1.1.1 Distribuição binomial

Transcrição

1 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Distribuição binomial Em teoria das probabilidades e na estatística a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos em uma seqüência de n ensaios independentes, cada um dos quais produz como resposta sucesso com probabilidade p ou fracaso com probabilidade 1 p. Um experimento de resultado sucesso ou fracasso também é chamado de experimento Bernoulli; quando n = 1, a distribuição binomial é uma distribuição de Bernoulli. Definição 1.1. Dizemos que uma variável aleatória discreta X tem distribuição binomial de parâmetro p se sua função de probabilidade é da forma ( ) n P (X = ) = p (1 p) n, = 0, 1, 2,, n; 0 < p < 1 (1.1) Escrevemos resumidadmente X Binomial(n.p). Observemos que n é um inteiro positivo conhecido. Esta é a distribuição que atribuímos, por exemplo, ao número de caras obtido em n lançamentos de uma moeda tendo probabilidade p de obtermos cara em cada lançamento. Mais geral, consideremos um epxerimento básico no qual estamos interessados na ocorrência ou não de determinado evento, o qual pode acontecer com probabilidade fica p, como a obtenção do número 6 na façe superiorno lançamento de um dado equilibrado. Se repetimos o experimento básico n vezes independentes e contamos o número de ocorrências do evento de interesse, este número terá por distribuição Binomial(n, p). A Figura 1.1 representa três situações da função de probabilidade binomial para o caso n = 20 e valores da probabilidade de sucesso 0,3; 0,5 e 0,7. Podemos perceber que esta função é simétrica no caso p = 0, 5, nas outras situações não. Na Definição 1.1 observamos que P (X = ) = [p + (1 p)] n = 1, =0 logo a expressão em (1.1) define uma função de probabilidade. Observemos

2 1.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS 3 Binomial (20,0.3) Binomial (20,0.5) Binomial (20,0.7) Figura 1.1: Representação da função de probabilidade binomial para n = 20 e três valores do parâmetro p = 0, 3, p = 0, 5 e p = 0, 7. que a função de distribuição pode ser escrita como F (x) = onde δ( ) é definida como =0 ( ) n p (1 p) n δ(x ), δ(x) = { 1, x 0, 0, x < 0 (1.2) e chama-se função indicadora. Não é difícil demonstrar que, se X Binomial(n, p), então E(X) = np, (1.3) este é o centro da simetria na Figura 1.1 no caso p = 0, 5. Temos também que E(X 2 ) = n(n 1)p 2 + np (1.4) e a variância Var(X) = np(1 p) (1.5) Por outro lado, a função geradora de momentos é da forma M X (s) = ( ) n e is p (1 p) n = (1 p + pe s ) n s (1.6) =0

3 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Também, a função geradora de probabilidades é G X (s) = [1 p(1 s)] n, s 1 (1.7) A distribuição binomial também pode ser considerado como a distribuição da soma de n variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas Binomial(1, p). Se jogar uma moeda n vezes, com probabilidade p constante de obter cara e probabilidade 1 p de obter coroa, a distribuição do número de caras é dada por (1.1). De maneira alternativa, se { 1, se o -ésimo resultado for cara, X = 0, caso contrário o número de caras em n ensaios é a soma S n = X 1 + X X n. Também Então e P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 p, = 1, 2,, n E(S n ) = Var(S n ) = M Sn (s) = E(X ) = np, =1 Var(X ) = np(1 p) =1 n E(e sx ) = (1 p + pe s ) n =1 Exemplo 1.1. Um dado honesto é lançado n vezes. A probabilidade de obtermos exatamente um número 6 é n( 1)( )n 1, a probabilidade de não obtermos o número 6 é ( 5 6 )n e a probabilidade de obtermos ao menos um número 6 é 1 ( 5 6 )n. O número de lançamentos necessários para que a probabilidade de obtermos pelo menos um número 6 seja 1/2 é dado pelo menos inteiro n tal que ( ) n ou ( ) 5 n log log(2). 6

4 1.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS 5 Portanto n log(2) log(1.2) 3, 8 Teorema 1.1. Sejam X 1, X 2,, X variáveis aleatórias independentes igualmente distribuídas X i Binomial(n i, p). Então S = i=1 X i tem distribuição Binomial(n 1 + n n, p). Demonstração. M S (s) = M Xi (s) = i=1 (1 p + pe s ) ni i=1 Corolário 1.2. Sejam X 1, X 2,, X variáveis aleatórias independentes igualmente distribuídas X i Binomial(n, p). Então S = i=1 X i tem distribuição Binomial(n, p). Na verdade, a propriedade aditiva descrita no Teorema 1.1 caracteriza a distribuição binomial no seguinte sentido. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, não negativos, assumindo finitos valores inteiros e seja Z = X + Y. Então Z é uma variável aleatória binomial com parâmetro p se, e somente se, X e Y forem duas variáveis aleatórias binomial com o mesmo parâmetro p (Shanbhag & Basawa, 1971). Numa definição geral de ensaios binomiais, admitimos a possibilidade de a probabilidade de sucesso variar com os ensaios. Vejamos isto no seguinte exemplo. Exemplo 1.2. Considere que r bolas são alocadas em n caixas de modo que cada n r possíveis arranjos tenham probabilidade n r de acontecer. Estamos interessados na probabilidade P (X = ) de que uma especifica caixa tenha exatamente bolas ( = 0, 1, 2,, r). Então, a distribuição de cada bola pode ser considerada como um ensaio. O sucesso resulta se a bola vai para

5 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO a caixa especificada (com probabilidade 1/n); caso contrário, os resultados constituem em uma falha (com probabilidade 1 1/n). Seja X o número de sucessos em n tentativas, temos que P (X = ) = ( r ) ( 1 n Distribuição Poisson ) ( 1 1 n) r, = 0, 1, 2,, n Esta distribuição foi descoberta por Siméon-Denis Poisson 1 e publicada em 1838 num trabalho de focava em certas variáveis aleatórias que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências contínuas que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. Definição 1.2. Seja X uma variável aleatória assumindo valores inteiros não negativos. Dizemos que X tem por função de probabilidade Poisson de parâmetro θ > 0 se P (X = ) = e θ θ, = 0, 1, 2, (1.8)! Resumidamente escrevemos X P oisson(θ), caso a função de probabilidade da variável aleatória seja como em (1.8). Observemos que X neste caso é o resultado de uma contagem sem limite teórico conhecido. Verifiquemos que a função descrita em (1.8) é de probabilidade, para isso e θ θ P (X = ) = = e θ θ!! = e θ e θ = 1 onde =0 =0 =0 Uma forma diferentes de escrever caso X P oisson(θ) é X = I [X=], I A (w) = =0 { 0 se ω / A 1 se ω A, 1 Siméon Denis Poisson ( ) foi um matemático e físico francês.

6 1.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS 7 é chamada de função indicadora do conjunto A. Podemos escrever também θ θ F X (x) = e δ(x ),! =0 como a função de distribuição de probabilidades de X. Os primeiros momentos de uma variável aleatória Poisson podem ser encontrados utilizando propriedades da soma de series de potências. Apresentamos a seguir o resultado desse trabalho, as demonstrações ficam a conta do leitor. E(X) = θ, (1.9) e E(X 2 ) = θ + θ 2 (1.10) Var(X) = θ (1.11) Esta constitui uma carcaterística importante da distribuição Poisson, a média e a variância coincidem. As funções geradoras de momentos e geradoras de probabilidade assum as expressões, M X (s) = e θ(es 1) (1.12) e G X (s) = e θ(1 s), s 1 (1.13) Poisson (1.5) Poisson (5.0) Poisson (10.0) Figura 1.2: Representação da função de probabilidade Poisson para três valores do parâmetro θ = 1, 5, θ = 5, 0 e θ = 10, 0. Na Figura 1.2 mostramos uma representação gráfica da função de probabilidade Poisson para três diferentes valores do parâmetro. Devemos observar que o parâmetro θ é qualquer número real positivo.

7 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Teorema 1.3. Sejam X 1, X 2,, X n variáveis aleatórias independentes cada uma com função de probabilidade X P oisson(θ ), = 1, 2,, n. Então S n = X 1 +X 2 + +X n tem por função de probabilidade P oisson(θ 1 + θ θ n ). Demonstração. Exercício. O inverso deste teorema também é verdadeiro. Este fato for demonstrado por Raiov (1938) quando provou que se X 1, X 2,, X n são variáveis aleatórias independentes e se S n = = 1 n X tem distribuição de Poisson, cada uma das variáveis X 1, X 2,, X n tem distribuição de Poisson. Exemplo 1.3. Suponhmaos que o número de insetos fêmeas em determinada região segue uma distribuição de Poisson com média θ. Ainda suponhamso que o número de ovos postos por cada inseto é uma variável aleatória Poisson de média µ. Estamos interessados na distribuição de probabilidade do número de ovos na região. Seja F o número de insetos fêmeas em dita região. Então P (F = f) = e θ θ f, f = 0, 1, 2, f! Seja Y o número de ovos postos por cada inseto. Então P (Y = y, F = f) = P (F = f)p (Y = y F = f) = e θ θ f f! (fµ) y e fµ y! Por conseguinte P (Y = y) = e θ µ y y! (θe µ ) f f y f! f=0

8 1.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS 9 Podemos também encontrar a função geradora de momentos de Y, θ f e θ e ts (fµ) y M Y (s) = f! y! f=0 y=0 θ f e θ = exp[fµ(e s 1)] f! f=0 [ ] θe µ(e s 1) f = e θ f! f=0 = e θ exp [ θe µ(es 1) ] e fµ Teorema 1.4. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com funções de probabilidade P oisson(θ 1 ) e P oisson(θ 2 ), respectivamente. A distribuição condicional de X dado X + Y é binomial. Demonstração. Para inteiros positivos m e n, m < n, temos que P (X = m X + Y = n) = P (X = m, Y = n m) P (X + Y = n) = e θ 1 (θ1 m /m!)e θ 2 [θ2 n m /(n m)!] e (θ 1+θ 2) (θ 1 + θ 2 ) n /n! ( ) n θ m = 1 θ2 n m = m (θ 1 + θ 2 ) ) ( n θ1 ( n m θ 1 + θ 2 para m = 0, 1, 2,, n. Isto completa a prova. ) m ( 1 θ 1 θ 1 + θ 2 ) n m, O inverso deste resultado também é verdade no seguinte sentido. Se X e Y são variáveis aleatórias não negativas independentes tais que P (X = ) > 0, P (Y = ) > 0, para = 0, 1, 2, e a distribuição condicional de X, X + Y é binomial, ambas X e Y são variáveis aleatórias com distribuição Poisson. Este resultado é devido a Chatterji (1963).