PROCESSO DE POISSON. Processo Estocástico Prof, Ms. Eliana Carvalho

Transcrição

1 Processo Estocástico Prof, Ms. Eliana Carvalho

2 Este processo estocástico deve o seu nome ao matemático francês Simion-Denis Poisson ( ). Espaço de estados discreto (cadeia) Variável tempo é contínua Processo Estocástico X t, t 0 definido em termos das ocorrências de eventos Dado um processo estocástico X t, t 0 fixamos o tempo no instante t, teremos que Nt é um número inteiro que representa o

3 Exemplo: Suponha que Nt = 5 e suponha que não chegam dois eventos no mesmo instante, uma realização do processo poderia ser Que pode ser representado por uma trajetória Cada trajetória do processo é uma função escada.

4 O número de eventos no intervalo t, t + s, s 0 será N t+s N t ; é independente do número de eventos até o instante t, N u, u t o processo tem incrementos independentes.

5 Um processo contínuo X t t 0 definido sobre um espaço amostral Ω, com espaço de estado E = N e tal que para todo evento elementar ω Ω, a trajetória correspondente, t N t ω 1) É não decrescente 2) Cresce somente com saltos (i.e. é constante entre os saltos) 3) É contínua a direita e tem limite à esquerda; 4). N t ω = 0

6 Sejam T 1, T 2, os tempos das chegada (ou os tempos dos saltos ou dos instantes nos quais ocorrem os eventos). Estas variáveis definem um processo a tempo discreto ou contínuo. Uma trajetória típica deste processo é:

7 O processo de contagem N t t 0 é chamado de processo de Poisson homogêneo se: 1. os saltos têm comprimento um 2. N t+s N t é independente de N u, u t, para todo t, s > 0; 3. a distribuição de N t+s N t é independente de t. Existe uma constante λ 0 tal que todo t > 0, P N t = 0 = e λt 1 lim t t P N t 1 O processo não é explosivo, i.e. (incrementos estacionários) não acontecem dois ou mais eventos no mesmo instante. = λ

8 Um processo estocástico N t t 0 ou N t t 0 tem incrementos estacionários se; O processo de contagem N t t 0 adaptado e não explosivo, i.e. é considerado um processo de poisson se; N t = 0 Incremento independentes; Incrementos estacionários; Se para qualquer t 0

9 A distribuição dos saltos tem distribuição de Poisson, ou N t é dada por N t ~poisson λt ; Para algum λ 0, N t ~poisson λt e N não tem explosões; ou

10 Taxa do processo é dada por Número de eventos até que chegue o tempo t λ = Número de eventos no intervalo 0, T T Teorema central do limite do Processo de Poisson: N λt λt d N 0,1)

11 Taxa do processo é dada por Com média e variância iguais a:

12 Exemplo: Seja N t t 0 o processo de Poisson com taxa λ = 8. Achar P N 2,5 = 17, N 3,7 = 22, N 4,3 = 36) Solução: P N 2,5 = 17, N 3,7 = 22, N 4,3 = 36) = P N 2,5 = 17, N 3,7 N 2,5 = 5, N 4,3 N 3,7 = 14 = P N 2,5 = 17 P N 3,7 N 2,5 = 5 P N 4,3 N 3,7 = 14) = 8 2, ! e 8 2,5 8 3,7 2,5 5 5! e 8 3,7 2,5 8 4,3 3, ! e 8 4,3 3,7

13 TEMPO DE CHEGADAS. Vamos considerar os tempos de chegada do processo de Poisson. Eles são os tempos nos quais acontecem os eventos do processo. O n éssimo tempo de chegada está definido por T n = min t: N t = n n t = max n: n < 1 t Observe que N Tn = n.a distribuição de T n pode ser obtida a partir da distribuição do processo N t a partir da igualdade dos seguintes eventos P T n t = N t n = k=n λt k k! e λt

14 P T n t = N t n = k=n λt k k! e λt A avaliação desta expressão é complicada. No lugar de fazer isto vamos mostrar por outra via que T n ~Gama n, λ e para isso vamos estudar propriedades do processo dos tempos das chegadas, T n n 1. Uma observação importante é que conhecer o processo até o instante T n, i. e. N t : t T n é o mesmo que conhecer o processo dos tempos das chegadas até o instante n, i.e. T 1, T 2,, T n, isto é fácil de visualizar na seguinte figura.

15 Exemplo: Suponha que os defeitos que ocorrem em um cano subaquático da Petrobras, acontecem de acordo com um processo de Poisson com média de λ = 0,1 por quilômetro. Pergunta-se: I. Qual a probabilidade de acontecer um defeito nos primeiros 2 quilômetros? II. Dado que não houve defeito nos primeiros 2 quilômetros. Qual a probabilidade condicional de não ter defeitos entre o segundo e o terceiro Quilômetro?

16 I. Basta usarmos a definição do processo de Poisson assim temos que P N t + s N s = n = e λt λt n n! 0, 2)1 P N 2 N 0 = n = e 0,2 1! = 0, 8187 x 0, 2 = 0, 1637 II. Notemos que N 3 N 2) é independente de N 2 N 1), pois é um processo de Poisson tem incrementos independentes. Então a probabilidade condicional é igual a probabilidade incondicional, ou seja, P N 3 N 2 = 0 N 2 N 0 = 0 = P N 3 N 2 = 0 0 0, 1 0,1 = e = 0, !

17 Para todo t 0 e n 1 vale: Assim o processo T n n 1 é estacionário e tem incrementos independentes N t t 0 é um processo de Poisson λ T n+1 T n, n 0, i. i. d T n+1 T n ~exp λ

18 Observe que T n = T 1 + T 2 T 1 + T 3 T T n T n 1. Usando o fato que a soma de distribuições exponenciais i.i.d. tem distribuição Gamma podemos concluir que o tempo do n-ésimo evento T n ~gamma n, λ logo: A distribuição Gamma n, λ Erlang (n). é chamada de distribuição de

19 EXEMPLO: Os tempos de fala de um chip de um computador tem distribuição exponencial com taxa λ. Cada vez que falha um chip ele é imediatamente substituído. Sejam X 1, X 2, os tempos de duração de cada chip que foi trocado. Logo P X n < t = 1 e λt. Considere T 1, T 2, os sucessivos instantes nos quais aconteceu uma falha no computador devido a fuma falha do chip.

20 EXEMPLO: Por exemplo: T 3 = X 1 +X 2 + X 3 é o instante da falha do terceiro chip. Suponha que λ = 0,0002 em horas 1, então a esperança de vida de um chip é EX n = 1 λ = 1 0,0002 E a variância é = 5000 horas var X n = 1 λ 2 = 1 0, = 25 x 106 Se N t é o número de falhas até o instante t > 0 então N t é um processo de Poisson com taxa λ.

21 EXEMPLO: CONTINUAÇÃO Suponha que o custo de cada reemplazo é β reais e que a taxa de desconto é α > 0 (α pode ser a taxa de juros), i.d. cada real gasto no instante t tem um valor no presente de e αt. Considere o custo da troca do n-ésimo chip, βe αt n. Somando todos os custos temos que o valor presente de todas as futuras trocas é Portanto, EC = n 1 λ α+λ C = n = β n 1 βe αt n λ α+λ 1 λ α+λ = βλ α EC = βλ α Em particular, se o tempo de vida médio é EX n = 5000 horas e o custo de cada troca é β = 800 reais e a taxa de juros é 24% ao ano então. α = 0, x 24 = 0, x100 = e EC = = 5840 reais