1 Distribuição de Bernoulli

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1 Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica Aula 6 Professor: Carlos Sérgio Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas (Notas de aula) 1 Distribuição de Bernoulli Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa. Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1, ou seja, q = 1 p. Seja X : número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o valor 0 que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade p. P (X = 0) = q e P (X = 1) = p Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de BERNOULLI, e sua função de probabilidade é dada por: P (X = x) = p x q 1 x A esperança da distribuição de Bernoulli é E(X) = p e sua variância é V (X) = pq Exemplo: Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o número de bolas brancas obtidas. Calcule a média e a variância de X e determinar P (X). Solução: X = 0 q = = 5 8 X = 1 p = = 3 8 P (X = x) = ( 3 8 )x ( 5 8 )1 x E(X) = p = 3 8 V (X) = pq = 3 5 =

2 2 Distribuição Binomial Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa. Seja X: número de sucessos em n tentativas. Determinaremos a função de probabilidades da variável X, isto é, P (X = k). Logo, P (X = k) = ( ) n p k q n k k A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação X B(n, p) Exemplo: Será extraida uma amostra de 5 indivíduos de uma grande população, onde 60% são do sexo feminino. Qual a probabilidade de: a) exatamente 3 dos indivíduos escolhidos ser do sexo feminino? b) pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino? c) ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino? Solução: Se X é a v.a. que representa o número de indivíduos que são do sexo feminino, temos que X segue uma distribuição binomial, cuja probabilidade de "sucesso" (ser do sexo feminino) em cada tentativa é 0,60. Portanto, a) P (X = 3) = (0, 6) 3 (0, 4) 2 = 0, b) A probabilidade que pelo menos um dos indivíduos ser do sexo feminino é dada por 1 P (X = 0) = 1 (0, 6) 0 (0, 4) 5 = 1 0, 0102 = 0, c) A probabilidade que ao menos 3 (uma maioria) ser do sexo feminino é dada por P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5), ou seja: ) ( 5 3 (0, 6) 3 (0, 4) 2 + (0, 6) 4 (0, 4) (0, 6) 5 (0, 4) 0 = 0,

3 2.1 Média e Variância de uma v.a. com Distribuição Binomial Se X B(n.p) P (X = k) = ( n k) p k q n k então E(X) = n p e V (X) = n p q Exemplo: Em 100 lances de uma moeda honesta, determeine a média e a variância do número de caras. p = 1 2 e q = 1 2 logo, E(X) = np = = 50 V (X) = npq = = 25 3 Distribuição de Poisson Seja X uma v.a. com distribuição discreta, e suponha que X assuma valores inteiros não negativos. É dito que X possui uma distribuição de Poisson com média λ onde (λ > 0) se a função de probabilidade de X é dada por: P (X = k) = e λ λ k k = 0, 1, 2, 3,... k! em que X o número de sucessos no intervalo Observação:O símbolo e representa uma constante que é aproximadamente igual a 2,7183. O seu nome é uma homenagem ao matemático suiço I. Euler, e constitui a base do chamado logaritmo natural. A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de: 1. carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia; 2. erros tipográficos por página, em um material impresso; 3. defeitos por unidade (m 2, m 3, m, etc.) por peça fabricada; 4. mortes por ataque de coração por ano, numa cidade. É aplicada também em problemas de filas de espera em geral, e outros. A esperança E(X) = λ e a variância V (X) = λ. A v.a. de P oisson tem um amplo range de aplicações em uma grande variedade de áreas, porque se emprega como uma aproximação para uma v.a. binomial com parâmetros 3

4 (n, p) quando n é grande e p é pequeno. parâmetros (n; p) então λ = np. Supondo que X é uma v.a. binomial com Exemplo 1: Se a probabilidade de um indivíduio sofrer uma reação nociva, resultante de ter tomado um certo soro é 0,001, determinar a probabilidade de que, entre 2000 indivíduos: a) exatamente três sofrerem a reação; Solução Seja X a v.a. que representa o número de pessoas que sofrem a reação nociva após injerir o soro. Então, P (X = k) = e λ λ k onde λ = , 001 = 2. Logo, k! k = 0, 1, 2, 3,... P (X = 3) = e ! = 0, 18 b) mais do que dois sofrerem a reação. P (X 3) = 1 P (X 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = 1 [ e ! + e ! + e ] = 0, 323 2! Exemplo 2: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: a) num minuto não haja nenhum chamado X: número de chamadas por minuto λ = 5 P (X = 0) = e ! = 0, b) em 2 minutos haja 2 chamados dois minutos λ = 10 P (X = 2) = e ! = 0,

5 Exercícios 1. Retira-se uma bola de uma urna contendo 30 bolas brancas e 20 verdes. Qual a probabilidade dessa bola ser verde? 2. Seja X Bernoulli(p) Mostre que E(X) = p e V (X) = pq, q = 1 p 3. A probabilidade de que certo tipo de componente sobreviverá a um teste de choque é de 3/4. Determine a probabilidade de que exatamente dois dos próximos quatro componentes testados sobrevivam. (R = 27/128) 4. Uma grande rede varesjista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 3%. O inspetor da rede seleciona 20 ítens de um carregamento. Qual é a probabilidade de que haja pelo menos um ítem defeituoso entre esses 20? (R = 0,4562) 5. De acordo com a publicação Chemical Energineerring Progress (nov. 1990) aproximadamente 30% de todas as falhas nas tubulações das indústrias são causadas por erro do operador. Qual é a probabilidade de que não mais que quatro de 20 falhas sejam causadas por erro do operador? (R = 0,2375) 6. Se a probabilidade de uma lâmpada fluorescente ter vida útil de pelo menos 800 horas é de 0,9, determine a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas, a) exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,2852) b) pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,9887) c) pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas. (R = 0,6083) 7. Uma loja tem um lote de 10 fechaduras, das quais 5 têm defeitos. Se uma pessoa comprar 3 fechaduras, qual a probabilidade de encontrar no máximo uma defeituosa? 8. Em 10 lançamentos de uma moeda honesta, qual é a probabilidade de observarmos a) exatamente 5 caras? b) entre 3 e 7 caras? c) mais do que 7 caras? 9. Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo: a) nenhuma peça defeituosa; b) uma peça defeituosa. 5

6 10. Uma cia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1 por cento da população está incluída em certo tipo de acidente por ano. Se seus segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano? 11. Supondo que o número de carros que chegam numa fila do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa de três por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem cinco carros nos próximos dois minutos. 12. Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda: a) Nenhum cliente em 4 minutos b) No máximo dois clientes em 2 minutos 13. Uma empresa geralmente compra grandes lotes de certo tipo de equipamento eletrônico. O método utilizado rejeita o lote se dois ou mais ítens com defeitos forem encontrados em uma amostra aleatória de 100 unidades. a) Qual a probabilidade de rejeição de um lote se há 1% de ítens defeiuosas? b) Qual a probabilidade de aceitação de um lote se há 5% de ítens defeiuosas? 6