Distribuições Discretas Prof. Walter Sousa

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1 Estatística Distribuições Discretas Prof. Walter Sousa

2 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Variável aleatória É uma função X que associa um número real x a cada resultado do espaço amostral S do experimento aleatório. É, portanto, uma variável estatística que pode ser associada a uma distribuição de probabilidades. Exemplos: X: Quantidade de caras que podem ser obtidas no lançamento de duas moedas. (Variável discreta). Y: A temperatura no centro de Brasília amanhã. (Variável contínua).

3 Variável unidimensional discreta É uma variável aleatória que só pode assumir um número finito de valores ou infinito numerável. Usualmente são números racionais obtidos num processo de contagem. Para cada valor xx que a variável aleatória pode assumir, será atribuído um número real PP(xx), que indica a probabilidade de a variável assumir o valor xx. Indicaremos PP XX = xx = PP(xx), tal que: 0 PP(xx) 1. PP(xx) = 1

4 Variável unidimensional discreta As probabilidades PP(xx) para todos os valores xx que a variável XX pode assumir formam a função de probabilidade da variável aleatória XX. Exemplo Seja XX a variável aleatória que indica a quantidade de caras que pode ser obtida no lançamento de duas moedas. Determine a função de probabilidade de XX. Solução: O espaço amostral do experimento aleatório é SS = cc, cc, cc, kk, kk, cc, kk, kk, onde c = cara e k = coroa. Assim X = {0, 1, 2}.

5 Variável unidimensional discreta Valor Esperado (Expectância ou Esperança) O valor esperado (esperança, expectância ou média) de uma variável aleatória discreta XX, representado por EE(xx), é definido como EE xx = xx PP xx Representa uma média de longo prazo. Cálculo Passo1: multiplicamos cada valor da variável pela respectiva probabilidade. Passo 2. soma-se todos os resultados obtidos.

6 Variável unidimensional discreta Exemplo Encontre o valor esperado da distribuição. Um empreiteiro faz as seguintes estimativas

7 PROPRIEDADE DO VALOR ESPERADO Considere XX e YY variáveis aleatórias e KK uma constante qualquer. P1) Se multiplicarmos uma variável aleatória por K, a sua esperança fica multiplicada por k. EE kk xx = kk EE(xx). P2) A esperança da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das esperanças. EE XX ± YY = EE xx ± EE yy.

8 PROPRIEDADE DO VALOR ESPERADO Considere XX e YY variáveis aleatórias e KK uma constante qualquer. P3) Se XX e YY são variáveis independentes, então EE XX YY = EE(xx) EE(yy). Observação: A recíproca não é necessariamente verdadeira. Se EE XX YY = EE xx EE yy, as variáveis XX e YY podem ser dependentes ou independentes. P4) Se adicionarmos uma constante a todos os valores da variável aleatória, a esperança ficará adicionada de k unidades. EE XX + KK = EE XX + KK.

9 Variância e Desvio-Padrão da variável VARIÂNCIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA A variância da variável aleatória XX, representada por V(x) é dada por VV xx = EE xx 2 [EE xx ] 2 Variância é: Esperança dos quadrados menos o quadrado da esperança. O desvio-padrão da variável aleatória é igual à raiz quadrada positiva da variância VV(xx).

10 Calcule a variância da distribuição VARIÂNCIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA

11 PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA Considere XX e YY variáveis aleatórias e KK uma constante qualquer. P1) Se multiplicarmos uma variável aleatória por K, a variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante. VV kk xx = kk 22 VV(xx). P2) Se adicionarmos uma constante a todos os valores da variável aleatória, a variância não se altera VV XX + KK = VV XX.

12 PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA Considere XX e YY variáveis aleatórias e KK uma constante qualquer. P3) Variância da Soma e da Diferença VVVVVV XX + YY = VV XX + VV YY + 2CCCCCC(XX, YY). VV XX YY = VV XX + VV YY 2CCCCCC(XX, YY). Covariância: CCCCCC(XX, YY) é a covariância (variância conjunta) entre XX e YY, dada por CCCCCC XX, YY = EE XX YY EE(XX) EE(YY).

13 PROPRIEDADE DA COVARIÂNCIA Covariância: CCCCCC(XX, YY) é a covariância (variância conjunta) entre XX e YY, dada por CCCCCC XX, YY = EE XX YY EE(XX) EE(YY). É válida a seguinte relação da covariância: CCCCCC aaaa, bbbb = aa bb CCCCCC(XX, YY) Se X e Y são independentes, a Cov(X,Y)=O. mas Se Cov(X,Y)=0, X e Y podem ser dependentes ou independentes.

14 Questão 1 (AFRF/ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f ) de uma variável X: Sabendo que a é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: Gab.: A)

15 Questão 2 (FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda: A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. Gab. C)

16 Questão 3 (CESGRANRIO) O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, com função de probabilidade dada a seguir. O retorno esperado é: (A) 0,5% (B) 0,5% (C) 1,5% (D) 5% (E) 7,5% Gab. C)

17 Questão 4 (ESAF/MPU) O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. a) R$ 7,90 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 9,00 e) R$ 8,50 Gab. A)

18 Questão 5 (FCC/TRF4) O número de televisores vendidos diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades. A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de (A) 10%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 18%. (E) 20%. Gab. C)

19 Questão 6 (ESAF) Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir um lucro de R$ ,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ ,00. O valor esperado do retorno do investimento, em reais, é (A) 3.500,00 (B) 4.000,00 (C) 4.500,00 (D) 5.000,00 (E) 5.500,00 Gab. A)

20 Questão 7 (FCC/TCE/MG) O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido inferior a 4 é (A) 70,0% (B) 75,0% (C) 80,0% (D) 87,5% (E) 90,0% Gab. D)

21 Questão 8 Uma indústria vende diariamente, no máximo, 5 unidades de aparelhos marca M de sua fabricação. A tabela abaixo apresenta as correspondentes probabilidades de vendas diárias em função das unidades. Sabe-se que a probabilidade desta indústria vender mais que 2 unidades em 1 dia é igual a 30%. Verifica-se, então, que a probabilidade dela vender em 1 dia, pelo menos, 1 aparelho e, no máximo, 3 aparelhos é igual a (A) 60%. (B) 84%. (C) 78%. (D) 66%. (E) 88%. Gab. B

22 Questão 09 (ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores que ela paga à Suzana) é igual a a) 1,5. b) -0,75. c) 0,75. d) -1,5. e) 2,5. Gab.: D)

23 Questão 10 (FGV/FISCAL/AM) Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: I. se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. II. se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; III. se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) IV se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. Assinale: a) se nenhum alternativa estiver correta b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas e) se todas as alternativas estiverem corretas. Gab. B)

24 Questão 11 (FCC) Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que: (A) apenas I está correta. (B) apenas II está correta. (C) apenas III está correta. (D) apenas I e II estão corretas. (E) apenas II e III estão corretas. Gab. B

25 Questão 11 (FCC) Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. É correto afirmar que:

26 Questão 12 (FCC) Se var(x) = 4, var(y) = 2 e cov(x,y) = -1, então var(2x Y) é igual a: a) 10 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 Gab. D)

27 Estatística Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Poisson Prof. Walter Sousa

28 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli caracteriza experimentos que são realizados uma única vez e apresentam apenas dois resultados excludentes, que chamamos sucesso e fracasso. Se p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso, então p + q = 1, ou seja q = 1 p. Associamos uma variável aleatória X aos dois resultados: X = 1, se for sucesso e X = 0, se for fracasso. Portanto, é uma distribuição discreta de probabilidade. Valor Esperado EE xx = pp Variância VV xx = pp qq

29 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Binomial Ao repetirmos o experimento de Bernoulli n vezes, a probabilidade de se obter k sucessos é dada por PP XX = kk = nn kk ppkk (1 pp) nn kk pp = ssssssssssssss ee qq = ffffffffffffffff, tttttt qqqqqq pp + qq = 1. A probabilidade pp permanece a mesma para todas as repetições. Cada repetição do experimento é independente das demais Representaremos XX~bbbbbb nn, pp Para o símbolo ~" lê-se segue a distribuição

30 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Binomial Se a variável aleatória X é tal que XX~bbbbbb nn, pp, eeeeeeeee: Valor Esperado EE xx = nn pp Variância VV(XX) = nn pp qq

31 Exemplo A variável aleatória X segue uma distribuição binominal, com probabilidade de sucesso igual a 0,2. Ao realizarmos o experimento 3 vezes, qual é a probabilidade de obtermos exatamente 2 sucessos? Qual é o valor esperado e o valor da variância?

32 Exemplo (CESPE) Considere duas variáveis aleatórias, V e Z, em que V possui distribuição binomial com n = 1 e p = 0,2, enquanto Z possui distribuição binomial com n = 1 e p = 0,8. Considerando que a covariância entre V e Z é igual a 0,04, julgue o item que se segue. (1) A diferença entre Z e V segue uma distribuição com média igual a 0,6 e variância igual a 0,32.

33 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Poisson É uma distribuição discreta, indicamos XX~PPPPPPPPPPPPPP(λλ), onde λ é a intensidade da distribuição, ou seja, o valor esperado (média) de observações e está relacionada a espaço e tempo (ex: defeitos por cm2, número de clientes por hora que chegam a uma loja, número de chamadas telefônicas numa central PABX, por hora. Ocorre, aqui, o princípio da proporcionalidade, isto é, a frequência média de ocorrências do evento de interesse deve ser proporcional ao intervalo de tempo considerado (ex, se a média é de 2 chamadas por minuto, será 4 a cada dois minutos, etc...)

34 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Poisson Se a variável X é tal que XX~PPPPPPPPPPPPPP(λλ), onde λ é a intensidade da distribuição (observar o princípio da proporcionalidade), então a função de probabilidade é dada por PP XX = kk = ee λλ (λλ) kk, onde e = 2,718 é a base dos logaritmos naturais. kk! A probabilidade de ocorrência é a mesma em todo o campo de observação; O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo.

35 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Distribuição de Poisson Se a variável X é tal que XX~PPPPPPPPPPPPPP(λλ), onde λ é a intensidade da distribuição (observar o princípio da proporcionalidade), então PP XX = kk = ee λλ (λλ) kk, onde e = 2,718 é a base dos logaritmos naturais. kk! Valor Esperado EE xx = λλ Variância VV xx = λλ

36 Exemplo Se a variável X, onde XX~PPPPPPPPPPPPPP λλ, indica o número de falhas por metro quadrado de um tecido, com média igual a 0,1. Qual é a probabilidade de que haja exatamente uma falha em 2 metros quadrados do tecido? Qual é o valor esperado e a variância da variável objeto do cálculo?

37 Estatística Exercícios Prof. Walter Sousa

38 Questão 1 (FCC) Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: (A) 0,104. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,200 Gab. A)

39 Questão 2 (ESAF) Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contábil grave em uma auditoria seja 0,2. Se dez auditorias independentes são realizadas, assinale a opção que dá a probabilidade de que não mais do que uma detecte erro contábil grave. a) 2,8 4 / 5 b) 0,400 c) 0,210 d) 2,8 (4 / 5) 10 e) 2,8 (4 / 5) 9 Gab. E)

40 Questão 3 (ESAF/AFRF) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: a) 80 % e 20 % b) 30 % e 70 % c) 60 % e 40 % d) 20 % e 80 % e) 25 % e 75 % Gab. D)

41 Questão 4 (CESPE) Considerando que uma amostra aleatória simples X1, X2,X3,X4 tenha sido retirada de uma distribuição X cuja função de probabilidade é definida como PP XX = kk = 10 pp kk 1 pp 10 kk, 0 < pp 1; kk {0,1,2,, 10} kk sendo pp o parâmetro desconhecido, e que os valores bservados na amostra tenham sido 0, 4, 6 e 2, julgue o item a seguir. (1)A estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional é igual a 2,1. Gab.: Certo

42 Questão 6 (ESAF/AFRF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a: (A) ee 4 (B) 3 71 ee4 (C) 71 3 ee 4 (D) 71 3 ee 2 (E) 32 3 ee 2 Gab. C)

43 Questão 7 (FCC) O número de falhas de certo tipo de placa térmica tem distribuição de Poisson, com taxa média de 0,1 defeitos por m 2. Na confecção da superfície de um armário, é necessário cobrir uma superfície de 2m por 2m com essa placa. A probabilidade de que haja pelo menos uma falha nessa superfície é de: a) e 0,1 b) 1 e 0,1 c) 1 e 0,4 d) e 0,4 e) 1 1,4e 0,4 Gab.: C)

44 Questão 8 (ESAF/TCE-ES) Sabe-se de experiência anterior que num processo de auditoria contábil o número de discrepâncias entre valores registrados e auditados tem distribuição de Poisson com média 1. Seja ee a base do sistema de logaritmo neperiano. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que num determinado processo de auditoria ocorra no mínimo uma discrepância entre os valores registrados e auditados. a) 1/e b) 1 1/e c) (1/e)(1-1/e) d) 5,0% e) 3,8% Gab. B

45 Questão 9 (FCC) O número de pacientes atendidos por um clínico geral segue uma distribuição de Poisson com taxa de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clínico geral em um período de 15 minutos é: a) 1 e 1 b) 1 e 4 c) e 4 d) e 4 e) e 1 Gab. A

46 Questão 10 (FCC) Sabe-se que o número de clientes que procuram atendimento numa agência da previdência no período das 17 às 18 horas tem distribuição de Poisson com média de 3 clientes. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de que mais de 2 clientes apareçam no período. Sabe-se que ee 3 = 0,0498, sendo ee o número neperiano. a) 0,776 b) 0,667 c) 0,500 d) 0,577 e) 1,000 Gab. D)

47 Questão 11 (CESPE) Considere que, em uma população, 80% dos indivíduos estejam satisfeitos com os serviços prestados por uma companhia aérea e que uma amostra aleatória simples de 10 pessoas seja retirada dessa população. Considere, ainda, que X represente o número de pessoas na amostra satisfeitas com os serviços prestados por essa companhia aérea, seguindo uma distribuição binomial. Com relação a essa situação hipotética e tomando 0,17 como valor aproximado de 0,8 8, julgue os itens subsequentes. (1)A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5. (2)A variância de X é inferior a 1. (3)O valor esperado de X é superior 7.

48 Questão 11 (1)A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5. (2)A variância de X é inferior a 1. (3)O valor esperado de X é superior 7.