Cálculo das Probabilidades e Estatística I

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1 Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB

2 Modelos de distribuição Para utilizar a teoria das probabilidades no estudo de um fenômeno concreto, devemos encontrar um modelo probabilístico adequado a tal fenômeno. Por modelo probabilístico para uma v.a X entendemos uma forma específica de função de distribuição de probabilidade que reflita o comportamento de X. Nesse processo de escolha utilizamos, em muitas situações, algum modelo clássico. Nós Estudaremos os modelos discretos: Bernoulli, Binomial e Poisson e o modelo continuo: Normal.

3 Distribuição Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados. Exemplo: 1 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2 Cara ou coroa no lançamento de uma moeda. 3 Um servidor de intranet está ativo ou não ativo. 4 Houve falha ou não na transmissão de um arquivo; 5 O resultado de um exame médico foi positivo ou negativo para detecção de uma doença.

4 Distribuição Bernoulli Seja X uma variável aleatória com dois resultados possíveis: 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso. Associaremos p, a probabilidade de sucesso (evento que nos interessa) e 1 p, a probabilidade de fracasso. Então X uma v. a. com distribuição Bernoulli e sua função de probabilidade é dada por: x i 0 1 p(x i ) 1 p p ou P(X = x i ) = p x i (1 p)1 x i.

5 Exemplo Uma lampada é escolhida ao acaso. Considere: X = A lâmpada é defeituosa (sucesso). { 0 se a lampada não é defeituosa X = 1 se a lampada é defeituosa x i 0 1 p(x i ) 3/7 4/7

6 Distribuição Bernoulli Notação: X Bernoulli(p), indica que a v.a X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Se X Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X) = p e Var(X) = p(1 p) = pq. Obs: Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

7 Distribuição Binomial Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli, sob as mesmas condições. Considere todos os ensaios independentes. A probabilidade de sucesso p e fracasso 1 p se mantém constante em todos os ensaios. A variável aleatória X = número de sucessos nas n realizações tem distribuição Binomial.

8 Distribuição Binomial Considere 3 ensaios de Bernoulli, n = 3. P(defeituosa)= p = 3/7 P(perfeita)= (1 p) = 4/7 Seja X = o número de defeituosas 1 O experimento consiste de três ensaios de Bernoulli idênticos; 2 Os ensaios são independentes. 3 As probabilidades p e (1-p) são as mesmas em cada ensaio; 4 A v.a. X tem distribuição Binomial.

9 Distribuição Binomial X = o número de defeituosas n = 3 X = {0, 1, 2, 3} P(D) = p = 3/7 P(P ) = 1 p = 4/7 P(X = 0) = P(P P P ) P(X = 1) = P(P P D) + P(P DP ) + P(DP P ) P(X = 2) = P(DDP ) + P(DP D) + P(P DD) P(X = 3) = P(DDD)

10 Distribuição Binomial P(X = 1) = P(P P D) + P(P DP ) + P(DP P ) = ( 7 3 = ) ( ) 3 = (3/7) 1 (4/7) ( ) 3 P(X = 2) = (3/7) 2 (4/7) 1 2 ( ) 3 P(X = 3) = (3/7) 3 (4/7) 0 3 ( ) 3 P(X = 0) = (3/7) 0 (4/7) 3 0

11 Distribuição Binomial Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A v.a. que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli tem distribuição Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: ( ) n P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n x em que ( ) n = x n! x!(n x)! e lembre-se que 0! = 1.

12 Distribuição Binomial Notação: X Binomial(n, p) indica que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. A esperança e a variância de X são: E(X) = np Var(X) = np(1 p)

13 Distribuição Binomial Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes: p = o cliente faz compra = 0, 30 (1 p) = o cliente não faz compra = 0, 70 X : número de clientes que compram x p(x) 0 0, , , , 027 ( ) 3 P(X = 0) = (0, 3) 0 (0, 7) 3 = 0, ( ) 3 P(X = 1) = (0, 3) 1 (0, 7) 2 = 0, ( ) 3 P(X = 2) = (0, 3) 2 (0, 7) 1 = 0, ( ) 3 P(X = 3) = (0, 3) 3 (0, 7) 0 = 0, 027 3

14 Exemplo O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perder sempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade: a) do time perder nenhuma partida. b) do time perder exatamente 3 partidas. c) do time perder mais de 3 partidas. d) do time perder pelo menos uma partida. e) Se o time jogar 30 partidas, em quantos partidas se espera que o time perca?

15 X = n o de partidas que o time perdeu em casa. p = P(perder)= 1/4 n = 5 partidas X Binomial(5, 1/4) a) P(X = 0) = ( 5 0) ( 1 4) 0 ( 3 4) 5 = 0, 2373 b) P(X = 3) = ( 5 3) ( 1 4) 3 ( 3 4) 2 = 0, 2637 c) P(X > 3) = P(X = 4)+P(X = 5) 0, 0156 Exemplo = ( 5 4) ( 1 4) 4 ( 3 4) 1 + ( 5 5) ( 1 4) 5 ( 3 4) 0 = d) P(X 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 0, 2373 = 0, 7627 e) E(X) = np E(X) =

16 Distribuição de Poisson Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrências em um intervalo de tempo ou espaço específicos. Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia. Erros tipográficos por página, em um material impresso. Defeitos em uma peça fabricada por unidade (m2, m, etc). Lâmpadas queimadas em uma cidade por dia. Problemas de filas de espera.

17 Distribuição de Poisson Se X uma variável aleatória que registra o número de ocorrências em um intervalo específico e a probabilidade de uma ocorrência é independente e a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo, então a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ e sua função de probabilidade é dada por: P(X = x λ) = λx e λ λ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um dado intervalo. e = 2, x!

18 Distribuição de Poisson Notação: X Poisson(λ) indica que v.a. X tem distribuição Poisson com parâmetro λ. Uma variável aleatória de Poisson não tem limite superior. X = 0, 1, 2, 3,... P(x λ) = a probabilidade de x ocorrências em um intervalo específico, considerando λ o número médio de ocorrências em tal intervalo. A esperança e a variância de X são: Média: E(X) = λ Variância: Var(X) = λ

19 Exemplo Em média há 2 chamadas por hora em um certo telefone. Calcule a probabilidade de: a) receber nenhuma chamada em 1 horas. b) receber uma chamada em 1 horas. c) receber uma chamada em 2 horas. d) receber no máximo 1 chamadas em 2 horas. e) receber pelo menos 1 chamadas em 2 horas.

20 Exemplo X = número chamadas por hora em um certo telefone λ = 2 chamadas por hora a) P(X = 0 λ = 2) = 2 0 e 2 0! = 0, 1353 b) P(X = 1 λ = 2) = 2 1 e 2 1! = 0, 2706 c) P(X = 1 λ = 4) = 4 1 e 4 1! = 0, 0732 d) P(X 1 λ = 4) = P(X = 0 λ = 4) + P(X = 1 λ = 4) = 40 e e 4 = 0, , 0732 = ! 1! e) P(X 1 λ = 4) = 1 P(X < 1 λ = 4) = 1 P(X = 0 λ = 4) = 1 0, 0183 = 0, 9817

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