Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste Intermédio [Novembro 2015]
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- Luca Gentil Ferreira
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1 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05] Nome: Ao / Turma: N.º: Data: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretedes que ão seja classificado. Para cada resposta, idetifica o grupo e o item. Apreseta as tuas respostas de forma legível. Apreseta apeas uma resposta para cada item. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. GRUPO I Na resposta aos ites deste grupo, selecioa a opção correta. Escreve, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida.. Seja Ω, cojuto fiito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos ( A Ω e B Ω. Sabe-se que: P( A B =0,8 P( A B =0,5 P( A =0,5 Qual é o valor de P( B? (A 5 (B 0 (C 5 (D 0. Numa escola, oito joves, cico raparigas e três rapazes, vão participar a festa de Natal. Cada um tem um poema para recitar. De quatas maeiras pode ser feito o alihameto dos poemas de modo que os três rapazes ão estejam em ordes cosecutivas? (A (B 40 (C (D 5 90
2 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05]. Um saco cotém bolas umeradas de a. Cosidera a eperiêcia aleatória que cosiste em retirar duas bolas e registar os respetivos úmeros. Sejam A e B os seguites acotecimetos: A: A soma dos úmeros é ímpar. B: O produto dos úmeros é par. Qual é o valor de P( B A? (A 0 (B 0,5 (C 0,5 (D 4. Sabe-se que C + C + C 4= Podes cocluir que + 4 C é igual a: (A 80 (B 4760 (C 950 (D Uma máquia produz peças circulares, cujos diâmetros, em cetímetros, seguem, aproimadamete, uma distribuição ormal de valor médio 8,5 e desvio-padrão 0,5. Vai ser escolhida, ao acaso, uma dessas peças. Cosidera os acotecimetos: A: O diâmetro da peça é superior a 8,75. B: O raio da peça é iferior a 4,5. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A ( > ( P A P B (B P( A < P( B P B P A (D P( A P( B (C ( < ( + >0,75
3 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05] GRUPO II Na resposta aos ites deste grupo apreseta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apreseta sempre o valor eato.. Na figura estão represetados seis copos de cores distitas e seis palhihas com cores iguais às dos copos... De quatas maeiras diferetes se podem colocar, lado a lado, os seis copos de modo que os copos amarelo, vermelho e azul fiquem jutos, ficado o copo amarelo etre os outros dois?.. Admite que as palhihas são distribuídas, ao acaso, uma por cada copo. Qual é a probabilidade de quatro e só quatro ficarem em copos com cores iguais à das respetivas palhihas?. Na figura está represetado um cubo, duas retas r e s e oito potos A, B, C, D, E, F, G e H. Sabe-se que: os potos A, B, C e D são vértices do cubo; os potos A, B e H pertecem à reta r; os potos C, D, E, F e G pertecem à reta s... Determia o úmero de retas que é possível defiir com os oitos potos... Escolhem-se ao acaso três dos oito potos. Determia a probabilidade de os três potos escolhidos serem vértices do cubo, sabedo que são vértices de um triâgulo.
4 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05]. Numa caia há 6 bolas, umas são pretas e as restates bracas. Cosidera a eperiêcia aleatória que cosiste em escolher, ao acaso, três bolas e registar o úmero de bolas retiradas de cada cor. Seja X a variável aleatória: Número de bolas bacas retiradas Sabe-se que a probabilidade de retirar eatamete três bolas bracas é 0%. Costrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apreseta as probabilidades a forma de fração irredutível. 4. Seja Ω, cojuto fiito, associado a uma dada eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos possíveis ( A Ω e B Ω. 4.. Mostra que P( A = P( B P( AB + P( B A. 4.. Numa empresa 0% dos colaboradores têm cargos o setor da Admiistração. Sabe-se que 5% dos colaboradores da empresa são mulheres e destas 0% eercem fuções o setor da Admiistração. Qual é a probabilidade de, ao escolher ao acaso um colaborador da empresa, este ser homem do setor da Admiistração? Sugestão: Podes aplicar a igualdade apresetada em 4.., idetificado os respetivos acotecimetos. 5. Uma das faces de uma moeda tem a letra A e a outra tem a letra B. Sabe-se que: o laçameto da moeda a probabilidade de ocorrer a face B é maior do que a probabilidade de ocorrer a face A; em dois laçametos a probabilidade de ocorrer as duas faces é Mostra que ao laçar a moeda a probabilidade de ocorrer a face B é Atededo ao resultado estabelecido em 5.., determia a probabilidade de ocorrer a face A eatamete duas vezes uma sequêcia de cico laçametos da moeda. Apreseta o resultado arredodado às milésimas. 4
5 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05] 6. Cosidera o problema seguite: A Joaa tem ove cháveas de café: três vermelhas, três verdes e três azuis. Vai dispor oito dessas ove cháveas em liha sobre um balcão, como se eemplifica a seguir. Quatas sequêcias diferetes, atededo à cor, é possível formar? Apresetam-se, em seguida, duas respostas corretas: 8! 8 5 I: C II: C C C!!! Numa composição, apreseta o raciocíio que coduz a cada uma dessas respostas. FIM Cotações Grupo I Grupo II Totais
6 Novo Espaço Matemática A.º ao Proposta de Teste Itermédio [Novembro 05] FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimeto de um arco de circuferêcia αr (α amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio Áreas de figuras plaas Polígoo regular: Semiperímetro Apótema Setor circular: α r (α amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio Áreas de superfícies Área lateral de um coe: πrg (r raio da base; g geratriz Área de uma superfície esférica: 4πr (r raio Volumes Pirâmide: Área da base Altura Coe: Área da base Altura Esfera: 4 πr (r raio PROGRESSÕES Soma dos primeiros termos de uma progressão (u: Progressão aritmética: u+ u Progressão geométrica: r u r TRIGONOMETRIA ( si a+ b = si a cos b+ si b cos a ( cos a+ b = cos a cos b si a si b tg tg a+ tg b + = tg a tg b ( a b COMPLEXOS ( ρ cis θ = ρ cis( θ θ+ π ρ cis θ = ρ cis k ( k { 0,..., } e N PROBABILIDADES µ= p + + p ( ( σ = p µ + + p µ Se X é N ( µ, σ, etão: ( µ σ µ σ P < X < + 0, 687 ( µ σ < < µ + σ P X 0, 9545 ( µ σ < < µ + σ P X 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( u+ v ' = u' + v' ( u v ' = u' v+ u v' u u' v u v' = v v ( u ' = u u' ( R ( si = u ' u' cos u ( cos = u ' u' si u u' cos u ( tg u ' = u u ( e ' = u' e u u + ( a ' = u' a I a ( a R \{ } ( I u ' = u' u u' u I a ( + ( log u ' = a R \{ } a LIMITES NOTÁVEIS lim + = e si lim = 0 e lim = 0 ( + I lim = 0 I lim = 0 + e lim + p =+ ( p R ( N 6
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