1- INTRODUÇÃO 2. CONCEITOS BÁSICOS

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1 1 1- INTRODUÇÃO O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir um certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo no presente. O torcedor de certo time pode apostar contra ele porque sua probabilidade de ganhar é pequena. O aluno poderá ficar contente porque acha que sua probabilidade de obter bons resultados nas provas é grande. A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvem uma tomada de decisão. Suponhamos que um empresário deseja lançar um novo produto no mercado. Ele precisará de informações sobre a probabilidade de sucesso para seu novo produto. Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, tais como: Administração de empresas, Economia, sicologia, Biologia e outros ramos da ciência. ara a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, poderemos basear-nos em duas escolas de pensamento: 1) A escola objetiva ou clássica, onde as regras do cálculo das probabilidades devem ser somente aplicadas a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. Tais fundamentos garantem que se duas pessoas isoladas e acuradamente, determinassem a probabilidade de certo evento, chegariam ao mesmo resultado. Há dessa forma, uma probabilidade associada, por exemplo, ao evento receber duas figuras em um jogo de cartas; ou ganhar numa loteria em que pessoas possuam bilhetes, pois os experimentos ( tirar duas cartas de um baralho ou possuir um bilhete de loteria) podem ser repetidos sob as mesmas condições e diferentes pessoas provavelmente obteriam os mesmos resultados nesses experimentos. Adeptos dessa escola jamais cogitariam atribuir a probabilidade de que o Fluminense ganhe no seu próximo jogo; de que Ana Beatriz seja a primeira mulher a pisar em Marte ou que Nilo pague uma rodada de chopp no Boi Zebú. Tais eventos não resultam de experimentos que possam ser repetidos sob as mesmas condições. ) ara a avaliação desses experimentos, deveremos valer-nos dos fundamentos da escola subjetiva ou personalista. Tal escola considera que a probabilidade de certo evento é medida pelo grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. Evidentemente, neste caso, teremos diferentes probabilidades para um mesmo evento. Mesmo admitindo a dificuldade originada por diferentes probabilidades ao mesmo evento, os defensores dessa escola crêem que as pessoas que se utilizam sistematicamente das probabilidades subjetivas conseguem tomar decisões acertadas. Evidentemente, caro aluno, você encontrará defensores das duas linhas de pensamento que irão manifestar suas respectivas vantagens. Achamos que ambas possuem méritos e restrições. Utilizaremos neste capítulo o conceito de probabilidade objetiva, que é ainda o mais popular. Todavia, devemos afirmar que a escola subjetiva vem tendo um rápido crescimento e em breve se tornará mais difundida.. CONCEITOS BÁSICOS Fenômeno: É qualquer acontecimento natural. Fenômeno determinístico: É um fenômeno que fornece um único resultado sob as mesmas condições. Fenômeno probabilístico, aleatório ou estocástico: É um fenômeno que fornece mais de um resultado sob as mesmas condições. Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente. 1

2 Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, descrever todos possíveis resultados: as possibilidades. O lançamento de um dado constituiu um experimento aleatório, pois esse experimento poderá ser repetido quantas vezes desejarmos. Antes do lançamento, não poderemos dizer qual será o resultado, mas somos capazes de relatar os possíveis resultados: sair o número 1,, 3, 4, 5 ou 6. Outro exemplo típico de um experimento aleatório e simples de ser entendido é o lançamento de uma moeda ao ar e a verificação da fase mostrada ao cair. Sabe-se que os resultados possíveis são cara ou coroa, mas não se sabe qual será a face mostrada. Se este experimento for repetido um número grande de vezes, com uma moeda nãoviciada, verifica-se que as possibilidades de ocorrência de cara e de coroa são iguais: as freqüências relativas de ocorrência tendem para 0,50. Da mesma maneira, os experimentos abaixo são aleatórios: E1: Retirar uma carta de um baralho com 5 cartas e observar seu naipe. E: Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e seis pretas. E3: Contar o número total de peças defeituosas da produção diária da máquina A. E4: Jogar uma moeda dez vezes e observar o número de caras. E5: Sortear um aluno de determinada classe. Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Evento: Qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório. Sendo evento um subconjunto de S, indicaremos os eventos por letras maiúsculas: A,B,C,... Exemplo: Seja o experimento E lançamento de um dado. O espaço amostral será o conjunto S { 1,,3,4,5,6 }. Seja o evento A sair um número par. Assim, A {,4,6 }. Evento simples é aquele formado por um único do espaço amostral, ao passo que o evento composto é aquele que possui mais de um elemento. No exemplo acima, o evento A é composto. Diante das explicações sobre o conceito de eventos, notamos que S (espaço amostral) e Φ conjunto vazio também são eventos, e são chamados respectivamente de evento certo e evento impossível. Assim, o evento obter um naipe na retirada de uma carta é um evento certo, enquanto que obter um sete no lançamento de um dado constitui um evento impossível. Como evento é um conjunto, poderemos realizar com elas as operações costumeiras de união e interseção de conjuntos. Assim: 1 o diagrama: União: A B A B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem. o diagrama: Interseção: A B A B é o evento que ocorre se A e B ocorrerem. A B corresponde à área escura do o diagrama de Venn. 3 o diagrama: Exclusão: A B Φ Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A intersecto B conjunto vazio. No exemplo anterior A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de A impede a ocorrência de B e vice-versa: A B Φ ( evento impossível).

3 3 4 o diagrama: Negação ou evento complementar A negação do evento A, denotada por A c ou A ( lê-se A complementar ou A traço) é o evento que ocorre se A não ocorrer. Corresponde à área em branco do 4 o diagrama. Exercício Resolvido: 1) Seja ε o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10. Sejam os eventos A {sair o número 7} e B {sair um número par}, então, se S {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, teremos: A {7} e B {, 4, 6, 8, 10}. A B {7,, 4, 6, 8, 10}; A B Φ ( evento impossível) O complementar de A será: A {1,, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}; O complementar de B será: B { 1, 3, 5, 7, 9} A A S; A A Φ; B B S ; B B Φ. 3. AVALIAÇÃO DA ROBABILIDADE Nossa preocupação maior será avaliar a probabilidade dos eventos. ara tanto, iremos admitir que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance, ou seja, os resultados são igualmente prováveis. Isto significa que, se n for o número de elementos de S, então a probabilidade de um evento simples será dada por 1/n. ara avaliação da probabilidade de um evento composto, basta somarmos as probabilidades individuais quantas vezes for o número de elementos do evento composto. Simbolicamente, temos: S { a 1, a, a 3,..., a n} espaço amostral equiprovável. Então, { a i } 1/n probabilidade de cada evento simples. ara A { a 1, a,..., a r }, com r menor ou igual a n, que é um evento composto, teremos: ( A) 1/ n + 1/ n / n r / n r parcelas Essa maneira de cálculo das probabilidades é enunciada da seguinte forma: ( A ) ao. evento. A T. Lê-se: A probabilidade do evento A é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao evento A ( ao evento A ) e o número total de casos ( T. ). Note que para avaliar a probabilidade de certo evento, você deve contar o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis do experimento. Trata-se, em última análise, de um problema de contagem. Exercício Resolvido: 1) Qual a probabilidade de aparecer uma face ímpar no lançamento de um dado? Seja A o evento: { aparecer um número ímpar }. Então: A { 1, 3, 5 }, ou seja, 3. Quanto ao número total de casos (T.) será igual a seis, pois o espaço-amostral desse experimento é S { 1,, 3, 4, 5, 6 }. ortanto: ao. evento. A 3 1 ( A ) 0,5 50% T. 6 3

4 4 Logo, a probabilidade de aparecer um número ímpar no lançamento de um dado é ½, 0.50, ou 50%. A primeira maneira (½) de expressar a resposta é a mais comum. ) Qual a probabilidade de se tirar um rei de um baralho com 5 cartas? Seja A o evento: aparecer um rei quando se tira uma carta do baralho. Relembrando seus amplos conhecimentos dos jogos de cartas você irá concluir que 4 ( existem 4 reis num baralho) e que T. 5, pois existem 5 cartas possíveis de serem sorteadas. Assim: 4 1 (A) ,0769 0,077 7,7 % 4. REGRA DO CÁLCULO DAS ROBABILIDADES ara maior facilidade na solução dos problemas de cálculo das probabilidades, devemos aprender as propriedades e regras seguintes: 1) 0 < (A) < 1 A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a zero e menor ou igual a 1. ) (S) 1 A probabilidade do evento certo é igual a 1. 3) (Φ) 0 A probabilidade do evento impossível é igual a zero. 4) (A B) (A + B) (A) + (B) Regra da soma das probabilidades, se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivo ( A B Φ ). NOTA: Tal propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde que eles sejam a mutuamente exclusivos: (A B Φ; A C Φ; B C Φ), então: (A B C) (A ) + (B) + (C). 5) (A B) (A + B) (A) + (B) - (A B) 1) Regra da soma das probabilidades, se A e B NÃO forem dois eventos mutuamente exclusivos : 6) (A) 1 - (A) Se A ( traço ) é o evento complementar de A. Exercício Resolvido: Aplicação das regras 4, 5 e 6: 1) Seja o experimento E : lançamento de um dado e os eventos A, B, e C: A { sair o número 3 }; B { sair um número par }; C { sair número ímpar }. Avaliar (A); (B); (C); (A B); (A C); (A C); (A). S { 1,,3,4,5,6}; A {3}; B {,4,6}; C { 1,3,5} (A) 1/6 ; (B) 3/6 ½ ; (C) 3/6 ½ ; (A B) 1/6 + 1/ /3 4

5 (A B Φ ) ; (A C) 1/6 ; (A C) 1/6 + 1/ - 1/6 1/ ; (A) 1-1/6 5/6. Observe que A { 1,, 4, 5, 6}. 5 7) ROBABILIDADE CONDICIONAL ( ) ( A B) A/ B ( B) Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com (B) diferente de zero, então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por (A/B) e definida pela relação acima. ara o cálculo da probabilidade condicional de A em relação a B, (A/B), basta contarmos o número de casos favoráveis ao evento A B e dividirmos pelo número de casos favoráveis do evento B: ( A/ B) F a A B a B Exercícios Resolvidos: Aplicação da robabilidade Condicional 1) Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1,,...,15. Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6? S { 1,, 3,...,15} A { o número ser o 6 } B { o número ser par } Notem que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é : (A) 1/15 0, ,067 6,7 % Dado porém, a informação de que o número sorteado foi par, o espaço-amostral reduz-se para S* {, 4, 6, 8, 10, 1, 14}, e é neste espaço-amostral que iremos avaliar a probabilidade do evento A. Assim: A B {6} e B {, 4, 6, 8, 10, 1, 14}; logo, (A/B) ( A B) ( B) a A B a B 1 7 0, ,9% (A/B) lê-se: probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par. ) De um baralho comum de 5 cartas, retirou-se uma e verificou-se que ela era vermelha. Qual a probabilidade de essa carta ser uma figura? A { a carta é uma figura } B { a carta é vermelha }; então: Observem que há 6 cartas que são figuras e vermelhas, bem como 6 cartas vermelhas. (A/B) ( A B) ( B) a A B a B , ,01% Neste exemplo (A/B) lê-se: probabilidade de sair uma figura, dado que a carta retirada tenha sido vermelha. 5

6 6 8) REGRA DO RODUTO. A partir da definição de probabilidade condicional ( ) ( A B) A/ B, poderemos explicitar (A B) e encontrar a regra do produto: B ( ) (A B) (B). (A/B) ou (A B) (A). (B/A) Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo espaçoamostral é igual a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro. Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 1) Retira-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas. Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas? Sejam os eventos: A {a primeira peça ser defeituosa }; B {a segunda peça ser defeituosa }. recisamos, então, avaliar (A B). (A B) (A). (B/A) (A B) 6/10. 5/9 1/3 0, ,33 % Observem que (B/A) é a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, dado que a primeira foi defeituosa. 9) REGRA DO RODUTO ARA DOIS EVENTOS INDEENDENTES Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não depende ou não está vinculada com a ocorrência do outro, isto é, (A/B) (A) e (B/A) (B). Logo, a regra do produto para dois eventos independentes é dada por: (A B) (A). (B) Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 1) Retira-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 5 cartas. Qual a probabilidade de que ambas sejam de paus? Sejam os eventos: A {a primeira carta é de paus } B {a segunda carta é de paus } Como A e B são independentes, a ocorrência de um deles não está vinculada à ocorrência do outro. Observem que, como o processo é com reposição, o espaço-amostral não é alterado para o cálculo da probabilidade do outro evento. Assim: (A B) (A). (B) 13/5. 13/5 1/16 0,065 6,5% 10) REGRA DE BAYES Sejam A 1, A, A 3,..., A n, n eventos mutuamente exclusivos tais que A 1 A A 3... A n S. Sejam ( A i ) as probabilidades conhecidas de todos os eventos A i e B um evento qualquer de S tal que conhecemos todas as probabilidades condicionais ( A i ). Então para cada i teremos: ( A / B) i ( Ai ). ( B / Ai ) ( A ). ( B / A ) + ( A ). ( B / A ) +... ( A ). ( B / A ) n n O resultado acima é bastante importante, pois, como vimos, relaciona probabilidades a priori: ( A i ) com probabilidades a posteriori: ( A i / B ), probabilidade de A i depois que ocorrer B. 6

7 7 Exercício Resolvido: Aplicação da regra de Bayes. 1) Suponhamos a seguinte configuração: Cor Urna 1 Urna Urna 3 Total reta Branca Vermelha Total Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna? robabilidades a priori: ( U 1 ) 1/3; ( U ) 1/3; ( U 3 ) 1/3; robabilidades a posteriori : ( br/u 1 ) 1/9; ( br/u ) 1/3; ( br/u 3 ) 3/8; Desejamos calcular ( U / br ), Assim: ( / br) U ( U ). ( br / U ) ( ). ( br / U ) + ( U ). ( br / U ) + ( U ). ( br / U ) U ( U ) 3 3 / br 0, , ,68% Obs: O que é a probabilidade a posteriori? É a probabilidade de ser escolhida a urna dada a informação de que a bola retirada foi branca Exercícios ropostos 1º) Dar o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos: a) Lançamento simultâneo de duas moedas; b) Lançamento simultâneo de três moedas; c) Distribuição de sexo de uma família com três filhos; d) Lançamento simultâneo de um dado ( não viciado ); e) Lançamento simultâneo de dois dados ( não viciados ); f) Retirada de duas cartas de um baralho com 8 cartas, sendo 4 damas e 4 valetes; g) Retirada de duas bolas sucessivamente, de uma urna com cinco bolas, sendo três brancas e duas amarelas. º) Respectivamente aos espaços amostrais do exercício anterior, enumere os eventos: a) Faces idênticas; b) Uma cara ( pelo menos uma cara ); ( obs: é diferente de exatamente uma cara) c) No máximo duas meninas; d) Um número primo; e) Um par cuja soma seja um número maior do que 8; f) Todos valetes; g) A primeira bola é branca. 3º) Dois dados são lançados. ede-se: a) enumere o evento A{ a soma dos pontos é 9}; b) enumere o evento B{ a soma dos pontos é 7}; c) enumere o evento C{ a soma dos pontos é menor do que 10}; d) calcule a probabilidade do evento A; 7

8 8 e) calcule a probabilidade do evento B; f) calcule a probabilidade do evento C; g) qual a probabilidade da soma NÃO dar 7; h) calcule a probabilidade de ocorrer A ou B; i) calcule a probabilidade de ocorrer B ou C; j) calcule a probabilidade de ocorrer A e B; l) calcule a probabilidade de ocorrer A e C; m) dado que as duas faces mostram números diferentes, calcule a probabilidade de a soma ser 4; n) determine (C/A); o) determine (B/C); p) determine a probabilidade de a soma ser 5, visto que o primeiro dado mostra um número maior do que o segundo; q) determine a probabilidade de a soma ser um número maior do que 8, visto que o primeiro dado mostra um número menor do que o segundo; 4º) São dadas duas urnas: Cor Urna A Urna B Total reta 3 5 Branca Vermelha Total a) Calcular a probabilidade de retirar um bola branca da urna A ; b) Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna B ; c) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna A ; d) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca e vermelha da urna A ; e) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou preta da urna B ; f) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna B ; g) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas vermelhas da urna A, com reposição?; h) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas brancas da urna B, com reposição?; i) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da urna A? (* sem reposição); j) São retiradas uma bola de cada urna; qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor? ( sempre sucessivamente, nunca ao mesmo tempo ) l) Uma bola preta é retirada aleatoriamente de uma das urnas e trazida para você, qual a probabilidade dela ter vindo da urna B? 5º) Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obter-se: a) exatamente duas caras; b) duas caras; c) somente uma coroa; d) pelo menos uma coroa; e) no máximo duas caras; f) nenhuma cara; g) uma coroa. 6º) São lançados dois dados. Qual a probabilidade de se obter-se: a) um par de pontos diferentes? b) um par de pontos iguais? c) um par de pontos onde o primeiro número é menor que o segundo? d) a soma dos pontos ser um número par? e) de obtermos soma sete, se o par de pontos é diferentes? f) de obtermos soma seis, dado que o par de pontos é igual? g) de a soma dos pontos ser menor do que 18 h) de a soma dos pontos ser maior do que 13? 7º) Duas cartas são retiradas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 5 cartas. Qual a probabilidade de obter-se: { 13 cartas de paus ; 13 cartas de ouro ; 13 cartas de copas ; 13 cartas de espada } 8

9 9 a) dois reis? b) a primeira carta é um valete e segunda uma dama? c) duas cartas vermelhas? d) uma figura e uma carta preta obs: duas respostas... e) um número e uma carta preta ( com reposição ) f) um número e uma carta preta ( sem posição ); obs: duas respostas...; g) um valete e uma dama?( obs: J e Q ou Q e J ). 8º) A probabilidade de um aluno da turma A resolver este problema é de 4/5 ( ou seja 80%). Qual a probabilidade de que o problema não seja resolvido por um aluno qualquer da turma? 9º) A probabilidade de o aluno X resolver este problema é de 3/5, e de o aluno Y é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido por eles? 10º) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 5 ou um número par? 11º) Um inteiro é escolhido ao acaso dentre { 1,, 3, 4, 5, 6, 7,..., 8, 9, 30}. Qual a probabilidade de o número escolhido ser: a)divisível por 6 ou 8; b) divisível por 5 ou 8; c) divisível por 5 ou 7; 1º) De um baralho de 5 cartas, uma carta é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de sair: a) um As ou uma carta de copas?; b) uma figura ou uma carta vermelha?. 13º) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:. Homens Mulheres. Um elemento é escolhido ao acaso. ergunta-se:.menores 5 3. a) Qual a probabilidade de ser homem?.adultos 5. b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem? e) Sabendo-se que o elemento escolhido é mulher, qual a probabilidade de ser menor? 14º) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e qualificação a seguinte composição: Sexo Especializados Não-especializados Total Homens Mulheres Total Calcular: a) a probabilidade de um escolhido ser Homem. b) a probabilidade de um escolhido ser Mulher e não especializada. c) qual a porcentagem dos não especializados? d) qual a porcentagem dos Homens não especializadas? e) se o sorteado é especializado, qual a probabilidade de ser mulher? f) se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser não especializado? 15º) Uma urna contém quatro bolas brancas, cinco azuis e seis pretas em uma outra temos cinco bolas brancas, seis azuis e duas pretas. Extrai-se uma bola de cada urna, na seqüência estabelecida anteriormente, qual a probabilidade: a) de que ambas sejam da mesma cor? b) da primeira ser azul e a segunda ser preta? c) de uma ser azul e a outra ser preta? d) da primeira ser branca e a segunda não ser branca? 9

10 10 16º) Numa caixa de oito lâmpadas, três são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas sem reposição. Calcule a probabilidade de: a)ambas serem perfeitas; b)ambas serem defeituosas; c)pelo menos uma ser boa; 17º) Temos duas caixas: Na primeira há três bolas brancas e sete pretas, e na segunda uma bola branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja: a) a primeira caixa? b) a segunda caixa? 18º) A probabilidade da classe "A" comprar um carro é 3/4, da "B" é 1/6 e da "C", 1/0. A probabilidade de o indivíduo da classe "A" comprar um carro da marca "W" é 1/10; de B comprar da marca "W" é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou um carro da marca "W". Qual a probabilidade de que o indivíduo: a)da classe "A" o tenha comprado?; b)da classe "B" o tenha comprado?; c)da classe "C" o tenha comprado?. 19º) Três máquinas M 1, M e M 3 produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e %. 19.1) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina: a) M 1? b) M? e c) M 3? 19.) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é perfeita. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina: a) M 1? b) M? e c) M 3? 10

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