Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória. Tarefa nº 1 do plano de trabalho nº 5

Transcrição

1 Escola ecudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema I Probabilidades e Combiatória Tarefa º do plao de trabalho º 5. Um saco cotém bolas do mesmo tamaho e do mesmo material, mas de três cores diferetes (bracas, pretas e vermelhas). abe-se que: Existe, pelo meos, uma bola de cada cor; O úmero de bolas bracas é 5; O úmero de bolas pretas é par Extraido ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser braca é 3 Utilizado o método de redução ao absurdo, prove que, o saco, há, pelo meos, duas bolas vermelhas.. O João tiha bolas bracas, pretas e verdes. Meteu, um saco, 5 bolas bracas e um úmero par de bolas pretas. Não se lembra se também meteu, o saco, alguma bola verde. abedo que, extraido ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser braca é, prove, utilizado o método de redução ao absurdo, que, o saco, há pelo meos uma bola verde. 3. Em duas caixas, A e B, itroduziram-se bolas idistiguíveis ao tacto: a caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis; a caixa B: três bolas verdes e quatro azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se a caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B. abedo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a, mostre que a bola que foi retirada da caixa A e colocada a caixa B tiha cor verde. 4. Mostre por idução matemática que C =, N 5. Mostre, por idução matemática, que quado pessoas se ecotram e se cumprimetam, o úmero de apertos de mão é dado por. 6. Mostre que: C +... =, N, usado o método de Idução Matemática. Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo /

2 Escola ecudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema I Probabilidades e Combiatória Tarefa º do plao de trabalho º 5 proposta de resolução. Um saco cotém bolas do mesmo tamaho e do mesmo material, mas de três cores diferetes (bracas, pretas e vermelhas). Hipótese: Existe, pelo meos, uma bola de cada cor; O úmero de bolas bracas é 5; O úmero de bolas pretas é par Extraido ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser braca é 3 Tese: No saco, há, pelo meos, duas bolas vermelhas. Demostração: Começamos por egar a tese para o fim chegarmos a um absurdo. O cotrário de haver pelo meos duas bolas vermelhas é haver apeas uma bola vermelha, uma vez que tem de existir, pelo meos, uma bola de cada cor. Etão admitido que há uma bola vermelha e represetado o úmero de bolas pretas por, com atural, teremos: 5 9 p(b) = = 5 = + 6 = 9 = A solução que obtivemos é impossível porque é um úmero atural e ão pode por isso tomar um valor fraccioário. Cocluímos assim que ão pode acotecer haver apeas uma bola vermelha como admitimos. Há portato, pelo meos, duas bolas vermelhas.. O João tiha bolas bracas, pretas e verdes. Meteu, um saco, 5 bolas bracas e um úmero par de bolas pretas. Não se lembra se também meteu, o saco, alguma bola verde. abedo que, extraido ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser braca é, provemos, utilizado o método de redução ao absurdo, que, o saco, há pelo meos uma bola verde. Comecemos por idetificar a hipótese e a tese desta propriedade, idetificado B como «ser bola braca». Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo /

3 Hipótese: o saco tem 5 bolas bracas e um úmero par de bolas pretas, ão se sabe se há alguma bola verde e p(b) =. Tese: Há pelo meos uma bola verde o saco. O cotrário de obter pelo meos uma bola verde é ão obter ehuma bola verde. Demostração: Começamos por egar a tese para o fim chegarmos a um absurdo. e for o úmero de bolas pretas com, úmero atural, teremos: 5 5 p(b) = = = 5 + = 5 = 5 + Obtivemos uma codição impossível por ão poder tomar um valor fraccioário. Cocluímos assim que ão pode acotecer, ão haver bolas verdes o saco. Há pelo meos uma bola verde o saco (aliás, só pode haver um úmero ímpar de bolas verdes para que o úmero de bolas verdes e pretas seja igual ao úmero de bolas bracas, que é o ecessário para que p(b) =.) 3. Em duas caixas, A e B, itroduziram-se bolas idistiguíveis ao tacto: a caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis; a caixa B: três bolas verdes e quatro azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se a caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B. abedo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a, mostre que a bola que foi retirada da caixa A e colocada a caixa B tiha cor verde. Comecemos por idetificar a hipótese e a tese desta propriedade, idetificado V como «ser bola verde». Hipótese: A e B são caixas com bolas verdes e azuis Na caixa B há 3 bolas verdes e 4 azuis e retirarmos uma bola da caixa A e a colocarmos a caixa B, a probabilidade de retirar uma bola azula da caixa B é Tese: A bola retirada da caixa A e colocada a caixa B tiha cor verde. Demostração: Começamos por egar a tese para o fim chegarmos a um absurdo. Admitamos que a bola retirada da caixa A e colocada a caixa B ão era verde, pelo que, era azul. Etão a caixa B ficaram 3 bolas verdes e 5 azuis e a probabilidade de retirar uma bola azul da caixa B seria 5 8 e ão como temos a hipótese. Cocluímos que a bola retirada da caixa A e colocada a caixa B era verde. Professora: Rosa Caelas 3 Ao Lectivo /

4 4. Mostremos por idução matemática que C =, N Comecemos por verificar a propriedade para =. C = é de facto verdadeira. Provemos que é hereditária provado que + C = C = +. Ora C = C por aplicação da propriedade + C = C e usado a + p p p hipótese de Idução e sabedo que C = temos C = + como queríamos provar. 5. Mostremos, por idução matemática, que quado pessoas se ecotram e se cumprimetam, o úmero de apertos de mão é dado por Como são ecessárias duas pessoas para darem um aperto de mão vamos começar por verificar a propriedade para =. ( ) e A ( ) = etão ( ) A = A ( ) = proposição verdadeira. Provemos agora que a propriedade é hereditária tedo em cota que se uma pessoa etrar uma sala com pessoas ela dará apertos de mão e portato essa sala foram dados tatos apertos de mão como os previstos para pessoas mais os que a pessoa que etra terá de dar para cumprimetar todos. Provemos etão: ( ) e A ( ) = etão ( ) ( )( ) Ora A ( + ) = A ( ) + (do que ficou dito ates) E ( ) ( ). ( ) A + = A ( + ) = + + ( + ) A + = A + = + = = = Acabámos de provar que a propriedade é válida para = e é hereditária pelo que é verdadeira para qualquer úmero atural maior ou igual a. 6. Mostre que: C +... =, N, usado o método de Idução Matemática. Verifiquemos que C +... = é verdadeira quado =. C = + = =. De facto a igualdade é válida quado =. Verifiquemos agora que a propriedade é hereditária. C +... = C +... = Comecemos por idetificar por = C é a soma de todos os elemetos da liha do Triâgulo de Pascal e sabemos que essa soma é o úmero de todos os subcojutos que podemos costruir com os Professora: Rosa Caelas 4 Ao Lectivo /

5 elemetos de um cojuto,. e a esse cojuto jutarmos um ovo elemeto ficamos com um total de + subcojutos. Como os ovos subcojutos são todos os que se formam com os elemetos do primeiro cojuto, mais outros tatos em que etra o ovo elemeto, ficamos com + = + = + = = e provámos etão que a + propriedade C +... = é verdadeira para = e que sempre que se verifica para também se verifica para +, sedo, de acordo com o Pricípio de Idução Matemática, válida para todos os valores de atural. Professora: Rosa Caelas 5 Ao Lectivo /