AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho nº 0 - Probabilidades - 12º ano Metas (C.A.)

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1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho º 0 - Probabilidades - 1º ao Metas (C.A.) 1. Um cojuto X tem 10 elemetos. Quatos subcojutos de X, com 3 elemetos, é possível formar?. Exprima cada uma das seguites somas algébricas como uma úica fração e simplifique-a tato quato possível A A 1! ( )!! Determie para que valor atural de se verifica: 3.1. ( )! C 3 C4 C5 C 1 0! 4. Cosidere os subcojutos A e B de um cojuto U. Simplifique as seguites expressões B B A 4.. AB A 4.3. AB A 4.4. B A B A 4.5. A B A A 5. Seis joves, a Aa, a Beatriz, o Carlos, a Dália, o Eduardo e a Filipa vão cocorrer a um sorteio de seis viages, a saber, a Barceloa, Berlim, Lodres, Madrid, Paris e Roma. Supodo que cada jovem vai gahar uma viagem, de quatas maeiras diferetes pode resultar este sorteio? 6. Os 5 aluos de uma turma vão participar um toreio de adebol de cico, sedo distribuídos por cico equipas, idetificadas pelas letras A, B, C, D e E. De quatas maeiras diferetes poderá ser feita a distribuição dos aluos pelas equipas? 7. Laçou-se um dado cúbico com as faces umeradas de 1 a 6 e um dado octaédrico com as faces umeradas de 1 a 8 e registaram-se os úmeros das faces que ficaram voltadas para cima. Idetifique o úmero de resultados possíveis para esta experiêcia. 8. * Um cojuto tem 4096 subcojutos. Quatos desses subcojutos tem exatamete 6 elemetos? 9. Um código é formado por sete caracteres dos quais quatro têm de ser algarismos e três têm de ser vogais. Quatos códigos diferetes é possível formar tais que: 9.1. os algarismos e as vogais sejam dispostos de forma alterada? 9.. os símbolos iiciais e fiais sejam algarismos e as vogais estejam jutas? 9.3. as vogais fiquem os lugares cetrais e os algarismos sejam todos ímpares? 9.4. * haja uicamete dois algarismos iguais a 3? 9.5. * ão haja qualquer restrição à forma como se dispõem? 10. Utilizado os algarismos do cojuto A={1,,3,4,5,8,9}, quatos úmeros de três algarismos é possível formar de modo que: teham exatamete dois algarismos iguais a 3? 10.. os úmeros sejam múltiplos de 5? * o produto dos algarismos seja um úmero par? 11. Quatos códigos de 4 algarismos é possível formar sabedo que cada código tem exatamete um algarismo igual a 5? 1. Foram extraídas sucessivamete e com reposição quatro cartas de um baralho de 5 cartas. Determie de quatas maeiras diferetes é possível obter: 1.1. por esta ordem, um ás, duas figuras e um úmero superior a primeiro duas cartas vermelhas e depois duas cartas de espadas. 13. Cosidere o cojuto A={1,,3,4,5,6,7,8,9 }. Quatos úmeros de quatro algarismos diferetes é possível formar que sejam: superiores a 3000? 13.. pares? múltiplos de 5? * iferiores a 5840? 14. A turma da Beatriz tem 8 aluos dos quais 1 são rapazes. De quatas maeiras diferetes pode resultar a eleição do delegado e subdelegado de turma se: O delegado for rapariga e o subdelegado for rapaz? 14.. O delegado e o subdelegado forem do mesmo sexo? A Beatriz, for eleita?

2 15. Um saco cotém sete cartões idistiguíveis ao tato e umerados de 1 a 7. Foram extraídos sem reposição três cartões e dispostos por ordem formado um úmero Quatos úmeros é possível formar? 15.. Dos úmeros que é possível formar, quatos têm dois algarismos pares? são ímpares? 16. De quatas maeiras diferetes é possível dispor 6 livros uma prateleira de forma que fiquem jutos e ecostados 4 livros um extremo e outro? 17. * Num debate participam, para além do moderador, 8 pessoas, havedo dois represetates por cada uma das quatro orgaizações covidadas. De quatas maeiras se podem dispor uma mesa quadrada se o moderador ficar um lado fixo e os participates em lados opostos de modo que os elemetos da mesma orgaização fiquem jutos e haja o mesmo úmero de pessoas em ambos os lados? 18. Uma sequêcia de letras diz-se um «aagrama» de uma outra se o úmero de ocorrêcias de qualquer letra for igual em ambas. Quatos aagramas existem da palavra MARGARIDA? 19. Cosidere todos os úmeros que se podem obter alterado a ordem dos algarismos do úmero Quatos úmeros é possível formar? 19.. Quatos desses úmeros são ímpares? 0. ** Dez livros de Matemática e cico de Física vão ser dispostos, lado a lado, uma prateleira. De quatas formas distitas se poderão arrumar os livros de modo que ão fiquem dois livros de Física lado a lado? 1. De quatas maeiras diferetes podem 8 automóveis ser arrumados um parque com 1 lugares dispoíveis?. Cosidere os potos (distitos) A, B, C, D e E pertecetes a uma circuferêcia. Quatas cordas existem com extremos estes potos? 3. Numa gelataria há oito sabores diferetes, sedo cico sabores de fruta e aida sabor a café, a chocolate e a amêdoa. De quatas maeiras é possível escolher três sabores diferetes para um copo, se: 3.1. ão houver qualquer restrição? 3.. uicamete dois dos sabores forem de fruta? 3.3. pelo meos um dos sabores for de fruta? 3.4. o sabor a café e a iwi ão forem pedidos simultaeamete? 3.5. os sabores a café e a amêdoa forem sempre pedidos em cojuto? 4. De quatas maeiras é possível selecioar cico cartas de um baralho de 5 cartas de forma que quatro sejam figuras e uma seja ás? 5. Quatos divisores aturais tem o úmero 400= 5 x3x5? 6. Cosidere um prisma hexagoal reto * Quatas retas distitas passam por dois vértices do prisma e ão cotêm qualquer aresta do prisma? 6.. Das retas idetificadas a alíea aterior, quatas são paralelas às bases? 6.3. *Um vértice de uma base e dois vértices da outra base são vértices de um mesmo triâgulo. Quatos desses triâgulos existem? 7. Quatos camihos existem, seguido as lihas da quadrícula, que liguem o poto A ao poto B, passado por C, e sem adar da direita para a esquerda em de cima para baixo? Determie os valores possíveis de tais que C C O sexto e o sétimo elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal são iguais. Qual é o elemeto cetral da liha seguite? Determie C C C sabedo que e que 13 C e que p<8. p1 p p3 31. *Sabedo que, dados úmeros aturais e p, p, que Cp 343, Cp 00 e que determie 3. Sabe-se que C, C, C e C 1 p1 p p p 4 i0 C 4096( IN). Determie: C 3.. * i i0 C i 5 p 1 C p , x 33. Determie o desevolvimeto x, utilizado a fórmula do biómio de Newto e simplificado tato 3 quato possível cada uma das parcelas assim obtidas.

3 34. Determie, para x 0, o 6.º termo do desevolvimeto pelo biómio de Newto de cada uma das seguites expressões e apresete-o a forma mais simplificada x 3 6 x 35. * Cosidere a seguite expressão Biómio de Newto, o termo: 35.1 idepedete de x 35. de grau * 3 x x x A( x) x x 6. Determie, relativamete ao desevolvimeto de Ax ( ) pelo 36. Utilizado o desevolvimeto do biómio de Newto, determie o valor de cada uma das seguites expressões, ode é um úmero atural C 4 ( ) C ( 1) 37. ** Determie a soma dos coeficietes dos termos de uma forma reduzida do poliómio x 3 11, utilizado o Biómio de Newto. 38. O código de um cofre é formado por 3 vogais seguidas de 4 algarismos. Selecioado um código deste tipo ao acaso, qual a probabilidade de ter: 38.1 pelo meos duas vogais diferetes e os algarismos todos iguais? 38. uicamete uma letra a e dois algarismos iguais a 7? 38.3 * pelo meos um algarismo igual a 4? 39. Num saco existem bolas idistiguíveis ao tato, das quais cico são azuis e umeradas de 1 a 5 e seis são vermelhas e umeradas de 6 a Extrai-se uma bola ao acaso e observou-se a cor e o úmero. Qual a probabilidade de obter: uma bola com úmero par? uma bola azul com úmero ímpar? uma bola vermelha com um úmero primo? 39.. Extraiu-se uma bola e depois outra bola repodo a primeira e observou-se a cor e o úmero de cada uma delas. Qual a probabilidade de obter: duas bolas da mesma cor? 39.. uma bola com úmero par e outra com úmero ímpar? duas bolas iguais? Extraiu-se simultaeamete três bolas e observou-se a respetiva cor e úmero. Qual a probabilidade de obter: três bolas da mesma cor? duas bolas com úmero par e uma com úmero ímpar? uma bola azul e duas bolas vermelhas, ambas com úmeros pares? 40. Cosidere todos os úmeros compostos por três algarismos diferetes. Selecioado um deles ao acaso, qual a probabilidade de: ter todos os algarismos pares? 40.. ser divisível por 5? * ser superior a 50? 41. A Joaa e cico amigos vão ao ciema e os bilhetes correspodem a seis lugares cosecutivos de uma dada fila. Sabedo que vão distribuir os bilhetes aleatoriamete, qual a probabilidade de: a Joaa ficar com um bilhete correspodete a um lugar uma das potas? 41.. a Amélia e a Joaa terem bilhetes correspodetes a lugares seguidos? a Joaa e a Luísa ão ficarem ao lado uma da outra? 4. Cosidere uma grelha quadrada com 16 quadrículas. Nesta grelha vão ser colocadas aleatoriamete 8 fichas iguais, ão mais do que uma por quadrícula. Qual a probabilidade de: 4.1. as duas diagoais ficarem preechidas? 4.. uicamete uma liha ficar totalmete preechida? 4.3. ficarem preechidas duas coluas?

4 43. Cosidere um octógoo regular Selecioado dois vértices ao acaso, qual a probabilidade de o segmeto por eles determiado: correspoder a um lado do octógoo? passar pelo cetro do octógoo? 43.. * Selecioado três vértices ao acaso, qual a probabilidade de o triâgulo por eles determiado ser retâgulo? 44. *Uma ura tem 1 cartões umerados de 1 a 1. Retiram-se sucessivamete dez cartões e dispõem-se lado a lado. Qual a probabilidade de: ficarem 5 cartões com úmeros pares, seguidos de 5 cartões com úmero ímpares? 44.. somete os últimos quatro cartões terem úmeros pares? os cartões com os úmeros 7, 8 e 9 ficarem seguidos? 45. * Escolheram-se aleatoriamete duas das parcelas do desevolvimeto pelo biómio de Newto da expressãox 11 com x>0. Determie a probabilidade de que o respetivo produto seja egativo. 46. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E) tais que P(A)=0,3, P(A B)=0, e PB 0,3, determie P A B e P A B 47. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E), prove que: P A B P A B P A P B P A B * * P A P B P A B P A B P A B P A P A B 48. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos possíveis e equiprováveis A,BP(E) tais que PB A 1, P A B 5. Determie P A e P A B Prove, dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E), PA ( ) 0, que P A B 1 P( A) P( B A) 50. Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E) tais que 3 13 P A B, P( A) P( B) e P A B Justifique que os acotecimetos A B e A B P A B em fução de P(A). são disjutos e exprima 50.. Determie: P(A) P(A B) 51. Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E) tais que 1 P A B, P( A) P( B) e P A B. Averigue se A e B são acotecimetos idepedetes Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E), ( ) 0 P B A 1 P( B A) PA. Prove que 53. * Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E). Prove que se A é idepedete de B etão também A é idepedete de B 54. ** Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E), A possível mas ão certo. Prove que se A é idepedete de B se e somete se PB A PB A 55. Duas uras A e B têm bolas verdes e pretas. A ura A tem 5 bolas verdes e bolas pretas e a ura B tem 4 bolas verdes e 3 bolas pretas Foi retirada uma bola da ura B e colocada a ura A e, de seguida, foi tirada uma bola da ura A. Determie a probabilidade de: obter bola verde sabedo que a bola retirada da ura B era preta obter bola preta Foi selecioada uma ura ao acaso e tirada uma bola dessa ura. Determie a probabilidade de: ser bola verde sabedo que saiu da ura A ser bola preta sabedo que saiu da ura B ser bola verde ter saído da ura A sabedo que é bola preta.

5 56. Num saco existem duas moedas falsas e cico moedas verdadeiras. Vão ser tiradas aleatoriamete duas moedas do saco, uma a seguir à outra. Qual a probabilidade de: as duas moedas serem verdadeiras? 56.. pelo meos uma delas ser verdadeira? a seguda ser falsa sabedo que a primeira era verdadeira? 57. *O João tem duas moedas o bolso, sedo uma equilibrada e a outra viciada. Sabe que a probabilidade de sair cara a moeda viciada é. Ele retira do bolso uma moeda ao acaso e laça-a, tedo obtido coroa. Qual a 3 probabilidade de ter laçado a moeda viciada? 58. * Uma caixa tem 0 bolas, das quais 5 são bracas e um saco tem 15 bolas das quais algumas são bracas. Ao tirar ao acaso uma bola da caixa e uma bola do saco, a probabilidade de se obter pelo meos uma bola braca é igual a 75%. Quatas bolas bracas existem o saco? 59. Uma fábrica utiliza três máquias diferetes para produzir um tipo de peças mas que têm íveis diferetes de eficiêcia. A máquia A produz metade do total da produção e as máquias B e C dividem a restate produção em partes iguais. Cerca de 98,5% da produção da máquia A ão tem qualquer defeito; a máquia B produz cerca de % de peças defeituosas e a máquia C tem uma eficiêcia de 97% Selecioado aleatoriamete uma peça desse tipo produzida essa fábrica qual é a probabilidade de que seja defeituosa? 59.. Foi selecioada uma dessas peças ao acaso e era defeituosa. Qual é a probabilidade de ter sido produzida pela máquia C? 46 Sol : U A B4.4 B4.5U 5 6! * 73508ou ,5005,11440, x 11 x ,8e0,8 48 e PA ( ) NãoP( A) e P( A B) , , x x x x x x x joseladeira@gmail.com