2. Se A e B são acontecimentos incompatíveis, a sua interseção é o conjunto vazio, pelo que

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1 reparar o Exame 0 06 Matemática ágina 6. nalisemos cada opção: : e não são contrários pois a sua união não é o espaço amostral. Há, ainda, bolas pretas. : e não são contrários pois a sua união não é o espaço amostral. Há, ainda, bolas brancas. C: e são incompatíveis pois a sua interseção é o conjunto vazio. D: e não são incompatíveis pois a sua interseção não é o conjunto vazio. a bola retirada é azul faz parte desta interseção Resposta: C. Se e são acontecimentos incompatíveis, a sua interseção é o conjunto vazio, pelo que = 0 (as opções e são verdadeiras). Se =, então, pelo que a opção D também é verdadeira. Se e são acontecimentos possíveis, então () e é diferente de zero, pelo que o seu produto também é diferente de zero. Mas já vimos que = 0, pelo que () x e e não são acontecimentos independentes, sendo a opção falsa. Resposta:. Se 0,8, então () = 0,. Como, temos que (), logo 0, e a opção não é a correta. Da mesma forma, 0,8 e a opção não é a correta. 0,8 e a opção C não é a correta. ( ) () ( ) 0, e a opção D é a correta. Resposta: D. () () ( ) (). Repara no esquema ao lado () 0, Então, 0,6 0, () = 0, () = 0,. () Sabe-se que = () +, pelo que 0,8 = 0, + 0, = 0, Resposta: D roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

2 reparar o Exame 0 06 Matemática. Como saiu face com o número no lançamento do dado, tirou-se uma bola da caixa. Nessa caixa, a probabilidade de retirar uma bola verde é. 6. X Y Resposta: D significa a probabilidade de a figura escolhida ser um círculo, sabendo que a mesma não está pintada de azul. ssim, para cada opção, deve ser calculada a probabilidade de retirar um círculo entre as peças que não estão pintadas de azul: : X Y = 0 : X Y = C: X Y = D: X Y 6 = 6 Resposta: C. Seja n o número de bolas pretas. ssim, inicialmente estão no saco n + bolas. (Y X) designa a probabilidade da segunda bola retirada ser preta, sabendo que a primeira também foi preta. Como a extração é sem reposição, para a segunda extração estão no saco n + = n + bolas. Como na primeira extração foi retirada uma bola preta, então para a segunda extração estão no saco n bolas pretas. ssim, o número de casos possíveis é n + n e o número de casos favoráveis é n. ortanto (Y X) =. n n ssim tem-se, (Y X) = n = n + <=> n = <=> n =. n Logo, inicialmente estavam na caixa cinco bolas pretas e doze brancas, num total de. Resposta: 8. Como só faltam sair duas letras, temos! casos possíveis, em que apenas um deles permite formar a palavra TIMOR. ssim, a probabilidade pedida é. Resposta: C ágina 6. () ( ) ( ) ( ) () ( ) roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

3 reparar o Exame 0 06 Matemática. Consideremos os acontecimentos : o estudante escolhido é rapaz e : o estudante escolhido teve classificação positiva no exame nacional de Matemática. Então, pretende-se calcular. elo enunciado, temos que: 60, 80 (), 0,6 or., ( ) ( ) e 0,6 0,6 x 0,6 x = () + =., pelo que é necessário calcular e : Então, ( ) ( ) 0,. 0. Y X Y X Y X a b ab (X) (Y) (X Y) (X) (Y) (X) (Y) 0. Consideremos os acontecimentos X: tirar um iogurte de pêssego e Y: tirar um sumo de laranja. retende-se calcular X Y. or 0., temos que X Y(X) (Y) (X) (Y) 8 =.. Então, X Y. ( ) = ( ) = = () +. or outro lado, temos que: =. Como = temos que = e o rei de copas é uma das cartas em cima da mesa (caso contrário, = 0). roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

4 reparar o Exame 0 06 Matemática. Como = e um baralho completo só tem um rei de copas, então existem cartas em cima da mesa... ( ) ( ) ( ). Temos que () = e = 6 x. = 6 x () + = 6 x x = =. Então, ( ) ( ).. () () () () ( ) ( ). Consideremos os acontecimentos : o professor escolhido tem um mestrado em Educação e : o professor escolhido tem um mestrado em nálise. retende-se calcular. Do enunciado temos que, = 0, e or. sabemos que 0, 0,6 6. Então,. 6 roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

5 reparar o Exame 0 06 Matemática. retende-se calcular a probabilidade de as quatro bolas serem todas azuis ou todas encarnadas (repara que na caixa não podemos tirar duas bolas pretas). Resposta pedida: 0, (Y X) designa a probabilidade das três bolas retiradas da caixa serem de cores diferentes, sabendo que as quatro bolas retiradas da caixa e colocadas na caixa são da mesma cor. ssim, as quatro bolas que foram retiradas da caixa e colocadas na caixa são encarnadas. ortanto, ficam na caixa 6 bolas, três azuis, seis encarnadas e sete pretas. Logo, o número de casos possíveis é 6 C (das 6 bolas existentes na caixa, escolhem-se três) e o número de casos favoráveis é C x 6 C x C = x 6 x (escolhe-se uma bola azul de entre as três, uma encarnada de entre as seis e uma preta de entre as sete). ssim, pela lei de Laplace, (Y X) = 6 C , Repara que a sequência pode ser EE ou EE. (C ) designa a probabilidade da soma das três bolas ser par, sabendo que a primeira bola retirada foi encarnada e que a segunda bola retirada foi branca. ssim, na primeira extração saiu uma bola com número ímpar e na segunda extração saiu bola com número par. ortanto para a soma das três bolas ser um número par, a terceira bola terá de estar numerada com um número ímpar, ou seja, terá de ser encarnada. No saco, depois das duas primeiras extrações, ficaram sete bolas, quatro numeradas com um número ímpar (encarnadas) e três numeradas com um número par (brancas). Logo, o número de casos possíveis é e o número de casos favoráveis é. ssim, pela lei de Laplace, (C ). 6. Consideremos os acontecimentos M: ser mulher e : ser anfalbeto. Do enunciado temos que (M) = 0,, () = 0, e M 0,. ara resolver as próximas alíneas podemos construir um diagrama em árvore com os dados disponíveis: roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

6 reparar o Exame 0 06 Matemática 0, M (M) = 0, = 0,6 0, 0,6 x 0, = 0, ( M) = ( M) = 0, = 0, 0,6 M 0, 0, x 0,6 = 0, 6. a) retende-se calcular M. or observação do diagrama temos que M = 0, = %. 6. b) retende-se calcular ( M). ( M) = (. Temos de calcula (M). elo diagrama sabemos que M M) (M) pelo enunciado temos que () = 0,. Então, () = M + (M) 0, = 0, + (M) (M) = 0,0. ( M) 0,0 Logo, ( M) =,% (M) 0, = 0, e 6. Consideremos os acontecimentos V: ser vacinado contra a gripe sazonal e D: ficou doente. Do enunciado temos que (V) = 0,6, (D) = 0, e (VD) = 0,. retende-se calcular D V e (D V). odemos construir um diagrama em árvore: 0, D 0,6 x 0, = 0, (V) = 0,6 = 0, 0,6 V D 0,6 x (D V) = 0, logo (D V) = 0, 0,6 D (D) = 0, pelo que 0, + 0, x (D V) = 0,. Então, (D V) = 0,6 0, V D roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina 6

7 Então, D V reparar o Exame 0 06 Matemática = 0,6 e (D V) = 0,. ssim, concluímos que a vacina é eficaz visto que a probabilidade de adoecer se for vacinado é inferior à probabilidade de adoecer se não foi vacinado.. ( ) ( ) () /() () ( ) ( ) () ( ) ( ) () () () (). Consideremos os acontecimentos : o aluno escolhido pratica futebol e : o aluno escolhido pratica basquetebol. retende-se calcular. elo enunciado temos que () or. sabemos que. Então, 0, ( ) ( ) 6 ( ) ( ), = 0, e. 6 ( ) 8. ( ) 0, 0, ( ) 0, 0, ( ) 0, 0, 0, 0, 0,6 0, Observa o esquema: roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina

8 reparar o Exame 0 06 Matemática 0, 0,8 0, 0, 0,8 0, 0, () = 0, + 0, = 0, Então, ( ) ( ) () 0, 0, e, portanto,. retende-se calcular. = () + = 0, + 0,8 0, x 0,8 = 0, = % e são independentes pelo que = () x 0. Seja S x, x, x,..., x n, tal que Tem-se: n x x x... xn n, com nin. n n n n n Como nin então 0. Logo, e não são incompatíveis e portanto, têm pelo menos um elemento em comum. Se e tivessem apenas um elemento em comum, isto é, se x i, para algum i,...,n, com nin, então xi n acontecimento tem mais que um elemento., o que não pode ser, pois n. Logo, o roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina 8

9 0.. retende-se mostrar que = x (). Vamos começar por escrever em função de reparar o Exame 0 06 Matemática. Tem-se: ( ) 0, 0, 0, 0, 0, Como 0,08 e 0,, vem: 0,08 0, 0,08 0, 0,08 0 Como 0, 0, 0,08 0 0, então Logo = x ().. e portanto 0, roposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo xiomática. robabilidade Condicionada e contecimentos Independentes ágina