RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEICÃO GOUVEIA.

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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP 06 - FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEICÃO GOUVEIA. Questão 84 A taxa de analfabetismo representa a porcentagem da população com idade de anos ou mais que é considerada analfabeta. A tabela indica alguns dados estatísticos referentes a um município. Taxa de População com População com analfabetismo menos de anos anos ou mais 8% Do total de pessoas desse município com menos de anos de idade, 0 podem ser consideradas alfabetizadas. Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que, da população total desse município, são alfabetizados (A) 76,%. (B) 66,%. (C) 94,%. (D) 89,0%. (E) 7,%. População do município: = Do total da população com menos de anos, 0são consideradas alfabetizadas. Do total da população com mais de anos são alfabetizadas: ( 0,08) = 0, = Total de pessoas alfabetizadas: =7 60. Percentual dessas pessoas em relação a 0 000: 7 60 : = 0,760 = 76,%. RESPOSTA: Alternativa A. Questão 8 Uma imobiliária exige dos novos locatários de imóveis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma taxa, junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou um imóvel nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final do primeiro mês. No período de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou gastos totais de R$ 6.90,00 com a locação do imóvel. Na situação descrita, a taxa paga foi de (A) R$ 40,00. (B) R$ 0,00. (C) R$ 00,00. (D) R$ 0,00. (E) R$ 0,00. Considerando como x o valor da taxa paga ao final do primeiro mês de locação, 900 x é o valor mensal da locação. (900 x) + x = x = 6 90 x = 80 x = 0. O valor da taxa paga foi de R$ 0,00. RESPOSTA: Alternativa D. Questão 86 A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0, m de comprimento. O padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o total de 6, metros lineares de vigas. O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi de (A) (B) 4 6. (C) (D) 9. (E) 6.

2 A GRADE é composta de vigas de 0,m, então foi construída com,m de vigas; A GRADE é composta de 9 vigas de 0,m, então foi construída com 4,m de vigas; A GRADE é composta de vigas de 0,m, então foi construída com 6,m de vigas; A GRADE 4 é composta de 7 vigas de 0,m, então foi construída com 8,m de vigas;... Os números,; 4,; 6,; 8,;... 6,, formam uma P.A. de n termos, onde o primeiro é,, a razão é e o termo a n = 6,. Logo:, + (n ). = 6,, + n = 6, n = 6 n = 68. O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência completa de grades, em metros, foi:, 6, 68 S n RESPOSTA: Alternativa C. Questão 87 Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre e 4 é igual a (A) (B) (C) (D) 4 (E) 4 Seja a o número obtido no lançamento da moeda e b o obtido no lançamento do dado. O número dos pares do tipo (b, a) é igual a: 6 =. a b Como, 4 4 a b 8 que os pares (b, a), obtidos que satisfazem a essa desigualdade são: (,), (, ), (4, ), (, 6). Logo a probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da 4 moeda esteja entre e 4 é igual a. RESPOSTA: Alternativa A. Questão 88 Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura. Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a (A) (B) (C) (D) (E) 4

3 Na figura tem-se: AM = BI = CH = HG = EF = DE =. Os lados dos retângulos AMEF e CHJI medem e + x. Como o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então [ ( + x)] = x. [4 + x] = x x 4x 8 = 0 4 x x x Como x > 0, x x RESPOSTA: Alternativa B. Questão 89 Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de (A) 4%. (B) 6%. (C) %. (D) 6%. (E) 8%. A fórmula da área total de um paralelepípedo é: S = (ab + ac + bc), sendo a, b e c as suas dimensões. A área do paralelepípedo reto-retângulo original é igual a S O = ( ) = 8cm. Os dois retângulos obtidos pelo corte são congruentes de lados medindo d e. d = 9 6 A área dos dois prismas resultantes do corte é igual a: S R = 8 + d = = O percentual do aumento de área é dado pela razão: 0,6... 6%. 8 8 RESPOSTA: Alternativa D.

4 Questão 90 Um torneio de futebol será disputado por 6 equipes que, ao final, serão classificadas do o ao 6 o lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate. Considerando para os cálculos log! = e log = 0,, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de (A) bilhões. (C) quintilhões. (E) trilhões. (B) quatrilhões. (D) milhões. Como as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate, o número de classificações possíveis para as 6 equipes é n = 6!. Se 0 x = 6 log 6 = x x = log 4 x = 4log x 4 0, x, 0 x 0, 0, 6. n = 6! log n = log 6! log n = log (6!) log n = log 4 + log! log n = 4 log + log n 4 0, + log n (, + ) n 0, + n 0, 0 n 6 0 n = 6 trilhões. RESPOSTA: Alternativa E.

5 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP 06 - FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEICÃO GOUVEIA. Questão Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C. Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00, em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma: total de R$.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); R$.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); R$.80,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); R$.40,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos). O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos. Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico. Total de aplicação no Banco A:.000 reais. Total de aplicação no Banco B: x reais. Total de aplicação no Banco C: y reais. 000 x y 6000 x 000 y x 000 y 0, ,x 0, y ,x 0, y ,(000 y) 0, y 700 0,000 0,7x 0, y ,7x 0, y ,y 0, y 700 0,0000 0,x 0,4 y ,x 0,4y 40 x 000 y x 000 y x x 000 y 800 0,(000 y) 0, y 700 0, y 900 x ,y ,y 0, y 700 y 000 y 000 Como o total de aplicação foi R$ 6 000,00. O percentual do capital investido em aplicações de baixo risco foi O ângulo = 0, O percentual do capital investido em aplicações de médio risco foi 700 0, ,. 6000

6 O ângulo = 0, 60, 6 O percentual do capital investido em aplicações de alto risco foi O ângulo α = 0, , , RESPOSTA: Os capitais aplicados nos bancos B e C foram, respectivamente, R$ 000,00 e R$ 000,00. As medidas dos ângulos α, β e γ são, respectivamente, 86,4 ; 6 e,6. Questão O gráfico da parábola dada pela função ( x) x 6x 4 f indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se a população atual de insetos é de milhão (x = ), no ano seguinte será de,9 milhões, já que f() =,9. Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta em azul (y = x). Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote 4,7 ), e determine a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível x 6x 4 0 x 6x 4 0 x x x Como x 0, x 8, ou seja, x 8 4, 7 x 7, 4 milhões de insetos (população atual). O valor de x para o qual [ f(x) x] assume valor máximo: 6 f ( x) x x 6x 4 x f ( x) x x f ( x) x assume valor máximo para x 9 x f ( x) x 0 4 x x x x, milhões de insetos. RESPOSTA: A população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero é, aproximadamente, de 7,4 milhões. Aproximadamente,, milhões de insetos é a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima. x x 9

7 Questão 4 Está previsto que, a partir de o de janeiro de 07, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 6 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 0 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. MERCOSUL No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra-Algarismo- Algarismo-Algarismo-Letra-Letra, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. Letra Letra Algarismo Algarismo Algarismo Letra Letra Possibilidades O número total de placas possíveis estando os símbolos nesta ordem é: = O total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa: 4 7! !! 6 RESPOSTA: e 6 0.