Teorema Fatoração Única. Todo inteiro pode ser representado de modo único como o produto de números primos distintos, a menos da ordem dos fatores.

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1 Pricipio de Dirichlet ou da casa dos pombos. Se mais de objetos (pombos) são dispostos em classes (casas de pombo), pelo meos uma das classes (casas de pombo) possui mais de um objeto (pombo). Pricípio da divisão euclidiaa. Se m e são iteiros existem dois iteiros q e r tais que m q r e 0 r. Os úmeros q e r são deomiados, respectivamete, quociete e resto da divisão euclidiaa de m por. Teorema de Bézout. Se a e b são iteiros e d é seu maior divisor comum etão o meor valor positivo da expressão ax + by, ode x e y são iteiros quaisquer, é precisamete d. Teorema Fatoração Úica. Todo iteiro pode ser represetado de modo úico como o produto de úmeros primos distitos, a meos da ordem dos fatores. (Eötvös 1894/1) Prove que as expressões x + 3y e 9x + 5y são divisíveis por 17 para o mesmo cojuto de pares de valores iteiros x e y. Solução. Observe a igualdade 4(x + 3y) = 17(x + y) (9x + 5y). Se x + 3y for divisível pelo 17, (9x + 5y) também será, e vice-versa. Repare que estamos utilizado a importate regra: se um primo (o caso o 17) divide o produto de dois úmeros (o caso são 4 e x + 3y) etão ele divide pelo meos um dos úmeros. (Eötvös 1896/1) Prove que log k log ode k vale a quatidade de fatores primos distitos de. (Eötvös 1898/1) Determie todos os aturais para os quais 1 é divisível por 3. Dica. tete ecotrar um seqüêcia periódica para os restos... essa dica vale para muitos problemas. (Eötvös 1899/3) Prove que, para qualquer valor atural, a expressão de A é divisível por 1897: A Dica. quato vale (a b) multiplicado por 1 1 ( a a b... ab b )? (Eötvös 1900/1) Sejam a, b, c, d iteiros fixos, ode 5 ão divide d. Assuma que existe um iteiro 3 m para o qual am bm cm d é divisível por 5. Prove que existe um iteiro para o qual 5 3 divide d c b a. (Eötvös 1901/1) Prove que, sedo um úmero atural, a expressão é divisível por 5 se e somete se ão é divisível por 4. (Eötvös 1901/3) Sejam a e b aturais cujo maior divisor comum é d. Prove que exatamete d dos úmeros a, a, 3a,..., (b 1)a, ba são divisíveis por b. (Eötvös 190/3) Mostre que toda expressão quadrática Q( x) Ax Bx C pode ser reescrita x( x 1) a forma Q( x) k lx m ode k, l e m depedem dos coeficietes A, B e C. Demostre, em seguida, que Q(x) assume valores iteiros para todo iteiro x se e somete se k, l, m são iteiros. (Eötvös 1903/1) Seja p 1 ( p 1), ode p 1 é primo. Mostre que a soma dos divisores positivos (exceto ) de é igual a. Curiosidade e Desafio. Um úmero atural que é igual a soma de seus divisores positivos, excetuado-se o próprio, é dito ser um úmero perfeito. Até esta data (4/09/00), aida é um problema em aberto saber se existem úmeros perfeitos ímpares. Se existir um tal úmero, ele deverá satisfazer uma quatidade surpreedete de codições, a maioria dos matemáticos acredita que ão existem perfeitos ímpares. Não se sabe, também, se existem ifiitos úmeros perfeitos pares. Nosso desafio é o seguite: você cosegue demostrar a recíproca do exercício da Eötvös, ou seja, que se é um úmero perfeito par etão ele pode ser escrito como p 1 ( p 1) ode p 1 é primo? A primeira demostração deste fato é devida a Leohard Euler. Você cosegue ecotrar alguma restrição para um úmero perfeito ímpar, ou seja, alguma codição que ele deveria satisfazer caso exista? (Eötvös 1906/1) Seja a 1, a,..., a é um rearrajo arbitrário dos úmeros 1,,...,. Prove que, se é ímpar, o produto ( a1 1)( a )...( a ) resulta par. Dica. Ímpar mais ímpar é par... (Eötvös 1907/1) Se p e q são úmeros ímpares, mostre que a equação x px q 0 ão possui raízes x racioais. (Eötvös 1907/3) Seja r/s = 0. k 1kk3... a represetação decimal de um úmero racioal. Visite o site Lista / Págia 1 de 4

2 Prove que ao meos dois dos úmeros r r 1 10 s k1, 1 10 s (10k1 k ),... são iguais. (Eötvös 1908/1) Dado dois ímpares a e b; prove 3 3 que a b é divisível por se e somete se a b é divisível por. (Eötvös 1909/1) Cosidere três úmeros aturais cosecutivos. Prove que o cubo do maior ão pode ser igual à soma dos dois meores. (Eötvös 1910/) Sejam a, b, c, d e u iteiros tais que os úmeros ac, bc + ad, bd são múltiplos de u. Mostre que bc e ad são múltiplos de u. (Eötvös 1911/3) Prove que 3 1 ão é divisível por para ehum iteiro > 1. (Eötvös 191/) Prove que para todo iteiro positivo, será um múltiplo de 8 o úmero 1 A (Eötvös 1913/3) Deixe d deotar o maior divisor comum dos aturais a e b, ad d deotar o mesmo dos aturais a e b. Prove que dd é o maior divisor comum aos quatro úmeros aa, ab, ba, bb. (Eötvös 1917/1) Se a e b são iteiros e as soluções do sistema de equações y x a 0 y xy x b 0 são racioais, etão elas próprias são iteiras. (Eötvös 1917/) No quadrado de um iteiro a, o dígito das dezeas é o sete. Qual é o dígito das uidades? (Eötvös 19/) Prove que x 4 x x ão é o produto de dois poliômios x ax b e x cx d ode c e d são iteiros. (Eötvös 193/3) Prove que, se os termos de uma progressão aritmética ifiita de aturais ão são todos iguais, eles ão podem ser todos primos. (Eötvös 195/1) Sejam a, b, c, d quatro iteiros. Prove que o produto das seis difereças b a, c a, d a, d c, d b, c b é divisível por 1. (Eötvös 195/) Em quatos zeros termia a represetação decimal do úmero 100! = ? (Eötvös 196/) Prove que o produto de quatro aturais cosecutivos ão é um quadrado perfeito. Dica. Some 1 ao produto dos quatro aturais começados por e procure fatorar a expressão em termos de. (Eötvös 197/1) Sejam a, b, c, d quatro iteiros relativamete primos com m = ad bc. Prove que os pares de iteiros (x,y) para os quais ax + by é múltiplo de m são os mesmos pares para os quais cx + dy é múltiplo de m. Seguda Fase, OBM 00, Nível 1) Geraldiho e Magrão saíram de suas casas o mesmo istate com a iteção de um visitar o outro, camihado pelo mesmo percurso. Geraldiho ia pesado um problema de olimpíada e Magrão ia refletido sobre questões filosóficas e em perceberam quado se cruzaram. Dez miutos depois, Geraldiho chegava à casa de Magrão e meia hora mais tarde, Magrão chegava à casa de Geraldiho. Quato tempo cada um deles adou? Observação: Cada um deles ada com velocidade costate. Solução. Geraldio percorreu a distâcia A em t miutos, equato Magrão percorreu uma distâcia B. Neste istate eles se ecotraram. Em seguida: G. percorreu uma distâcia B em 10 miutos; e M., uma distâcia A em 40 miutos. As velocidades são costates, portato A/t = B/10 e B/t = A/40, dode coclui-se A/B = t/10 = 40/t, i.e., t = 0 mi. ) Um grade paiel a forma de um quarto de círculo foi composto com 4 cores, coforme idicado a figura ao lado, ode o segmeto divide o setor em duas partes iguais e o arco itero é uma semicircuferêcia. Qual é a cor que cobre a maior área? Solução. Observe a figura abaixo. Os dois âgulos marcados com traços são iguais. Sabe-se que: um triâgulo iscrito em uma circuferêcia é retâgulo se e somete se tem um de seus lados como diâmetro. Calculase facilmete que a área da parte do oitavo do círculo maior vale a o mesmo que área do semicírculo meor, portato as áreas Verde e Amarelas são iguais, segue-se que a área Azul e Braca são iguais e meores. 3) Nas casas de um tabuleiro 8 por 8 foram escritos úmeros iteiros positivos de forma que a difereça etre úmeros escritos em casas vizihas Visite o site Lista / Págia de 4

3 (quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se que uma das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Calcule a soma dos úmeros escritos as duas diagoais do tabuleiro. Solução. A distâcia míima etre duas diagoais, adado-se de casa em casa viziha, é de 14 passos. Como 17 3 = 14 e 17 e 3 estão escritos, certamete eles estão em diagoais opostas. Em seguida preeche-se uicamete o tabuleiro, e calcula-se uma soma de 16 termos, igual a ) O professor Pardal está estudado o comportameto familiar de uma espécie de pássaro. Os potos A, B, C e D da figura ao lado, represetam a disposição de quatro ihos desses pássaros. O professor costruiu um posto de observação equidistate dos quatro ihos. Todos os ihos e o posto de observação estão em um mesmo ível de altura a partir do solo, a distâcia de B a D é de 16 metros e B A ˆD 45. Determie a distâcia que o posto guarda de cada iho. Solução. Observe a figura abaixo. Um teorema clássico de geometria diz que o âgulo BÂD vale a metade do arco BD. Trace a altura relativa ao lado BD o triâgulo OBD, isósceles e eqüilátero. No triâgulo retâgulo formado, vê-se que o raio da circuferêcia satisfaz OB 8 8. Portato a distâcia pedida é 8. 5) O primeiro úmero de uma seqüêcia é 7. O próximo é obtido da seguite maeira: Calculamos o quadrado do úmero aterior 7 = 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicioamos 1, isto é, o segudo úmero é = 14. Repetimos este processo, obtedo 14 = 196 e o terceiro úmero da seqüêcia é = 17 e assim sucessivamete. Qual o 00º elemeto desta seqüêcia? Solução. Calculam-se os primeiros 8 termos: 7, 14, 17, 0, 5, 8, 11, 5,... Há uma repetição de três em três a partir do quito termo. Os termos de ordem múltipla de três, i.e., o sexto termo, o oo termo, etc. resultam em 8. Portato o 001-ésimo termo é o 8, logo o termo pedido é o 11. 6) O ao 00 é palídromo, ou seja, cotiua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 00, quais serão os próximos quatro aos palídromos? b) O último ao palídromo, 1991, era ímpar. Quado será o próximo ao palídromo ímpar? c) O último ao palídromo primo acoteceu há mais de 1000 aos, em 99. Determie qual será o próximo ao palídromo primo. Solução. a) os palídromos são claramete 11,, 33 e 44; b) todos os aa são pares, em seguida vem os 3aa3, ímpares, e 3003 é o primeira dessa lista; c) os úmeros de 4 dígitos palídromos são abba = 1001a + 110b, e portato são divisíveis por 11 pois 1001 e 110 são. Os primeiros palídromos de 5 dígitos são 10001, 10101, 1001, 10301, etc. Por verificação direta, vemos que = , = , 1001 = , e ão é divisível por ehum primo meor ou igual que sua raiz quadrada, portato é primo e é a resposta. Obs. Demostre que se um úmero é composto ele é divisível por um iteiro d que satisfaz d. Seguda Fase, OBM 1997, Júior 1) No edificio mais alto de Terra Brasilis moram Eduardo e Augusto. O úmero do adar do apartameto de Eduardo coicide com o úmero do apartameto de Augusto. A soma dos úmeros dos apartametos dos dois é 164. Calcule o úmero do apartameto de Eduardo sabedo que há 1 apartametos por adar. (Por exemplo, o primeiro adar estão os apartametos de 1 a 1, o segudo, de 13 a 4, e assim por diate). ) A professora de Matemática propôs o seguite problema para seus aluos: "Marquem 6 potos sobre uma circuferêcia. Eu quero que vocês pitem o maior úmero de cordas determiadas por estes potos, de modo que ão existam quatro dos potos sobre a circuferêcia determiado um quadrilátero com todos os lados e diagoais coloridos." a) Edmilso ecotrou uma solução correta colorido 1 cordas. Exiba uma maeira de como fazer isto; b) Gustavo Afirmou ter ecotrado uma solução a qual pitara 13 cordas. Mostre que a solução de Gustavo ão está correta. Visite o site Lista / Págia 3 de 4

4 3) Sejam ABCD um quadrado, M o poto médio de AD e E um poto sobre o lado AB. P é a iterseção de EC e MB. Mostre que a reta DP divide o segmeto EB em dois segmetos de mesma medida. 4) Mostre que existem ifiitos iteiros positivos satisfazedo simultaeamete as seguites codições: a) é ímpar; b) possui exatamete 100 divisores positivos; c) existem exatamete 1997 triâgulos retâgulos, dois a dois ão cogruetes, de lados iteiros e como medida de um dos catetos. 5) Seja 1 um iteiro. Temos lâmpadas alihadas e umeradas, da esquerda para a direita, de 1 a. Cada lâmpada pode estar acesa ou apagada. A cada segudo, determia-se a lâmpada apagada de maior úmero e iverte-se o estado desta (de acesa para apagada ou de apagada para acesa) e das lâmpadas posteriores (as lâmpadas de maior úmero). a) Mostre que em algum mometo todas as lâmpadas estarão acesas (e o processo se ecerrará); b) Supoha que iicialmete todas as lâmpadas estejam apagadas. Determie depois de quatos segudos todas as lâmpadas estarão acesas; c) Supoha agora = 11 e que o iício somete as lâmpadas de úmeros 6, 7 e 10 estejam acesas. Mostre que após exatamete 1997 segudos todas as lâmpadas estarão acesas. Terceira Fase, OBM 1998, Nível 1) Prove que em qualquer petágoo covexo existem dois âgulos iteros cosecutivos cuja soma é maior ou igual a 16. ) No triâgulo ABC, D é o poto médio de AB e E o poto do lado BC tal que BE = EC. Dado que os âgulos ADC e BAE são iguais, ecotre o âgulo BAC. 3) Em um jogo existem 0 buracos vazios em fila e o jogador deve colocar um pio em cada buraco de acordo com as seguites regras: a) Se colocar um pio em um buraco e se os dois buracos vizihos estiverem vazios, o pio permaece. b) Se colocar um pio em um buraco e se um dos buracos vizihos estiver ocupado, o pio deste buraco viziho deve ser retirado. c) Se colocar um pio em um buraco e se os dois buracos vizihos estiverem ocupados, etão um dos pios vizihos deve ser retirado. Determie qual é o úmero máximo de pios que podem ser colocados. 4) São dados 15 úmeros aturais maiores que 1 e meores que 1998 tais que dois quaisquer são primos etre si. Mostre que pelo meos um desses 15 úmeros é primo. Dica. Pombos...!? Terceira Fase, OBM 1999, Nível 1) Seja ABCDE um petágoo regular tal que a estrela ACEBD tem área 1. Sejam P iterseção etre AC e BE e Q a iterseção etre BD e CE. Determie a área de APQD. ) Um reio é formado por dez cidades. Um cidadão muito chato foi exilado da cidade A para a cidade B, que é a cidade do reio mais loge de A. Após um tempo, ele foi expulso da cidade B para a cidade C do reio mais loge de B. Sabe-se que a cidade C ão é a mesma cidade A. Se ele cotiuar sedo exilado dessa maeira, é possível que ele retore à cidade A? Nota: as distâcias etre as cidades são todas diferetes. 3) Adriao, Bruo e Carlos disputaram uma série de partidas de têis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, era substituído pelo que estava a esperar. A primeira partida foi disputada por Adriao e Bruo. Sabe-se que Adriao veceu 1 partidas e Bruo 1. Quatas vezes Adriao e Bruo se efretaram? 4) Prove que há pelo meos um algarismo diferete de zero etre a a. e a a. casa decimal de após a vírgula. Dica. Prove, iicialmete, que é irracioal. Visite o site Lista / Págia 4 de 4

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