Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza. Probabilidades Aula 1

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1 Será que vai chover amanhã? Quantificando a incerteza Probabilidades Aula 1

2 Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai chover amanhã? Quanto tempo levarei de casa até a universidade? Em quanto tempo serei atendido se eu pegar a fila única? E se eu pegar as filas separadas?

3 Na área científico-investigativa, não é diferente. Se fizermos uma intervenção X, quantos casos da doença eliminaremos na área 1? Quantos bebês dos próximos 10 recém-nascidos precisarão de cuidados na UTI neo-natal? Qual será o tamanho da ninhada de uma fêmea felina da raça siamesa? Se nascerem 6 gatinhos, quantos vão sobreviver?

4 Lidando com a incerteza Uma das maneiras de lidar com a incerteza acerca de um evento é expressá-la em números. Ou seja, quantificando a incerteza.

5 Probabilidades: quantificando a incerteza Probabilidade é uma medida da incerteza acerca de um evento. Esta medida é um número que vai de 0 a 1. Quanto maior a probabilidade de evento, menor a incerteza acerca dele.

6 Segundo o centro de meteorologia, a probabilidade de chover amanhã é de 0.60 (ou 60%) A probabilidade de gastar mais de 20 minutos de casa até o trabalho é de 75% A probabilidade de esperar menos de 2 minutos na fila única é de 85% Na fila separada, esta probabilidade é de 40%

7 Conceitos básicos Experimento aleatório é aquele no qual os resultados possíveis são conhecidos antes da realização do experimento, mas só saberemos qual deles irá ocorrer quando ele for realizado. EXEMPLOS: Experimento aleatório 1: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor. Resultados possíveis: {vermelha, preta} Experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a face de cima. Resultados possíveis: {1,2,3,4,5,6} Experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e verificar quantos filhos ela tem. Resultados possíveis: {0,1,2,3,4...}

8 Conceitos básicos Espaço Amostral (E) é o conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório. EXEMPLOS: Para o experimento aleatório 1: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor. Espaço amostral E 1 = {vermelha, preta} Para o experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a face de cima. Espaço amostral E 2 ={1,2,3,4,5,6} Para o experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e verificar quantos filhos ela tem. Espaço amostral E 3 ={0,1,2,3,4...}

9 Conceitos básicos Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório é chamado EXEMPLOS: do espaço amostral E 1, A = {preta} do espaço amostral E 2, B = {2,4,6} A é um Evento Simples (somente um elemento do espaço amostral) A Evento Complementar ( ): o complementar de um evento A é formado pelos elementos do espaço amostral que não fazem parte do evento. Exemplo: se o espaço amostral é E 2 = {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6}, B= {1,3,5}

10 Conceitos básicos Evento vazio ( ) é evento que não contém nenhum elemento do espaço amostral. Exemplo: no experimento aleatório 1, o evento B: carta verde é um evento vazio, B =. Evento União ( A B): o evento A união B é formado pelos elementos que estão em A ou em B.

11 Conceitos básicos Evento Interseção ( A B): o evento A interseção B é formado pelos elementos que estão em A e em B. Exemplo : Sejam os eventos A sair um número par na jogada de um dado, A = { 2, 4, 6} e B sair um número menor do que 4 na jogada de um dado, B = {1, 2, 3}. O evento união é formado por (A B) = {1, 2, 3, 4, 6} e O evento interseção é formado por (A B) = { 2 }.

12 Conceitos básicos Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A B= B A E Exemplo : Seja o experimento aleatório retirar uma carta de um baralho de 52 cartas A : sair uma carta vermelha, A = {vermelha} e B : sair uma carta de espadas, B = {espadas}. O evento interseção (A B)=

13 Definição Clássica para Probabilidade Quando TODOS os elementos do espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrerem, a definição clássica da probabilidade de um evento A ocorrer é dada por P( A ) = número de elementos do evento A total de elementos do espaço amostral Exemplo: seja o experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. Se o dado for honesto, todas as seis faces têm a mesma probabilidade de saírem para cima. Assim, a probabilidade do evento F o número é par, F = {2,4,6}, é dada por P(F)=3/6=0.5.

14 Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número E= {A J Q K A J Q K A J Q K A J Q K } A = carta preta P(A)=26/52 = 1/2 B= carta com letra P(B) = 16/52 = 4/13 C = carta de copas P(C) = 13/52 = 1/4 D = carta de ouros preta P(D) = 0/52 = 0

15 Propriedades da Probabilidade 1. 0 P(A) 1 2. P(E) =1 3. P(A) = 1 - P(A) Probabilidade da União de Dois Eventos P(A B) = P(A) + P (B) - P (A B)

16 Probabilidade Condicional ) ( ) ( ) ( B P B A P B A P = A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu, é dada por: Exemplo: no experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. Eventos: F = {2,4,6} e B={2}. ) ( ) ( ) ( = F P B F P F B P ({2,4,6}) = P P({2}) = =

17 Probabilidade Condicional Podemos enxergar a probabilidade condicional como uma redução do espaço amostral inicial. Exemplo: o experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. Espaço amostral inicial E = {1,2,3,4,5,6} Se F = {2,4,6} ocorre, então o espaço amostral inicial E={1,2,3,4,5,6} é reduzido para E ={2,4,6} P( B F) = 1 3

18 Independência de Eventos Se a ocorrência de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, os eventos A e B são independentes. Ou seja, se P( A B) = P( A) os eventos A e B são independentes.

19 Independência de Eventos Se A e B são independentes, isto significa que P( A B) = P( B) P( A) P( A B) = P( A B ) P( B) ind ind = P ( A ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B )

20 Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número E= {A J Q K A J Q K A J Q K A J Q K } A = carta preta P(A)=26/52 = 1/2 B= carta com letra P(B) = 16/52 = 4/13 A e B são eventos independentes? P(B A) = 8/26 = 4/13 = P(B). SIM Interseção A e B : P(AB) = 8/52 = 2/13

21 Experimento aleatório: jogar um dado e verificar qual é a face de cima E= { } A = número 4 P(A)=1/6 B= número ímpar P(B) = 3/6 = 1/2 AB = número ímpar igual a 4 P(AB) = 0/6 = 0 A e B são eventos independentes? P(B A) = P(AB)/P(A) = 0/(1/6) = 0 P(B). NÃO

22 Definição Frequentista da Probabilidade Quando os elementos do espaço amostral NÃO têm a mesma probabilidade de ocorrerem, a definição clássica da probabilidade NÃO pode ser usada. A probabilidade de um evento deve ser estimada atráves da frequência da ocorrência do evento na repetição do experimento um grande número de vezes.

23 Definição Frequentista da Probabilidade Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja portadora da bactéria H. pylori? Experimento aleatório : selecionar uma pessoa do grupo de interesse e verificar um dos resultados possíveis: E = {portadora, não-portadora} P( portadora) P( não portadora) A probabilidade de ser portadora deve ser estimada com a utilização de uma grande amostra de pessoas do grupo de interesse

24 Definição Frequentista da Probabilidade Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja portadora da bactéria H. pylori? # de pessoas portadoras na amostra ˆ( ) tamanho da amostra P portadora = O valor de P ˆ( portadora ) é uma estimativa de P( portadora)

25 Cálculo de Probabilidades em tabelas de classificação cruzada Grupo Sangüíneo Tromboembolismo Doente Sadia Total A B AB O Total P( doente ) = = P( sadia) = 1 P( doente) 200 = = P( A ) = = P( A doente) = =

26 Cálculo de Probabilidades em tabelas de classificação cruzada Grupo Sangüíneo A B AB O Total Tromboembolismo Doente Sadia Total P( A doente) = = P( doente A ) = = Os eventos ser doente e pertencer ao grupo sanguíneo A podem ser considerados independentes? NÃO P( doente ) = P( doente A) P( doente)

27 Para pensar Um exame rápido para detecção de leishmaniose em cães resulta em positivo para 90% dos animais doentes examinados. Dentre os animais sadios, o resultado é negativo para 80% dos animais testados. Acredita-se que 15% dos cães de uma determinada região da cidade sejam portadores da leishmaniose. Se um cão dessa região é testado e seu resultado é positivo, qual é a probabilidade de que ele esteja realmente doente?

28 Para saber mais Seções 1 e 2 da Apostila Avaliação de Testes Diagnósticos (Reis e Reis, 2002) Para praticar Exercícios da Seção 3 do Caderno de Exercícios

29 Referências Bibliográficas REIS, E. A. ; REIS, I. A. (2002) Avaliação de Testes Diagnósticos. Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG. Disponível em:

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