Modelos Probabiĺısticos Discretos

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1 Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

2 Introdução Sumário 1 Introdução Função de Probabilidade 2 Modelos Probabiĺısticos Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

3 Introdução Variável Aleatória (v.a.) Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral um valor em um conjunto enumerável de pontos da reta é denominada variável aleatória discreta. OBS: Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de números reais, X é denominada variável aleatória contínua. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

4 Introdução Exemplos Observar o sexo de filhotes em ninhadas de três filhotes Espaço amostral: Ω = { (MMM), (MMF ), (MFM), (FMM), (MFF ), (FMF ), (FFM), (FFF ) Defina X: número de filhotes machos (M); Então X é uma v.a. discreta que assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}, ou seja X = {0, 1, 2, 3}. Observar o tempo de vida de um equipamento. Espaço amostral: Ω = {t t 0} Defina X: tempo de vida do equipamento; Então X é uma v.a. contínua que assume valores no conjunto {t t 0}, ou seja X = {t t 0}. } Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

5 Introdução Função de Probabilidade Função de Probabilidade para variável aleatória discreta Uma v.a. pode ser caracterizada por funções, gráficos (gráfico de linha) e medidas descritivas (valor esperado, desvio-padrão). Função de probabilidade (f.p.) É uma função que atribui a cada valor x i da v.a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela: Tabela 1: Distribuição de probabilidades da v.a. X X x 1 x 2 x n P [X = x i ] P [X = x 1 ] P [X = x 2 ] P [X = x n ] Uma função de probabilidade deve satisfazer: 1 0 P [X = x i ] 1 n 2 P [X = x i ] = 1 i=1 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

6 Introdução Função de Probabilidade Exemplo 1 Exemplo 1 Uma turma de estudantes é formada por 35 pessoas, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 alunos será constituída sorteando, ao acaso e sem reposição, três membros da turma. Considerando como v.a. o número de mulheres na comissão: (a) Determine a distribuição de probabilidades. (b) Calcule a probabilidade da comissão ser formada por, pelo menos, duas mulheres. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

7 Introdução Função de Probabilidade Exemplo 1 SOLUÇÃO Seja X a v.a. que representa o número de mulheres na comissão. Pelo diagrama de árvore, pode-se obter o espaço amostral Espaço Amostral Probabilidade X 21 HHH 33 = 0, HHM = 0, HMH = 0, MHH = 0, HMM = 0, MHM = 0, MMH = 0, MMM = 0, Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

8 Introdução Função de Probabilidade Exemplo 1 Assim, a função de probabilidade (item (a)) é dada por Tabela 2: Distribuição de probabilidades do número de mulheres na comissão Ou, de uma maneira mais formal, X P [X = x] 0, 203 0, 450 0, 291 0, 056 P [X = x] = Dessa forma, a probabilidade do item (b) é: 0, 203, x = 0 0, 450, x = 1 0, 291, x = 2 0, 056, x = 3 P [X 2] = P [X = 2] + P [X = 3] = 0, , 056 = 0, 347 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

9 Sumário 1 Introdução 2 Modelos Probabiĺısticos Distribuição Bernoulli Distribuição Binomial Distribuição Poisson Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

10 Modelos Probabiĺısticos Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas de experimentos aleatórios. Ex.: peso, altura, número de descendentes, sexo, espécie, etc. Nesses casos, a distribuição de probabilidades pode ser descrita de uma maneira mais fácil através de uma lei (modelo) para atribuir probabilidade. Um mesmo modelo pode ser utilizado para descrever a distribuição de probabilidade de várias variáveis aleatórias. Exemplos de possíveis modelos: Peso, altura, temperatura v.a. contínua Modelo Normal Número de???? v.a. discreta (contagem) Modelo de Poisson Sexo, cor v.a. discreta (binária) Modelo de Bernoulli Binomial Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

11 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados. Exemplo: 1 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2 O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; 3 Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4 No lançamento de uma dado ocorre ou não face 6; 5 Ao nascer, um filhote pode ser macho ou fêmea. Esses experimentos (ensaios) apresentam alternativas dicotômicas e podem ser representados genericamente por uma resposta do tipo sucesso (S) ou fracasso (F) e recebem o nome de ensaios de Bernoulli e originam uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

12 Distribuição Bernoulli Distribuição Bernoulli Definição Se X é uma v.a. que assume apenas dois valores (1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F)), com probabilidade de sucesso p, 0 p 1, então a função de probabilidade é dada por f (x; p) = P [X = x] = p x (1 p) 1 x em que x = 0, 1. Notação: X Bernoulli (p). Leia-se: X é uma v.a. com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Se X Bernoulli (p), pode-se mostrar que: E [X] = p Var [X] = p (1 p) Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

13 Distribuição Binomial Distribuição Binomial Definição Considere a repetição de n ensaios Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios é denominada de v.a. Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade ( ) é dada por: n f (x; n, p) = P [X = x] = p x (1 p) n x x em que x = 1, 2,..., n e 0 p 1. Notação: X Bin (n, p). Se X Bin (n, p), pode-se mostrar que: E [X] = np Var [X] = np (1 p) Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

14 Distribuição Binomial Exemplo 2 Exemplo 2 Seja o experimento em que se observa o nascimento de 10 filhotes de uma cadela, em que a probabilidade de nascer um filhote macho ou fêmea é igual a 50%. Encontre a probabilidade de nascer menos de duas fêmeas e o número esperado de nascimento de fêmeas. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

15 Distribuição Binomial Exemplo 2 SOLUÇÃO: Seja a v.a. X: número de fêmeas nascidas. Então P [M] = P [F ] = 1/2 = 0, 5. Logo X Bin (n = 10, p = 0, 5). P [X = x] = ( 10 x Assim, obtém-se a probabilidade desejada: ) 0, 5 x (1 0, 5) 10 x ; x = 1,..., 10 P [X < 2] = P [X = 0] + P [X = 1] ( 10 = 0 ) 0, 5 0 (1 0, 5) = 0, , 0098 = 0, 01 ( 10 1 ) 0, 5 1 (1 0, 5) 10 1 O número esperado é E [X] = np = 10 0, 5 = 5 f êmeas. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

16 Distribuição Binomial Exemplo 3 Exemplo 3 O professor da disciplina de Estatística elaborou uma prova de múltipla escolha contendo 10 questões com 5 alternativas cada. Suponha que parte dos estudantes, que vão fazer a prova, não vão às aulas e não estudaram para a prova (o que é muito frequente). O professor estabeleceu que para ser aprovado o aluno deve acertar, pelo menos, duas questões (o que é pouco frequente). Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado? Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

17 Distribuição Binomial Exemplo 3 SOLUÇÃO: Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Considere o evento A: o aluno acertou a questão. Então P [A] = 1/5 = 0, 2. Logo X Bin (n = 10, p = 0, 2). P [X = x] = ( 10 x Assim, obtém-se a probabilidade desejada: ) 0, 2 x (1 0, 2) 10 x ; x = 1,..., 10 P [X < 2] = 1 {P [X = 0] + P [X = 1]} = 0, A probabilidade de um aluno ser aprovado é 62, 42%. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

18 Distribuição Binomial Distribuição Binomial com parâmetros n = 10 e p. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

19 Distribuição Binomial Distribuição Binomial com parâmetros n = 20 e p. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

20 Distribuição Binomial Distribuição Binomial com parâmetros n = 30 e p. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

21 Distribuição Poisson Modelo de Poisson Na prática, muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida). Exemplos 1 Número de consultas a uma base de dados em um minuto; 2 Número de casos de dengue por quilômetro quadrado em Itaqui; 3 Número de manchas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira; 4 Número de chamadas e/ou mensagens que você recebe no seu celular durante a aula; 5 Número de carros que chegam ao câmpus entre 10 a.m. e 12 a.m. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

22 Distribuição Poisson Distribuição Poisson Definição Uma v.a. discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro µ se sua função de probabilidade é dada por f (x; µ) = P [X = x] = e µ µ x x! Em que X é a v.a associada ao número de eventos discretos (x = 0, 1,...) em k unidades de medida, µ = λ k é a média de eventos discretos em k unidades de medida e λ é a intensidade. Notação: X Poisson (µ). Se X Poisson (µ), pode-se mostrar que: E [X] = µ Var [X] = µ Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

23 Distribuição Poisson Exemplo 4 Exemplo 4 Uma tecelagem produz tecidos com 0, 1 defeitos, em média, por metro quadrado. Qual é a probabilidade que ao selecionar um metro quadrado ao acaso ele tenha mais de um defeito? Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

24 Distribuição Poisson Exemplo 4 SOLUÇÃO: Seja X: número de defeitos por metro quadrado, então, X Poisson (µ = 0, 1). Daí, P [X > 1] = P [X = 2] + P [X = 3] +... = 1 {P [X = 0] + P [X = 1]} { e 0,1 0, 1 0 = 1 + e 0,1 0, 1 1 } = 1 0, , ! 1! = 0, 0047 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

25 Distribuição Poisson Exemplo 5 Exemplo 5 Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos? Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

26 Distribuição Poisson Exemplo 5 SOLUÇÃO: Seja X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa em 2 minutos. Note que são recebidas 3 ligações a cada 4 minutos, o que representa a intenseidade do processo. Assim, λ = 3/4 = 0, 75 e k = 2. Logo, µ = λ k = 0, 75 2 = 1, 5 e, portanto, X Poisson (µ = 1, 5). Daí, P [X 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] = e 1,5 1, e 1,5 1, e 1,5 1, 5 2 0! 1! 2! = 0, , , 2510 = 0, 8088 Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

27 Distribuição Poisson Distribuição Poisson com parâmetro µ. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28

28 Distribuição Poisson Em resumo Existem muitas outras distribuições de probabilidade discretas! Vimos apenas três. Alguns outros casos: Probabilidade de sucesso em ensaios sem reposição: Distribuição Hipergeométrica; Número de sucessos até a primeira falha: Distribuição Geométrica; Número de sucessos até a r-ésima falha: Distribuição Binomial Negativa; Equiprobabilidade entre os eventos: Distribuição Uniforme discreta; Entre outras. Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de / 28