Confiabilidade de sistemas. Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas.

Transcrição

1 Confiabilidade de sistemas Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas. Uma definição pratica de confiabilidade corresponde à probabilidade de um sistema operar corretamente. Um sistema, em geral, é constituído por múltiplos componentes, de tal forma que sua operação dependerá do funcionamento de seus componentes.

2 Algumas aplicações possíveis da análise de confiabilidade: o Sistemas elétricos de geração, transmissão e distribuição; o Montagem de equipamentos, produção de peças; o Redes de transporte e problemas de logística; o Sistemas de segurança; o Sistemas mecânicos, como carros ou aeronaves, dentre outros. 2

3 Vamos resolver alguns problemas bastante simples de confiabilidade. É importante esclarecer que, em geral, os problemas da área são bem mais complexos. Exemplo Os seguintes sistemas operam somente se há um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade que cada componente funcione é mostrada no gráfico. Assuma que os componentes falhem de forma independente. Qual a probabilidade do sistema operar? 3

4 Sistema A Sistema B 4

5 Sistema C 5

6 Parte 4 Variáveis aleatórias 6

7 Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um fenômeno ou experimento aleatório; Assim como estudado anteriormente, uma variável aleatória pode ser classificada, de acordo com sua escala, em discreta ou contínua. o Dizemos que uma variável aleatória é discreta caso ela assuma resultados num conjunto enumerável de valores (em geral está associada a algum tipo de contagem). 7

8 Exemplo Variáveis aleatórias discretas: Número de falhas apresentadas por máquinas na última semana; Número de pequenas não conformidades de acabamento verificadas em móveis; Número de painéis de madeira produzidos por uma fábrica por hora; Número de caras obtidas em 100 lançamentos de uma moeda. 8

9 o Dizemos que uma variável aleatória é contínua caso ela assuma resultados num conjunto não enumerável de valores (em geral está associada a algum tipo de medida). Exemplo Variáveis aleatórias contínuas: Tempo de vida de equipamentos; Tempo gasto para a produção de móveis; Largura de moldes de madeira; Resistência à compressão de molas. 9

10 Variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas (em geral as últimas do alfabeto, como X, Y, Z. Representamos pelas correspondentes letras minúsculas valores que essa variável pode assumir. Já estudamos diferentes formas de atribuir probabilidades aos resultados de um fenômeno ou experimento aleatório e a eventos de interesse (usando frequências, assumindo que os resultados individuais são equiprováveis, usando subjetividade...); 10

11 Assim como é possível atribuir probabilidades a resultados de um experimento, podemos associar probabilidades aos valores de alguma variável aleatória de interesse. Para variáveis aleatórias discretas, associamos a cada um de seus possíveis valores uma probabilidade de ocorrência. A função que associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória discreta é chamada de função de probabilidade. 11

12 Exemplo 4.3- Um conjunto de móveis foi avaliado, verificando-se, em cada um deles, o número de imperfeições. As seguintes frequências foram verificadas: Imperfeições Frequência Seja X a variável aleatória correspondente ao número de imperfeições por móvel produzido. Com base nas frequências apresentadas, determine (e interprete o que está sendo pedido): 12

13 a) ( X = 2) P ; b) Apresenta a função de probabilidades; c) ( X < 2) P ; d) P ( X > 2) e) ( X 2) P ; f) ( 0 < X 2) P. Exemplo 4.4- A probabilidade de um componente resistir a um teste de choque é 0,25. Especifique a função de probabilidades para a variável aleatória discreta X : número de componentes que não resistem ao teste de choque, caso sejam testados: 13

14 a) 1 componente; b) 2 componentes; c) 3 componentes; d) n componentes. Este exemplo permite introduzir um importante modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas, o modelo (ou distribuição de probabilidades) binomial. 14

15 O modelo probabilístico binomial Considere n observações independentes de um fenômeno (ou experimento) aleatório, cada uma delas contendo apenas dois resultados possíveis (classificados, genericamente, por sucesso ou fracasso ). Suponha, adicionalmente, que em cada uma dessas observações se tenha uma mesma probabilidade de sucesso, a qual denotaremos por p (a probabilidade de fracasso fica denotada por 1 p); 15

16 Seja X a variável de contagem correspondente ao número de sucessos observados nas n realizações do fenômeno. A função de probabilidade de X fica dada por: P n x x n x ( X = x) = p ( 1 p), x = 0,1,2,..., n, onde n x = x! n! ( n x)!, sendo n = ( n 1) n!. 16

17 n=5,p=0,10 n=5,p=0,50 n=5,p=0, x x 17 P(X=x) P(X=x) P(X=x) x n=10,p=0,10 n=10,p=0,50 n=10,p=0, x x P(X=x) P(X=x) P(X=x) x Figura 4.1 Gráficos da distribuição binomial para diferentes valores de n e p.

18 Exemplo 4.5- Algumas possíveis aplicações do modelo binomial: Número de lançamentos de um dado que resultam na face 6, considerando 20 lançamentos de um dado balanceado ( n = 20 ; p = 1/ 6); Número de filhos do sexo masculino em casais com três filhos, considerando probabilidade 0,5 de ter um filho do sexo masculino e independência entre os sexos de diferentes crianças ( n = 3 ; p = 0, 5); Número de peças defeituosas em lotes de dez peças produzidas por uma industria que produz 1% de suas peças defeituosas ( n = 10 ; p = 0, 01). 18

19 Exemplo 4.6- Discuta a validade do modelo binomial nos seguintes casos: Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamos quantos se declaram usuários de droga; Escolhemos 20 lâmpadas ao acaso na prateleira de um supermercado, sendo 10 de uma fábrica e 10 de outra. Contamos o número total de defeituosas; 19

20 Quinze automóveis 0km de uma mesma marca e tipo são submetidos a um teste antipoluição e contamos o número deles que passaram no teste; Um motorista é submetido a um teste em que deve estacionar seu veículo num pequeno espaço ( fazer baliza ). Em 10 tentativas, contamos o número de tentativas em que o motorista estacionou corretamente. 20

21 Exemplo 4.7 O escore de um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações, coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho do teste: Pontos Probabilidade 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10 Várias universidades americanas exigem um escore mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame, 21

22 escolhemos ao acaso 8. Qual seria a probabilidade de no máximo dois atenderem ao requisito máximo mencionado? Assim como estudado anteriormente na análise descritiva de amostras, as variáveis aleatórias também podem ser caracterizadas por alguns parâmetros numéricos, como média (à qual é comum se referir como valor esperado da variável aleatória, denotada por µ ), variância 2 (denotada por σ ) e desvio padrão (denotado por σ ). 22

23 A média (ou valor esperado) de uma variável aleatória discreta X, denotada por µ (ou E ( X ) X ), é definida como: ( X ) = x P( X x). E = 2 A variância de uma variável aleatória discreta X, denotada por σ X (ou Var ( X ) ), é definida como: 2 ( X ) = ( x E( x) ) P( X x) Var =. O desvio X, denotada por σ X é a raiz quadrada da variância. 23

24 Exemplo 4.8 Calcule média, variância e desvio padrão para os exercícios 4.3 e 4.4. No caso da distribuição binomial, a média e o desvio padrão da variável podem ser calculadas pelas seguintes expressões: µ = n p; σ = n p ( 1 p). Exemplo 4.9 Retorne ao exemplo 4.7 e calcule a média (e o desvio padrão) da variável sob estudo. 24

25 Exemplo 4.10 Suponha X uma variável aleatória que segue o modelo binomial com n = 10. Vamos considerar três valores distintos para p : p 1 = 0,1; p 2 = 0, 5 e p 3 = 0, 9. a) Para qual dos valores de p você acredita que o número esperado de sucessos seja maior? Agora, faça as contas e verifique; b) Para qual dos valores de p você acredita que a variância do número de sucessos seja maior? Agora, faça as contas e verifique. 25

26 O modelo probabilístico de Poisson O modelo de Poisson pode ser aplicado, sob determinadas condições, à distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta correspondente ao número de resultados de interesse em intervalos de tempo ou regiões de espaço. Exemplo Possíveis aplicações do modelo de Poisson: o Número de problemas de acabamento em lâminas de madeira (por 2 m ); 26

27 o Número de acidentes em uma linha de produção por mês; o Número de vendas realizadas por um vendedor por dia; o Número de ligações telefônicas que chegam a uma central de atendimento ao consumidor por minuto. O modelo probabilístico de Poisson deriva das seguintes propriedades do fenômeno sob estudo: o Os números de resultados verificados em diferentes unidades de tempo ou espaço são independentes; 27

28 o Se aumentarmos ou diminuirmos o tamanho do intervalo de tempo (ou região do espaço) em certa quantidade, a taxa (média) de ocorrências do resultado de interesse aumentará (ou diminuirá) na mesma quantidade. o A probabilidade de que mais de um resultado ocorra em um intervalo de tempo muito breve ou numa região do espaço muito pequena é desprezível. Caso tais propriedades sejam satisfeitas, a distribuição de probabilidades da variável aleatória X, que representa o número de 28

29 resultados que ocorrem em certo intervalo de tempo ou região do espaço t, é dada pela função: P ( X = x) = e λt ( λt) x! x, x = 0,1,2,.... O número médio (ou esperado) de resultados é dado por: µ X = λt, 29

30 de tal forma que λ = t é uma taxa de ocorrência de resultados por µ X unidade de tempo ou espaço. Adicionalmente, a variância de X também é dada por 2 X σ = λt. 30

31 lambda=1 lambda=5 lambda=10 P(X=x) P(X=x) P(X=x) x x x Figura 4.2 Gráficos da distribuição Poisson para diferentes valores de λ. 31

32 Exemplo As ligações para um centro de manutenção ocorrem segundo a distribuição de Poisson, sendo que, em média, são recebidas 1,7 chamadas por minuto. Determine a probabilidade de que: a) Duas chamadas sejam recebidas num minuto qualquer; b) Nenhuma chamada seja recebida num minuto qualquer; c) Mais de que no máximo duas chamadas sejam recebidas num minuto qualquer; d) Mais do que 8 chamadas sejam recebidas em um período de cinco minutos. 32

33 Exemplo 4.13 O número de pequenos defeitos de acabamento em lâminas de madeira se comporta conforme uma distribuição de Poisson, com uma taxa de 0,03 defeitos por 2 m. O fabricante está produzindo lâminas com 2 20m. a) Qual a probabilidade de dois defeitos serem encontrados numa lâmina? b) Qual a probabilidade de dois ou mais defeitos serem encontrados numa lâmina? c) Suponha que uma amostra de dez lâminas seja selecionada aleatoriamente para inspeção. O fabricante será multado se em mais de duas lâminas forem encontrados dois ou mais defeitos. Qual a probabilidade do fabricante ser multado? 33

34 34