Estatística Aplicada

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1 Estatística Aplicada Distribuições Discretas de Probabilidade Professor Lucas Schmidt

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3 Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE Distribuições de Probabilidade Discretas São modelos de descrição probabilística de uma população, que fazem uso de parâmetros. Podem ser estudadas quando conhecemos todas os possíveis valores da variável aleatória com suas respectivas probabilidades de ocorrência. Assim, uma distribuição de probabilidade fornece a probabilidade de ocorrência de cada valor que uma variável aleatória pode assumir. Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a individualização de um modelo (distribuição) em determinado contexto. Exemplo: Dado com X faces Parâmetro: número de faces do dado. Sabendo esse parâmetro, saberemos que as faces (Sx) podem variar de 1 a X, e a probabilidade de uma face qualquer será 1/X. Distribuição: se o dado for simétrico, seguirá uma uniforme discreta. 3

4 Variável Aleatória e Distribuições de Probabilidade Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório. Uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória. Observe que a distribuição de probabilidade é uma correspondência que associa probabilidades aos valores de uma variável aleatória. Ou seja, é uma função. Distribuições Discretas 1. Distribuição de Bernoulli 2. Distribuição Binomial 3. Distribuição Hipergeométrica 4. Distribuição de Poisson 1. Distribuição de Bernoulli Todo experimento aleatório que possui apenas dois resultados possíveis, chamados de Sucesso e Fracasso, de acordo com o interesse do pesquisador. Ao sucesso, está associada a probabilidade p de ocorrência. Ao fracasso, está associada a probabilidade 1 p = q de ocorrência. Exemplos: jogar uma moeda; sexo do nascimento de um bebê; produto perfeito ou defeituoso; satisfação ou insatisfação. Se uma variável aleatória X possui distribuição Bernoulli com parâmetro p de sucesso, dizemos que: " ~ $%&'()**+(!) 2. Distribuição Binomial Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de n experimentos de Bernoulli independentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em todas as n repetições do experimento. Ao sucesso, está associada a probabilidade constante p de ocorrência. Ao fracasso, está associada a probabilidade 1 p = q de ocorrência. 4

5 Estatística Aplicada Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Lucas Schmidt Exemplos: jogar uma moeda diversas vezes; sexo dos nascimentos de bebês; produtos perfeitos ou defeituosos. Se uma variável aleatória X possui distribuição Binomial com parâmetros n e p, dizemos que: $ ~ &'!()(!, #) Exemplo: para ser aprovado, determinado aluno precisa acertar ao menos 2 questões de 10 da última avaliação do semestre. As questões são de múltipla escolha (4 alternativas) e não necessitam apresentar desenvolvimento. Sem estudar e chutando, qual é a probabilidade do aluno conseguir exatamente acertar exatamente duas questões ao acaso? n = 10 questões S x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} -> número de questões que pode acertar ao acaso p = 1/4 -> probabilidade acertar uma questão ao acaso q = 3/4 -> probabilidade errar uma questão ao acaso x = 2 -> precisa acertar exatamente! duas ~ #$%&' questões %, ) à -> P X = 2 =? De modo geral, se! ~ #$%&' %, ) or:, sua função densidade de probabilidade é dada por: P! =, = - /.. ).. (1 )) /5. 7. = 0, 1, 2,, % ).. (1 )) /5. ;! = %) <! = %)(1 )) %) <! Exercício proposto Num determinado processo de fabricação, a chance de uma peça ser produzida com defeito é de 10%. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça defeituosa numa caixa? 32,81% b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? 8,14% c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas? R$

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7 Questões 1. (FUNDATEC Analista de Informações CREA PR 2010) Dois amigos, João e Paulo, encontraram na rua um envelope com a importância de R$320,00. Como não havia identificação no envelope, resolveram disputar a quantia em cinco lançamentos de uma moeda. Ficaria com a importância toda aquele que acertasse três ou mais lançamentos. João escolheu cara, e Paulo escolheu coroa. Nos dois primeiros lançamentos, ocorreu cara. Entretanto, quando o terceiro lançamento foi feito, a moeda caiu dentro de um bueiro. Como não havia outra moeda para que a disputa continuasse, eles resolveram partilhar a quantia usando o critério probabilístico. Desse modo, a) cada um levou R$ 160,00. b) João levou R$ 320,00. c) João levou R$ 240,00 e Paulo levou R$ 80,00. d) João levou R$ 280,00 e Paulo levou R$ 40,00. e) João levou R$ 300,00 e Paulo levou R$ 20,00 Gabarito: 1. D 7

8 3. Hipergeométrica Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A Distribuição hipergeométrica se difere da Distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro. Como não há reposição, a probabilidade de sucesso (retirar elementos da subpopulação de tamanho N1) se altera a cada retirada. De modo geral, se! ~#$% &, ( ),!( ~#$% *, sua &, função ( ), ( * densidade de probabilidade é dada por: bilidade por: é dada por: C 4 23/ - = C / P! = 0 -, = 5 C / / C 2 ( ) 9! = &: ( )! = ( ( C 4 23/ C 2 0, 5 / = 0,1,, & :! = & ( ) ( úmero de repetições do experimento n = número de repetições do experimento N1 + N2 = N = tamanho da população N1 = tamanho da subpopulação de interesse (sucesso) N2 = tamanho da subpopulação de não-interesse (fracasso) ( * ( ( & ( 1 Exemplo: Uma caixa contém 10 bolas coloridas: sete são verdes e três, laranjas. Três bolas são retiradas da caixa, uma após a outra e sem reposição. Se a variável aleatória X é definida como o número de bolas verdes retiradas, construa a distribuição de probabilidade de X. 8

9 de X. Estatística Aplicada Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Lucas Schmidt V = verde L = laranja! = # $ # % # &, # $ # % ( $, # $ # % ( %,, ( * ( + (, #! =. $/ & = 120 X = número de bolas verdes retiradas! 3 = 0, 1, 2, 3 P 6 = 0 = C /, C & & C & $/ = = 0,0083 P 6 = 1 = C $, C % & C & $/ = = 0,1750 P 6 = 2 = C %, C $ & C & $/ = = 0,5250 P 6 = 3 = C &, C / & C & $/ = = 0,2917 q Representação tabular X=x P(X=x) 0,0083 0,1750 0,5250 0, q Representação analítica ( P " = $ = C & ' C ()& *+ - & = 0, 1, 2, 3 C ( 9

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11 Questões 2. (FUNDATEC Analista de Informações CREA-PR 2010) Em um grupo formado por cinco meninas e sete meninos, quatro crianças serão escolhidas, aleatoriamente, para formar um novo grupo que deverá encenar uma peça de teatro na escola. A probabilidade de esse grupo conter duas meninas e dois meninos é a) 31/495. b) 42/99. c) 14/33. d) 13/495. e) 25/99. Gabarito: 2. B 11

12 4. Poisson Modelo que descreve probabilisticamente a sequência de um grande número de fenômenos independentes entre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequena. Ocorre quando se deseja contar o número de eventos que ocorrem por unidade de tempo, de superfície ou de volume (num espaço contínuo). Exemplos clientes chegando ao caixa de um supermercado por minuto; nº de carros que chegam a um posto de gasolina por hora; nº de falhas em componentes por unidade de tempo; nº de peças defeituosas observadas em uma linha de produção em um dia; nº de formigueiros por km² em uma região; nº de carros que passam em um pedágio a cada 30 minutos; nº de ligações que chegam em uma central telefônica por turno. De modo geral, se!~#$%&((),,!~#$%&(() sua função densidade de probabilidade é dada por: r: =, = e./ P! =,, = e./. ( 1, 4,! 1 = 0,1,, + :! :! = λ = <! Em que: x = número de sucessos; e = 2,718 (número de Euler, base dos logaritmos neperianos); λ = número médio (taxa) de sucessos (sempre maior que zero). 12

13 Estatística Aplicada Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Lucas Schmidt Exemplo Em uma central telefônica de uma pequena cidade do interior chegam ligações a uma taxa de 1 a cada 30 minutos. Qual a probabilidade de que no intervalo de 1 hora: a) Não chegue ligações? b) Chegue no máximo duas ligações? c) Chegue pelo menos duas ligações? Solução λ = 2 ligações / hora x = nº de ligações / hora a. Não chegue ligações? P " = 0 = e&'. 2 * = e &' = 0,1353 0! b. Chegue no máximo duas ligações? P " 2 = e&'. 2 * 0! P " = 5 = e&' ! + e&' P. 2 2 " = + e&' 8. 2 = e+,. 2 9 ' = 5. 8! e &' = 0,6767 1! 2! c. Chegue pelo menos duas ligações? P " 2 = 1 P " < 2 = 1 P " 1 1 e+,. 2. 0! + e+, ! = 1 3. e +, = 0,

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