CONTEÚDO. XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 2 Problemas e Soluções da Primeira Fase

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1 CONTEÚDO XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 4 Problemas e Soluções da Seguda Fase XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 5 Problemas e Soluções da Terceira Fase XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 44 Problemas e Soluções da Primeira Fase - Nível Uiversitário XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 49 Problemas e Soluções da Seguda Fase - Nível Uiversitário XIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 58 Premiados AGENDA OLÍMPICA 6

2 XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase PROBLEMAS NÍVEL 4 8. A razão ( ) é igual a: 8 (4 ) A) B) 4 C) D) E) 8. Num armazém foram empilhadas embalages cúbicas coforme mostra a figura a seguir. Se cada caixa pesa 5 g, quato pesa toda a pilha? A) 300 g B) 35 g C) 350 g D) 375 g E) 400 g 3. Na balaça a seguir temos pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e leves saquihos de plástico, todos com a mesma quatidade de bolihas, iguais às que estão fora dos mesmos. Quatas bolihas há em cada saquiho? a a a a a a a A) B) C) 3 D) 5 E) 6 4. Escreva os úmeros iteiros de a 9 os ove quadradihos, de forma que as somas dos quatro úmeros em cada uma das pás da hélice sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é: A) 3 B) C) D) 0 E) 9 EUREKA! N 6, 003

3 5. Qual é a quatidade total de letras de todas as respostas icorretas desta questão? A) Quareta e oito. B) Quareta e ove. C) Ciqüeta. D) Ciqüeta e um. E) Ciqüeta e quatro. 6. Toda a produção mesal de latas de refrigerate de uma certa fábrica foi vedida a três lojas. Para a loja A, foi vedida metade da produção; para a loja B, foram vedidos da produção e para a loja C, foram vedidas 500 uidades. Qual 5 foi a produção mesal dessa fábrica? A) 466 latas B) 0000 latas C) 0000 latas D) 5000 latas E) latas 7. Um quadrado de área foi dividido em 4 retâgulos cogruetes, coforme idicado o deseho à esquerda. Em seguida, os quatro retâgulos foram reagrupados de maeira a formar um quadrado, com um buraco quadrado o cetro, coforme idica o deseho à direita. A área do buraco é igual a: A) B) 9 C) 6 6 D) 3 E) A liha poligoal AB é desehada matedo-se sempre o mesmo padrão mostrado a figura. Seu comprimeto total é igual a: A B A) 3 B) 88 C) 90 D) 97 E) A difereça etre os quadrados de dois úmeros iteiros positivos cosecutivos é sempre: A) um úmero primo. B) um múltiplo de 3. C) igual à soma desses úmeros. D) um úmero par. E) um quadrado perfeito. EUREKA! N 6, 003 3

4 0. Marcelo leva exatamete 0 miutos para ir de sua casa até a escola. Uma certa vez, durate o camiho, percebeu que esquecera em casa a revista Eurea! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se cotiuasse a adar, chegaria à escola 8 miutos ates do sial, mas se voltasse para pegar a revista, o mesmo passo, chegaria atrasado 0 miutos. Que fração do camiho já tiha percorrido este poto? A) B) 5 9 C) 0 D) E) O gráfico abaixo mostra o faturameto mesal das empresas A e B o segudo semestre de 00. m ilhões de rea is jul ago set out ov dez Com base esse gráfico, podemos afirmar que: A) houve um mês em que o faturameto da empresa A foi o dobro do faturameto da empresa B. B) o mês de julho, a difereça de faturametos foi maior que os demais meses. C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturameto etre dois meses cosecutivos. D) o semestre, o faturameto total de A foi maior que o de B. E) a difereça etre os faturametos totais do semestre excedeu os 0 milhões de reais.. Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Jaeiro um feriado prologado. A viagem de ida e volta, de ôibus, custa 80 reais, mas Patrícia está queredo ir com seu carro, que faz, em média, quilômetros com um litro de gasolia. O litro da gasolia custa, em média, R$,60 e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar 48 reais de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas, chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, ão levado em cota o desgaste do carro e outras despesas iesperadas, Patrícia irá: A) ecoomizar R$0,00. B) gastar apeas R$,00 a mais. EUREKA! N 6, 003 4

5 C) ecoomizar R$4,00. D) gastar o mesmo que se fosse de ôibus. E) gastar R$4,00 a mais. 3. Uma escola vai orgaizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de trasporte. A primeira opção é alugar "vas": cada va pode levar até 6 criaças e seu aluguel custa R$60,00. A seguda opção é cotratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa usa ôibus com capacidade para 48 criaças e cobra R$37,00, mais R$0,00 por ôibus utilizado. A escola deve preferir a empresa de ôibus se forem ao passeio pelo meos N criaças. O valor de N é: A) 8 B) 3 C) 3 D) 33 E) O produto de um milhão de úmeros aturais, ão ecessariamete distitos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses úmeros? A) B) C) D) E) Se você tiver uma mesa de bilhar retagular cuja razão etre a largura e o comprimeto seja 5/7 e bater em uma bola que está em um cato, de modo que ela saia a direção da bissetriz do âgulo desse cato, quatas vezes ela baterá os lados ates de bater em um dos catos? A) 0 vezes B) vezes C) 3 vezes D) 4 vezes E) 5 vezes 6. Na malha quadriculada a seguir, todas as circuferêcias têm cetro em M. Etão pode-se cocluir que a área preta é: M A) dois quitos da área do círculo maior. B) três sétimos da área do círculo maior. C) metade da área do círculo maior. D) quatro sétimos da área do círculo maior. E) três quitos da área do círculo maior. EUREKA! N 6, 003 5

6 7. As figuras a seguir são costruídas com palitos pretos e bracos. Para costruir as figuras, os palitos pretos foram colocados apeas as bordas e os bracos apeas o iterior. A figura de úmero correspode a um retâgulo 3 por. Cotiuado esse procedimeto, quatos palitos bracos teremos a figura 00? 3 A) 00 B) 4004 C) 006 D) 0007 E) Um produtor de leite egarrafa diariamete toda a produção de leite de sua fazeda. Depois de tirado, o leite segue para um taque de forma cilídrica e etão é egarrafado, coforme vemos a figura a seguir. Na tabela vemos a quatidade de garrafas que foram echidas e o ível do leite detro do taque. Depois de quatas garrafas serem echidas o taque ficará vazio? Quatidade de garrafas echidas Nível do taque (cm) A) 000 B) 050 C) 00 D) 50 E) Escrevedo todos os úmeros iteiros de 00 a 999, quatas vezes escrevemos o algarismo 5? A) 50 B) 70 C) 7 D) 80 E) 9 0. Uma usia comprou 000 litros de leite puro e etão retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte e substituiu esse volume por água. Em seguida, retirou ovamete o mesmo volume V da mistura e ovamete substituiu por água. Na mistura fial existem 5 litros de leite. O volume V é: A) 500 litros B) 600 litros C) 700 litros D) 800 litros E) 900 litros EUREKA! N 6, 003 6

7 PROBLEMAS NÍVEL. Um comerciate comprou dois carros por um total de R$ 7.000,00. Vedeu o primeiro com lucro de 0% e o segudo com prejuízo de 5%. No total gahou R$ 750,00. Os preços de compra foram, respectivamete, A) R$ 0.000,00 e R$ 7.000,00 B) R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 C) R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 D) R$ 5.000,00 e R$.000,00 E) R$ 8.000,00 e R$ 9.000,00. Veja o problema N o. 5 do Nível. 3. Dizer que uma tela de televisão tem 0 polegadas sigifica que a diagoal da tela mede 0 polegadas. Quatas telas de televisão de 0 polegadas cabem uma de 60 polegadas? A) 9 B) 0 C) 8 D) 0 E) Veja o problema N o. 0 do Nível. 5. Dois irmãos, Pedro e João, decidiram bricar de pega-pega. Como Pedro é mais velho, equato João dá 6 passos, Pedro dá apeas 5. No etato, passos de Pedro equivalem à distâcia que João percorre com 3 passos. Para começar a bricadeira, João dá 60 passos ates de Pedro começar a persegui-lo. Depois de quatos passos Pedro alcaça João? A) 90 passos B) 0 passos C) 50 passos D) 80 passos E) 00 passos 6. Veja o problema N o. 9 do Nível. 7. Veja o problema N o. 0 do Nível. 8. Veja o problema N o. 4 do Nível. 9. Veja o problema N o. do Nível. 0. Traçado segmetos, podemos dividir um quadrado em dois quadradihos cogruetes, quatro trapézios cogruetes e dois triâgulos cogruetes, coforme idica o deseho abaixo, à esquerda. Elimiado algumas dessas partes, podemos motar o octógoo represetado à direita. Que fração da área do quadrado foi elimiada? EUREKA! N 6, 003 7

8 A) 9 B) 9 C) 4 D) 3 E) 8 3. Veja o problema N o. do Nível.. Veja o problema N o. 4 do Nível. 3. O lava-rápido "Lave Bem" faz uma promoção: Lavagem simples R$5,00 Lavagem completa R$7,00 No dia da promoção, o faturameto do lava-rápido foi de R$76,00. Nesse dia, qual o meor úmero possível de clietes que foram atedidos? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) Veja o problema N o. 7 do Nível. 5. Quatos úmeros iteiros positivos meores que 900 são múltiplos de 7 e termiam em 7? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 6. Dado um triâgulo ABC ode  = 80 e Ĉ = 40, a medida do âgulo agudo formado pelas bissetrizes dos âgulos  e Bˆ é: A) 40 B) 60 C) 70 o D) 80 E) 0 o 7. Na malha quadrada abaixo, há 6 quadrados de lado 30 cm. A área do triâgulo ABC é: A C B A) 50 cm B) 00 cm C) 75 cm D) 50 cm E) 5 cm 8. Veja o problema N o. 8 do Nível. 9. Veja o problema N o. 9 do Nível. EUREKA! N 6, 003 8

9 0. Se xy = e x + y = 5, etão x y + + x y A) B) C) 4 4 vale: D) E). Veja o problema N o. 3 do Nível.. Durate sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudaças sucessivas da seguite forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava uma garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 5% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta ode estava escrito: "proveme e fique 0% mais baixa"; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mesagem: "beba-me e fique 0% mais alta". Fialmete, comeu um pedaço de outra torta a qual estava escrito:"prove-me e fique 0% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: A) ficou % mais baixa B) ficou % mais alta C) ficou 5% mais baixa D) ficou 5% mais alta E) ficou 0% mais alta 3. Vamos provar que 4 é maior que 4. Sejam a e b dois úmeros tais que a > 4 e a = b. ) Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação: a = b a 4 = b 4 ) Colocamos em evidêcia o segudo membro da equação: a 4 = ( b + 4) a 4 = (4 b) 3) Elevamos ambos os termos da equação ao quadrado: ( a 4) = [ (4 b)] = ( a 4) ( ) (4 b ( a 4) = (4 b) ( a 4) = (4 b) 4) Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação: ( a 4) (4 b a 4 = 4 b 5) Como a = b, substituímos b por a a 4 = 4 a = ) ) EUREKA! N 6, 003 9

10 6) Resolvemos a equação: a 4 = 4 a a = 8 a = 4 Como escolhemos a tal que a > 4, chegamos à iacreditável coclusão de que 4 > 4. Ode está o erro o argumeto acima? A) Na passagem. B) Na passagem 3. C) Na passagem 4. D) Na passagem 5. E) Na passagem Veja o problema No. 5 do Nível. 5. O resto da divisão por 9 de é: A) 0 B) C) 3 D) 6 E) 8 PROBLEMAS NÍVEL 3. Veja o problema N o. do Nível. p 6, Se é a fração irredutível equivalete a o valor de p + q é igual a: q, A) 38 B) 39 C) 40 D) 4 E) 4 3. Veja o problema N o. do Nível. 4. A seguir vemos quatro vasos, os quais Agela vai echer com água, uma toreira cuja vazão é costate. 3 4 Os gráficos A e B a seguir represetam o ível da água (eixo vertical), em dois dos vasos, de acordo com o tempo (eixo horizotal). A Qual dos vasos correspode ao gráfico A e qual ao gráfico B, respectivamete? A) 3 e 4 B) e 4 C) e 3 D) e 3 E) e 4 B EUREKA! N 6, 003 0

11 5. Veja o problema N o. 3 do Nível. 6. Veja o problema N o. do Nível. 7. Veja o problema N o. 0 do Nível. 8. Veja o problema N o. 8 do Nível. 9. Veja o problema N o. 0 do Nível. 0. Veja o problema N o. 0 do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática. A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 aos. A média aritmética das idades dos médicos é 35 aos e a dos advogados é 50 aos. Pode-se, etão, afirmar que: A) O úmero de advogados é o dobro do úmero de médicos o grupo. B) O úmero de médicos é o dobro do úmero de advogados o grupo. C) Há um médico a mais o grupo. D) Há um advogado a mais o grupo. E) Existem as mesmas quatidades de médicos e advogados o grupo.. Os valores de x, y e z que satisfazem às equações x + = 5, y + = e y z z + = são tais que x + 3 y + z é igual a: x A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Veja o problema N o. 3 do Nível. 4. Veja o problema N o. 5 do Nível. 5. Sejam x, y, z úmeros iteiros tais que x + y + z = 0. Sobre feitas as seguites afirmativas: i) É ecessariamete múltiplo de. ii) É ecessariamete múltiplo de 3. iii) É ecessariamete múltiplo de 5. Podemos afirmar que: são x y + z A) somete i) é correta. B) somete ii) é correta. C) somete i) e ii) são corretas. D) somete i) e iii) são corretas. E) i), ii) e iii) são corretas. EUREKA! N 6, 003

12 6. Seja f uma fução real de variável real que satisfaz a codição: 00 f ( x) + f = 3x x para x > 0. O valor de f() é igual a: A) 000 B) 000 C) 3000 D) 4000 E) Veja o problema N o. 5 do Nível. 8. Na circuferêcia abaixo, temos que: AB = 4, BC =, AC é diâmetro e os âgulos AB ˆ D e CB ˆ D são iguais. Qual é o valor de BD? A D B A) 3 + B) 9 5 C C) 3 D) + 5 E) 4 9. Seja α a maior raiz de x + x = 0. O valor de α 5 5α é : A) B) C) 3 D) E) Qual é o dígito das uidades de 7, ode aparecem 00 setes? A) 7 B) 9 C) 3 D) E) 5.. Em um trapézio ABCD de área, a base BC mede a metade da base AD. Seja K o poto médio da diagoal AC. A reta DK corta o lado AB o poto L. A área do quadrilátero BCKL é igual a: 3 A) B) C) D) E) N = é um úmero iteiro positivo com oito algarismos, sedo o primeiro e o último descohecidos. Sabedo que N é um múltiplo de 98, ecotre o algarismo das uidades de N / 98. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 EUREKA! N 6, 003

13 3. No trimió marciao, as peças têm 3 úmeros cada (diferete do domió da terra, ode cada peça tem apeas úmeros). Os úmeros o trimió marciao também variam de 0 a 6, e para cada escolha de 3 úmeros (ão ecessariamete distitos) existe uma e somete uma peça que cotém esses 3 úmeros. Qual é a soma dos úmeros de todas as peças do trimió marciao? A) 756 B) 5 C) 84 D) 35 E) No triâgulo ABC, o âgulo  mede 60 e o âgulo B mede 50. Sejam M o poto médio do lado AB e P o poto sobre o lado BC tal que AC + CP = BP. Qual a medida do âgulo MPC? A) 0 B) 5 C) 30 D) 35 E) Duas pessoas vão disputar uma partida de par ou ímpar. Elas ão gostam do zero e, assim, cada uma coloca,, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. A probabilidade de que a pessoa que escolheu par gahe é: A) / B) /5 C) 3/5 D) /5 E) 3/5 GABARITO NÍVEL (5 a. e 6 a. Séries) ) C 6) D ) D 6) C ) C 7) B ) C 7) D 3) B 8) D 3) B 8) B 4) B 9) C 4) D 9) D 5) D 0) B 5) A 0) A NÍVEL (7 a. e 8 a. Séries) ) C 6) C ) D 6) C ) B ) A 7) B ) D 7) C ) A 3) A 8) B 3) C 8) D 3) C 4) A 9) C 4) B 9) D 4) D 5) E 0) B 5) D 0) B 5) D NÍVEL 3 (Esio Médio) ) D 6) A ) B 6) B ) D ) E 7) B ) B 7) D ) C 3) C 8) D 3) C 8) C 3) A 4) C 9) B 4) D 9) C 4) E 5) B 0) B 5) C 0) C 5) E EUREKA! N 6, 003 3

14 PROBLEMAS NÍVEL Sociedade Brasileira de Matemática XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase PROBLEMA O ao 00 é palídromo, ou seja, cotiua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 00, quais serão os próximos quatro aos palídromos? b) O último ao palídromo, 99, era ímpar. Quado será o próximo ao palídromo ímpar? PROBLEMA Um fazedeiro resolveu repartir sua fazeda para seus cico filhos. O deseho ao lado (fora de escala) represeta a fazeda e as partes dos herdeiros, que são da forma triagular, de BC AC DC modo que BD =, AE =, DF = e 4 3 EG = GC. O filho mais ovo recebeu o terreo represetado pelo triâgulo escuro, de 40 alqueires. Quatos alqueires tiha a propriedade origial? B D A E F G C PROBLEMA 3 Dado um úmero, pode-se escrever o seu dobro ou suprimir o seu algarismo das uidades. Apresete uma seqüêcia que começa com 00 e termia com 3, usado somete essas duas operações. PROBLEMA 4 Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e braco, respectivamete. Seus pares de sapato apresetavam essas mesmas três cores, mas somete Aa usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido em os sapatos de Júlia eram bracos. Marisa usava sapatos azuis. Descreva a cor do vestido de cada uma das moças. EUREKA! N 6, 003 4

15 PROBLEMA 5 No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem 5 potos cada uma, as azuis valem 0 potos, as amarelas valem 5, as vermelhas, 0 e a preta, 50. Existem 5 varetas verdes, 5 azuis, 0 amarelas, 0 vermelhas e preta. Carlihos coseguiu fazer 40 potos uma jogada. Levado em cota apeas a quatidade de varetas e suas cores, de quatas maeiras diferetes ele poderia ter coseguido essa potuação, supodo que em cada caso fosse possível pegar as varetas ecessárias? PROBLEMA 6 Nas casas de um tabuleiro 8 8 foram escritos úmeros iteiros positivos de forma que a difereça etre úmeros escritos em casas vizihas (quadrados com um lado comum) é. Sabe-se que uma das casas está escrito 7 e, em outra, está escrito 3. Desehe um tabuleiro 8 8, preecha-o segudo essas regras e calcule a soma dos úmeros escritos as duas diagoais do tabuleiro. PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA Geraldiho e Magrão saíram de suas casas o mesmo istate com a iteção de um visitar o outro, camihado pelo mesmo percurso. Geraldiho ia pesado um problema de olimpíada e Magrão ia refletido sobre questões filosóficas e em perceberam quado se cruzaram. Dez miutos depois, Geraldiho chegava à casa de Magrão e meia hora mais tarde, Magrão chegava à casa de Geraldiho. Quato tempo cada um deles adou? Observação: Cada um deles ada com velocidade costate. PROBLEMA YHUGH -7,3.4 D] XO DPDUHOR Um grade paiel a forma de um quarto de círculo foi composto com 4 cores, coforme idicado a figura ao lado, ode o segmeto divide o setor em duas partes iguais e o arco itero é uma semicircuferêcia. Qual é a cor que cobre a maior área? EUREKA! N 6, 003 5

16 PROBLEMA 3 Nas casas de um tabuleiro 8 8 foram escritos úmeros iteiros positivos de forma que a difereça etre úmeros escritos em casas vizihas (quadrados com um lado comum) é. Sabe-se que uma das casas está escrito 7 e, em outra, está escrito 3. Calcule a soma dos úmeros escritos as duas diagoais do tabuleiro. PROBLEMA 4 A B C D O professor Pardal está estudado o comportameto familiar de uma espécie de pássaro. Os potos A, B, C e D da figura ao lado, represetam a disposição de quatro ihos desses pássaros. O professor costruiu um posto de observação equidistate dos quatro ihos. Todos os ihos e o posto de observação estão em um mesmo ível de altura a partir do solo, a distâcia de B a D é de 6 metros e B A ˆD = 45. Determie a distâcia que o posto guarda de cada iho. PROBLEMA 5 O primeiro úmero de uma seqüêcia é 7. O próximo é obtido da seguite maeira: Calculamos o quadrado do úmero aterior 7 = 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicioamos, isto é, o segudo úmero é = 4. Repetimos este processo, obtedo 4 = 96 e o terceiro úmero da seqüêcia é = 7 e assim sucessivamete. Qual o 00 o elemeto desta seqüêcia? PROBLEMA 6 O ao 00 é palídromo, ou seja, cotiua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 00, quais serão os próximos quatro aos palídromos? b) O último ao palídromo, 99, era ímpar. Quado será o próximo ao palídromo ímpar? c) O último ao palídromo primo acoteceu há mais de 000 aos, em 99. Determie qual será o próximo ao palídromo primo. PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA Veja o problema N o. 5 do Nível. PROBLEMA Para quais iteiros positivos existe um polígoo ão regular de lados, iscrito em uma circuferêcia, e com todos os âgulos iteros de mesma medida? EUREKA! N 6, 003 6

17 PROBLEMA 3 Determie o maior atural para o qual existe um iteiro tal que divide PROBLEMA 4 Quatos dados devem ser laçados ao mesmo tempo para maximizar a probabilidade de se obter exatamete um? PROBLEMA 5 Em um quadrilátero covexo ABCD, os lados opostos AD e BC são cogruetes e os potos médios das diagoais AC e BD são distitos. Prove que a reta determiada pelos potos médios das diagoais forma âgulos iguais com AD e BC. PROBLEMA 6 Colocamos vários palitos sobre uma mesa de modo a formar um retâgulo m, como mostra a figura. Devemos pitar cada palito de azul, vermelho ou preto de modo que cada um dos quadradihos da figura seja delimitado por exatamete dois palitos de uma cor e dois de outra cor. De quatas formas podemos realizar esta pitura?... m EUREKA! N 6, 003 7

18 SOLUÇÕES NÍVEL SOLUÇÃO DO PROBLEMA a) Os palídromos etre 000 e 3000 são da forma aa, ode a é um algarismo. Logo os próximos quatro serão,, 33 e 44. b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palídromo ímpar maior que 00 deve começar e termiar por um úmero ímpar maior ou igual a 3. Logo o próximo será SOLUÇÃO DO PROBLEMA Seja S a área do triâgulo ABC. BC S Se BD =, etão ( ABD ) =. 4 4 S 3S AC S ( ADC) Se AE =, etão 4 4 S ( AED ) = = = = S S S + DC ( DEC) 4 4 S Se DF =, etão ( DEF ) = = =. 4 3S S Se EG = EC, etão ( EFC) 4 S ( GFC ) = = =. 8 S Como (GFC) = 40 temos = 40 S = 30 alqueires. 8 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3 Uma possível solução é: 00, 00, 0,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 5, 0, 04, 408, 86, 63, 63, 36, 65, 304, 30, 3. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4 Como os sapatos de Marisa eram azuis, e em o vestido em os sapatos de Júlia eram bracos, coclui-se que os sapatos de Júlia eram pretos e portato os sapatos de Aa eram bracos. O vestido de Aa era braco, pois era a úica que usava vestido e sapatos da mesma cor; coseqüetemete, o vestido de Júlia era azul e o de Marisa era preto. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5 A soma dos potos é 40. Segudo as regras do jogo, as possibilidades são: EUREKA! N 6, 003 8

19 () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () (3) ão dá, pois há apeas 5 varetas verdes. A resposta é portato: de 3 maeiras diferetes. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6 Como a difereça etre o 7 e o 3 é 4, esses úmeros devem estar em posições afastadas de 4 casas, cotadas a horizotal ou vertical. Portato 7 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagoais do tabuleiro. A partir disso, o preechimeto das diagoais é feito de maeira úica. E uma maeira de se preecher o tabuleiro é a seguite: a soma dos úmeros escritos as diagoais é: ( ) = 60. EUREKA! N 6, 003 9

20 SOLUÇÕES NÍVEL SOLUÇÃO DO PROBLEMA Seja t > 0 o tempo, em miutos, decorrido desde a saída de Geraldiho e Magrão até o istate do ecotro. Sejam g e m as distâcias etre o poto de ecotro e as casas de Geraldiho e Magrão, respectivamete. Como Geraldio percorre a distâcia g em t miutos e a g t distâcia m em 0 miutos, temos =. m 0 Aalogamete, g 40 =. Logo t 40 = t = 400 t = 0 (pois t > 0). Logo m t 0 t Geraldiho adou = 30 miutos e Magrão adou = 60 miutos. SOLUÇÃO DO PROBLEMA Sejam x, y, z e w as áreas das regiões braca, amarela, azul e verde, respectivamete. Seja R o raio do semicírculo. Temos πr x + y = w z πr x e y + z = x + w = π (R) = 8 y Assim, x + y = y + z = x + w, logo x = z e y = w. Como se x é a área de um segmeto circular de âgulo πr R π 90 e raio R, x = = R e y = π R. Assim x = z < y = w. 4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3 Como a difereça etre o 7 e o 3 é 4, esses úmeros devem estar em posições afastadas de 4 casas, cotadas a horizotal ou vertical. Portato 7 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagoais do tabuleiro. A partir disso, o preechimeto das diagoais é feito de maeira úica. E uma maeira de se preecher o tabuleiro é a seguite: EUREKA! N 6, 003 0

21 a soma dos úmeros escritos as diagoais é: ( ) = 60. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4 Observe que o posto do observador coicide com o cetro do círculo circuscrito ao quadrilátero ABCD. Como BD = 6, sedo O o cetro do círculo circuscrito, temos BOD ˆ = BAD ˆ = 90 e BO = OD = r, dode 6 = r + r, pelo teorema de Pitágoras, e logo r = 8 = 8. Assim, a distâcia do posto (que deve ficar em O) aos ihos será de 8 metros. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5 Os primeiros úmeros da seqüêcia são (7, 4, 7, 0, 5, 8,, 5...) dode vemos que, exceto pelos 4 primeiros termos, a seqüêcia é periódica com período 3. Como 00 deixa resto quado dividido por 3, o úmero procurado coicide com aquele que ocupa o 7 o. lugar a seqüêcia, a saber,. Observação: Para qualquer termo iicial, a seqüêcia costruída de acordo com método descrito o euciado do problema será evetualmete periódica, (isto é teremos a + = a para todo m, para certos valores positivos de m e ). SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6 a) Os palídromos etre 000 e 3000 são da forma aa, ode a é um algarismo. Logo os próximos quatro serão,, 33 e 44. b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palídromo ímpar maior que 00 deve começar e termiar por um úmero ímpar maior ou igual a 3. Logo o próximo será c) Um palídromo de quatro algarismos é da forma abba = a + 0b + 00b + 000a = 00a + 0b, que é múltiplo de, já que 0 e 00 são múltiplos de. Logo o próximo ao palídromo primo tem o míimo 5 algarismos. Os meores palídromos de 5 algarismos são 000, que é múltiplo de 73 e 00, que é múltiplo de 3. O próximo é 00 = 0, divisível por 0. O seguite, 030, é primo, pois ão é divisível por qualquer primo meor que 030 <0. EUREKA! N 6, 003

22 SOLUÇÕES NÍVEL 3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA Veja a solução do problema N o. 5 do Nível. SOLUÇÃO DO PROBLEMA Seja C a circuferêcia de cetro O circuscrita ao polígoo A A...A. Os triâgulos A i A i + O (com A + = A ) são isósceles. Seja α OAˆ A. Etão () α + α = α + α 3 = α 3 + α 4 =... = α + α. Portato. α = α 3 = α 5 =..., α = α 4 = α 6 =... α = α A α α A A α 3 α α α 3 i = i i+ α O α 3 Se for ímpar, etão α = α =... = α, logo todos os âgulos A ˆ ioa i+ serão iguais e o polígoo será regular. Para par, ão é ecessário que todos os âgulos sejam iguais. 80( ) Escolhedo x y de modo que x + y = âgulo itero = e fazedo x = α = α 3 =... = α, y = α = α 4 =... = α, obtemos um polígoo iscritível ão regular com todos os âgulos de mesma medida. Portato, para par 4, existe um polígoo de lados satisfazedo as codições do problema. SOLUÇÃO DO PROBLEMA Se = 3r, etão 3 + = (3r) 3 (3r) + é a soma de um múltiplo de 3 com, logo ão é múltiplo de 3. Se = 3r +, etão EUREKA! N 6, 003

23 3 3 Sociedade Brasileira de Matemática = (3r + ) 3(3 r + ) + = (3r ) + 3 (3r ) + 3 (3r ) + 3 (3r ) 3 3 (3r) 3+ = (3r) 3 (3r) + 0, que também ão é múltiplo de Fialmete, se = 3r, etão 3 + = (3r ) 3(3r ) + = 3 3 = (3r) 3 (3r) + 3 (3r) 3 (3r) + 3 (3r) 3 + = (3r) 6 (3r) + 9 3r + 8, que é a soma de um múltiplo de 7 com 8, e portato é múltiplo de 9 mas ão de 7, logo a maior potêcia de 3 que divide um úmero da forma é 3 = 9. Assim, é o máximo. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4 Supoha que os dados estão umerados de a. A probabilidade de que somete o dado N o. resulte em é: = Aalogamete, a probabilidade de que somete o dado, ( ) resulte em é = Portato, a probabilidade de obter exatamete um é P = = Agora observe que P P + ( + ) 6 5( + ) Para = 5, ocorre a igualdade (P 5 = P 6 ), P 5 = P 6 > P 7 > P 8 > P 9 >... e P < P < P 3 < P 4 < P 5 = P 6 E a probabilidade é máxima para = 5 ou = 6. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5 Sejam M e N os potos médios de AC e BD e P o poto médio do lado AB. Etão PM é base média do ABC e PN base média do ABD. Segue que BC AD PM = = = PN. Sedo X e Y as iterseções da reta MN com BC e AD, temos etão BXM ˆ = PMN ˆ = PNM ˆ = AYN ˆ ou B XM ˆ = π PMN ˆ = π PNM ˆ = AYˆ N. EUREKA! N 6, 003 3

24 A P B X Y N M D SOLUÇÃO ALTERNATIVA: A + C B + D Provaremos que se, M = e N = etão o vetor MN faz âgulos iguais com AD e BC. Para isso, como AD = BC, basta ver que os produtos iteros MN AD e MN BC têm o mesmo módulo. Temos A + C B D MN AD = ( N M ) ( D A) = ( C B) ( D A) C B = C ( C B) ( D A) D A ( D A) = = ( D + B A C ) ( C B) = = ( M N ) ( C B) = MN BC SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6 Há 3 maeiras de colorir a fileira horizotal superior de palitos. O palito vertical mais à esquerda da primeira liha também pode ser colorido de 3 maeiras Uma vez defiidas as cores dos palitos superior e mais à esquerda de um quadradiho, há duas maeiras de completá-lo segudo as codições do euciado: se ambos têm mesma cor, há duas escolhas para a cor dos dois palitos restates; se ambos têm cores diferetes, há duas maeiras de colorir os dois palitos restates com estas cores. Assim, para completar a primeira liha de quadrados há 3 3 maeiras Da mesma forma, a cor do palito vertical mais à esquerda da seguda liha de quadrados pode ser escolhido de 3 maeiras, e há maeiras de colorir os demais palitos desta liha. Assim, para m =, há colorações possíveis. m + m m Aalogamete, o caso geral, há 3 (3 ) = 3 maeiras de realizar a pitura pedida. EUREKA! N 6, 003 4

25 PROBLEMAS NÍVEL Sociedade Brasileira de Matemática XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase PROBLEMA No quadriculado ao lado estão escritos todos os iteiros de a 5. Cosidere todos os cojutos formados por cico desses úmeros, de modo que, para cada cojuto, ão existem dois úmeros que estão a mesma liha ou a mesma colua a) Apresete um cojuto cujo maior elemeto é o 3. b) Apresete um cojuto cujo maior elemeto é o meor possível PROBLEMA No deseho ao lado, a reta t é perpedicular ao segmeto AB e passa pelo seu poto médio M. Dizemos que A é o simétrico de B em relação à reta t (ou em relação ao segmeto PQ ). Seja XYZ um triâgulo retâgulo de área m. Cosidere o triâgulo X'Y'Z' tal que X' é o simétrico de X em relação ao lado YZ, Y' é o simétrico de Y em relação ao lado XZ e Z' é o simétrico de Z em relação ao lado XY. Calcule a área do triâgulo X'Y'Z'. t A M P Q B PROBLEMA 3 Um parque tem a forma de um quadrilátero e possui oito portões de etrada: um em cada vértice do quadrilátero e um o meio de cada lado. Os portões foram umerados de a 8, de forma que a soma T dos úmeros em cada lado é a mesma para os quatro lados. Apresete um exemplo de umeração dos potos para cada um dos possíveis valores de T. EUREKA! N 6, 003 5

26 PROBLEMA 4 Sete moedas estão dispostas em círculo, com a coroa visível. a) Mostre que é possível, virado-se cico moedas cosecutivas de cada vez, fazer com que todas fiquem com a cara visível. b) Mostre que ão é possível, virado-se quatro moedas cosecutivas de cada vez, fazer com que todas fiquem com a cara visível. PROBLEMA 5 São dados um tabuleiro de xadrez (8 8) e palitihos do tamaho dos lados das casas. Dois jogadores jogam alteradamete e, em cada jogada, um dos jogadores coloca um palitiho sobre um lado de uma casa do tabuleiro, sedo proibido sobrepor palitihos. Vece o jogador que coseguir completar primeiro um quadrado de palitihos. Supodo que ehum jogador cometa erros, qual dos dois jogadores tem a estratégia vecedora, ou seja, cosegue vecer idepedetemete de como jogue seu adversário? PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA Veja o problema N o. do Nível. PROBLEMA Mostre que, etre dezoito iteiros cosecutivos de três algarismos, sempre existe algum que é divisível pela soma de seus algarismos. PROBLEMA 3 São dados um tabuleiro quadriculado m e palitihos do tamaho dos lados das casas. Dois jogadores jogam alteradamete e, em cada jogada, um dos jogadores coloca um palitiho sobre um lado de uma casa do tabuleiro, sedo proibido sobrepor palitihos. Vece o jogador que coseguir completar primeiro um quadrado de palitihos. Supodo que ehum jogador cometa erros, qual dos dois jogadores tem a estratégia vecedora, ou seja, cosegue vecer idepedetemete de como jogue seu adversário? EUREKA! N 6, 003 6

27 PROBLEMA 4 Uma mistura possui os compoetes A e B a razão 3 : 5, uma seguda mistura possui os compoetes B e C a razão : e uma terceira mistura possui os compoetes A e C a razão : 3. Em que razão devemos combiar a a, a e 3 a misturas para que os compoetes A, B e C apareçam a razão 3 : 5 :? PROBLEMA 5 Seja ABC um triâgulo iscrito em uma circuferêcia de cetro O e P um poto sobre o arco AB que ão cotém C. A perpedicular traçada por P à reta BO itersecta AB em S e BC em T. A perpedicular traçada por P a AO itersecta AB em Q e AC em R. Prove as duas afirmações a seguir: a) PQS é um triâgulo isósceles b) PQ = QR ST PROBLEMA 6 Seja um iteiro positivo. Defiimosϕ ( ) = p p... p, ode p, p,..., p são os fatores primos distitos de. Prove que para todo m, existe tal que ϕ ( ) = m!. Obs: m! =... m. PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA Mostre que existe um cojuto A formado por iteiros positivos tedo as seguites propriedades: a) A tem 00 elemetos. b) A soma de qualquer quatidade de elemetos distitos de A (pelo meos um) uca é uma potêcia perfeita. Obs: Uma potêcia perfeita é um úmero da forma a b, ode a e b são iteiros positivos e b. EUREKA! N 6, 003 7

28 PROBLEMA ABCD é um quadrilátero covexo e iscritível e M é um poto sobre o lado CD, tal que o triâgulo ADM e o quadrilátero ABCM têm a mesma área e o mesmo perímetro. Prove que ABCD tem dois lados de comprimetos iguais. PROBLEMA 3 Numeramos as casas de um tabuleiro quadriculado m, ode m,, com os iteiros,, 3,...,m de modo que, para todo i m, as casas i e i + teham um lado em comum. Prove que existe i m 3 tal que as casas i e i + 3 têm um lado em comum. PROBLEMA 4 Defiimos o diâmetro de um subcojuto ão vazio de {,,..., } como a difereça etre seu maior elemeto e seu meor elemeto (em módulo). Calcule a soma dos diâmetros de todos os subcojutos ão vazios de {,,..., }. PROBLEMA 5 Temos um úmero fiito de quadrados, de área total 4. Prove que é possível arrajálos de modo a cobrir um quadrado de lado. Obs: É permitido sobrepor quadrados e parte deles pode ultrapassar os limites do quadrado a ser coberto. PROBLEMA 6 Araldo e Beatriz se comuicam durate um acampameto usado siais de fumaça, às vezes usado uma uvem grade, às vezes uma pequea. No tempo dispoível ates do café da mahã, Araldo cosegue eviar uma seqüêcia de 4 uves. Como Beatriz em sempre cosegue distiguir uma uvem pequea de uma grade, ela e Araldo fizeram um dicioário ates de ir para o acampameto. No dicioário aparecem N seqüêcias de 4 tamahos de uvem (como por exemplo a seqüêcia PGPGPGPGPGPGGPGPGPGPGPGP, ode G sigifica uvem grade e P sigifica uvem pequea). Para cada uma das N seqüêcias, o dicioário idica seu sigificado. Para evitar iterpretações erradas, Araldo e Beatriz evitaram icluir o dicioário seqüêcias parecidas. Mais precisamete, duas seqüêcias o dicioário sempre diferem em pelo meos 8 das 4 posições. Demostre que N EUREKA! N 6, 003 8

29 SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE MÁRCIO H. MORAES FERNANDES (RIO DE JANEIRO - RJ) Das iformações dadas pelo problema coclui-se a seguite propriedade: Propriedade: Como dois úmeros ão podem ficar a mesma colua ou a mesma liha, sedo que para formar um cojuto são precisos 5 úmeros e sabedo que o quadriculado possui 5 lihas e 5 coluas, cada úmero do cojuto tem que ocupar uma liha e uma colua e coseqüetemete, cada liha e cada colua estarão ocupadas por um úmero do cojuto a ser formado. A) A resolução mais simples para que dois úmeros ão se ecotrem a mesma liha ou a mesma colua são as diagoais. Na diagoal do úmero 3, apeas o úmero 5 é maior que este. Assim peguei todos os úmeros da diagoal meos o 5 que tive que substituir pelo 3 (que estava uma colua que aida ão usara) e assim ão pude utilizar o 0 se ão repetiria a colua, dessa forma o último úmero foi o 9 que estava em liha e colua que ão utilizei. Cojuto A = {3, 7,, 3, 9}. O cojuto A é a solução para o item a). B) O meor úmero que pode ser maior o cojuto de 5 úmeros é o 5. Assim, fui elimiado os úmeros a seqüêcia. O úmero 5 pode ser descartado porque o 4 e o 3 estão a mesma liha e para fazer o cojuto sedo 5 o maior, os dois teriam que ser utilizados. O úmero 6 pode ser descartado porque a 4 a. colua da esquerda para a direita, o úico úmero meor que 6 está a mesma liha que ele. Se o úmero 7 for usado, o úico úmero meor que ele a seguda colua, estará a mesma liha dele. Com o 8, a quarta colua poderá ser escolhido o 7 ou 5, escolhedo qualquer um, outros úmeros ão poderão ser utilizados: O (a seguda colua) ou o 6 (a terceira colua). Com o 9 e o 0, se forem escolhidos, o úmero ão poderá ser utilizado por estar a mesma liha, ão restado outro úmero a seguda colua a ser utilizado. E com o pode se fazer um cojuto obedecedo a propriedade. Cojuto B = {, 3, 6, 8, } sedo o meor úmero possível. PROBLEMA Veja a solução do problema N o. do Nível. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE LUCIO ASSAOKA HOSSAKA (CURITIBA PR) Os possíveis valores de T são, 3, 4 e 5 pois 8 < T < 6 = (ote que < 6 é a maior soma possível de úmeros fora de {, 7, 8}). 9 ão é o valor de T pois 8 deve existir e, usado 3 úmeros, é impossível fazer com que a soma de seu lado seja 9. O mesmo acotece com 0, já que ão se pode usar EUREKA! N 6, 003 9

30 e. Não pode, igualmete, ser o valor de T pois 7 e 8 devem existir. O úico jeito de 7 chegar a com mais dois úmeros, é 7,, 3, pois ão se pode repetir úmeros. O úico jeito de somar dois úmeros a 8 com o resultado é 8, e. Fazemos etão uma ilustração: Restam para colocar, os úmeros 4, 5 e 6. É impossível somar desses úmeros com 3 resultado. Os úicos valores para T, são:, 3, 4 e PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE DEBORAH DE SÁ PEREIRA BELFORT (RECIFE PE) a) Para coseguir desviar as sete moedas, foi preciso desvirar as cico primeiras moedas, e depois desvira-se as próximas cico, e algumas voltarão a estar viradas o lado Coroa. Cotiuo com este ciclo até chegar o resultado: = coroa = cara 3 4 EUREKA! N 6,

31 5 6 7 b) De 4 em 4, que é um úmero par, ão se cosegue as sete moedas viradas. Virado as moedas de 4 em 4, a quatidade de caras vai ser sempre úmero par; e 7 é ímpar. PROBLEMA 5 Veja a solução do problema N o. 3 do Nível. SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE ANDRÉ L. RIBEIRO DOS SANTOS (PINDAMONHANGABA - SP) X Y' B. A C Z' α.. Y α Z. A + XYZ + X ' YZ ( LAL) YZˆ' X ' = YZX ˆ = α X' XZ = X ' Z ' Logo XZ // X ' Z ' (olhe os âgulos formados pela trasversal ZZ ' ). Marque os potos B e C o segmeto XZ, como mostra a figura. Seja Y ' A a altura do + BY ' C, em relação a Y '. Prologue A até ecotrar o segmeto X ' Z ', formado 90 em A. EUREKA! N 6, 003 3

32 Agora, ote que Y ' A é a altura do + ZY ' ' X', em relação a Y '. Chame a medida de XZ de y med( XZ) = y = med( X ' Z'). Chame a medida de YA de h med( YA ) = h YA é a altura do + ZYX, em relação a Y; portato h = YA = YA que é a altura correspodete o +Z' YX'. Como Y é simétrico a Y' em relação a XZ, etão YA = Y' A = h Assim Y ' A = YA = YA = h, Área do b h XZ YA yh + XYZ = = = yh Logo =. Área do b h X ' Z ' Y ' A + X ' Y ' Z ' = = = XZ ( Y ' A + YA + YA) y ( h + h + h) 3 yh = = = De yh 3 yh = = 3 Área do + X ' Y' Z' = 3 m. PROBLEMA : SOLUÇÃO DE EDUARDO FISCHER (ENCANTADO - RS) Um úmero divisível por 8 cumpre a codição. Um úmero assim possui a soma dos algarismos igual a 9 ou a 8 (7 só com o 999, que ão é par). Qualquer úmero divisível por 8 é divisível por 9 e 8. Como em cada 8 úmeros iteiros cosecutivos um é divisível por 8 o problema está resolvido. Resp. Etre quaisquer 8 iteiros cosecutivos, um é divisível por 8. A soma dos algarismos de um múltiplo de 8 (com 3 algarismos) é 8 ou 9. Em qualquer caso, o úmero é divisível pela soma dos algarismos. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE ANDRÉ L. RIBEIRO DOS SANTOS (PINDAMONHANGABA - SP) Para preecher todos os quadrados do tabuleiro, precisamos de um úmero ímpar de palitos, se as paridades de m e forem diferetes; ou de um úmero par de palitos, se as paridades forem iguais: i) m e são de paridades diferetes: o primeiro jogador coloca o primeiro palito a posiçào cetral do tabuleiro e imita espelhadamete *(em relação ao palito) as EUREKA! N 6, 003 3

33 jogadas do adversário. Haverá uma hora em que todos os quadrados serão ocupados com palitos e será a vez do segudo jogador. Este por sua vez preeche um dos quadradihos com o terceiro palito e o primeiro jogador o completa em seguida, vecedo o jogo. ii) m e são de paridades iguais: o segudo jogador copia as jogadas do primeiro, espelhadamete*, quado sobram todos os quadrados preechidos com palitos é a vez do primeiro jogador, este preeche um quadrado com o terceiro palito, e o segudo jogador o completa gahado o jogo. *espelhadamete: como se estivesse olhado para um espelho, tem a mesma profudidade mas é ivertido lateralmete. Exemplos: par x par ímpar x ímpar ímpar x par A C B D C A cetral B D C A cetral B D Em todos os casos A está espelhado a B e C está espelhado D. Se m e tem a mesma paridade o segudo jogador gaha, se tem paridades diferetes o primeiro gaha. PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE THOMÁS YOITI SASAKI HOSHINA (RIO DE JANEIRO RJ) Temos a mistura: 3 I 8 A e 5 8 B II 3 B e 3 C III 5 A e 3 5 C Queremos que a mistura 3 IV 0 A, B e 5 C Se pegarmos x da I, y da II e z da III teremos: EUREKA! N 6,

34 3 3 A x+ z = B y+ x = C y+ z = x+ 6z = 5x+ 8y = 0y+ 9z = 3 y = z 6 3 y = z = Teriamos que y = e 9 x: y: z = 0 : 6 : 3. 3 z =, logo 9 0 x = 9 PROBLEMA 5: SOLUÇÃO DE THOMÁS YOITI SASAKI HOSHINA (RIO DE JANEIRO RJ) B α γ 90 α β A P α γ γ 90 α α β γ α α Q α M δ R S α N O α γ E T γ C a) Chamemos PQS ˆ de α, logoqam ˆ = 90 α e sedo + ABO isósceles ABO ˆ = 90 α, etão PSQ ˆ = α. Logo + PSQ é isósceles. b) Agora chamemos PAQ ˆ = γ e OBC ˆ = β teremos etão que, como X BPS ˆ = BXP ˆ = PAB ˆ = γ, + APQ + PSB, logo AQ = PQ PQ PS = AQ BS PS BS EUREKA! N 6,

35 Como queremos provar que Sociedade Brasileira de Matemática PQ = QR ST, e PQ = PS, Basta apeas provar AQ BS = QR ST ou Pelo + AQM, Pelo + AQR, Logo AM AM seα = AQ = AQ se α AQ ST QR = BS QR AR AR cos β = QR = se(90 β ) seα seα AQ AM = QR AR cos β AM cos( α β ) = AR ST BT BT cos( α β ) Pelo + BST, = ST = se(90 α + β) seα seα BN BN Pelo + BSN, seα = BS = BS seα ST BT cos( α β ) BN Logo = ; cos β = BS BN BT AM BT cos( α β) AM BT cos β = = AR cos β BN AR cos( α β ) BN cos( α β) cos β = =. cos( α β) cos β PROBLEMA 6: SOLUÇÃO ADAPTADA DE GABRIEL BUJOKAS (SÃO PAULO - SP) Seja p i o i-ésimo primo positivo. e e e (... e e e + ϕ p p p ) = p p p ( p )...( p ); com, e ]* (isso vem diretamete da fórmula). Etão basta escrever M! da forma ao lado direito da igualdade. Para M pequeo é fácil. 0! = ( ) =ϕ()! = ( ) =ϕ(4) 0 3! = 3 ( )(3 ) =ϕ(8) EUREKA! N 6,

36 = =ϕ 4! 3 ( )(3 ) (7) Sociedade Brasileira de Matemática Agora utilizarei idução. Seja p 5 o -ésimo primo. Supoha que para todo < p,! possa ser escrito a forma acima utilizado apeas primos meores e e e que p a fatoração. Etão ( )! (... p = ϕ p p p ) implica e e e! ( )( )! ( ) ( )! (... p = p p p = ϕ p p = ϕ p p p p). Para os m com p, < m< p + m é um produto de primos meores ou iguais a p, dode m! = m ( m )! também é da forma acima. Coclusão: Para todo M existe um N tal que M! = ϕ( N). SOLUÇÕES NÍVEL 3 PROBLEMA : SOLUÇÃO DE THIAGO MORELLO PERES (RIO DE JANEIRO - RJ) Por absurdo, supohamos a iexistêcia da seqüêcia satisfazedo o item b. Seja p um úmero primo maior que Seja uma seqüêcia a progressão aritmética de primeiro termo p e a razão p: A= { p, p,3 p...,00 p} Assim qualquer soma é do tipo p com < p até mesmo para a soma total: ( + 00) 00 p = p Garate-se assim, que a soma ão é potêcia perfeita, quaisquer que sejam as parcelas desta. Como este exemplo ão cofere com a suposição, esta é um absurdo e, portato existem seqüêcias satisfazedo os ites a e b simultaeamete. cqd. PROBLEMA : SOLUÇÃO DE ELDER RODRIGO B. CAMPOS (RIO DE JANEIRO - RJ) C e M d D θ a c π θ B b A EUREKA! N 6,

37 p( ADM) = p(, ABCM) a+ b+ e+ = c+ d + c+ d = a+ b+ e (I) ( d + e) c se θ ab se θ S(, ABCD) = +. cd se θ S( ADM ) = ora, se S( ADM ) = S(, ABCM ) e S( ADM ) + S(, ABCM ) = S(, ABCD) S(, ABCD) = S( ADM ) ( d + e) c se θ + ab se θ = cd se θ ec + ab = cd (II) ab = c(d e). De (I): b + a c = d e. (I) em (II) ab = c( a + b c) ab = ac + bc c a( b c) = c( b c) b= c ou a= c Logo,, ABCD tem dois lados de mesmo comprimeto. cqd. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE HENRIQUE CHOCIAY (PINHAIS - PR) A umeração da tabela pode ser comparada com o preechimeto de uma malha de potos, observe: Ex.: Tabela Malha 3 4 Fim Iício O preechimeto da tabela é aálogo à tarefa de passar por todos os potos da malha com uma liha úica (sem "quebras" ou bifurcações). A ocorrêcia de i ao lado de (i + 3), por sua vez, é aáloga às figuras: EUREKA! N 6,

38 i i + i + 3 i +,,, a malha. O problema tora-se, etão, provar que é impossível preecher a tabela sem realizar uma dessas figuras. A malha é formada por (m )( ) quadrados de 4 potos próximos, os quais terão algus de seus lados preechidos ao fim do preechimeto. Se houver quadrado com 3 lados pitados, haverá i i + 3 Ou i ao lado de i + 3. O total de lados dos quadrados (com multiplicidade) é 4(m ) ( ) = t ) Para fazer a liha, efetuamos (m ) riscos, que podem preecher lados de ou de quadrados. Se o risco for feito a lateral da malha, preecherá apeas lado de quadrado. Exemplo: Se o risco for feito o "miolo" da malha, preecherá dois lados de quadrado. Exemplo: Supodo a distribuição mais homogêea de lados preechidos, cada quadrado tem o mesmo úmero de seus lados preechidos. Se o úmero de lados preechidos por riscos for maior que a metade do total de lados de quadrados, haverá com certeza um quadrado com 3 lados riscados. EUREKA! N 6,

39 o t N > ) O úmero de lados preechidos por p riscos laterais é ( p ) = p O úmero de lados preechidos por (m ) p riscos o meio é (m ) p O úmero total de riscos é: [(m ) p] + (p) = m p = N o. O úmero máximo de riscos laterais é: potos (m ) + ( ) P max = m + 5 riscos/lados m riscos O úmero míimo de lados preechidos é m P max = m m + 3 = = N o mi. o t Se N mi > ), fica provado que há (ou similar) e i ao lado de i + 3 4( m )( ) m m + 3> m m + 3> m m + 3 > O úmero de lados preechido é maior que a metade do total de lados. Há e portato há i ao lado de i + 3 para qualquer tabela. PROBLEMA 4: SOLUÇÃO ADAPTADA DE RODRIGO KENDY YAMASHITA (SÃO PAULO - SP) Sejam m e M as somas dos elemetos míimos e máximos dos subcojutos. Como o diâmetro de um cojuto é defiido como a difereça etre seu máximo e seu míimo, a soma desejada é igual a M m. Note que podemos icluir os subcojutos uitários, já que seus máximos e míimos coicidem. EUREKA! N 6,

40 O úmero,, é elemeto míimo dos subcojutos da forma { } A, sedo A um subcojuto de { + ; + ;...; }. Logo é elemeto míimo de subcojutos. Coseqüetemete, m = = ( ). = = 0 Cotemos o úmero de subcojutos de diâmetro. Seja a o míimo de um desses subcojutos. O seu máximo é, etão, a +. Assim, a + a. Logo podemos escolher a de maeiras. Como há úmeros etre a e a +, podemos escolher os demais elemetos do subcojuto de maeiras. Logo há ( ) subcojutos de diâmetro. Como há, o total, subcojutos ão vazios e ão uitários, + ( ) = ( ) = ( ) = = = = = ( ) = + = = 0 + Logo m =. Para calcular M, basta observar que podemos associar cada cojuto A= { a; a;...; a } ao cojuto f( A) = { + a; + a;...; + a }, de modo que se a = mí A etão + a= max f( A). A fução f é claramete uma bijeção. Logo, como há subcojutos ão vazios, M = ( + ) ( ) m M m= ( + ) m M m= = + = ( ) ( ) ( 3) 3. PROBLEMA 5: SOLUÇÃO DE RAFAEL DAIGO HIRAMA (CAMPINAS SP) Podemos supor etão que os quadrados têm lado meor que, caso cotrário é só posicioar o quadrado de ou mais sobre o quadrado a se cobrir. Vamos classificar os quadrados como do tipo Q tal que o lado do quadrado seja meor que e maior ou igual a. Se tivermos um Q 0 acabou, pois ele terá lado maior ou igual a e proto. Caso cotrário vamos dividir o tabuleiro em 4 partes iguais. Cada uma tem lado /, ou seja, é satisfatoriamete coberto por um Q cada um. Etão se posicioa todos os dispoíveis. Se tiver pelo meos 4 Q acabou. EUREKA! N 6,

41 Caso cotrário os que sobraram devem ser divididos em 4 e preechidos por quatos Q tiverem. E assim sucessivamete até preecher o tabuleiro. Exemplo: Q Q Q Q Q Q 3 Q 3 Q Q Q Q Q3 Q 3 Agora, para provar que isso sempre é possível basta provar que a área total dos quadrados usados é meor que 4. Assim, já que o modo de preechimeto pede "use tatos do Q quato existirem", se sobrar buraco ou esqueceu-se de usar um quadrado em um passo aterior ou falta usar os quadrados meores. Para isso vamos ver o desperdício de cada quadrado, ou seja, quato do quadrado ão usamos para preecher a área de iteresse (por exemplo, o desperdício de um quadrado Q 3 ao ser colocado sobre um tabuleiro de lado /8 é o quato do quadrado ficará de fora desse tabuleiro, mesmo que esse resto esteja sobre outra parte do tabuleiro total ele vai ser cotado como desperdício). Vejamos, como sempre usamos Q para cobrir um tabuleiro de lado, a área do Q é o máximo e o míimo e a do tabuleiro é, logo o desperdício 3 é de = o máximo, isso prova que o desperdício ão passa de 3 = 3 vezes da área preechida, ou seja, é desperdiçado o total o máximo 3/4 da área dos quadrados utilizados, ou seja, /4 pelo meos é utilizado. Como o total da área dos quadrados é 4, a área utilizada é pelo meos, o que termia o problema. EUREKA! N 6, 003 4

42 PROBLEMA 6: SOLUÇÃO DE FÁBIO DIAS MOREIRA (RIO DE JANEIRO - RJ) Defiição: A distâcia etre duas palavras p e q é o úmero de posições em que duas palavras diferem (símbolo: d(p, q)). Teorema : d(p, q) + d(q, r) d(p, r). Prova: Seja αβ o cojuto das posições em que α e β diferem. Etão o teorema equivale a #( pq ) + #( qr ) #( pr ). Mas pr = ( pq qr ) ( pq qr ), pois só há dois tipos de uves, logo p e r são iguais as posições ode ambos diferem de q. Mas pq qr pq qr, logo #( pr ) = #( pq qr ) #( pq qr ) = = #( pq ) + #( qr ) #( pq qr ), e ossa afirmação equivale a #( pq qr ) 0, obviamete verdadeiro. Defiição: A palavra real mais próxima a uma palavra q é a palavra p que: i) Pertece ao dicioário. ii) Miimiza a distâcia etre p e q. (se existir mais de uma palavra que atede i) e ii) todas elas são mais próximas). Defiição: A vizihaça de uma palavra p pertecete ao dicioário é o cojuto de todas as palavras mais próximas a p (símbolo: ε p ). Teorema : Toda vizihaça de uma palavra p cotém todas as palavras cujas distâcias até p sejam meores ou iguais a 4. Prova: Seja q tal que d( pq, ) 4 mas q ε p. Etão q ε r para r pertecete ao dicioário. Isso implica d(,) qr < d(,) pq 4, logo d(,) pr d(,) pq+ dqr (,) < 4+ 4= 8, absurdo, pois p e r ão poderiam estar simultaeamete o dicioário. Teorema 3: Toda palavra p pertece a o máximo seis vizihaças. Prova: Supoha que p ε ε ε ε ε ε ε Como. q q q3 q4 q5 q6 q7 d( q, q ) d( p, q ) + d( p, q ), d( q, q ) 8. Como d( q, q ) 8, d( q, q ) = 8. i j i j i j i j i j Como d( pq, i) = d( pq, j), d( pq, i) = 4, i {,...,7}. Como cada palavra só tem 4 uves, existem duas palavras (q e q, sem perda de geeralidade) tais que Mas etão, pelos argumetos do teorema, pq pq φ. dq (, q) = dpq (, ) + dpq (, ) #( pq ) ( pq dq, q) = 8 #( pq ) 8 6 pq = absurdo, pois q e q ão poderiam pertecer simultaeamete ao dicioário. N é máximo quado todas as palavras distam o máximo quatro da palavra do dicioário mais próxima a ela e todas as palavras que distam exatamete quatro da EUREKA! N 6, 003 4