (S 2 ) σ 2. Assim, a prática utilizamos, S 2 i =1 = (X i X ) 2. 1 que é ão viciado, isto é, E (S 2 ) = σ 2. Apesar disso, é um estimador viciado para σ. S = i =1 (X i X ) 2 1 Exemplo Para a amostra do exemplo aterior temos que: S 2 x = (3 5)2 + (5 5) 2 + (5 5) 2 + (7 5) S 2 y = (4 5)2 + (5 5) 2 + (5 5) 2 + (6 5) 2 + (5 5) = 2, 67 e S x = 2, 67 = 1, 63 (C) Variâcia(S 2 ) e Desvio padrão(s) amostral para dados agrupados: S 2 = i =1 m i (X i X ) 2 1 = 0, 5 e S y = 0, 5 = 0, 71 em que X i é o poto médio da classes ou itervalo, f i é a freqüêcia simples da classes ou itervalo.

24 Exemplo Para os dados sobre a idade dos aluos temos que: S 2 = 12 (19 21) (21 21) (23 21) (25 21) (27 21) = = 5, 24 e S = 5, 24 = 2, Coeficiete de variação: Utilizamos esta medida quado desejamos comparar cojutos de dados diferetes em escala ou em uidade. C V = S X 100 Exemplo Para X = (3, 5, 5, 7) e Y = (4, 5, 5, 6, 5) tem-se que: C V X = S X 100 = 14, 2 X Exemplo Os dados da tabela abaixo são de 11 pessoas do sexo masculio, aparetemete ormais, com idades variado etre 14 e 24 aos: Verificar qual variável apreseta: 1, = = 32, 6 e C V Y = S Y Y 100 = 0, 71 5 Nível de colesterol o sague a Peso(Kg) Pressão sistólica saguíea b a em mg/100cc b em mm de Hg (a) Maior variabilidade; (b) Meor variabilidade. Solução: Deotado X =Nível de colesterol o sague, Y =Peso e Z =Pressão sistólica saguíea, tem-se que: X = = 165, Y = = 57, Z = = 118, 7 11 S 2 = ( , 5)2 + ( , 5) ( , 5) 2 = 109, 9 X 10 S 2 = (51 57, 3)2 + (53 57, 3) (61 57, 3) 2 = 10 Y 10 S 2 = ( , 7)2 + ( , 7) ( , 7) 2 = 35 Z 10 C V X = S2 X 109, 9 X 100 = 165, = 6, 33%, C V Y = S2 Y 10 Y 100 = 100 = 5, 52% 57, 3 C V Z = S2 Z 35 Z 100 = 100 = 4, 98% 118, 7

25 Portato, o ível de colesterol o sague é o que tem maior variabilidade e a pressão sistólica saguíea é a que tem meor variabilidade.

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27 Capítulo 3 Itrodução a Probabilidade Objetivo: O objetivo da teoria da Probabilidade é criar modelos teóricos que reproduzam de maeira razoável a distribuição de freqüêcias de feômeos(experimetos) aleatórios de iteresse. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos. Defiição 3.1 (Experimeto aleatório). Um experimeto que pode forecer diferetes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maeira, é chamado experimeto aleatório. Características essecial de um experimeto aleatório: Imprevisibilidade: o resultado do experimeto ão pode ser cohecido a priori; Exemplos de experimetos aleatórios (E1) Laçar uma moeda uma vez. Aota-se o resultado; (E2) Laçar uma moeda duas vezes. Aota-se a seqüêcia obtida; (E3) Laçar uma moeda duas vezes. Aota-se o úmero de caras obtido; (E4) Numa liha de produção cota-se o úmero de peças defeituosas um dia de trabalho; (E5) Uma ura cotém duas bolas bracas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da ura. Se for braca, laça-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à ura e retira-se outra bola. Aota-se o resultado obtido. Defiição 3.2 (Espaço amostral). É o cojuto de todos os resultados de um experimeto aleatório. Notação: Ω Cada resultado possível é deomiado poto ou elemeto de Ω e deotado geericamete por ω. Assim, escrevemos ω Ω para idicar que o elemeto ω está em Ω. Exemplos de espaço amostral: (E1) Ω = c, r, em que c=cara e r=coroa; (E2) Ω = (c, c),(c, r ),(r, c),(r, r ) ; (E3) Ω = 0, 1, 2 ; 23

28 (E4) Ω = 0, 1, 2,... ; (E5) Ω = (B, c),(b, r ),(V, B),(V, V ), em que B=bola braca, V=bola vermelha; Defiição 3.3. Sejam A e B dois cojutos. Etão diz-se que A é um subcojuto de B se, e somete se ω A implicar ω B. Notação: A B. Observação 3.1. Da Defiição 3.3 segue que A A, pois ω A implicar ω A. Observação 3.2. Se A ão é um subcojuto de B, etão existe pelo meos um ω A tal que ω / B. Notação: A B. Defiição 3.4 (Igualdade de cojutos). Sejam A e B dois cojutos. Etão diz-se que A = B se, e somete se, A B e B A, isto é, ω A implicar ω B e ω B implicar ω A. Observação 3.3. Se A ão é igual a B, etão existe pelo meos um ω A tal que ω / B ou um ω B tal que ω / A. Defiição 3.5 (Eveto). É um subcojuto do espaço amostral Ω. Os subcojutos de Ω serão deotados por letras latias maiúsculas (A,B,C,... ). Se A é um subcojuto de Ω etão deotamos A Ω. Exemplo 3.1. Cosidere o experimeto aleatório (E2). Seja A=Obteção de faces iguais. Portato, A = (c, c),(r, r ) ; Observação 3.4. Diz-se que " ocorre o eveto A" quado o resultado do experimeto aleatório for um elemeto de A. Observação 3.5. O espaço amostral Ω e o cojuto vazio também são evetos, em que Ω é o eveto certo e é o eveto impossível. Operações básicas etre cojutos Sejam A Ω e B Ω, etão: Complemetar: A c = ω Ω : ω / A ; Iterseção: A B = ω Ω : ω A e ω B ; Uião: A B = ω Ω : ω A ou ω B = ω Ω : ω a pelo meos um dos evetos ; Difereça: A B = ω Ω : ω A e ω / B, deste modo segue que A B = A B c ; Difereça simétrica: A B = ω Ω : ω A e ω / B ou ω / A e ω B, deste modo segue que A B = (A B c ) (A c B) ou também A B = (A B) (A B). Defiição 3.6 (Evetos disjutos). Dois evetos são disjutos se e somete se A B =. Observação 3.6. Da Defiição 3.6 segue que o cojuto vazio é disjuto de qualquer outro eveto, pois para todo eveto A tem-se que A =.

29 Defiição 3.7 (Partição de um eveto). Seja A um subcojuto de Ω. Etão A 1,..., A formam uma partição de A se e somete se A i A j = para todo i j e i =1 A i = A. Deste modo, se A = Ω etão A 1,..., A formam uma partição de Ω se e somete se A i A j = para todo i j e i =1 A i = Ω. Proposição 3.1 (Leis de De Morga). Sejam A 1,..., A tal que A i Ω para todo i, etão: (i) i =1 A c i = i =1 Ac i Imterpretação: o complemetar da ocorrêcia de pelo meos um dos evetos é a ão ocorrêcia de todos os evetos; (ii) i =1 A c i = i =1 Ac i. Imterpretação: o complemetar da ocorrêcia de todos os evetos é a ão ocorrêcia de pelo meos um dos evetos. Defiição 3.8 (σ-álgebra). Uma classe de subcojutos de Ω é deomiada uma σ-álgebra se ela satisfaz: (F1) Ω ; (F2) Se A etão A c ; (F3) Se A i para todo i 1 etão i =1 A i ; Exemplo 3.2. Exemplos de σ-álgebras: 1. = {,Ω}, esta é a σ-álgebra trivial; 2. = {,Ω, A, A c }, para Ω = A A c ; 3. Cosidere o experimeto (E3), assim Ω = {0, 1, 2}. Portato, =,Ω, 0, 1, 2,{0, 1},{0, 2},{1, 2} é uma σ-álgebra de subcojutos de Ω. Neste caso, é chamado de σ-álgebra das partes de Ω e é deotado por. Defiição 3.9. Seja Ω fiito eumerável, um espaço de evetos equiprováveis. Assim, para todo A segue que a probabilidade de A é dada por, P(A) = #A #Ω em que # é o úmero de elemetos do cojuto. Esta defiição é também cohecida como regra de Laplace. A Defiição 3.9 é a defiição clássica de probabilidade. Exemplo 3.3. Cosidere o experimeto aleatório (E2). Seja A=Obteção de faces iguais. Portato, A = (c, c),(r, r ). Deste modo, P(A) = 2 = 0, 5. 4

30 Defiição Seja Ω um espaço amostral de um experimeto aleatório. Seja repetições idepedetes de um experimeto aleatório e A o úmero de ocorrêcias do eveto A as repetições idepedetes do experimeto. Etão, a probabilidade de A é dada por, A P(A) = lim p A em que 0 p A 1. Esta covergêcia é garatida pelas Lei dos Grades Numeros. Defiição Seja (Ω, ) um espaço mesurável. Etão uma fução P : [0, 1] é uma probabilidade se, (P1) P(Ω) = 1; (P2) Para todo A tem-se P(A) 0; (P3) P é σ-aditiva, isto é, se A 1, A 2,..., são dois a dois disjutos etão, P A = P(A ). =1 Esta é a defiição axiomática devida a Kolmogorov. A trica (Ω,, P) é chamada de espaço de probabilidade. Propriedades de uma medida de probabilidade (C1) Para todo A tem-se P(A c ) = 1 P(A). De fato, como Ω = A A c e A A c = segue que, (C2) P( ) = 0, pois Ω = c logo por (C1) P(Ω) = 1 = P(A A c ) = P(A) + P(A c ) P(A c ) = 1 P(A) 0; =1 P( ) = 1 P(Ω) = 1 1 = 0; (C3) P é uma fução ão decrescete, isto é, para todo A, B tal que A B tem-se que P(A) P(B). Para ver isso, basta otar que B = A (B A) e A (B A) =, portato, P(B) = P A (B A) = P(A) + P(B A) pela codição (P2) segue que P(B A) 0 portato P(B) P(A); (C4) Para todo A, B tal que A B tem-se que P(B A) = P(B) P(A); Este resultado segue diretamete do aterior; (C5) Para todo A, B arbitrários tem-se que: De fato, P(A B) = P(A) P(A B) e P(B A) = P(B) P(A B). e P(A B) = P(A B c ) = P(A (Ω B)) = P(A Ω A B) = P(A A B) = P(A) P(A B), por (C4), pois A B A P(B A) = P(A c B) = P((Ω A) B) = P(Ω B A B) = P(B A B) = P(B) P(A B), por (C4), pois A B B

31 (C6) Para todo A tem-se que 0 P(A) 1. Este resultado segue de (P1), (P2) e (C3) e do fato que A Ω; 3.1 Probabilidade Codicioal Seja (Ω,, P) o espaço de probabilidade para um determiado experimeto aleatório. Supoha que tehamos a priori alguma iformação a respeito do resultado do experimeto aleatório. Por exemplo, supoha que saibamos que um determiado eveto B ocorreu. Isto elimia qualquer icerteza que tíhamos a respeito da ocorrêcia ou ão do eveto B. Além do mais, esta ova iformação a respeito do experimeto aleatório pode mudar as icertezas a respeito de outros evetos em e portato uma ova medida de probabilidade deve ser cosiderada. Esta ova medida de probabilidade é também uma medida o espaço mesurável (Ω, ), será chamada de Probabilidade codicioal. Exemplo 3.4. Seja Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 um espaço de evetos equiprováveis. Seja = a σ-álgebra das partes de Ω e P a medida de probabilidade defiida em (Ω, ) assim, para todo A. Cosidere os seguites evetos, P(A) = #A #Ω A = {1, 2, 6} e B = {2, 3, 5}. Deste modo, tem-se que P(A) = 3 6 = 1 2 e P(B) = 3 6 = 1 2. Supoha agora que tehamos a iformação que o eveto B ocorreu. Essa iformação poderá alterar a probabilidade atribuída aos evetos em. A ova medida de probabilidade será deotada por P(. B). Observe que podemos cosiderar que temos um ovo espaço amostral Ω B = B e uma ova σ-álgebra B = C B : C = A B, para algum A. Desta maeira, tem-se que B, por este motivo B é deomiada uma restrição de ao eveto B. Assim, o ovo espaço de probabilidade seria B, B, P(. B). Para o exemplo acima, dado que o eveto B ocorreu, etão o eveto A só irá ocorrer se o eveto C = {1} = A B ocorrer, assim #(A B) P(A B) = = 1 #(B) 3. Etretato, ão é ecessária a costrução deste ovo espaço de probabilidade, pois pode-se cosiderar apeas uma ova medida de probabilidade para o mesmo espaço mesurável (Ω, ). Para fazer isso, basta que a ova medida de probabilidade P(. B) seja válida para todo A e ão apeas para A B. Deste modo, para um dado eveto B tem-se A (B B c ) P(A) = P(A) P(Ω) = P P(B B c ) = P(A B) + P(A B c ) P(B) + P(B c )

32 Nestas codições segue que, dado que o eveto B ocorreu, tem-se que P(B c ) = 0 e P(A B c ) = 0 logo pode-se defiir P(. B) para todo A, com segue, Para o exemplo assim tem-se que, P(A B) P(A B) =. P(B) P(A B) = 1 6 = Defiição 3.12 (Probabilidade Codicioal). Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade. Seja B um eveto tal que P(B) > 0. Etão a probabilidade codicioal, dado o eveto B, é uma fução deotada por P(. B) e defiida para todo A como segue, P(A B) P(A B) =. (3.1) P(B) em que P(A B) é chamada a probabilidade codicioal de A dado B. Teorema 3.1 (Regra do Produto). Seja A i, i = 1,..., evetos tais que, P 1 A > 0 i =1 etão, P A = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A A 1 A 2 A 1 ). i =1 Demostração. Fazer por idução. Para = 2 tem-se que P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) pela Defiição 3.12 de probabilidade codicioal. Supor que é valido para = k, isto é, P(A 1 A k ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) P A k k 1 A i =1 i e etão mostrar que vale para = k + 1. Assim, seja B k = k i =1 A i, logo P(B k A k +1 ) = P(B k )P(A k +1 B k ). Exemplo 3.5. Uma ura cotém 2 bolas bracas, 3 pretas e 4 verdes. Duas bolas são retiradas ao acaso sem reposição. Qual a probabilidade de que: (a) Ambas sejam verdes? (b) Ambas sejam da mesma cor?

33 Solução: Tem-se que Ω = (b,b),(b, p),(b, v ),(p,b),(p, p),(p, v ),(v,b),(v, p),(v, v ), em que b=bola braca; p=bola preta e v=bola verde, assim: (a) sejam os evetos A =retirar verde o 1o. sorteio e B =retirar verde o 2o. sorteio, logo, A = (v,b),(v, p),(v, v ) ; B = (b, v ),(p, v ),(v, v ) e A B = (v, v ). Assim, (b) Seja C =Ambas sejam da mesma cor, logo, C = P(A B) = P (v, v ) = P(A)P(B A) = = 1 6. (b,b),(p, p),(v, v ). Portato, de modo semelhate ao item (a) tem-se que: P C = P (b,b) + P (p, p) + P (v, v ) = = = 5 18 Teorema 3.2 (Probabilidade Total). Seja para todo i = 1,...,. Etão, para todo B tem-se que, Demostração. De fato, pois assim, P(B) = A i, i = 1,..., uma partição de Ω com P(A i ) > 0 P(A i )P(B A i ). i =1 B = B Ω = B i =1 A i, P(B) = P B A i =1 i = P (A i =1 i B) = P(A i B) = i =1 P(A i )P(B A i ). i =1 Exemplo 3.6. Seja U 1 e U 2 duas uras. A ura U 1 cotém 3 bolas pretas e 2 vermelhas e a ura U 2 cotém 4 bolas pretas e 2 vermelhas. Escolhe-se ao acaso uma ura e dela retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade de que a bola seja preta? Solução: Seja A =bola preta. Note que U 1 e U 2 formam uma partição de Ω, assim P(A) = P(U 1 )P(A U 1 ) + P(U 2 )P(A U 2 ) = = = 19 30

34 Teorema 3.3 (Fórmula de Bayes). Seja {A i, i = 1,..., } uma partição de Ω com P(A i ) > 0 para todo i = 1,...,. Etão, para todo B para o qual P(B) > 0 tem-se que, P(A j B) = P(A j )P(B A j ) i =1 P(A i )P(B A i ) Exemplo 3.7. Do exemplo aterior, calcule a probabilidade de que dado uma bola preta teha sido sorteada, ela seja da ura U 1? Solução: Primeiro ote que U 1 e U 2 são uma partição de Ω. Assim, P(U 1 )P(P U 1 ) P(U 1 P) = P(U 1 )P(P U 1 ) + P(U 2 )P(P U 2 ) = = = Defiição Sejam A, B e ((Ω, ), P) um espaço de probabilidade. Etão A e B são idepedetes se P(A B) = P(A) com P(B) > 0 ou se P(B A) = P(B) com P(A) > 0. Isto é, o fato de um dos evetos ocorrer ão altera a probabilidade do outro ocorrer, assim da Defiição 3.12 de probabilidade codicioal segue que, P(A B) = P(A)P(A B) = P(A B)P(B) = P(A)P(B). Observação 3.7. Note que os coceitos de evetos disjutos e evetos idepedetes ão iguais. De um modo geral, dois evetos disjutos ão são idepedetes e vice-versa. A úica possibilidade para que dois evetos disjutos sejam idepedetes é se um deles tiver probabilidade zero. Por outro lado, dois evetos idepedetes só serão disjutos se um dos evetos for o cojuto vazio. Exemplo 3.8. Sejam dois evetos A e B tal que P(A) = 1, P(A B) = 1 e P(B A) = 1. Esses evetos são idepedes? Solução: Os evetos A e B são idepedetes, pois, P(A B) = P(A)P(B A) = = 1 8 P(A B) = P(B)P(A B) P(B) = P(A)P(B) = = 1 = P(A B) 8 P(A B) P(A B) = 1 8 = Defiição Seja (Ω,, P) um espaço de probabilidade e A 1,..., A evetos em. Etão os evetos são idepedetes se, P(A 1 A ) = P(A 1 ) P(A ) Etretato, os evetos são completamete idepedetes se, P(A i 1 A i k ) = P(A i 1 )... P(A i k ) para k = 2,..., e i 1,..., i k = 1,..., tal que 1 i 1 <... < i k.

35 Capítulo 4 Variáveis aleatórias Neste capítulo serão estudados o coceito de variável aleatória, sua classificação: discreta e cotíua; os tipos de distribuição de probabilidade: fução de probabilidade, fução de distribuição e desidade de probabilidade; e os coceitos de esperaça e variâcia para cada tipo de variável aleatória apresetada. 4.1 Coceitos e defiições Defiição 4.1 (Variável aleatória). Seja um experimeto aleatório e (Ω,, P) o espaço de probabilidade associado a. Etão uma fução X : Ω, que associa a cada elemeto de ω Ω um úmero real é uma variável aleatória se, X 1 (B) = ω Ω : X (ω) B. Observação 4.1. A fução X deve ser uívoca, isto é, para cada ω Ω deve haver apeas um X (ω) associado. Etretato, diferetes valores de ω podem levar a um mesmo valor de X. Exemplo 4.1. Cosidere o seguite experimeto: selecioar uma peça em uma liha de produção e observar se a peça é boa ou ruim. Nestas codições, segue que Ω = {b, r } em que b=boa e r=ruim. Cosideremos a seguite variável aleatória, X (ω) = 0 se ω = b, 1 se ω = r, Assim, cosiderado a σ álgebra das partes de Ω, isto é, = itervalo I tal que: {0, 1} / I, por exemplo I = ( 5, 0), assim X 1 (I ) = ; 0 I e 1 / I, por exemplo I = 0, 1 2, assim X 1 (I ) = X 1 (0, 0] 0, 1 2 = X 1 (0) X 1 0, 1 2,Ω,b, r tem-se que para todo = {b} = {b} ; 31

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