Relatório At. Form. 3: Probabilidades

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Edison Frade Peixoto
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1 1. (a) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o sexo da pessoa que se encontra. O espaço de resultados associado é S = {Feminino, Masculino}. (b) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de caras que se observam em 10 lançamentos. O espaço de resultados associado é S = {0, 1,..., 10}. (c) Não é uma experiência aleatória, pois não está perfeitamente especificado o que se pretende. (d) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de carros que passam entre as 17h e as 18 h, num dia escolhido ao acaso. O espaço de resultados associado é S = {0, 1, 2, 3,... }. (e) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de bilhetes vendidos. O espaço de resultados associado é S = {0, 1, 2, 3,..., n}, onde n é o n o de bilhetes disponíveis para venda. (f) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é qual o tipo de transmissão que se obtém. O espaço de resultados associado é S = música, notícias, anúncios, outra programação. (g) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de alunos do 10 o ano inscritos. O espaço de resultados associado é S = {0, 1, 2, 3,... }. (h) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de doentes atendidos. O espaço de resultados associado é S = {0, 1, 2, 3,... }. (i) Não é uma experiência aleatória. (j) Não é uma experiência aleatória. (k) Experiência aleatória, em que o fenómeno aleatório em estudo é o número de sementes que germinaram. O espaço de resultados associado é S = {0, 1, 2, 3,..., n}, onde n é o número de sementes da embalagem. 2. Espaço de resultados: S = (solteiro, solteiro), (solteiro, casado), (solteiro, viúvo), (solteiro, divorciado), (casado, solteiro), (casado, casado), (casado, viúvo), (casado, divorciado), (viúvo, solteiro), (viúvo, casado), (viúvo, viúvo), (viúvo, divorciado), (divorciado, solteiro), (divorciado, casado), (divorciado, viúvo), (divorciado, divorciado) 1

2 (a) (b) (c) (d) (e) A união dos acontecimentos B e C constitui o espaço de resultados (B C = S), e como os dois acontecimentos são disjuntos ou incompatíveis (B C = ), são complementares um do outro. (f) A intersecção dos acontecimentos A e B é o acontecimento impossível, pois aqueles dois acontecimentos não têm resultados comuns. 2

3 3. Seja A o acontecimento ter filho Rapaz. Tratam-se de acontecimentos independentes pelo que: P (A 1 A 2 A 3 ) = = Consideremos os dois resultados possíveis do lançamento da moeda: Coroa (C) e Face (F). Vamos construir um diagrama em árvore para exemplificar os sucessivos lançamentos: (a) S = CC, CFCC, CFCF,..., FFFC, FFFF (b) A = CC, CFCF, CFFC, FCC, FCFC, FFCC (c) B = CC, CFCC, CFCF, CFFC, FCC, FCFC, FFCC (d) C = CC, CFCF, CFFC, CFFF, FCC, FCFC, FCFF, FFCC, FFCF, FFFC, FFFF 5. Utilizando os simbolos de união ( ) e intersecção ( ), e a notação overlinea para o complementar de A, temos (a) A B C (A ou B ou C). (b) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C); (c) (A B C) (A B C) (A B C) (d) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) (e) (A B C) (A B C) (A B C) 6. Sejam os acontecimentos: A, B, C respectivamente Receber Muito bom Salário, Não tem Formação Matemática, Receber Bom Salário. 3

4 Bom salário Muito bom salário Tem formação matematemática Não tem formação matemática Com base nos dados da tabela, calcule a probabilidade de: (a) P (A) = = = (b) P (A B) = = = ou P (A B) = (c) P (B C) = ou P (B C) = P (A B) = 152/800 P (B) 320/800 = = = P (B C) P (C) = 168/ /800 = Considere a experiência aleatória e os acontecimentos relativos ao lançamento de um mesmo dado. (a) A = {2, 4, 6}, B = {3, 6} e C = {2, 3, 5}. (b) P (A) = 3 6 = 1 2, P (B) = 2 6 = 1 3 e P (C) = 3 6 = 1 2. (c) A B = {6} e A C = {2}. (d) P (A C) = 1 6. (e) P (B A) = P (A B) P (A) = 1/6 1/2 = 1 3. (f) P (B A) = P (B), logo A e B são independentes. Por outro lado P (A C) = 1 6 P (A).P (C) = = 1 4 logo A e C não são independentes. 8. Como P (A B) = 0.25 P (A) = 0., os acontecimentos A e B não são independentes, logo os resultados apresentados não se podem verificar. 9. Um grupo de crianças tem dez camisolas dentro de um saco, 3 verdes, 3 brancas, 3 pretas e 1 amarela (Exame 16/06/2009): 4

5 (a) S ={Verde, Verde, Verde, Branca, Branca, Branca, Preta, Preta, Preta, Amarela}. (b) Seja A o acontecimento de tirar uma camisola amarela. A probabilidade de tirar a camisola amarela na primeira da 3 é dada por P (A) P (Ā 9 cam., 0 amarelas) P (Ā 8 cam., 0 amarelas) = = A probabilidade de tirar a camisola amarela na segunda vez é dada por P (Ā) P (A 9 cam., 1 amarela) P (Ā 8 cam., 0 amarelas) = = A probabilidade de tirar a camisola amarela na terceira vez é dada por P (Ā) P (Ā 9 cam., 1 amarela) P (A 8 cam., 1 amarela) = = Assim somando as três probabilidades anteriores, temos que a probabilidade pedida é 3/10 = 0, 3. (c) Seja V o acontecimento de tirar uma camisola verde. Como existem apenas 3 camisolas verdes em 10, temos que a probabilidade é dada por P (V ) P (V 9 cam., 2 verdes) P (V 8 cam., 1 verde) = = 0.008(3). (d) As únicas possibilidades são as três serem verdes, as três serem brancas ou as três serem pretas. Como a probabilidade de estes três acontecimentos é igual (pois existem 3 camisolas destas cores) e já foi calculada na alínea anterior, a probabilidade pedida é o triplo da obtida na alínea anterior, ou seja, é dada por Temos a tabela seguinte Homem Mulher Total Reformado No ativo Total Seja A o acontecimento de ser Homem e B o acontecimento de ser reformado. (a) P (A) = 20 = 0,

6 (b) P (B A) = = 0, 6. Outra hipótese de reoluçao seria (c) P (A B) = 12 (d) Como P (B A) = = 0, 343. (B A) P (A) = 12/ 20/ = 0, 6. P (A B) = = 0, 343 e P (A) P (B) = 21 = = 12 = 0, 343 os acontecimentos Reformado e Homem são independentes. (e) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 29 = 0, Seja A o acontecimento de ser Homem e B o acontecimento de ser fumador. Temos então, pelo enunciado que P (B) = 0, ; P (A) = 0.55; P ( B A) = 0, 4; (a) P (B A) = 1 P ( B A) = 1 0, 4 = 0, 6; (b) P (A B) = P (B A) P (A) = 0, 6 0, 55 = 0, 33. (c) Como P (B A) = 0, 6 P (B) = 0, os acontecimentos A e B não são independentes. Outra hipótese para tirar a mesma conclusão seria reparar que P (A B) = 0, 33 P (A) P (B) = 0, 55 0, = 0, (d) Como P (A B) = P (A) P (A B) = 0, 55 0, 33 = 0, 22 e e ainda P (B A) = P (B) P (A B) = 0, 0, 33 = 0, 02 P (Ā B) = 1 P (A B) = 1 (P (A) + P (B) P (A B)) = 1 (0, , 0, 33) = 0, 43 temos o diagrama de Venn seguinte: 6

7 (e) Conforme calculado na alínea anterior, P (Ā B) = 0, 43 logo a afirmação é falsa. A percentagem de mulheres não-fumadoras sobre o total de empregados é 43%. 12. Seja o acontecimento A ter casa própria e o acontecimento B ter tido crédito bancário. Temos então que P (A) = 0, 6; P (B A) = 0, 9; P (Ā B) = 0, 28. (a) P (A B) = 1 P (Ā b) = 1 0, 28 = 0, 72. (b) P (A B) = P (B A) P (A) = 0, 6 0, 9 = 0, 54. (c) P (B) = P (A B) P (A B) = 0,54 0,72 = 0, 75. (d) Como P (B) = 0, 75 P (B A) = 0, 9 os acontecimentos não são independentes. (e) Como P (A B) = P (A) P (A B) = 0, 6 0, 54 = 0, 06 e P (B A) = P (B) P (A B) = 0, 75 0, 54 = 0, 21 e ainda P (Ā B) = 1 P (A B) = 1 (P (A) + P (B) P (A B)) = 1 (0, 6 + 0, 75 0, 54) = 0, 19 temos o diagrama de Venn seguinte: 7

8 (f) Conforme calculado na alínea anterior P (Ā B) = 0, 19, logo cerca de 20% das pessas não tiveram crédito bancário e não têm casa própria. Para ser mais exato, esta percentagem é de 19%. FIM 8

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