Lista de Exercícios de Probabilidades

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1 Lista de Exercícios de Probabilidades Joel M. Corrêa da Rosa Lançam-se três moedas. Enumere o espaço amostral e os eventos : Ω = {(c, c, c); (k, k, k); (c, k, k); (k, c, k); (k, k, c); (k, c, c); (c, k, c); (c, c, k)} (a) faces iguais A = {(c, c, c), (k, k, k)} (b) cara na primeira moeda B = {(c, c, c); (c, k, k); (c, k, c); (c, c, k)} (c) coroa na segunda e terceira moedas C = {(k, k, k); (c, k, k)} 2. Um lote contém peças de 5,10,15,...,30mm de diâmetro. Suponha que 2 peças sejam selecionadas no lote.se x e y indicam respectivamente os diâmetros da 1a. e 2a. peças selecionadas, o par(x,y) representa um ponto amostral. Utilize o plano cartesiano para representar os eventos abaixo: (a) A = {x = y} (b) A = {y < x} (c) A = {x = y = 10} (d) A = { x+y 2 < 10} a solução deste exercício é gráfica! 3. Seja um baralho comum de 52 cartas. (Note que um baralho comum tem 13 cartas de copas, 13 de ouros, 13 de paus, e 13 de espadas. E cada um destes naipes, tem uma dama). (a) Determine a probabilidade de extrair exatamente duas cartas de ouros em quatro extrações sucessivas quando há reposição. [1] (b) Calcule a probabilidade de obter a dama de ouros nas duas extrações sucessivas quando há reposição. [1] (c) Repita o item (a), mas agora as extrações são sem reposição. 1

2 [1] (d) Repita o item (b), mas agora as extrações são sem reposição [1] 0 4. Um experimento consiste em arremessar sucessivamente uma moeda honesta e registrar o número de arremessos até o surgimento da primeira cara. Qual o espaço amostral deste experimento? Ω = {1, 2, 3,...} 5. Dois eventos: A e B, mutuamente exclusivos (A B = ), são independentes? Justifique. não pois P (A B) = 0 P (A), caso P (A) > Anemia falciforme é uma doença genética que ocorre somente se a criança herda dois genes recessivos. Cada criança recebe um gene do pai e outro da mãe. Uma pessoa pode ter: (a) dois genes dominantes (a pessoa não tem a doença) (b) um gene dominante e outro recessivo (a pessoa não tem a doença mas é portadora ) (c) dois genes recessivos (a pessoa tem a doença) Calcule a probabilidade da criança ter a doença se: (a) ambos os pais são portadores P (D) = 1/4 (b) um dos pais é portador e o outro tem a doença P (D) = 1/2 (c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes P (D) = 0 Calcule a probabilidade de que a criança seja portadora se: (a) ambos os pais são portadores P (portador) = 1/2 (b) um dos pais é portador e o outro tem a doença. P (portador) = 1/2 (c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes. P (portador) = 1/2 7. Os valores de sensibilidade e especificidade de um teste para detecção de diabetes são s=0,95 e e=0,95. 2

3 (a) Um paciente assintomático submete-se ao teste. Se o resultado for positivo, qual a probabilidade de ele ter realmente a doença? 0, 95 (b) Um outro paciente que apresenta alguns sintomas da doença (como sede anormal e perda de peso) e possui história de diabetes na família, também se submeteu ao teste. Se o resultado for positivo, o que você espera que aconteça com o VPP (Valor Preditivo Positivo)? Por quê? 0, A creatinina fosfacinase (CFC) é um marcador para o diagnóstico de infarto agudo do miocárdio. Pacientes com infarto agudo do miocárdio apresentam valores elevados de CFC. A tabela a seguir apresenta os valores de CFC para 600 pacientes de um hospital do coração, sendo 430 com infarto agudo do miocárdio. Considere que a prevalência de infarto agudo do miocárdio em hospitais do coração seja igual a desse estudo. Infarto agudo do miocárdio Valores de CFC CFC < 80 80<=CFC<280 CFC >= 280 Doente Não doente Sejam dois testes de diagnóstico de infarto agudo do miocárdio baseados no valor de CFC do paciente: Teste 1: O resultado é positivo se os valores de CFC são maiores ou iguais a 80 e negativo caso contrário; Teste 2: O resultado é positivo se os valores de CFC são maiores ou iguais a 280 e negativo caso contrário. (a) Calcule a sensibilidade e a especificidade do Teste 1 e do Teste 2. Interprete as medidas. Comente. sensibilidade(t1) = 0, 9256 especif icidade(t1) = 0, 7941 sensibilidade(t2) = 0, 2512 especif icidade(t2) = 0, 9882 o primeiro teste é é mais sensível enquanto o segundo teste é mais específico. (b) Calcule o VPP, VPN, PFP e PFN do Teste 1 e do Teste 2. Interprete as medidas. Comente. VPP VPN PFP PFN teste 1 0,9192 0,8084 0,0808 0,1916 teste 2 0,9818 0,3428 0,0182 0,6571 (c) Qual valor de referência a ser adotado? justifique. O valor de referência a ser adotado é 80 pois a qualidade do teste é, em geral, melhor do que quando adota-se o valor

4 9. É bem conhecido que daltonismo é hereditário. Devido ao fato do gene responsável ser ligado ao sexo, o daltonismo ocorre mais frequentemente nos homens do que nas mulheres. Numa grande população humana, a distribuição de daltonismo da cor vermelha-verde segundo o sexo foi: Daltonismo Masculino Feminino Total Presente 4,23% 0,65% 4,88% Ausente 48,48% 46,64% 95,12% Total 52,71% 47,29% 100,00% (a) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dessa população. Calcule a probabilidade de ela ser: 1) Daltônica ; 2) Do sexo feminino; 3) Daltônica sabendo-se que é do sexo feminino; 4) Daltônica sabendo-se que é do sexo masculino. daltonica [1] sexo feminino [1] daltonica sabendo que é do sexo feminino [1] daltonica sabendo que é do sexo masculino [1] (b) Três pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, dessa população. Qual a probabilidade de: 1) Apenas uma ser daltônica; 2) Todas serem daltônicas; 3) Duas ou mais serem daltônicas; 4) No máximo uma ser daltônica. apenas uma ser daltonica [1] todas serem daltonicas [1] duas ou mais serem daltonicas [1] no maximo uma ser daltonica [1] (c) Os eventos ser daltônico e ser do sexo masculino são independentes? O que isto significa na prática? eles não são independentes, na prática isto significa que o daltonismo está associado ao sexo. (d) Se 1000 indivíduos são selecionados ao acaso, qual o número esperado de daltônicos? [1] A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: 4

5 (a) A ganhar todas as três [1] (b) duas partidas terminarem empatadas [1] (c) A e B ganharem alternadamente [1] A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de sua mulher é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos : (a) ambos estejam vivos [1] (b) somente o homem esteja vivo [1] (c) somente a mulher esteja viva [1] 0.4 (d) nenhum esteja vivo [1] 0.2 (e) pelo menos um esteja vivo [1] Pesquisadores que tratam de doenças hepáticas em uma clínica especializada sugeriram um novo teste para detectar câncer no fígado. Os resultados do experimento para uma amostra de 2225 pacientes atendidos nessa clínica foram: Câncer Hepático Positivo Negativo Total Presente Ausente Total Pelo modo como os dados foram obtidos, a prevalência de câncer hepático, nessa clínica, pode ser calculada usando os dados da tabela. (a) Calcule a sensibilidade e especificidade do teste. sensibilidade [1] especificidade [1] (b) Calcule a probabilidade de um paciente, atendido nessa clínica e que não tem câncer no fígado, tenha um resultado positivo no teste. [1] (c) Calcule o valor da predição positiva e o valor da predição negativa. VPP [1]

6 VPN [1] (d) Os pesquisadores que desenvolveram o teste sugeriram seu uso como um meio simples para os clínicos em geral decidirem se devem ou não encaminhar o parciente para uma clínica especializada. Critique esta recomendação. 6