Termoestatística. Noções Básicas de Probabilidade II

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1 Termoestatística Noções Básicas de Probabilidade II

2 B C A i j k l m n p o Eventos Compostos Disjuntos: são eventos compostos sem eventos simples comuns (conjuntos com interseção nula). A \ B =0 A \ C =0 B \ C 6= 0 (disjuntos) (disjuntos) (não disjuntos) P (A [ B) =P (A)+P (B) P (A [ C) =P (A)+P (C) P (B [ C) =P (B)+P (C) P (B \ C)

3 Exercício: Calcule as probabilidades dos eventos definidos abaixo: P(A), P(B) e P(A B). A sortear uma carta de copas B sortear uma carta com o número três

4 A carta de copas B carta com o número três P (A) = P i A P i = = P (B) = P i B P i = 4 52 = 1 13 P (A \ B) = P i (A\B) P i = 1 52 P (A [ B) =P (A)+P (B) P (A \ B) = = = 4 13

5 Exercício: Em um povoado, habitam 100 pessoas adultas, sendo 50 homens e 50 mulheres. Uma pesquisa médica detectou altos níveis de colesterol em 30 pessoas adultas, das quais 20 eram homens. Nesse povoado: (a) Qual a probabilidade P(A) de encontrar, ao acaso, uma pessoa com alto nível de colesterol? (b) Qual a probabilidade P(B) de encontrar, ao acaso, um homem? (c) Se você tiver encontrado um homem, qual a probabilidade P(A B) de que tenha alto nível de colesterol? (d) Como relacionar a probabilidade do item (c) às probabilidades dos itens (a) e (b)?

6 Homem saudável Homem com alto NC Mulher saudável Mulher com alto NC A: Pessoas com alto NC B: Homens P (A) = = 3 10 P (B) = = 1 2 P (A B) = = n(a\b) n(b) = P (A\B) P (B) = n(a\b)/n n(b)/n (N 1)

7 Probabilidade Condicional: probabilidade do evento A dado que ocorreu o evento B: Eventos Independentes: caso a ocorrência do evento A não afete a probabilidade do evento B, então os eventos A e B são ditos independentes. Matematicamente: P (B A) =P (B) (eventos independentes) Perceba que, para eventos independentes, vale a relação: P (B \ A) =P (B)P (A) (eventos independentes) P (B) =P (B A) () P (B \ A) =P (B)P (A)

8 Exercício: (a) Qual a probabilidade de uma carta sorteada ser de copas, dado que é um ás? (b) Qual a probabilidade de uma carta sorteada ser de copas, dado que é vermelha? (c) Os eventos definidos nos itens (a) e (b) acima são dependentes ou independentes?

9 (a) A = sortear um ás B = sortear uma carta de copas P (B A) = P (A\B) P (A) =1/4 P (A) =4/52 P (B) = 13/52 P (A \ B) =1/52 Porém, note que: P (B)P (A) =1/52 = P (A \ B) =) P (B A) = P (A)P (B) P (A) = P (B)

10 (b) B = sortear uma carta de copas C = sortear uma carta vermelha P (B C) = P (B\C) P (C) = 13/26 = 1/2 P (B) = 13/52 P (C) = 26/52 P (B \ C) = 13/52 Porém, note que: P (B)P (C) =1/8 6= P (B \ C) =) P (B C) 6= P (B)P (C) P (C)

11 No item (a), a probabilidade de sortear uma carta de copas, no espaço amostral completo, é P(B) = ¼. Ao sortear um ás (evento A), reduzimos o espaço amostral a quatro eventos possíveis (o ás pode ser de paus, espadas, copas ou ouros). Porém a probabilidade de que o ás seja de copas continua sendo P(B A) = P(B) = ¼. A ocorrência do evento A não afeta a probabilidade do evento B. Portanto, A e B são eventos independentes, P(B A) = P(B). No item (b), ao sortear uma carta vermelha (evento C), a probabilidade de encontrar uma carta de copas aumenta de P(B) = ¼ para P(B C) = ½. Os eventos B e C não são independentes, P(B C) P(B).

12 Regra da Multiplicação: a definição de probabilidade condicional estabelece a regra da multiplicação ou regra do produto : P (A \ B) =P (A B) P (B) probabilidade de A e B probabilidade de A dado B probabilidade de B Caso A e B sejam independentes, P(A B) = P(A), encontraremos a forma usual, P(A B) = P(A) P(B). (probabilidade de A e B igual ao produto das probabilidades).