b. que têm dígitos distintos? c. que são pares? d. que são pares e têm dígitos distintos? f. que têm exatamente 3 dígitos iguais?

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1 Tópicos de Matemática B Aálise Combiatória Turma N 1 o semestre 20O7 Exercícios I 1. Quatos são os úmeros de quatro dígitos, ão ecessariamete distitos, escolhidos etre 1, 2, 3, 4, 5 a. sem restrição? b. que têm dígitos distitos? c. que são pares? d. que são pares e têm dígitos distitos? e. que têm exatamete 2 dígitos iguais? f. que têm exatamete 3 dígitos iguais? 2. Quatos aagramas se podem fazer com as letras a,b,c,d,e em que o a vem ates do b? 3. De quatas maeiras á possível distribuir 100 bolas em 2 caixas supodo que a. as bolas e as caixas são umeradas? b. as bolas são umeradas e as caixas são idêticas? c. as bolas são idêticas e as caixas são umeradas? d. as bolas e as caixas são idistiguíveis? 4. a. Quatos so os aagramas da palavra PIRACICABA? b. Em quatos dos aagramas as três letras A aparecem jutas? c. Em quatos dos aagramas ão aparecem duas letras A jutas? d. Em quatos dos aagramas a letra P vem ates da letra R? e. Em quatos dos aagramas a letra P aparece etre as duas letras C? Exemplo: CIPICARABA f. Em quatos dos aagramas as letras P, R e C aparecem essa ordem? Exemplo: PIRACICABA 5. Uma fábrica de biscoitos fabrica 12 tipos de biscoitos, e vede seu produto em pacotes de 8 biscoitos. Quatos são os pacotes possíveis a. se os biscoitos devem ser de tipos distitos? b. admitido que podem aparecer biscoitos do mesmo tipo? 6. De quatas maeiras a soma dos úmeros que aparecem em três dados distitos é igual a 12? 7. Quatas são as permutações das úmeros 1,2,3,4,5,6 as quais ão aparecem as sequüêcias 135 ou 24?

2 8. Calcule o úmero de maeiras distitas em que dados idêticos com faces umeradas de 1 a 6 podem cair sobre a mesa; verifique sua resposta os casos = 1 e = a. Mostre que o úmero de maeiras de distribuir grupos de -gêmeos idêticos por m creches distitas é ( ) m 1. b. Supoha agora que você tem 1 cojutos de 1-gêmeos idêticos, 2 cojutos de 2-gêmeos idêticos, 3 cojutos de 3-gêmeos idêticos,..., cojutos de -gêmeos idêticos. Mostre que o úmero de maeiras de distribuir a criaçada em m creches distitas é ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) m m 1 m 2 m Cosidere um baralho com 4 aipes e 5 cartas de cada aipe umeradas de 1 a. De quatas maeiras podemos escolher 5 cartas deste baralho de modo que etre elas tehamos a. 5 cartas cosecutivas do mesmo aipe? b. 4 cartas com o mesmo úmero? c. 3 cartas com o mesmo úmero e 2 com um outro mesmo úmero? d. 5 cartas do mesmo aipe? e. 5 cartas umeradas cosecutivamete? f. exatamete 2 cartas com o mesmo úmero? g. pelo meos 3 cartas com o mesmo úmero? 11. Seja A = {1, 2,..., m} e B = {1, 2,..., } com m. Quatas são as fuções f : A B a. quaisquer? b. ijetoras? c. estritamete crescetes? d. estritamete decrescetes? e. ão decrescetes (isto é, i < j f(i) f(j))? 12. Calcule o úmero de maeiras em que passageiros de um trem podem descer em m estações distitas. Resolva ovamete o problema supodo

3 que o que iteressa é apeas o úmero de passageiros que descem em cada estação. 13. Uma fila de cadeiras tem 20 poltroas. De quatas maeiras 6 casais podem se setar estas poltroas de modo que ehum marido fique separado de sua mulher? 14. Quatos são os úmeros etre e os quais aparecem pelo meos três algarismos distitos? 15. Quatos úmeros iteiros etre 1 e têm soma dos algarismos igual a 6? 16. Os países A e B estão em guerra. De p q outros países idecisos, p são iimigos eteros de A e q são iimigos eteros de B. Calcule o úmero das possíveis situações de cofroto, depededo das decisões tomadas por estes países (aliar-se a A ou B ou etão permaecer eutro). 17. Uma sequüêcia de símbolos é um palídromo se a ordem dos símbolos é a mesma tato da direita para a esquerda quato da esquerda para a direita. Exemplos: ; abcaeacba; socorrammesubiooibusemmarrocos. a. Dado N, ache o úmero de palídromos de comprimeto que se podem fazer usado os símbolos 0 e 1 (cuidado: há dois casos a cosiderar). Cofira sua resposta para valores pequeos de. b. Geeralize o item a. e calcule o úmero de palídromos de comprimeto que se podem fazer tedo à disposição símbolos distitos. 18. De quatas maeiras 12 bolas bracas idêticas e 1 bola preta podem ser colocadas em 3 caixas distitas de modo que ehuma caixa fique vazia? Resolva o mesmo problema admitido que uma ou mais caixas podem ficar vazias. 19. De quatas maeiras podemos distribuir 10 bolas bracas idêticas, 1 bola azul e 1 bola preta em 4 caixas distitas de tal modo que a. as bolas azul e preta ão fiquem a mesma caixa? b. ehuma caixa fique vazia? 20. De quatas maeiras é possível distribuir 10 briquedos diferetes, 12 larajas iguais e 15 peras iguais etre 5 criaças? 21. De quatas maeiras podemos ordear circularmete os úmeros 0, 1, 2, 3,..., 9 os vértices de um decágoo regular de modo que o 0 e o 9 ão apareçam em jutos em diametralmete opostos?

4 livros diferetes devem ser colocados em uma estate de 5 prateleiras, sedo que cada prateleira tem espaço para exatamete 20 livros. a. De quatas maeiras diferetes os livros podem ser distribuídos a estate? b. De quatas maeiras diferetes os livros podem ser distribuídos as estates se estamos iteressados apeas o úmero (e ão em quais) livros cada prateleira cotém? 23. Mostre que o úmero de permutações circulares dos símbolos 1, 1, 2, 2,..., é (2 1)! ( 1)! 2 2 (sugestão: cada permutação tem pelo meos um ome que começa com 1) casais e um solteiro vão jatar em uma mesa circular. De quatas maeiras eles podem se setar de modo que ehum marido fique ao lado de sua mulher? 25. Prove combiatorialmete as idetidades ( ) ( )( ) 2 ( ) = 2 1 =1 ( ) ( ) 1 = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = ( ) ( ) ( ) = 1 1 = ( )( ) ( 2 1 ( 3 1 )( ) 1 2 ) ( )( Mostre que a. ( ) 2 é par para qualquer N. b. ( ) ( 2 = 2 ( 0) 2 ( 1) ) 2 ( ( 1) ) Vamos cosiderar triplas (x, y, z) de iteiros positivos escolhidos etre 1, 2,... 1 tais que z é maior que x e y. )

5 a. Mostre que se z = 1 etão o úmero destas triplas é 2. b. Calcule o úmero destas triplas em que (i) x = y, (ii) x < y e (iii) x > y. c. Coclua dos ites ateriores que ( ) ( ) = 2 2 3